第 十 讲 行 程 问 题 二
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：10 行程(二) 精英篇(解析版)全国通用
第十讲 行程（二）在今天这节课中，我们来研究行程问题中的相遇与追及问题．这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解，使学生养成画图解决问题的好习惯！ 知识点：1、直线型的相遇与追及问题2、环形上的相遇与追及问题.分析：要求狗走的路程，速度已知，关键是求出狗所走的时间.经过认真审题，不难发现狗行走的时间与甲、乙二人的相遇时间是相等的.这就是一道行程问题应用题.甲、乙二人相遇时间为：50÷（3+2）=10（小时），狗的速度是5千米/时 ，所以，狗所走的路程一共是：5×10=50（千米）.1. 甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？分析：出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离每小时都缩短6＋4＝10（千米），即两人的速度的和（简称速度和），所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇. 30÷（6＋4）＝30÷10＝3（小时）.2. 甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？你还记得吗教学目标想 挑 战 吗？苏步青教授是我国著名的数学家.有一次在外国，他在电车上碰到一位有名的德国数学家，这位德国数学家出了一道有趣的数学题让他做，这道题是：“两地相距50千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行.甲每小时走3千米，乙每小时走2千米．甲带着一只狗，狗每小时走5千米.这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉转头来往甲这边走，碰到甲时又往乙这边走，直到两人碰头.问这只狗一共走了多少千米路？”苏步青略加思索，未等下电车就把正确答案告诉了这位德国数学家.同学们，你们也来试一试，会解吗？分析：出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时）.在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题.甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么A,B 之间的路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=速度和×相遇时间. 一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即t v S 和和=有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间=（甲的速度-乙的速度）×追及时间=速度差×追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即t v S 差差=（一） 直线型的相遇问题：【例1】 王老师从甲地到乙地，每小时步行5千米，张老师从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.专题精讲分析：画一张示意图（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？）离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，王老师走了两地距离的一半多1千米，张老师走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，王老师比张老师多走了2千米王老师比张老师每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2÷（5-4）＝2（小时）.因此，甲、乙两地的距离是（5＋ 4）×2＝18（千米）.[巩固]夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距1100米，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，问两人在距两地中点多远处相遇?分析：根据题意，两人相遇时经过的时间为：1100÷（50+60）=10分钟，10分钟夏夏走了50×10=500（米），两地的中点距离夏夏的出发地距离为：1100÷2=550，所以两人相遇处距离两地中点550-500=50米远.【例2】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离．分析：画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B 两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．[拓展]甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的A地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？分析：教师注意帮助学生画图分析.从出发到甲、乙两列火车相遇，两列火车共同行驶了2个全程.已知甲比乙少行120千米，甲每小时比乙少行（70—60 =）10千米，120÷10 = 12（小时），说明相遇时，两辆车共同行驶了12小时.那么两辆车共同行驶1个全程需要6小时，东西两镇之间的路程是（60 + 70）×6 = 780（千米）【例3】甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时，8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇，求丙车的速度.分析：甲车每小时比乙车快60-48＝12（千米）.则5小时后，甲比乙多走的路程为12×5＝60（千米）.也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为60千米，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的6-5＝1小时后相遇，所以，可求出卡车的速度为60÷1-48＝12（千米/小时），卡车在与甲相遇后，再走8-5＝3（小时）才能与丙相遇，而此时丙已走了8个小时，因此，卡车3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程.由此，丙的速度也可求得，应为：（60×5-12×3）÷8＝33（千米/小时）. 所以卡车的速度：（60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千米/小时），丙车的速度：（60×5－12×3）÷8＝33（千米/小时），[拓展] 甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米.甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行，途中甲、乙相遇后3分钟又与丙相遇.求东西两村的距离.分析：先画示意图如下：3分钟甲（100米/分）甲、丙相遇甲、乙相遇乙（80米/分）丙（75米/分）东西甲、乙相遇后3分钟，甲、丙相遇.甲、丙在3分钟内共走路程是（100＋75）×3＝525（米）.显然，这就是甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，乙比丙每分钟多走80－75＝5（米）.所以，甲、乙相遇时离出发的时间是525÷（80－75）=105（分钟）.两村间的距离是：（100＋80）×[（100＋75）×3÷（80-75]＝180×（525÷5）＝18×105=18900（米）[趣味数学]皮皮和琪琪乘车从城里到郊区去，琪琪对皮皮说：“我发觉每隔5分钟就有1辆迎面开来的客车和我们擦肩而过，如果两面对来的客车速度一样，在1小时有多少辆客车开到城里？”“那还用说，当然是12辆了，因为60除以5等于12.”皮皮说.但是琪琪不同意他的解答，认为是6辆.你知道他们谁正确吗？分析：当然是琪琪正确.假设皮皮他们所乘的客车从与第一辆对开的客车相遇A点与到第二辆客车相遇B 点相隔5分钟，那么第二辆对开的客车要从B点达到A点好需要5分钟，也就是两辆对开的客车之间的时间间隔为10分钟，60÷10=6（辆）（二）直线型的追及问题【例4】军事演习中，“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？分析：“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.即（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟），所以，经过20分钟可开炮射击“敌”舰.[前铺]下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.分析：若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？40×5÷（60-40）=200÷20=10（分钟）【例5】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？分析：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）. 少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分.[前铺]小明步行上学，每分钟行70米.离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明？分析：爸爸要追及的路程：70×12=840（米）,爸爸与小明的速度差：280-70=210（米/分）,爸爸追及的时间：840÷210=4（分钟）.【例6】小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是多少？分析：小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为20÷5=4（米/秒）；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4×6=24（米），也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度.综合列式计算如下：小蓝的速度为：20÷5×6÷4=6（米/秒），小红的速度为：6+4=10（米/秒）【例7】张、李、赵三人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米；赵上午8时从甲地出发．傍晚6时，赵、张同时到达乙地．那么赵追上李的时间是几时?分析：赵追上李是追及问题，但是赵的速度我们并不清楚，这需要从赵、张同时到乙地来计算．本题的解题过程分三步．第一步：求出甲、乙两地距离．张早上6时出发，晚上6时到，用12小时，每小时5千米，所以甲、乙两地相距5×12=60千米．第二步：求出赵的速度．赵早上8时出发，晚上6时到，用10小时，走了60千米，每小时走60÷10=6千米．第三步：追及问题．赵出发时，李已出发2小时，此时与甲地相距4×2=8千米，赵追上李用8÷(6-4)=8÷2=4小时．所以，赵追上李是上午12时．评注：本题需要逆向思维，根据所需从题目条件中找，分析思考的过程可以说正好与详解的顺序相反，按我们的需要一步步找上去，直到题目满足我们的要求为止．（三）环形上的相遇与追及问题【例8】在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？分析：同向而跑，2分30秒相遇，这实质是快的追上慢的.起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大.接着，两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈.这就是所谓的追及问题，数量关系为：路程差÷速度差=追及时间，由题意，得知路程差为300米，追及时间为2分30秒，即150秒，因此两人速度差为300÷150＝2(米)背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和÷速度和=相遇时间，由题意，可以求得两人的速度和为300÷30＝10(米)有了两人的速度和与速度差，即可求得两人的速度：慢者：(10- 2)÷2＝4(米)，快者：10-4＝6(米)[巩固]小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是200米/分.（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？分析：（1）两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是500÷1-200=300（米/分）.（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：500÷（300-200）＝5（分）.300×5÷500＝3（圈）.【例9】如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.分析：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是80×3＝240（米）.240-60=180（米）.180×2＝360（米）.[拓展]一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？分析：先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米.30÷（5-3）＝15（秒）.因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷（5-3）＝45（秒）.B与C到达同一位置，出发后的秒数是15，，105，150，195，……再看看A与B什么时候到达同一位置.第一次是出发后30÷（10-5）=6（秒），以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要90÷（10-5）＝18（秒），A与B到达同一位置，出发后的秒数是6，24，42，，78，96，…对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.【例10】实验小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？分析：这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致.因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程.（1）冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：200÷（6-4）=100（秒）（2）冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6×100=600（米）（3）晶晶第一次被追上时所跑的路程：4×100=400（米）（4）冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：（600×2）÷200=6（圈）（5）晶晶第2次被追上时所跑的圈数：（400×2）÷200=4（圈）专题展望本讲主要讲了行程问题中的相遇与追及问题，在四年级的寒假班我们会继续学习更复杂的行程问题，希望同学们再接再厉，加油！练习十1.（例1）大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？分析：大头儿子和小头爸爸的速度和：3000÷50=60(米／分钟)，小头爸爸的速度：(60+24)÷2=42(米／分钟)，大头儿子的速度：60—42=18(米／分钟).2. （例4）龟兔赛跑同时出发，全程7000米，乌龟以每分30米的速度爬行，兔子每分钟跑330米．兔子跑了10分钟就停下来睡觉，200分钟后醒来，立即以原速往前跑．当兔子追上乌龟时，他们离终点的距离是多少千米?分析：线段图如下：兔子追乌龟的追及路程差为：30×(10+200)-330×10=3000(米)，根据公式t v S 差差 兔子追上乌龟的追及时间为：3000÷(330-30)=10(分)，离终点的距离为：7000-330×(10+10)=400(米).3. （例6）东东、西西二人练习跑步，若东东让西西先跑10米，则东东跑5秒钟可追上西西；若东东让西西先跑2秒钟，则东东跑4秒钟就能追上西西.问：东东、西西二人的速度各是多少？分析 若东东让西西先跑10米，则10米就是东东、西西二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为10÷5=2（米/秒）；若东东让西西先跑2秒，则东东跑4秒可追上西西，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2×4=8（米），也即西西在2秒内跑了8米，所以可求出西西的速度，也可求出东东的速度.综合列式计算如下：西西的速度为：10÷5×4÷2=4（米/秒），东东的速度为：10÷5+4=6（米/秒）4. （例9）如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A 与C 同时出发，绕圆周相向而行.它们第一次相遇在离A 点8厘米处的B 点，第二次相遇在离C 点处6厘米的D 点，问，这个圆周的长是多少?分析：如上图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A 点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从A 点出发的应爬行8×3=24(厘米)，比半个圆周多6厘米，半个圆周长为8×3—6=18(厘米)，一个圆周长就是：(8×3—6)×2=36(厘米)5. （例10）小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第一次超过正南需要多少分钟？第三次超过正南需要多少分钟？6cm 8cm 第二次相遇第一次相遇B DC A分析：小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据t v S 差差 ，可知小新第一次超过正南需要：800÷（250-210）=20（分钟），第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要800×3÷（250-210）=60分钟.让偷盗者赛跑“你是抢劫犯!” “你才是抢劫犯呢!”“是怎么回事呀?”警察车良见前面有争论的，就对身边的田大凯说，“走!我们看看去.”当他们俩来到两个争论的人面前，他们仍争论得很厉害，无法区分是抢劫者.“这是怎么回事呀?”车良问.这时，一帮人簇拥着一个老太太过来，一个说：“还是你自己把事情告诉大家吧!” 原来，黄昏时分，老太太提着一个提包从一个胡同出来，突然窜出一个强盗，二话没说，把老太太的提包夺过来就跑.然后又有一个人马上追上去抓住了强盗.老太太也没有看清楚那个人是个什么样子.面对两个人同时出现她也说不清是哪个.“把他们送到警察局去处理吧!”有人提议. “到那里也没有法说清楚呀!，’有人说，“公说公有理，婆说婆有理.这怎么能断得清呀?”车良对吵吵嚷嚷的人大声说：“大家安静下来，这两个人就不用送警察局了.现在，我们就可把抢劫者定下来!到时候，我们会把他带走的!” “你们怎么定啊?”有人不理解地问. “这可不是开玩笑的呀!”有人在提醒. “请大家放心.”车良说，“我们是有办法的.我们让他们来一个百米冲刺，跑一跑就数学故事可以定下来.”车良对大凯说：“大凯，你到前面大约100米的地方计时，我到时候打一枪，你听到枪声就马上计时，把他们的百米跑成绩记下来.”然后，车良大声说：“大家听好，你们两个人也听好.”他用手指指了那两个“抢劫者”，“现在你们这两个人进行百米赛跑，通过赛跑我就可以断定哪一个是抢劫者.谁跑得快，谁就是好人!大家闪一闪.现在赛跑开始!预备!”“叭!”一声枪响，那两个人拼命地向前跑了起来.不一会儿，大凯押着那两个人来到了大家面前. “那个年轻人百米速度为12秒；那个老一点的人百米速度为15秒.”大凯指着他们说.车良对那个年轻人说：“谢谢你!你是一个正直的人.”田大凯对那个年老的人说：“你就是抢劫者，要受到应有的惩罚.走! 跟我们到警察局去!”说完，车良和田大凯押着那个人就走.“哎!奇怪，怎么跑一跑就能断出哪个是抢劫者呢?”人们议论着. “真是不可思议呀!”你明白这个道理了吗?这是因为当老太太的提包被抢了之后，过了一会儿才有一个人追赶，后来被追上的那人却说对方是强盗.从这里不难看出破绽，追抢劫者的人肯定要比抢劫者跑得快，否则后者不会追上前者.所以，让两个人进行百米赛跑测一下速度就行，就可以判断出谁是抢劫者.。
七年级-第十讲：行程问题经典例题
第十讲：行程问题分类例析主讲:何老师行程问题有相遇问题,追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上分直线运动及曲线运用（如环形跑道). 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间，快的再追及,追及距离慢快S S S +=。
顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流，回时则为逆流。
一、相遇问题例1:两地间的路程为360km ，甲车从A 地出发开往B 地,每小时行72km ；甲车出发25分钟后，乙车从B 地出发开往A 地,每小时行使48km,两车相遇后,各自按原来速度继续行使,那么相遇以后,两车相距100km 时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？分析:利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和)建立方程. 解答:设甲车共行使了xh ，则乙车行使了h x )(6025-。
（如图1）依题意，有72x+48)(6025-x =360+100, 解得x=4。
因此，甲车共行使了4h.说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km ，仍属相遇问题中的距离,望读者仔细体会. 例2：一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h ，风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回？ 分析：列方程求解行程问题中的顺风逆风问题. 顺风中的速度=静风中速度+风速 逆风中的速度=静风中速度-风速解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm 就应返回。
依题意，有642557525575.=-++xx解得:x=1320。
答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回. 解法二: 设飞机顺风飞行时间为th.依题意,有（575+25)t=(575-25）(4。
6-t), 解得：t=2。
2。
(575+25）t=600×2.2=1320。
答：这架飞机最远飞出1320km 就应返回。
图1说明：飞机顺风与逆风的平均速度是575km/h ，则有645752.=x，解得x=1322。
小学数学典型应用题行程问题
行程问题经典题型（一）1、甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米。
问他走后一半路程用了多少分钟？2、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。
小明上学走两条路所用的时间一样多。
已知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。
那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。
有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。
他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。
在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。
到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。
问他从乙站到甲站用了多少分钟？5、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。
现在甲位于乙的前方，乙距起点20米，当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起点98米。
问：甲现在离起点多少米？6、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。
问：东西两地的距离是多少千米？7、李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到。
0.5小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。
又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。
结果3人同时在途中某地相遇。
问：骑车人每小时行驶多少千米？8、快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。
已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留0.5小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间？9、某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。
五年级奥数学第10讲行程问题
A.1/7
B.1/6
C.3/4 D.2/5
3．流水问题
我们知道,船顺水航行时,船一方面按自己本身 的速度即船速在水面上行进,同时整个水面又按 水的流动速度在前进,因此船顺水航行的实际速 度〔简称顺水速度就等于船速与水速的和,即
顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速－水速 可推知 船速=〔顺水速度+逆水速度÷2 水速=〔顺水速度－逆水速度÷2
所以,正确答案为C.
例2 甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背 向同时出发,8分钟后两人第三次相遇.已知甲每 秒钟比乙每秒钟多行0.1米,那么,两人第三次相 遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是
A.166米 B.176米 C.224米 D.234米
解析：此题为典型的速度和问题,为方便理解可 设甲的速度为X米/分,乙的速度为Y米/分,则依 题意可列方程 8X+8Y=400×3
例题2：小王从甲地到乙地,因有风,所以去时用 了2个小时,回来时用了3个小时.已知甲乙两地 的距离是60公里,求风速是多少？
A.5km/h B.10km/h C. 15km/h D. 20km/h
解析：此题可采用代入法.也可设小王的速度为 X,风速为Y,则可列如下方程：
X＋Y＝60÷2 X－Y＝60÷3 解得X＝25,Y＝5. 所以风速为5,答案为A.
1000÷〔120+80＝5〔分 500×5＝2500〔米 答：小狗共走了2500米.
例题：两列对开的列车相遇,第一列车的车速为 10米/秒,第二列车的车速为12.5米/秒,第二列车 上的旅客发现第一列车在旁边开过时共用了6 秒,则第一列车的长度为多少米？
A.60米 B.75米 C.80米 D.135米
则甲乙两地相距：1.4*3-0.6=3.6千米〔？
人教版 小学四年级上册秋季 数学讲义 专项强化练习《第10讲 路程问题二》题目+答案
第10讲路程问题二例题练习题例1A、B两地相距500米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走40米，乙每分钟走60米．请问：两个人从出发到相遇需要多长时间？练1阿呆和阿瓜从相距1000米的A、B两地同时出发，相向而行．阿呆每分钟走50米，阿瓜每分钟走150米．请问：两人从出发到相遇需要多长时间？例2一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距350千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行60千米．请问：出发几小时后两车第一次相距50千米？练2A、B两地相距400千米，甲、乙两车分别从A、B同时出发，相向而行．甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度为每小时40千米，请问：出发几小时后甲、乙两车第一次相距100千米？例3阿猪和阿猫同时从相距100千米的两镇出发，相向而行．阿猪每小时跑6千米，阿猫每小时跑4千米，5小时后它们相距多少千米？练3大熊和二熊同时从相距36千米的两镇出发，相向而行．大熊每小时跑5千米，二熊每小时跑3千米，2小时后它们相距多少千米？例4A、B两地相距360千米，甲汽车先从A地出发，以每小时30千米的速度开往B地．2小时后乙汽车以每小时70千米的速度从B地开往A地．请问：从甲汽车出发到两车在途中相遇，一共经过了多少小时？练4乌龟快快和乌龟慢慢从相距490米的各自的家里出发，相向而行．乌龟快快每分钟爬4米，乌龟慢慢每分钟爬2米．乌龟快快出发10分钟后乌龟慢慢才从家出发，那么乌龟快快爬了多长时间两只乌龟才相遇？挑战极限1一只大老鼠和一只小老鼠分别从10米长的地下管道两端同时出发，相向而行，大老鼠每秒钟走3分米，小老鼠每秒钟走1分米．请问：多少时间后，大老鼠和小老鼠第二次相距40分米？自我巩固1．甲、乙两车从相距700千米的两地同时出发，相向而行．甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米．那么出发___________小时后两车相遇．2．羊城和狼堡相距480米，花羊羊和大灰狼分别从羊城和狼堡两地同时出发，相向而行，如果花羊羊每分钟走80米，大灰狼每分钟走40米，那么他们从出发到相遇需要___________分钟．3．甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行．甲车每小时行45千米，乙车每小时行55千米，3小时后两车相遇，那么A、B两地相距___________千米．4．小高和小宝同时从相距120千米的两镇出发，相向而行．小高每小时跑8千米，小宝每小时跑6千米，8小时后他们相距___________千米．5．阿呆和阿瓜同时从相距200米的两地出发，相向而行．阿呆每秒走1米，阿瓜每秒走2米，那么10秒后它们相距米．6．阿童和阿凡同时从相距750千米的两地相向而行，阿童每小时飞行50千米，阿凡每小时飞行70千米，那么出发小时后两人第一次相距30千米．7．一只大老鼠和一只小老鼠分别从一根长100厘米的直面条的两端开始吃．大老鼠每秒钟吃3厘米，小老鼠每秒钟吃2厘米．那么秒后，大老鼠和小老鼠第一次相距50厘米．8．小飞人和小飞侠同时从相距900千米的两地相向而行，小飞人每小时飞行80千米，小飞侠每小时飞行40千米，那么出发___________小时后两人第一次相距60千米.9．甲、乙两城相距440千米，从甲城开往乙城的客车每小时行驶40千米．客车出发1小时后，货车从乙城开往甲城，每小时行60千米．那么货车开出小时后两车相遇．10．花果园和高庄两地相距520千米，空空先从花果园出发，以每小时80千米的速度飞往高庄．2小时后戒戒以每小时40千米的速度从高庄飞往花果园．那么从空空出发到他们在途中相遇，一共经过了小时．课堂落实1．高高和萱萱从相距500米的A、B两地同时出发，相向而行．高高每秒钟走3米，萱萱每秒钟走2米．那么两人从出发到相遇需要___________秒．2．阿呆和阿瓜从A、B两地同时出发，相向而行，阿呆每分钟走80米，阿瓜每分钟走60米，5分钟两人相遇．那么A、B两地相距___________米．3．A、B两地相距500千米，小高和斯斯分别从A、B两地骑车同时出发，相向而行．小高的速度为每小时30千米，斯斯的速度为每小时20千米，那么出发___________小时后两人第一次相距150千米．4．甲、乙两车从相距460千米的两镇同时出发，相向而行．甲车每小时跑50千米，乙车每小时跑40千米，那么3小时后两车相距___________千米．5．大熊和二熊从相距46千米的两镇出发，相向而行．大熊每小时跑5千米，二熊每小时跑4千米，大熊出发2小时后二熊才出发，那么大熊走了___________小时后才和二熊相遇．第10讲路程问题二·参考答案例题练习题答案例1 【答案】5分钟【解析】甲、乙两人的速度和是每分钟走100米，路程和是500米，所以相遇时间是500÷100＝5（分）.练1 【答案】5分钟【解析】阿呆、阿瓜两人的速度和是每分钟走200米，路程和是1000米，所以相遇时间是1000÷200＝5（分）.例2 【答案】3小时【解析】两车第一次相距50千米，两车还没有相遇，两车行驶的路程和是350-50＝300（千米），两车的速度和是40+60＝100（千米/时），行驶时间是300÷100＝3（时）练2 【答案】3小时【解析】两车第一次相距100千米，两车还没有相遇，两车行驶的路程和是400﹣100＝300（千米），两车的速度和是40+60＝100（千米/时），行驶时间是300÷100＝3（时）.例3 【答案】50千米【解析】阿猪、阿猫的速度和是每小时跑10千米，5小时的路程和是10×5＝50（千米），所以还相距100-50＝50（千米）.练3 【答案】20千米【解析】大熊、二熊的速度和是每小时跑8千米，1小时的路程和就是8千米，2小时就是16千米，所以还相距36-16＝20（千米）.例4 【答案】5小时【解析】画行程图，如下图所示，甲汽车提前出发2小时所行驶的路程是30×2＝60（千米），剩下的路程是两辆汽车在相同时间内行驶的路程和，路程和是360-60＝300（千米），速度和是30+70＝100（千米/时），所以相遇时间是300÷100＝3（时），所以从甲车出发2+3＝5（时）后，两车相遇.练4 【答案】85分钟【解析】乌龟快快提前出发10分钟所行走的路程是4×10＝40（米），剩下的路程是两只乌龟在相同时间内行走的路程和，路程和是490-40＝450（米），速度和是4+2＝6（米/分），所以相遇时间是450÷6＝75（分），所以从乌龟快快出发75+10＝85（分）后，两只乌龟相遇.挑战极限1 【答案】35秒【解析】两只老鼠第二次相距40分米，两只老鼠已经相遇了，两只老鼠走的路程和是100+40＝140(分米)，两只老鼠的速度和是3+1＝4(分米/秒)，需要的时间是140÷4＝35（秒）.自我巩固答案1 【答案】7【解析】甲、乙两车的速度和是每小时走100千米，路程和是700千米，所以相遇时间是700÷100＝7（时）.2 【答案】4【解析】花羊羊和大灰狼的速度和是每分钟走120米，路程和是480米，所以相遇时间是480÷120＝4（分）.3 【答案】300【解析】甲、乙两车的速度和是每小时走100千米，3小时相遇，所以路程和是100×3＝300（千米）4 【答案】8【解析】小高和小宝的速度和是每小时跑14千米，8小时的路程和是14×8＝112（千米），所以还相距120-112＝8（千米）.5 【答案】170【解析】阿呆、阿瓜的速度和是每秒走3米，10秒的路程和就是30米，所以还相距200-30＝170（米）6 【答案】6【解析】两人第一次相距30千米，两人还没有相遇，两人飞行的路程和是750-30＝720（千米），两人的速度和是50+70＝120（千米/时），飞行时间是720÷120＝6（时）.7 【答案】10【解析】两只老鼠第一次相距50厘米，两只老鼠还没有相遇，两只老鼠吃的路程和是100-50＝50(厘米)，两只老鼠的速度和是3+2＝5（厘米/秒），吃的时间是50÷5＝10（秒）.8 【答案】7【解析】两人第一次相距60千米两人还没相遇，两人飞行的路程和是900-60＝840（千米），两人的速度和是80+40＝120（千米/时），飞行时间是840÷120＝7（时）.9 【答案】4【解析】画行程图，如下图所示，客车提前出发1小时所行驶的路程是40千米，剩下的路程是两车在相同时间内行驶的路程和，路程和是440-40＝400（千米），速度和是40+60＝100（千米/时），所以相遇时间是400÷100＝4（时），也就是货车出发4小时候两车相遇.10 【答案】5【解析】空空提前出发2小时所行驶的路程是80×2＝160（千米），剩下的路程是他们在相同时间内行驶的路程和，路程和是520﹣160＝360（千米），速度和是80+40＝120（千米/时），所以相遇时间是360÷120＝3（时），所以从空空出发2+3＝5（时）后，两人相遇.课堂落实答案1 【答案】1002 【答案】7003 【答案】74 【答案】1905 【答案】6。
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：10 行程(二) 提高篇(解析版)全国通用
第十讲 行程（二）在今天这节课中，我们来研究行程问题中的相遇与追及问题．这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解，使学生养成画图解决问题的好习惯！知识点：1、直线型的相遇与追及问题2、环形上的相遇与追及问题.分析：要求苍蝇飞行的路程，速度已知，关键是求出苍蝇所飞的时间.经过认真审题，不难发现苍蝇飞行的时间与小新、阿呆二人的相遇时间是相等的.这就是一道行程问题应用题.小新、阿呆二人相遇时间为：32÷（17+15）=1（小时），苍蝇的速度是24千米/时 ，所以，苍蝇飞行的总路程是：24×1=24（千米）.1. 甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？分析：出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离每小时都缩短6＋4＝10（千米），即两人的速度的和（简称速度和），所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇.30÷（6＋4）＝30÷10＝3（小时）.2. 甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？分析：出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时）. 你还记得吗教学目标想挑 战吗 ？小新和阿呆各骑一辆自行车从相距32千米的两个地方沿直线相向而行，在他们同时出发的那一瞬间，一辆自行车把上的一只苍蝇开始向另一辆自行车径直飞去，它一到达另一辆自行车的车把，就立即转向往回飞行，这只苍蝇如此在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到小新和阿呆相遇为止.如果小新每小时行驶17千米，阿呆每小时行驶15千米，苍蝇每小时飞行24千米，那么苍蝇总共飞行了多少千米？在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题. 甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么A,B 之间的路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=速度和×相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即t v S 和和=有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间=（甲的速度-乙的速度）×追及时间=速度差×追及时间.一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即t v S 差差=（一） 直线型的相遇问题：【例1】 大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？分析：专题精讲家到学校的距离=小头爸爸走过的路程+大头儿子走过的路程，注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式：t v S 和和=，所以大头儿子和小头爸爸的速度和为：3000÷50=60(米／分钟)，由小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，可得小头爸爸的速度：(60+24)÷2=42(米／分钟)，大头儿子的速度：60—42=18(米／分钟).[前铺]小新和正南同时从各自的家相对出发，正南每分钟走20米，小新骑着自己的脚踏车每分钟比阿呆快42米，经过20分钟后两人相遇，你知道小新和正南家的距离吗？分析：（方法1）由题意知小新的速度是：每分钟62米，两家的距离=正南走过的路程+小新走过的路程= 20×20+62×20=400+1240=1640（米），请教师画图帮助学生理解分析.注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式：t v S 和和=.对于刚刚学习奥数的孩子，注意引导他们认识、理解进而应用公式.（方法2）直接利用公式：t v S 和和==（20+62）×20=1640（米）.[拓展]南辕与北辙两位先生对于自己的目的地S 城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?分析：两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）.【例2】 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.分析：画一张示意图（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？）离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2÷（5-4）＝2（小时）.因此，甲、乙两地的距离是（5＋ 4）×2＝18（千米）.[巩固]夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距1100米，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，问两人在距两地中点多远处相遇?分析：根据题意，两人相遇时经过的时间为：1100÷（50+60）=10分钟，10分钟夏夏走了50×10=500（米），两地的中点距离夏夏的出发地距离为：1100÷2=550，所以两人相遇处距离两地中点550-500=50米远.【例3】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离．分析：画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A 、B 两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A 、B 两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A 、B 两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．[拓展]甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的A 地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？分析：教师注意帮助学生画图分析.从出发到甲、乙两列火车相遇，两列火车共同行驶了2个全程.已知甲比乙少行120千米，甲每小时比乙少行（70—60 =）10千米，120÷10 = 12（小时），说明相遇时，两辆车共同行驶了12小时.那么两辆车共同行驶1个全程需要6小时，东西两镇之间的路程是（60 + 70）×6 = 780（千米）[趣味数学]皮皮和琪琪乘车从城里到郊区去，琪琪对皮皮说：“我发觉每隔5分钟就有1辆迎面开来的客车和我们擦肩而过，如果两面对来的客车速度一样，在1小时有多少辆客车开到城里？”“那还用说，当然是12辆了，因为60除以5等于12.”皮皮说.但是琪琪不同意他的解答，认为是6辆.你知道他们谁正确吗？分析：当然是琪琪正确.假设皮皮他们所乘的客车从与第一辆对开的客车相遇A 点与到第二辆客车相遇B 点相隔5分钟，那么第二辆对开的客车要从B 点达到A 点好需要5分钟，也就是两辆对开的客车之间的时间间隔为10分钟，60÷10=6（辆）（二）直线型的追及问题【例4】 龟兔赛跑同时出发，全程7000米，乌龟以每分30米的速度爬行，兔子每分钟跑330米．兔子跑了10分钟就停下来睡觉，200分钟后醒来，立即以原速往前跑．当兔子追上乌龟时，他们离终点的距离是多少千米?分析：线段图如下：兔子追乌龟的追及路程差为：30×(10+200)-330×10=3000(米)，根据公式t v S 差差 兔子追上乌龟的追及时间为：3000÷(330-30)=10(分)，离终点的距离为：7000-330×(10+10)=400(米).小朋友，你知道谁先到达终点么？[拓展]军事演习中，“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？分析：“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.即（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟），所以，经过20分钟可开炮射击“敌”舰.【例5】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？分析：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）. 少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分.[前铺]小明步行上学，每分钟行70米.离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明？分析：爸爸要追及的路程：70×12=840（米）,爸爸与小明的速度差：280-70=210（米/分）,爸爸追及的时间：840÷210=4（分钟）.【例6】小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是多少？分析：小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为20÷5=4（米/秒）；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4×6=24（米），也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度.综合列式计算如下：小蓝的速度为：20÷5×6÷4=6（米/秒），小红的速度为：6+4=10（米/秒）（三）环形上的相遇与追及问题【例7】在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？分析：同向而跑，2分30秒相遇，这实质是快的追上慢的.起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大.接着，两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈.这就是所谓的追及问题，数量关系为：路程差÷速度差=追及时间，由题意，得知路程差为300米，追及时间为2分30秒，即150秒，因此两人速度差为300÷150＝2(米)背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和÷速度和=相遇时间，由题意，可以求得两人的速度和为300÷30＝10(米)有了两人的速度和与速度差，即可求得两人的速度：慢者：(10- 2)÷2＝4(米)，快者：10-4＝ 6(米)【例8】如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.分析：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是80×3＝240（米）.240-60=180（米）.180×2＝360（米）.[巩固]如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行.它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点处6厘米的D点，问，这个圆周的长是多少?分析：如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从A点出发的应爬行8×3=24(厘米)，比半个圆周多6厘米，半个圆周长为8×3—6=18(厘米)，一个圆周长就是：(8×3—6)×2=36(厘米)6cm 8cm第二次相遇第一次相遇BDC A【例9】幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？分析这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致.因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程.①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：200÷（6-4）=100（秒）②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6×100=600（米）③晶晶第一次被追上时所跑的路程：4×100=400（米）④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：（600×2）÷200=6（圈）⑤晶晶第2次被追上时所跑的圈数：（400×2）÷200=4（圈）【例10】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑. 甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？分析：在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长.这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度.环形道一周的长度：（250-200）×45=2250（米）.反向出发的相遇时间：2250÷（250+200）=5（分钟）.[巩固]小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是200米/分.（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？分析：（1）两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是500÷1-200=300（米/分）.（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：500÷（300-200）＝5（分）.300×5÷500＝3（圈）.专题展望本讲主要讲了行程问题中的相遇与追及问题，在四年级的寒假班我们会继续学习更复杂的行程问题，希望同学们再接再厉，加油！练习十1.孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空的速度是200千米／小时．猪八戒的速度是150千米／小时，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？分析：建议教师画线段图.我们可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路程：(200+150)×2=700(千米)，又因为还差500千米，所以花果山和高老庄之间的距离：700+500=1200(千米).2.（例3）客车和货车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时走80千米，货车每小时走64千米，两车相遇后，又以原来的速度继续前进，客车到乙站后立即返回，货车到甲站立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行384千米，甲、乙两站间的路程是多少千米？分析：384÷（80-64）= 24（小时），24÷3 = 8（小时），（80 + 64）×8 = 1152（千米）.3. （例5）哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?分析：追及路程为：40×5=200(米)，追及时间为：200÷(65-40)=8(分钟)，家距离学校的路程为：65×8=520(米)．4. （例7）一条环形跑道长400米，阿呆骑自行车每分钟骑450米，小新跑步每分钟250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？分析：400÷（450-250）=2（分钟）.5. （例10）小新和阿呆在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，阿呆每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第一次超过阿呆需要多少分钟？第三次超过阿呆需要多少分钟？分析：小新第一次超过阿呆是比阿呆多跑了一圈，根据t v S 差差 ，可知小新第一次超过阿呆需要：800÷（250-210）=20（分钟），第三次超过阿呆是比阿呆多跑了三圈，需要800×3÷（250-210）=60分钟.让偷盗者赛跑“你是抢劫犯!”“你才是抢劫犯呢!”“是怎么回事呀?”警察车良见前面有争论的，就对身边的田大凯说，“走!我们看看去.”当他们俩来到两个争论的人面前，他们仍争论得很厉害，无法区分是抢劫者.“这是怎么回事呀?”车良问.这时，一帮人簇拥着一个老太太过来，一个说：“还是你自己把事情告诉大家吧!” 原来，黄昏时分，老太太提着一个提包从一个胡同出来，突然窜出一个强盗，二话没说，把老太太的提包夺过来就跑.然后又有一个人马上追上去抓住了强盗.老太太也没有看清楚那个人是个什么样子.面对两个人同时出现她也说不清是哪个.“把他们送到警察局去处理吧!”有人提议. “到那里也没有法说清楚呀!，’有人说，“公说公有理，婆说婆有理.这怎么能断得清呀?”车良对吵吵嚷嚷的人大声说：“大家安静下来，这两个人就不用送警察局了.现在，我们就可把抢劫者定下来!到时候，我们会把他带走的!” “你们怎么定啊?”有人不理解地问. “这可不是开玩笑的呀!”有人在提醒. “请大家放心.”车良说，“我们是有办法的.我们让他们来一个百米冲刺，跑一跑就可以定下来.”车良对大凯说：“大凯，你到前面大约100米的地方计时，我到时候打一枪，你听到枪声数学故事就马上计时，把他们的百米跑成绩记下来.”然后，车良大声说：“大家听好，你们两个人也听好.”他用手指指了那两个“抢劫者”，“现在你们这两个人进行百米赛跑，通过赛跑我就可以断定哪一个是抢劫者.谁跑得快，谁就是好人!大家闪一闪.现在赛跑开始!预备!”“叭!”一声枪响，那两个人拼命地向前跑了起来.不一会儿，大凯押着那两个人来到了大家面前. “那个年轻人百米速度为12秒；那个老一点的人百米速度为15秒.”大凯指着他们说.车良对那个年轻人说：“谢谢你!你是一个正直的人.”田大凯对那个年老的人说：“你就是抢劫者，要受到应有的惩罚.走! 跟我们到警察局去!”说完，车良和田大凯押着那个人就走.“哎!奇怪，怎么跑一跑就能断出哪个是抢劫者呢?”人们议论着. “真是不可思议呀!”你明白这个道理了吗?这是因为当老太太的提包被抢了之后，过了一会儿才有一个人追赶，后来被追上的那人却说对方是强盗.从这里不难看出破绽，追抢劫者的人肯定要比抢劫者跑得快，否则后者不会追上前者.所以，让两个人进行百米赛跑测一下速度就行，就可以判断出谁是抢劫者.。
四年级下册奥数试题-第十课时 行程问题(二)无答案 全国通用
第十课时行程问题（二）【教学目标】1.概念：追及问题是指两个物体同向运动，后一个速度快的物体追前一个速度慢的物体的一种行程问题；2.追及问题的特点：两个物体在相同时间内所走的路程一个比另一个多；3.相关关系式：路程差÷速度差=追及时间。
【教学重点】追及类问题特点及解题方法。
【教学难点】理解追及类问题的特点，熟练运用相关公式解题。
【教学内容】【典型例题】例题1：货车和客车同时从东西两地相向而行，货车每小时行48千米，客车每小时行42千米，两车在距中点18千米处相遇。
东西两地相距多少千米？练习1：（1）甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时行18千米。
两人相遇时距全程中点3千米，求全程长多少千米。
（2）甲、乙两辆汽车同时从东西两城相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行56千米，两车在距中点16千米处相遇。
东西两城相距多少千米？（3）快车和慢车同时从南北两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时后，快车已驶过中点25千米，这时慢车还相距7千米。
慢车每小时行多少千米？例题2：甲、乙两人分别从相距24千米的两地同时向东而行，甲骑自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米，几小时后甲可以追上乙？练习2：（1）甲、乙两人同时从相距36千米的A、B两城同向而行，乙在前甲在后，甲每小时行15千米，乙每小时行6千米，几小时后甲可追上乙？（2）解放军某部队从营地出发，以每小时6千米的速度向目的地前进，8小时后部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时54千米的速度前去联络。
多长时间后，通讯员能赶上队伍？（3）小华和小亮的家相距380米，两人同时从家中出发，在同一条笔直的路上行走，小华每分钟走65米，小亮每分钟走55米。
3分钟后两人可能相距多少米？例题3：甲、乙两人沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米，乙每分钟跑270米，跑道一圈长400米。
如果两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时间才能第一次追上乙？练习3：（1）一条环形跑道长400米，小强每分钟跑300米，小星每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多长时间小强第一次追上小星？（2）光明小学有一条长200米长的环形跑道，亮亮和晶晶同时从起跑线起跑。
七年级数学培优竞赛讲座第10讲--列方程解应用题——有趣的行程问题
第十讲 列方程解应用题——有趣的行程问题数学是一门具有广泛应用性的科学，我国著名数学家华罗庚先生曾说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”．数学应用题的类型很多，比较简单的是方程应用题，又以一元一次方程应用题最为基础，方程应用题种类繁多，以行程问题最为有趣而又多变．行程问题的三要素是：距离(s)、速度(v)、时间(t)，行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧．例题【例1】 某人乘船由A 地顺流而下到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若A 、C 两地的距离为10千米，则A 、B 两地的距离为 千米． (重庆市竞赛题)思路点拨 等量关系明显，关键是考虑C 地所处的位置．注： 列方程的方法为解应用题提供—般的解题步骤和规范的计算方法，使问题“化难为易”，充分显示了字母代数的优越性，它是算术方法解应用题在字母代数础上的发展．【例2】 如图，某人沿着边长为90米的正方形，按A →B →C →D →A …方向，甲从A 以65米／分的速度，乙从B 以72米／分的速度行走，当乙第一次迫上甲时在正方形的( )．A ．AB 边上 B ．DA 边上C ．BC 边上D ．CD 边上 (安徽省竞赛题)思路点拨:本例是一个特殊的环形的追及问题，注意甲实际在乙的前面3×90=270(米)处．【例3】 父亲和儿子在100米的跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲能跑6步，儿子跑?步的距离与父亲跑4步的距离相等．现在儿子站在100米的中点处，父亲站在100米跑道的起点处同时开始跑．问父亲能否在100米的终点处超过儿子?并说明理由．(重庆市竞赛题)思路点拨 把问题转化为追及问题，即比较父亲追上儿子时，儿子跑的路程与50的大小，为了理顺步长、路程的关系，需增设未知数，这是解题的关键．【例4】 钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分? (湖北省数学竞赛选拔赛试题)思路点拨 先画钟表示意图，运用秒针分别与时针、分针所成的角相等建立等量关系，关键是要熟悉与钟表相关的知识．注： 明确要求将数学开放性问题作为考试的试题，是近一二年的事情，开放题是相对于常规的封闭题而言，封闭题往往条件充分，结论确定，而开放题常常是条件不充分或结论不确定，思维多向．解钟表上的行程问题，常用到以下知识：(1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如与角度联系起来，每一小格对应6°；(2)分针走一周，时针走121周，即分针的速度是时针速度的12倍．【例5】 七年级93个同学在4位老师的带领下准备到离学校32千米处的某地进行社会调查，可是只有一辆能坐25人的汽车．为了让大家尽快地到达目的地，决定采用步行与乘车相结合的办法。
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第 十 讲 行 程 问 题 二
【典型例题】
1、一只老鼠沿着长方形的A →B →C 的方向逃跑，同时，一只猫也从A 点出发沿着A →D →C 的方向追捕老鼠，结果在BC 边上的E 点捉住老鼠，已知老鼠的速度是猫的1411
，而且CE 长6米，求长方形的周长？
2、快慢两车同时从甲乙两地相对开出6小时后，快与距乙地还有全程的5
1
，慢车距甲地还有13千米，
已知快车比慢车每小时多行10千米，甲乙两地的路程是多少？
3、赵赵、颜颜两人进行百米赛跑，当赵赵到达终点时，颜颜在赵赵后面20米处，如果两人各自速度不变，要使赵赵、颜颜两人同时到达终点，赵赵的起跑线应比原起跑线后移多少米？
4、一位同学在360米长的直跑道上跑步，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑千米，求他后一半路程用了多少时间？
E
【课堂小测】
1．甲乙两只蚂蚁同时从A 点出发，沿长方形的边爬行，结果在距B 点2厘米的C 点相遇，已知蚂蚁的速度是甲的1.2倍，求这个长方形的周长？
2．客车和货车同时从A 、B 两地相对而行，3小时后客车行了全程的4
3，货车超过中点33千米，已知货车
每小时比客车慢11千米，求AB 两地的距离．
4．狮子、老虎进行1000米赛跑，狮子离终点还有200米的时候,老虎离终点还有400米,如果它们的速度不变,当狮子到达终点时，老虎离终点还有多少米？
5．小明在420米的直道上跑，前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米，求他后一半路程用了多少时间？
【课后作业】 家长签字： 用时: 分钟后
1．客车和货车同时从甲乙两地相对而行，6小时后客车距乙地的路程是全程的12.5%，货车超过中点54千米，已知货车每小时比客车慢15千米，求甲、乙两地间的距离．
2．老虎和狐狸二人放学回家，都要走20分钟，但老虎回家的路比狐狸多4
1,又知狐狸比老虎每分钟少走
10米，求老虎家离校多少米？
3．东东、酱油、老黄牛三人匀速进行自行车赛跑，当东东到达终点时，酱油距终点还有20米，老黄牛距离终点还有28米，当酱油到达终点时老黄牛距终点还有多少米？
4．两只小虫同时从A 出发，沿长方形的边爬行，结果距B 点4厘米的C 点相遇，已知甲虫的速度是乙虫的1.1倍，求这个长方形的周长？
A 甲
B
C 乙
乙
甲
A。