厦门大学2010级高等数学期末试卷A解答
大一上学期高数期末考试试题(五套)详解答案
2010级高等数学(上)A 解答一、填空题：(每题3分，共18分)(请将正确答案填入下表，否则不给分)1．已知极限01lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+∞→b ax x x x ，则常数b a ,的值分别是(空1)。
解：0x b a 1x x lim b ax 1x x x 1lim x 2x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ ⇒1-a=0⇒a=1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→∞→x 1x x lim ax 1x x lim b 2x 2x 1x111lim 1x x lim 1x x x x lim x x 22x -=+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∞→∞→∞→ 或：01x b x )b a (x )a 1(lim b ax 1x x lim 2x 2x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ 所以1-a=0,a+b=0⇒a=1,b=-1。
或：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→1x 1b ax 1x 1x lim b ax 1x x lim 2x 2x 01x 1)b 1(x )a 1(lim 1x 1b ax 1x lim x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++---=∞→∞→ 所以1-a=0,1+b=0⇒a=1,b=-1。
2．函数xx x x x f 323)(23---=的第一类间断点是(空2)。
解：f(x)在x=3,0,-1处无定义，是间断点。
121)3x )(1x (x 3x lim x 3x 2x 3x lim)x (f lim 3x 233x 3x =-+-=---=→→→，x=3是第一类间断点。
∞=---=-→-→x3x 2x 3x lim)x (f lim 231x 1xx=-1是第二类间断点。
∞=---=→→x3x 2x 3x lim)x (f lim 230x 0xx=0是第二类间断点。
3．设函数)(x f 可导，)(1)(2x f x g +=，则)('x g ＝(空3)。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
五、设函数由方程确定，求。
（8分）六、若有界可积函数满足关系式，求。
（8分）七、求下列各不定积分（每题6分，共12分）（1）.八、设求定积分。
(6分)九、讨论函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标。
(10分）十、求方程的通解（6分）十一、求证：。
（5分)第一学期高等数学（上）（A）卷分标准题3分，共15分）2。
B 3。
D 4.B 5。
D分，共18分）为任意常数）,4. 2 ，5。
6。
分………………………………………..6分分解：………………3分 (6) (8)导 (3)数)…………6分分解：（1）。
……。
.3分…………………….6分分分=……………6分时有极大值2，有极小值. 在上是凸的，在上是凹的，拐点为(0，0）………10分十、解； (3)设方程（1）的解为代入(1）得………5分 (6)十一、证明：令………………1 分又…。
3分的图形是凸的,由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。
，所以………….5分。
（2010至2011学年第一学期）一、单项选择题（15分，每小题3分）1、当时，下列函数为无穷小量的是（）（A）（B) （C）（D)2．函数在点处连续是函数在该点可导的( ）(A）必要条件(B）充分条件（C)充要条件(D）既非充分也非必要条件3．设在内单增，则在内( ）（A）无驻点（B）无拐点（C）无极值点（D)4．设在内连续,且,则至少存在一点使（）成立。
（A) （B)（C) （D）5．广义积分当（）时收敛。
(A) （B）（C）（D)二、填空题（15分,每小题3分)1、若当时,，则；2、设由方程所确定的隐函数，则；3、函数在区间单减;在区间单增；4、若在处取得极值，则；5、若，则；三、计算下列极限。
（12分,每小题6分）1、2、四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、，求2、，求五、计算下列积分（18分，每小题6分）1、2、3、设，计算六、讨论函数的连续性，若有间断点,指出其类型. （7分）七、证明不等式:当时，（7分)八、求由曲线所围图形的面积。
2010级高数二期末A解答(少学时)
2010级高等数学（二）期末试题解答及评分标准A（本科少学时）一、选择题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）1．22ln(23)4arccos(56)z x y x y =+++的定义域为（ D ）.Ａ．{(,)230}x y x y +>； Ｂ．22{(,)230561}x y x y x y +>+≤或； Ｃ．22{(,)561}x y x y +≤； Ｄ．22{(,)230561}x y x y x y +>+≤且.2．微分方程2220d yy dxω+=（ω是常数）的通解是函数（ Ｂ ）.Ａ．x y ωcos =； Ｂ．x C x C y ωωsin cos 21+=； Ｃ．x C ωsin 1； Ｄ．()ϕ+=x y 10sin .3．设有命题I ：函数(,)z f x y =在00(,)x y 处连续，另有命题II ：函数(,)z f x y =在00(,)x y 处的两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在，可以断定I 是II 的（ C ）.Ａ．充分条件 ； Ｂ．必要条件 ； Ｃ．既非充分也非必要条件 ； Ｄ．充分且必要条件.4．设区域D 由y x =、0y =及1x =所围城，令1DI d σ=⎰⎰、2DI xd σ=⎰⎰、23DI x d σ=⎰⎰、4DI xyd σ=⎰⎰，则1I 、2I 、3I 、4I 中值最大的是（ Ａ ）.Ａ．1I ； Ｂ．2I ； Ｃ．3I ； Ｄ．4I .5．设有三元方程1ln =+-xz e y z xy ，根据隐函数存在定理，存在点)1,1,0(的一个邻域，在此邻域内该方程（ D ）.A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数),(y x z z =；B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(y x z z =；C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z x y y =和),(y x z z =；D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(z x y y = .二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）6．设22),(y x xy y x f -=+，则(,)f x y =y y y +-1)1(2 .7．设f 具有一阶连续偏导数(1)z f ≠，且(,,)z f x y z =，则dz =1x y zf dx f dy f +- .8.幂级数11(1)n n nn -∞=-∑的收敛域是11(,]22-（含端点敛散性）.9．设区域D 为环形域：2214x y ≤+≤，则22()Dx y d σ+=⎰⎰152π . 10．函数)ln(22z y x u ++=在点A )1,0,1(处沿点A 指向点B )2,2,3(-的方向导数为21.三、试解下列各题（本大题6个小题，每小题8分，共48分）11．求极限011cos()lim sin x y xy x xy →→-.解 200111()1cos()2lim lim sin x x y y xy xy x xy x xy →→→→-=⋅ （5分）12=. （8分） 12. 设sin 2arctan()z xy x y =+-，求(0,1)x z 和(0,1)y z .解 212cos 21()x z y xy x y =++-，5(0,1)2x z = （4分） 同理212cos 21()y z x xy x y =-+-，1(0,1)2yz =-. （8分） 13. 写出级数234234232432234ππππ⋅⋅⋅++++ 的通项，并判定其敛散性. 解 !nn n n u nπ= （3分）因为1lim1n n nu u e π+→∞=>，所以级数发散. （8分）14. 设f 具有二阶连续偏导数，且),(y xy f z =，求22z x∂∂，2z x y ∂∂∂.解 由于//11()z f xy yf x x∂∂=⋅=∂∂， （3分） 故//112/122)(f y f x y x z =∂∂=∂∂ （6分）//12//11/1//12//11/1/12)()(yf xyf f f xy y f y f yf y y x z ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂⋅+=∂∂=∂∂∂（8分）15. 计算Dxdxdy ⎰⎰，其中D 由1xy =、y x =、2x =所围成.解 211xxDxdxdy dx xdy =⎰⎰⎰⎰ （4分）43=. （8分） 16. 已知向量a 、b 、c两两垂直，且1a = ，2b = ，3c = ，求a b c ++ .解 因为a 、b 、c两两垂直，所以0a b b c a c ⋅=⋅=⋅=（3分） 又2()()a b c a b c a b c ++=++⋅++2()a a b b c c a b b c a c =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅22214a b c =++= （7分）从而a b c ++=（8分）四、试解下列各题（本大题2个小题，每小题6分，共12分）17.求函数22(,)8006004000033f x y x y x xy y =+----的极值点，并判定取得极大值还是极小值.解 8006x L x y =--，6006y L y x =--联立0x y L L ==得 120,80x y == （3分） 又在该点处6,1,6xx xy yy A L B L C L ==-==-==-20,0AC B A -><，故在该点处取得极大值. （6分）18. 设平面图形由抛物线)0(,2>-=a x ax y 及直线1,0,0===x x y 所围成，试确定a 的值,使此平面图形的面积最小.解曲线2y a xx =-与0y =的交点为1(0,0),(,0)a，故有所围面积为120()||A a ax x dx =-⎰112210()()a ax ax dx ax x dx =-+-⎰⎰（3分）令)()(1110112102/⎰⎰⎰⎰-++-=aa a a xdx xdx dx x a dx x a da d a A 031323=+-=a , 解得唯一驻点02)(,24//3>==aa A a 且,故当32=a 时所围成的平面图形面积最小. （6分）五、证明题（本大题2个小题，每小题5分，共10分）19．设(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，证明：在D 上至少有一点(,)ξη，使：(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰.证明 因为(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，所以(,)f x y 在有界闭区域D 上有最大值M 和最小值m ，即：(,)m f x y M ≤≤，从而 (,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰，(,)Df x y d m M σσ≤≤⎰⎰ （3分）根据介值定理，在D 上至少有一点(,)ξη，使得：(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰即：(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰ . （5分）20．设)(22y x f y z -=，其中)(u f 为可导函数，验证211y zy z y x z x =∂∂+∂∂. 证明 由于)(u f 可导，故/22z xyf x f ∂=-∂, /2/22(2)2z f yf y f y f y f f ∂-⋅-+==∂ （3分） 从而 22/22/2211yzyf f y f f yf y z y x z x =++-=∂∂+∂∂. （5分）。
2010年福建普通高等学校招生全国统一考试数学(理)解析版
2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）（数学理）解析版第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A.122【答案】A【解析】原式=1sin (43-13)=sin 30=2，故选A 。
【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。
2、以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A.22x +y +2x=0 B. 22x +y +x=0 C. 22x +y -x=0 D. 22x +y -2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。
3、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =， 所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。
4、函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( )A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。
厦门大学10-11学年第二学期《高等代数》半期考试卷参考答案
a ¹ 0 。必
2
1011 学年第二学期厦门大学《高等代数》期中试卷参考答案
3) 设 f ( x ) = x + 4 x + 5 x + 3 ， 则____是以 f ( x ) 的根的倒数为根的四次多项式。 3 x + 5 x + 4 x + 1 （不唯一，可相差非零常数倍）
且 p( x) | f ( x ) g ( x ) ，证明： p( x) | f ( x ) 且 p( x) | g ( x ) 。 证明：因 p( x ) 是数域 K 上的不可约多项式且 p( x) | f ( x ) g ( x ) ，所以 p( x) | f ( x ) 或者 p( x) | g ( x ) 。若
① x 2 + p （其中 p 是素数） ； A) 3，1； C) 2，1； 3)
设 f ( x ) 是数域 K 上的非零多项式， p( x ) 是 K 上不可约多项式。如果存在复数 c ，使得
f (c ) = p (c) = 0 ，则____。B
A) f ( x) | p ( x ) ； C) f ( x) = p( x) ； 4) B) p( x) | f ( x ) ； D) f ( x) = ap( x )( a ¹ 0) 。
厦门大学《高等代数》课程试卷
数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业
1011 学年第二学期厦门大学《高等代数》期中试卷参考答案
主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型： （A 卷）
2011.3.31
一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）
1) 设 ( f ( x ), g ( x )) = 1 ， ( f ( x ), h( x )) = 1 ，则____未必互素。D B) f ( x ) 与 f ( x ) + g 2 ( x ) ； D) f ( x ) 与 g ( x ) + h( x) 。
2010-11-1高等数学试题答案及评分标准(A卷)
2010-11-1高等数学（A ）期末考试试题答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、[0,14]2、1y ex =+3、21,1x y y y ='==4、3223x x C -+ 5、2()b a x x dx πϕ⎰ 二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分)1、D2、C3、A4、D5、C三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)1、解：原式=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪→lim ()x a x x a x a x a x a 222222=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪→lim x a x x a 1=-a a 12……………每步2分 2、解：x x xdx x xdx sin cos sin ⎰⎰=122[]⎰⎰--=-=xdx x x x xd 2cos 2cos 41)2(cos 41 11cos 2sin 248x x x c =-++ ………………………………每步2分 3、解：原式=-⎰()t dt 149=-()233249t t 233=……………………………………每步2分 四、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分)1、解：(),()1,(1)0f x f x x f ==因具有连续一阶导数即在处连续又，即20,(sin cos )0,tan ~x f x x x x →+→时………………………………………………………2分 2200(sin cos )(sin cos )(sin 2sin )lim lim tan 2x x f x x f x x x x x x→→'++-=则……………………………………5分 ='+-→122102lim (sin cos )(cos )x f x x x ……………………………………………………7分 ='⋅=12111f ()…………………………………………………………………………8分 2、解：24,(0)4,(3) 2.y x y y '''=-=-=在(0,3)43y x =-+点处切线为，(3,0)在点处切线为 26,y x =- 令4326x x -+=-，有交点3.2x =……5分 故 32323220(4343)(4326)S x x x dx x x x dx =-++-+-+-+⎰⎰………7分 =+-+=x x x 303233399432().……………8分 3、解：()101 ，p q ==…………………………………………………………………2分()20 p q ==……………………………………………………………………4分25522555(3)lim(5)0,lim(45)25550,15555lim lim 55lim(1)511x x x x x x px x p q q p px qx px px x x x px p →→→→→-=++=++==--++--+=--=-=-= 由知得：而 …7分于是：，p q ==--=-25123…………………………………………………8分 五、证明下列各题(本大题共2小题，每小题6分，总计12分) 1、证：'=++''=-++y e x x y e x x x x (sin cos )(sin cos )21422321442…………………………………………………4分 11525(3sin 24cos 22sin 24cos 25sin 2)424x x y y y e x x x x x e '''++=-++---++=…………6分 2、证：设 于，内连续f x x x ()arctan ()=--∞+∞……………………………………1分 '=-+=+>≠f x x x xx ()()111100222 ，故在，内单调增()()-∞+∞f x ……4分 而 即是方程的一个实根且是唯一的实根f x ()000==………………………………6分六、解答下列各题(本大题共1小题，总计6分) 解：512512,,2(0)x L x x x x=+>设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 ………2分 '=-=L xx 2512162 唯一驻点 ''=>=L xx 10240163 即为极小值点 ……………………4分 51216,32,16=故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省。
厦门大学《高等数学(AC)》经管类(A卷)期末试卷及答案
一、解下列各题 （每小题6分，共42分）1、 220limarctan xt x x e dtx x-→-⎰. 2、设函数()f x 连续，且31()x f t dt x -=⎰，求(7)f .3、设(cos )ln(sin )f x dx x c '=+⎰，求()f x .4、已知点()3,4为曲线2y a =a , b .5、求函数2()2ln f x x x =-的单调区间与极值.6、设函数21()cos x f x x⎧+=⎨⎩0,0.x x ≤> 求2(1)f x dx -⎰.7、求曲线3330x y xy +-=的斜渐近线.二、计算下列积分（每小题6分，共36分）1、31sin cos dx x x ⎰.2、.3、523(23)x dx x +⎰.4、41cos 2xdx x π+⎰. 5、312⎰ 6、2220x x edx +∞-⎰，其中12⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭.三、应用题（每小题6分，共12分）1、 假设在某个产品的制造过程中，次品数y 是日产量x 的函数为： 2100,102100.x x y xxx ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩并且生产出的合格品都能售出。
如果售出一件合格品可盈利A 元，但出一件次品就要损失3A元。
为获得最大利润，日产量应为多少？ 2、设函数()f x 连续，(1)0f =，且满足方程1()()xf x xe f xt dt -=+⎰，求()f x 及()f x 在[]1,3上的最大值与最小值.四、证明题（每小题5分，共10分）1、当0x >时，证明：(1ln x x +>2、设函数)(x f 在[],a b 上连续，()0f x ≥且不恒为零，证明()baf x dx ⎰0>.一、解下列各题 （每小题6分，共42分）1、解：2220023200011lim lim lim arctan 33xxt t x x x x x e dtx e dte x x x x ---→→→---===⎰⎰ 2、 解：两边求导有233(1)1xf x -=，令2x =，得1(7)12f =。
2010年福建普通高等学校招生全国统一考试数学(理)解析版
2019年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）（数学理）解析版第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A.12B.3C.2D. 2【答案】A【解析】原式=1sin (43-13)=sin 30=2，故选A 。
【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。
2．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A.22x +y +2x=0 B. 22x +y +x=0 C. 22x +y -x=0 D. 22x +y -2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =， 所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。
4．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( )A.0B.1C.2D.3 【答案】C【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。
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1. (5分) 若函数22t 02(e 1)d , 0() 0,0x t x f x x x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰ 求(0).f ' 解 22t 0300(e 1)d ()(0)(0)lim lim x x x t f x f f x x →→--'==⎰ 44200(e 1)22lim lim 033x x x x x x x→→-⋅===. 2. (5分) 设()d arcsin xf x x x C =+⎰,求d .()xf x ⎰解 对()d arcsin xf x x x C =+⎰两边求导，得2()1xf x x=-，即2()1f x x x=-.故 22223d 111d 1d(1)(1).()23x x x x x x x C f x =-=---=-⎰⎰ 3. (10分) 设0<1()21<20<02xx f x xx x x ≤⎧⎪=-≤⎨⎪≥⎩或，求0()=()d xF x f t t ⎰.解 当0x <时，00()=()d 0d 0xxF x f t t t ==⎰⎰；当01x ≤≤时，201()=()d d 2xxF x f t t t t x ==⎰⎰；当12x ≤≤时，110101()=()d ()d d (2)d x xF x f t t f t t t t t t +=+-⎰⎰⎰⎰2221111131(2)(2)21222222xt t x x x x =+-=+--=--；当2x ≥时，212201211113()=d (2)d 0d (2)212222xF x t t t t t t t +-+=+-=+-=⎰⎰⎰.厦门大学《高等数学》课程期末试卷学院 系 2010年级 专业主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）于是，220,01,012()=121,1221, 2.x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪≤≤⎪⎨⎪--≤≤⎪⎪≥⎩4. (10分) 设tan d nn I x x =⎰，求证：121tan 1n n n I x I n --=--，并求55tan d I x x =⎰. 证明：当2n ≥时，222121tan d tan d tan sec d tan 1n n n n n n I I x x x x x x x x C n ----+=+==+-⎰⎰⎰，故 121tan 1n n n I x I n --=--. 于是， 442531111tan tan (tan )442I x I x x I =-=-- 4211tan tan tan d 42x x x x =-+⎰ 4211tan tan ln cos .42x x x C =--+5．计算下面的积分（每小题5分，共4题20分）(1)41x ⎰； (2)40d 1+cos2x xx π⎰； (3) +3022arctan d (1)x x x ∞+⎰; （4）222111[]d ln (1)x x x x --⎰. 解 （1）44111π22arctan 2.1+2x x ===-⎰⎰ （2）ππ4ππ4π44200000d 11π1d d tan tan ln cos ln 2.1+cos22cos 22284x x x x x x x x x x x =⋅==+=-⎰⎰⎰ （3）令tan x t =，πππ+22223300022arctan πd sec d cos d (sin cos ) 1.sec 2(1)x t x t t t t t t t t t x ∞=⋅==+=-+⎰⎰⎰ （4）22221011111[]d lim ln (1)ln 1x x x x x x εε+→+⎡⎤-=-+⎢⎥--⎣⎦⎰001111ln(1)1lim 1lim ln 2ln(1)ln 2ln(1)εεεεεεεε++→→⎡⎤+-=-+--+=-+-⎢⎥++⎣⎦201ln(1)1lim ln 2εεεε+→+-=-+- 011311lim ln 22ln 22εεεε+→-+=-+-=-+. 6. (10分)设()f u 是连续函数，求2sin ()=(e )d x x x F x xf t t ⎰关于x 的导数。
解 令e xu t =，则22e e sin e sin e ()()e d e()d xx xxx x x xx x F x xf u u x f u u --⋅⋅==⎰⎰，于是，2e 22sin e ()(1)e ()d e [(2)e (e )(cos sin )e (e sin )]x xx xx x x x x x F x x f u u x x x f x x x f x --⋅'=-+⋅+-+⎰ 2e 322sin e (1)e()d (2)(e )(cos sin )(e sin )x xx xx x x x f u u x x f x x x x f x -⋅=-++-+⎰7．(10分)设()g x 为正值连续函数，令()||()(0)aa f x x t g t dt a -=-≥⎰，,判别()f x 的图形在[,]a a -上的凹凸性。
解 ()()()d ()()d x aa x f x x t g t t t x g t t -=-+-⎰⎰()d ()d ()d ()d xxaaaaxxx g t t tg t t tg t t x g t t --=-+-⎰⎰⎰⎰，则 ()()d ()()()()d ()()d ()d x a x xa x a a f x g t t xg x xg x xg x g t t xg x g t t g t t --'=+---+=+⎰⎰⎰⎰()2()0f x g x ''=>.所以，函数()f x 在[,]a a -上是凸的.8. (10分) 证明当0x ≥时，有1ln(x x ++>.证明设()1ln(f x x x =++-()ln(ln(0f x x x '=++-=+>， 于是，当0x >时，()(0)0f x f >=，即1ln(x x ++>.9．(10分)曲线1ln(1)x y e x=++的渐近线有几条？请给出您的结论。
解 1lim lim[ln(1)]0x x x y e x→-∞→-∞=++=，所以，0y =是曲线1ln(1)xy e x=++的水平渐近线； 001lim lim[ln(1)]xx x y e x →→=++=∞，故0x =为曲线1ln(1)x y e x=++的铅直渐近线。
2e ln(1e )1ln(1e )ln(1e )11e lim lim lim lim 222xxx x x x x x x x y x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++⋅++++===+ e 11e lim 122xx x →+∞+=+=； 11e lim ()lim[ln(1e )]lim ln 0ex xx x x x y x x x →+∞→+∞→+∞+-=++-==. 所以，曲线1ln(1)x y e x=++的渐近线有三条，分别是0y =，0x =，y x =. 10．(10分)设在[1,)+∞上处处有()0f x ''≤，且(1)2,(1)3f f '==-，证明在(1,)+∞内方程()0f x =仅有一个实根。
解 当1x >时，21()()(1)(1)(1)(1)23(1)132!f f x f f x x x x ξ'''=+-+-≤--=-，1(1,)x ξ∈. 因此，(2)1650f ≤-=-<，因此，()0f x =在(1,2)内至少存在一个实根. 又当1x >时，2()()(1)(1)(1)302!f f x f x f ξ'''''=+-≤=-<， 因此，()f x 在(1,)+∞上单调减少，因此，()0f x =在(1,)+∞内至多一个实根. 故在(1,)+∞内方程()0f x =仅有一个实根.11. 附加题(10分)设函数()()f x g x ，在[,]a b 上连续。
证明：存在一点()a b ξ∈,，使得()()d ()()d baf g x x g f x x ξξξξ=⎰⎰证：令t t()()d ()d ,t [,]a b F t g x x f x x a b =⋅∈⎰⎰，由题设条件知()F t 在[,]a b 上连续，在()a b ,内可导，又 ()()d ()d 0aaabF a g x x f x x =⋅=⎰⎰，()()d ()d 0bbabF b g x x f x x =⋅=⎰⎰所以()F t 在[,]a b 上满足罗尔定理，故至少存在一点()a b ξ∈,，使得()0F ξ'=，()()()d ()()d 0abF f g x x g f x x ξξξξξ'=+=⎰⎰，即 ()()d ()()d baf g x x g f x x ξξξξ=⎰⎰ 证毕.。