天津市河西区2019届高三总复习质量检测(一)数学理
2019届天津市河西区高三下学期一模考试数学试卷(理工类)附解析
2019届天津市河西区高三下学期一模考试数学试卷（理工类）附解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+·如果事件A ，B 相互独立，那么 )()()(B P A P AB P ⋅=·柱体的体积公式Sh V=·锥体的体积公式Sh V31=其中S 表示柱（锥）体的底面面积 h 表示柱（锥）体的高一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则()R C S T =（A ）(2,1]- （B ）]4,(--∞ （C ）]1,(-∞（D ）),1[+∞（2）若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值是（A ）5-2（B ）0（C ）53（D ）52（3）某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是（A ）59 （B ）116 （C ）137（D ）158（4）设x ∈R ，则“|1|1x +<”是“112x -<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）设3log a e =, 1.5b e =，131log 4c =，则 （A ）c a b << （B ）b a c <<（C ）a b c << （D ）b c a <<（6）以下关于()x x x f 2cos 2sin -=的命题，正确的是（A ）函数()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛32,0π上单调递增 （B ）直线8π=x 是函数()x f y =图象的一条对称轴（C ）点⎪⎭⎫⎝⎛0,4π是函数()x f y =图象的的一个对称中心 （D ）将函数()x f y =图象向左平移8π个单位，可得到x y 2sin 2=的图（第3题图）象（7）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（A ）19（B ）125（C ）15（D ）13（8）如图梯形ABCD ，CD AB //且5AB =,24AD DC ==，E 在线段 BC 上，0AC BD ⋅=，则AE DE ⋅的最小值为（A ）1315 （B ）1395 （C ）15 （D ）1315-（第8题图)河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数 学 试 卷（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019届天津市河西区高三一模数学(理)试题(解析版)
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵集合 ，
∴ ，
，
故
故选C.
2．双曲线 的焦点到其渐近线的距离为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据双曲线的方程得到焦点为 ，渐近线为： ，根据点到直线的距离得到焦点到渐近线的距离为
18．已知数列 的前n项和 ， 是等差数列，且 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 .求数列 的前n项和 .
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）
【解析】试题分析：（1）先由公式 求出数列 的通项公式；进而列方程组求数列 的首项与公差，得数列 的通项公式；（2）由（1）可得 ，再利用“错位相减法”求数列 的前 项和 .
因此 ，设
所以
当 时， 最小值为 选B.
【点睛】
以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
二、填空题
9． 是虚数单位，若复数 满足 ，则 ______________.
【答案】 .
17．如图，已知四边形 的直角梯形， , ， ， 为线段 的中点， 平面 ， ， 为线段 上一点（ 不与端点重合）.
（Ⅰ）若 ，
（i）求证： 平面 ；
（ii）求直线 与平面 所成的角的大小；
（Ⅱ）否存在实数 满足 ，使得平面 与平面 所成的锐角为 ，若存在，确定 的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）（i）见解析（ii） （Ⅱ）
【考点】椭圆的定义及标准方程；椭圆的几何性质.
天津市河西区2019届高三第一学期期末质量调查数学(理科)试题(解析版)
2018-2019学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，或，所以，故选D.考点：集合的运算2.已知变量x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为（）A. B. 1 C. 3 D. 0【答案】B【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x﹣2y对应的直线进行平移，可得当x＝1，y＝0时，z取得最大值1．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，1），B（2，1），C（1，0）设z＝F（x，y）＝x﹣2y，将直线l：z＝x﹣2y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z＝F（1，0）＝1最大值故选：B．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x﹣2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3.设为向量，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用向量的数量积公式推断与的充分必要关系.【详解】∵若向量一个或都为零向量，显然成立；若，，则，若，则，从而，是的充要条件．故选C.【点睛】要证明p是q的充要条件，要分别从p和，两个方面验证。
4. 某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题意可知该三视图的几何体表示的为三棱柱，且棱柱的高为2，底面为直角三角形，两直角边分别为1和2，根据底面积乘以高可知体积为v=，故可知答案为A.考点：三视图点评：主要是考查根据三视图还原几何体，来求解几何体的体积，属于基础题。
5.直线截圆所得劣弧所对的圆心角是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：圆的圆心到直线的距离，圆的半径，所以弦长与两半径围成的三角形是等腰三角形，一底角为，所以顶角为，即劣弧所对的圆心角是考点：直线与圆相交问题点评：直线与圆相交时圆的半径，圆心到直线的距离，弦长的一半构成的直角三角形三边关系是常用的知识点6.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设双曲线方程为，求出椭圆的焦点和顶点即可求得双曲线方程中的a、b.【详解】设双曲线为，由椭圆得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．∴a＝1，c＝2，∴b2＝c2﹣a2＝3．∴双曲线为．故选：B．【点睛】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．7.函数是A. 奇函数且在上单调递增B. 奇函数且在上单调递增C. 偶函数且在上单调递增D. 偶函数且在上单调递增【答案】C【解析】试题分析：函数化简得，所以函数是偶函数，当时，是减函数，排除C项，所以选D考点：三角函数性质点评：本题考查到了三角函数奇偶性单调性，判断奇偶性的前提条件是看定义域是否对称，若不对称则为非奇非偶函数，三角函数中是奇函数，是偶函数8.已知函数，且存在不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1•x2•x3的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出y＝f（x）的函数图象，设x1＜x2＜x3，f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，求得x1，x2，x3，构造函数g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围．【详解】函数的图象如图所示：设x1＜x2＜x3，又当x∈[2，+∞）时，f（x）＝2x﹣2是增函数，当x＝3时，f（x）＝2，设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，即有﹣x12+2x1+1＝﹣x22+2x2+1＝t，故x1x2x3＝（1）（1）（2+log2t）＝（t﹣1）（2+log2t），由g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，可得g′（t）＝2+log2t0，即g（t）在（1，2）递增，又g（1）＝0，g（2）＝3，可得g（t）的范围是（0，3）．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，考查转化思想和构造函数法，数形结合思想，难度中档．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.已知，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+bi=______．【答案】【解析】【分析】由条件可得，a＝b+1+（b﹣1）i，再根据两个复数相等的充要条件求得a和b的值，即可求得a+bi的值．【详解】∵已知，∴a＝（1+bi）（1﹣i），即a＝b+1+（b﹣1）i，∴，∴a＝2，b＝1，则a+bi＝2+i，故答案为 2+i．【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，属于基础题．10.已知正方形的边长为，为的中点，则__________．【答案】2【解析】·=(+)·(-)=-·+·-·=22-×22=2.11.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．【答案】(1). 5(2). 8【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．【详解】根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴16.8，解得：y＝8；综上，x、y的值分别为5、8．故答案为：(1). 5(2). 8【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．12.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝________．【答案】【解析】有条件得a1＋a1q＋a1q2＝a1q＋10a1，a1q4＝9，解得q＝±3，a1＝.13.设点（m，n）在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动，则l og2m+l og2n的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先根据点在直线上得到m与n的等式关系，然后欲求两个对数的和的最值，根据对数的性质和基本不等式进行化简变形，注意这个关系中等号成立的条件．【详解】∵点（m，n）在直线x+y＝1位于第一象限内的图象上运动∴m+n＝1，m＞0，n＞0，∴log2m+log2n＝log2（mn）≤log2（）2＝log22﹣2＝﹣2，当且仅当m＝n时“＝”成立．故答案为：﹣2．【点睛】本题主要考查了对数的性质，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14.设函数f（x）在R上存在导数f'（x），∀x∈R，有f（-x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上，f'（x）＜x，若f（6-m）-f（m）-18+6m≥0，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】令g（x）＝f（x）x2，求出函数的单调性和奇偶性得到关于m的不等式，解出即可．【详解】令g（x）＝f（x）x2，∵g（x）+g（﹣x）＝f（x）x2+f（﹣x）x2=x2x2=0，∴函数g（x）是奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）递减，又由题意得：f（0）＝0，g（0）＝0，故函数g（x）在R递减，故f（6﹣m）﹣f（m）﹣18+6m＝g（6﹣m）（6﹣m）2﹣g（m）m2≥0，即g（6﹣m）﹣g（m）≥0，∴g（6﹣m）≥g（m），∴6﹣m≤m，解得：m≥3，故答案为：[3，+∞）．【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查构造函数及转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共78.0分）15.△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，，（1）求sinA；(2）求边c的值．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦公式进行转化求解即可．（2）结合正弦定理，建立方程组关系进行求解．【详解】（1）cos（π﹣C）＝﹣cos C，则cos C，则sin C，sin B，则sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C．（2）∵，∴，则c a，又ac＝2，得c＝1．【点睛】本题主要考查两角和差的正弦公式以及正弦定理的应用，结合同角的关系式进行转化化简是解决本题的关键．16. 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； （2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学,3名女同学，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率.【答案】（1）；（2） 【解析】试题分析：（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“被选中，而未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可试题解析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，故至少参加上述一个社团的共有人，所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为（2）从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件，共个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的. 事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个.因此被选中且未被选中的概率为.考点：古典概型及其概率计算公式17. 如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．(1)求证：DC⊥平面ABC；(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值；(3)求二面角B－EF－A的余弦值．【答案】（1）见解析（2）（3）－【解析】(1)∵平面ABD⊥平面BDC，又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BDC，故AB⊥DC，又∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，BC 平面ABC，DC平面ABC，故DC⊥平面ABC.(2)如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD＝a，则BD＝AB ＝2a，BC＝a，AD＝2a，可得B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，C，F(a，0，a)，∴＝，＝(a，0，a)．设BF与平面ABC所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC，∴cos＝＝＝，∴sinθ＝.(3)由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角.在△AEB中，AE＝BE＝AC＝a，∴cos∠AEB＝＝－，即所求二面角B－EF－A的余弦为－.18.已知数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由数列的前n项和求解通项公式时一般借助于，分两种请款分别求解后验证其能否合并；（2）由数列的通项公式代入整理数列的通项为，结合特点求和时采用分组求和，将各项中形式的项和形式的项各分一组试题解析：（1）当时，可得；当时，可得．检验知，时也符合．故数列的通项公式为．（2）由（1）可得．记数列的前项和为，则．记，，则，．故数列的前项和．考点：1．数列求通项公式；2．分组求和19.已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】试题分析：（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．解：（1）设椭圆C的方程为．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．20.已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）若时,,求的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值．（2）由（1）知，,令,即证时．先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．试题解析：（1）由已知得，而，（4分）（2）由（1）知，，设函数，．由题设可得，即，令得, ．．（6分）①若，则，∴当时，，当时，，即F（x）在单调递减，在单调递增，故在取最小值，而．∴当时，，即恒成立．．（8分）②若，则，∴当时，，∴在单调递增，而，∴当时，，即恒成立，③若，则，∴当时，不可能恒成立．．（10分）综上所述，的取值范围为．（12分）考点：用导数研究函数的性质．。
天津市河西区2018-2019学年度第一学期高三年级期末质量调查数学试卷(理科)(word解析)
2018-2019学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 已知集合A ={x ∈R |3x +2＞0}，B ={x ∈R |（x +1）（x -3）＞0}，则A ∩B =（ ）A.B.C.D.2.已知变量x ，y 满足约束条件，则z =x -2y 的最大值为（ ）A.B. 1C. 3D. 03.设 ， 为向量，则| • |=| || |是“ ∥ ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是（ ）A. 2B. 1C.D.5.直线 截圆（x -2）2+y 2=4所得劣弧所对的圆心角是（ ）A.B.C.D.6.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（ ）A.B.C.D.7.函数y =（sin x +cos x ）（sin x -cos x ）是（ ）A. 奇函数且在上单调递增 B. 奇函数且在上单调递增 C. 偶函数且在上单调递增D. 偶函数且在上单调递增8.已知函数 ，且存在不同的实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）=f （x 2）=f （x 3），则x 1•x 2•x 3的取值范围是（ ） A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 9.已知，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则a +bi=______．第2页，共15页10. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则 •=______． 11. 如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为______，______．12. （文）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1，a 5=9，则a 1=______． 13. 设点（m ，n ）在直线x +y =1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m +log 2n 的最大值为______．14. 设函数f （x ）在R 上存在导数f '（x ），∀x ∈R ，有f （-x ）+f （x ）=x 2，在（0，+∞）上，f '（x ）＜x ，若f （6-m ）-f （m ）-18+6m ≥0，则实数m 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共78.0分）15. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知，，（1）求sin A ； （2）求边c 的值．16. 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，3名女同学B 1，B 2，B 3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．17. 如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A =45°，∠C =90°，∠ADC =105°，AB =BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求BF 与平面ABC 所成角的正弦； （3）求二面角B -EF -A 的余弦．18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =（n ∈N *）（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n = +（-1）na n ，求数列{b n }的前2n 项和．19. 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1（-1，0）、F 2（1，0），短轴的两个端点分别为B 1，B 2（1）若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且 ⊥ ，求直线l 的方程．20. 已知函数f （x ）=x 2+ax +b ，g （x ）=e x （cx +d ），若曲线y =f （x ）和曲线y =g （x ）都过点P （0，2），且在点P 处有相同的切线y =4x +2． （Ⅰ）求a ，b ，c ，d的值；（Ⅱ）若x≥-2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．第4页，共15页1.D解：因为B={x ∈R|（x+1）（x-3）＞0}={x|x ＜-1或x ＞3}， 又集合A={x ∈R|3x+2＞0}={x|x }，所以A∩B={x|x }∩{x|x ＜-1或x ＞3}={x|x ＞3}，故选：D ．求出集合B ，然后直接求解A∩B ．本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力． 2.B解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （-1，1），B （2，1），C （1，0）设z=F （x ，y ）=x-2y ，将直线l ：z=x-2y 进行平移，当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值=F （1，0）=1 故选：B ．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z=x-2y 对应的直线进行平移，可得当x=1，y=0时，z 取得最大值1． 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x-2y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 3.C解：∵•=，若a ，b 为零向量，显然成立； 若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．利用向量的数量积公式得到•=，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．本题考查平行向量与共线向量，以及充要条件，属基础题．4.A解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1，2，侧棱与底面垂直，侧棱长是2．∴几何体的体积是×1×2×2=2．故选：A．根据三视图可知几何体是一个三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1，2，侧棱与底面垂直，侧棱长是2，根据三棱柱的体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积和由三视图还原三视图，本题解题的关键是看清各部分的数据，这样计算就不会出错．5.D解：圆（x-2）2+y2=4的圆心为（2，0），圆心到直线的距离d==1，而圆的半径等于2，设弦所对的劣弧所对的圆心角是2θ，则有cosθ==，可得θ=，故2θ=，故选：D．求出圆心到直线的距离d==1，设劣弧所对的圆心角是2θ，则有cosθ=，第6页，共15页可得 θ 的值，则2θ 即为所求．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题． 6.B解：设要求的双曲线为，由椭圆得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）． ∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）． ∴a=1，c=2，∴b 2=c 2-a 2=3．∴双曲线为．故选：B ．熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键． 熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键． 7.C解：由于函数y=（sinx+cosx ）（sinx-cosx ）=sin 2x-cos 2x=-cos2x ，故函数为偶函数，故排除A 、B ．令 2kπ-π≤2x≤2kπ，k ∈z ，求得kπ-≤x≤kπ，k ∈z ，故函数的减区间为[kπ-，kπ]，k ∈z ．令2kπ≤2x≤2kπ+π，k ∈z ，求得kπ≤x≤kπ+，k ∈z ，故函数的增区间为[kπ，kπ+]，k ∈z ， 故选：C ．利用二倍角公式化简函数的解析式为-cos2x ，可得函数为偶函数，再求出函数的单调区间，从而得出结论．本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的奇偶性以及单调性，属于中档题． 8.A解：函数的图象如图所示：设x1＜x2＜x3，又当x∈[2，+∞）时，f（x）=2x-2是增函数，当x=3时，f（x）=2，设f（x1）=f（x2）=f（x3）=t，1＜t＜2，即有-x12+2x1+1=-x22+2x2+1=2=t，故x1x2x3=（1-）（1+）（2+log2t）=（t-1）（2+log2t），由g（t）=（t-1）（2+log2t），1＜t＜2，可得g′（t）=2+log2t+＞0，即g（t）在（1，2）递增，可得g（t）的范围是（0，3）．故选：A．作出y=f（x）的函数图象，设x1＜x2＜x3，f（x1）=f（x2）=f（x3）=t，1＜t＜2，求得x1，x2，x3，构造函数g（t）=（t-1）（2+log2t），1＜t＜2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，考查转化思想和构造函数法，数形结合思想，难度中档．9.2+i解：∵已知，∴a=（1+bi）（1-i），即a=b+1+（b-1）i，∴，∴a=2，b=1，则a+bi=2+i，故答案为2+i．由条件可得，a=b+1+（b-1）i，再根据两个复数相等的充要条件求得a和b的值，即可求得a+bi的值．第8页，共15页本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相等的充要条件，属于基础题．10.2解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（）•（）=（）•（）=-+-=4+0-0-=2，故答案为2．根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．11.5 8解：根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x=5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴=16.8，解得：y=8；综上，x、y的值分别为5、8．故答案为：5 8．根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．12.解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得故答案为：设等比数列{a n}的公比为q，由题意可得，解方程组可得．本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及方程组的解法，属中档题．13.-2解：∵点（m，n）在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动∴m+n=1，m＞0，n＞0，∴log2m+log2n=log2（mn）≤log2（）2=log22-2=-2，当且仅当m=n=时“=”成立．故答案为：-2．先根据点在直线上得到m与n的等式关系，然后欲求两个对数的和的最值，根据对数的性质和基本不等式进行化简变形，注意这个关系中等号成立的条件．本题主要考查了对数的性质，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14.[3，+∞）解：令g（x）=f（x）-x2，∵g（x）+g（-x）=f（x）-x2+f（-x）-x2=0，∴函数g（x）是奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）-x＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）递减，又由题意得：f（0）=0，g（0）=0，故函数g（x）在R递减，故f（6-m）-f（m）-18+6m第10页，共15页=g（6-m）+（6-m）2-g（m）-m2-18+6m≥0，即g（6-m）-g（m）≥0，∴g（6-m）≥g（m），∴6-m≤m，解得：m≥3，故答案为：[3，+∞）．令g（x）=f（x）-x2，求出函数的单调性和奇偶性得到关于m的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查转化思想，是一道常规题．15.解：（1）=cos（π-C）=-cos C，则cos C=，则sin C==，sin B===，则sin A=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C=+=+=．（2）∵，∴=，则c=a，又ac=2，得c=1．（1）根据两角和差的正弦公式进行转化求解即可．（2）结合正弦定理，建立方程组关系进行求解．本题主要考查两角和差的正弦公式以及正弦定理的应用，结合同角的关系式进行转化化简是解决本题的关键．16.解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．17.解：（1）证明：在图甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°，∠ABD=90°即AB⊥BD（2分）在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．（4分）又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B∴DC⊥平面ABC．（5分）（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点∴EF∥CD，又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，垂足为点E∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角（7分）在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°设CD=a则，，，（9分）∴在Rt△FEB中， ∠即BF与平面ABC所成角的正弦值为．（10分）解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD=a，则BD=AB=2a，，（6分）可得B（0，0，0），D（2a，0，0），A（0，0，2a），，，，F（a，0，a），∴，，，，，（8分）设BF与平面ABC所成的角为θ由（1）知DC⊥平面ABC∴∴（10分）（3）由（2）知FE⊥平面ABC，又∵BE⊂平面ABC，AE⊂平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，∴∠AEB为二面角B-EF-A的平面角（12分）在△AEB中，∴ ∠即所求二面角B-EF-A的余弦为．（14分）（其他解法请参照给分）（1）根据题设中的条件，用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面ABC；（2）点E、F分别为棱AC、AD的中点可得出EF∥CD，由（1）知，EF⊥平面ABC，由此证得∠FBE即为所求线面角，正弦值易求；解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴，BA所在直线为Z轴建立如图的空间直角坐标系，给出有关各点的坐标，由题设条件求出线段BF的方向向量，面ABC的法向量，由公式求出线面角的正弦；（3）由题意可证得∠AEB为二面角B-EF-A的平面角，在直角三角形中求出∠AEB，本题考查二面角的平面角的求法，解答本题，关键是掌握求二面角的方法，即作出平面角，证明平面角，再求平面角，尤其是中间一步证明平面角易漏掉，做题时要注意，本题涉及到了线面角的求法，线面垂直的证明，涉及到的知识点较多，对推理论证能力要求较高．18.解：（1）由S n=（n∈N*），得a1=S1=1．当n≥2时，=n．a1=1适合上式，∴a n=n；（2）b n=+（-1）n a n=2n+（-1）n•n，设数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n=（21-1）+（22+2）+（23-3）+…+（22n+2n）=（2+22+23+…+22n）+[-1+2-3+…-（2n-1）+2n]==22n+1+n-2．（1）由已知数列的前n项和求得首项，再由a n=S n-S n-1（n≥2）求得数列通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入b n=+（-1）n a n，利用数列的分组求和求数列{b n}的前2n项和．本题考查数列递推式，考查了等差数列的通项公式的求法，训练了数列的分组求和方法，是中档题．19.解：（1）设椭圆C的方程为＞＞．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）．由，得（2k2+1）x2-4k2x+2（k2-1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，，，，因为⊥，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目．20.解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）-f（x）=2ke x（x+1）-x2-4x-2，则F′（x）=2ke x（x+2）-2x-4=2（x+2）（ke x-1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=-ln k，x2=-2，①若1≤k＜e2，则-2＜x1≤0，从而当x∈（-2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（-2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[-2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=-x1（x1+2）≥0，x≥-2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x-e-2），从而当x∈（-2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（-2，+∞）上是增，而F（-2）=0，故当x≥-2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg （x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x-e-2），而F（-2）=-2ke-2+2＜0，所以当x＞-2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．。
天津市河西区2019届高三第一学期期末质量调查数学(理科)试题(解析版)
2018-2019学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，或，所以，故选D.考点：集合的运算2.已知变量x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为（）A. B. 1 C. 3 D. 0【答案】B【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x﹣2y对应的直线进行平移，可得当x＝1，y＝0时，z取得最大值1．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，1），B（2，1），C（1，0）设z＝F（x，y）＝x﹣2y，将直线l：z＝x﹣2y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z＝F（1，0）＝1最大值故选：B．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x﹣2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3.设为向量，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用向量的数量积公式推断与的充分必要关系.【详解】∵若向量一个或都为零向量，显然成立；若，，则，若，则，从而，是的充要条件．故选C.【点睛】要证明p是q的充要条件，要分别从p和，两个方面验证。
4. 某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题意可知该三视图的几何体表示的为三棱柱，且棱柱的高为2，底面为直角三角形，两直角边分别为1和2，根据底面积乘以高可知体积为v=，故可知答案为A.考点：三视图点评：主要是考查根据三视图还原几何体，来求解几何体的体积，属于基础题。
5.直线截圆所得劣弧所对的圆心角是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：圆的圆心到直线的距离，圆的半径，所以弦长与两半径围成的三角形是等腰三角形，一底角为，所以顶角为，即劣弧所对的圆心角是考点：直线与圆相交问题点评：直线与圆相交时圆的半径，圆心到直线的距离，弦长的一半构成的直角三角形三边关系是常用的知识点6.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设双曲线方程为，求出椭圆的焦点和顶点即可求得双曲线方程中的a、b.【详解】设双曲线为，由椭圆得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．∴a＝1，c＝2，∴b2＝c2﹣a2＝3．∴双曲线为．故选：B．【点睛】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．7.函数是A. 奇函数且在上单调递增B. 奇函数且在上单调递增C. 偶函数且在上单调递增D. 偶函数且在上单调递增【答案】C【解析】试题分析：函数化简得，所以函数是偶函数，当时，是减函数，排除C项，所以选D考点：三角函数性质点评：本题考查到了三角函数奇偶性单调性，判断奇偶性的前提条件是看定义域是否对称，若不对称则为非奇非偶函数，三角函数中是奇函数，是偶函数8.已知函数，且存在不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1•x2•x3的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出y＝f（x）的函数图象，设x1＜x2＜x3，f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，求得x1，x2，x3，构造函数g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围．【详解】函数的图象如图所示：设x1＜x2＜x3，又当x∈[2，+∞）时，f（x）＝2x﹣2是增函数，当x＝3时，f（x）＝2，设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，即有﹣x12+2x1+1＝﹣x22+2x2+1＝t，故x1x2x3＝（1）（1）（2+log2t）＝（t﹣1）（2+log2t），由g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，可得g′（t）＝2+log2t0，即g（t）在（1，2）递增，又g（1）＝0，g（2）＝3，可得g（t）的范围是（0，3）．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，考查转化思想和构造函数法，数形结合思想，难度中档．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.已知，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+bi=______．【答案】【解析】【分析】由条件可得，a＝b+1+（b﹣1）i，再根据两个复数相等的充要条件求得a和b的值，即可求得a+bi的值．【详解】∵已知，∴a＝（1+bi）（1﹣i），即a＝b+1+（b﹣1）i，∴，∴a＝2，b＝1，则a+bi＝2+i，故答案为 2+i．【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，属于基础题．10.已知正方形的边长为，为的中点，则__________．【答案】2【解析】·=(+)·(-)=-·+·-·=22-×22=2.11.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．【答案】(1). 5(2). 8【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．【详解】根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴16.8，解得：y＝8；综上，x、y的值分别为5、8．故答案为：(1). 5(2). 8【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．12.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝________．【答案】【解析】有条件得a1＋a1q＋a1q2＝a1q＋10a1，a1q4＝9，解得q＝±3，a1＝.13.设点（m，n）在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动，则l og2m+l og2n的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先根据点在直线上得到m与n的等式关系，然后欲求两个对数的和的最值，根据对数的性质和基本不等式进行化简变形，注意这个关系中等号成立的条件．【详解】∵点（m，n）在直线x+y＝1位于第一象限内的图象上运动∴m+n＝1，m＞0，n＞0，∴log2m+log2n＝log2（mn）≤log2（）2＝log22﹣2＝﹣2，当且仅当m＝n时“＝”成立．故答案为：﹣2．【点睛】本题主要考查了对数的性质，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14.设函数f（x）在R上存在导数f'（x），∀x∈R，有f（-x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上，f'（x）＜x，若f（6-m）-f（m）-18+6m≥0，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】令g（x）＝f（x）x2，求出函数的单调性和奇偶性得到关于m的不等式，解出即可．【详解】令g（x）＝f（x）x2，∵g（x）+g（﹣x）＝f（x）x2+f（﹣x）x2=x2x2=0，∴函数g（x）是奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）递减，又由题意得：f（0）＝0，g（0）＝0，故函数g（x）在R递减，故f（6﹣m）﹣f（m）﹣18+6m＝g（6﹣m）（6﹣m）2﹣g（m）m2≥0，即g（6﹣m）﹣g（m）≥0，∴g（6﹣m）≥g（m），∴6﹣m≤m，解得：m≥3，故答案为：[3，+∞）．【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查构造函数及转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共78.0分）15.△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，，（1）求sinA；(2）求边c的值．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦公式进行转化求解即可．（2）结合正弦定理，建立方程组关系进行求解．【详解】（1）cos（π﹣C）＝﹣cos C，则cos C，则sin C，sin B，则sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C．（2）∵，∴，则c a，又ac＝2，得c＝1．【点睛】本题主要考查两角和差的正弦公式以及正弦定理的应用，结合同角的关系式进行转化化简是解决本题的关键．16. 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学,3名女同学，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“被选中，而未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可试题解析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，故至少参加上述一个社团的共有人，所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为（2）从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件，共个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个.因此被选中且未被选中的概率为.考点：古典概型及其概率计算公式17. 如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．(1)求证：DC⊥平面ABC；(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值；(3)求二面角B－EF－A的余弦值．【答案】（1）见解析（2）（3）－【解析】(1)∵平面ABD⊥平面BDC，又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BDC，故AB⊥DC，又∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，BC 平面ABC，DC平面ABC，故DC⊥平面ABC.(2)如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD＝a，则BD＝AB＝2a，BC＝a，AD＝2a，可得B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，C，F(a，0，a)，∴＝，＝(a，0，a)．设BF与平面ABC所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC，∴cos＝＝＝，∴sinθ＝.(3)由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角.在△AEB中，AE＝BE＝AC＝a，∴cos∠AEB＝＝－，即所求二面角B－EF－A的余弦为－.18.已知数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由数列的前n项和求解通项公式时一般借助于，分两种请款分别求解后验证其能否合并；（2）由数列的通项公式代入整理数列的通项为，结合特点求和时采用分组求和，将各项中形式的项和形式的项各分一组试题解析：（1）当时，可得；当时，可得．检验知，时也符合．故数列的通项公式为．（2）由（1）可得．记数列的前项和为，则．记，，则，．故数列的前项和．考点：1．数列求通项公式；2．分组求和19.已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】试题分析：（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．解：（1）设椭圆C的方程为．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．20.已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）若时,,求的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值．（2）由（1）知，,令,即证时．先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．试题解析：（1）由已知得，而，（4分）（2）由（1）知，，设函数，．由题设可得，即，令得, ．．（6分）①若，则，∴当时，，当时，，即F（x）在单调递减，在单调递增，故在取最小值，而．∴当时，，即恒成立．．（8分）②若，则，∴当时，，∴在单调递增，而，∴当时，，即恒成立，③若，则，∴当时，不可能恒成立．．（10分）综上所述，的取值范围为．（12分）考点：用导数研究函数的性质．。
天津市河西区2019年高三第一学期期末质量调查数学(理科)试题(解析版)-精品
2018-2019学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，或，所以，故选D. 考点：集合的运算2.已知变量x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为（）A. B. 1 C. 3 D. 0【答案】B【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x﹣2y 对应的直线进行平移，可得当x＝1，y＝0时，z取得最大值1．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，1），B（2，1），C（1，0）设z＝F（x，y）＝x﹣2y，将直线l：z＝x﹣2y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝F（1，0）＝1故选：B．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x﹣2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3.设为向量，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用向量的数量积公式推断与的充分必要关系.【详解】∵若向量一个或都为零向量，显然成立；若，，则，若，则，从而，是的充要条件．故选C.【点睛】要证明p是q的充要条件，要分别从p和，两个方面验证。
4. 某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题意可知该三视图的几何体表示的为三棱柱，且棱柱的高为2，底面为直角三角形，两直角边分别为1和2，根据底面积乘以高可知体积为v=，故可知答案为A.考点：三视图点评：主要是考查根据三视图还原几何体，求解几何体的体积，属于基础题。
5.直线截圆所得劣弧所对的圆心角是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：圆的圆心到直线的距离，圆的半径，所以弦长与两半径围成的三角形是等腰三角形，一底角为，所以顶角为，即劣弧所对的圆心角是考点：直线与圆相交问题点评：直线与圆相交时圆的半径，圆心到直线的距离，弦长的一半构成的直角三角形三边关系是常用的知识点6.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设双曲线方程为，求出椭圆的焦点和顶点即可求得双曲线方程中的a、b. 【详解】设双曲线为，由椭圆得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．∴a＝1，c＝2，∴b2＝c2﹣a2＝3．∴双曲线为．故选：B．【点睛】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．7.函数是A. 奇函数且在上单调递增B. 奇函数且在上单调递增C. 偶函数且在上单调递增D. 偶函数且在上单调递增【答案】C【解析】试题分析：函数化简得，所以函数是偶函数，当时，是减函数，排除C项，所以选D考点：三角函数性质点评：本题考查到了三角函数奇偶性单调性，判断奇偶性的前提条件是看定义域是否对称，若不对称则为非奇非偶函数，三角函数中是奇函数，是偶函数8.已知函数，且存在不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1•x2•x3的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出y＝f（x）的函数图象，设x1＜x2＜x3，f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，求得x1，x2，x3，构造函数g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围．【详解】函数的图象如图所示：设x1＜x2＜x3，又当x∈[2，+∞）时，f（x）＝2x﹣2是增函数，当x＝3时，f（x）＝2，设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，即有﹣x12+2x1+1＝﹣x22+2x2+1＝t，故x1x2x3＝（1）（1）（2+log2t）＝（t﹣1）（2+log2t），由g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，可得g′（t）＝2+log2t0，即g（t）在（1，2）递增，又g（1）＝0，g（2）＝3，可得g（t）的范围是（0，3）．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，考查转化思想和构造函数法，数形结合思想，难度中档．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.已知，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+bi=______．【答案】【解析】【分析】由条件可得，a＝b+1+（b﹣1）i，再根据两个复数相等的充要条件求得a和b的值，即可求得a+bi的值．【详解】∵已知，∴a＝（1+bi）（1﹣i），即a＝b+1+（b﹣1）i，∴，∴a＝2，b＝1，则a+bi＝2+i，故答案为 2+i．【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，属于基础题．10.已知正方形的边长为，为的中点，则__________．【答案】2【解析】·=(+)·(-)=-·+·-·=22-×22=2.11.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．【答案】 (1). 5 (2). 8【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．【详解】根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴16.8，解得：y＝8；综上，x、y的值分别为5、8．故答案为：(1). 5 (2). 8【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．12.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝________．【答案】【解析】有条件得a1＋a1q＋a1q2＝a1q＋10a1，a1q4＝9，解得q＝±3，a1＝.13.设点（m，n）在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动，则log2m+log2n的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先根据点在直线上得到m与n的等式关系，然后欲求两个对数的和的最值，根据对数的性质和基本不等式进行化简变形，注意这个关系中等号成立的条件．【详解】∵点（m，n）在直线x+y＝1位于第一象限内的图象上运动∴m+n＝1，m＞0，n＞0，∴log2m+log2n＝log2（mn）≤log2（）2＝log22﹣2＝﹣2，当且仅当m＝n时“＝”成立．故答案为：﹣2．【点睛】本题主要考查了对数的性质，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14.设函数f（x）在R上存在导数f'（x），∀x∈R，有f（-x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上，f'（x）＜x，若f（6-m）-f（m）-18+6m≥0，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】令g（x）＝f（x）x2，求出函数的单调性和奇偶性得到关于m的不等式，解出即可．【详解】令g（x）＝f（x）x2，∵g（x）+g（﹣x）＝f（x）x2+f（﹣x）x2=x2x2=0，∴函数g（x）是奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）递减，又由题意得：f（0）＝0，g（0）＝0，故函数g（x）在R递减，故f（6﹣m）﹣f（m）﹣18+6m＝g（6﹣m）（6﹣m）2﹣g（m）m2≥0，即g（6﹣m）﹣g（m）≥0，∴g（6﹣m）≥g（m），∴6﹣m≤m，解得：m≥3，故答案为：[3，+∞）．【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查构造函数及转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共78.0分）15.△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，，（1）求sinA；(2）求边c的值．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦公式进行转化求解即可．（2）结合正弦定理，建立方程组关系进行求解．【详解】（1）cos（π﹣C）＝﹣cos C，则cos C，则sin C，sin B，则sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C．（2）∵，∴，则c a，又ac＝2，得c＝1．【点睛】本题主要考查两角和差的正弦公式以及正弦定理的应用，结合同角的关系式进行转化化简是解决本题的关键．16. 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； （2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学,3名女同学，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率.【答案】（1）；（2） 【解析】试题分析：（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“被选中，而未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可试题解析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，故至少参加上述一个社团的共有人，所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为（2）从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件，共个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的. 事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个.因此被选中且未被选中的概率为.考点：古典概型及其概率计算公式17. 如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB ＝BD ，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD 的中点．(1)求证：DC⊥平面ABC；(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值；(3)求二面角B－EF－A的余弦值．【答案】（1）见解析（2）（3）－【解析】(1)∵平面ABD⊥平面BDC，又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BDC，故AB⊥DC，又∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，BC平面ABC，DC平面ABC，故DC⊥平面ABC.(2)如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD＝a，则BD＝AB＝2a，BC＝a，AD＝2a，可得B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，C，F(a，0，a)，∴＝，＝(a，0，a)．设BF与平面ABC所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC，∴cos＝＝＝，∴sinθ＝.(3)由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角.在△AEB中，AE＝BE＝AC＝a，∴cos∠AEB＝＝－，即所求二面角B－EF－A的余弦为－.18.已知数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由数列的前n项和求解通项公式时一般借助于，分两种请款分别求解后验证其能否合并；（2）由数列的通项公式代入整理数列的通项为，结合特点求和时采用分组求和，将各项中形式的项和形式的项各分一组试题解析：（1）当时，可得；当时，可得．检验知，时也符合．故数列的通项公式为．（2）由（1）可得．记数列的前项和为，则．记，，则，．故数列的前项和．考点：1．数列求通项公式；2．分组求和19.已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】试题分析：（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．解：（1）设椭圆C的方程为．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．20.已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）若时,,求的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值．（2）由（1）知，,令,即证时．先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．试题解析：（1）由已知得，而，（4分）（2）由（1）知，，设函数，．由题设可得，即，令得, ．．（6分）①若，则，∴当时，，当时，，即F（x）在单调递减，在单调递增，故在取最小值，而．∴当时，，即恒成立．．（8分）②若，则，∴当时，，∴在单调递增，而，∴当时，，即恒成立，③若，则，∴当时，不可能恒成立．．（10分）综上所述，的取值范围为．（12分）考点：用导数研究函数的性质．。
D_天津市河西区2019届高三第一学期期末质量调查数学(理科)试题(精品解析)
，且存在不同的实数 x1，x2，x3，使得 f（x1）=f（x2）=f（x3） ，则 x1•x2•x3 的
设 x1＜x2＜x3， 又当 x∈[2，+∞）时，f（x）＝2x2 是增函数， 当 x＝3 时，f（x）＝2， 设 f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2， 即有﹣x12+2x1+1＝x22+2x2+1＝ 故 x1x2x3＝（1 ＝（t1）（2+log2t）， 由 g（t）＝（t1）（2+log2t），1＜t＜2， 可得 g′（t）＝2+log2t 0，即 g（t）在（1，2）递增，又 g（1）＝0，g（2）＝3， ）（1 t，
∴双曲线为 故选：B．
．
【点睛】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键． 7.函数 A. 奇函数且在 B. 奇函数且在 C. 偶函数且在 D. 偶函数且在 【答案】C 【解析】 试题分析：函数 化简得 上单调递增 上单调递增 上单调递增 上单调递增 是
，所以函数是偶函数，当 考点：三角函数性质
）（2+log2t）
可得 g（t）的范围是（0，3） ． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，考查转化思想和构造函数法，数形结合思想，难度中档．
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
9.已知 【答案】 【解析】 【分析】 由条件可得，a＝b+1+（b1）i，再根据两个复数相等的充要条件求得 a 和 b 的值，即可求得 a+bi 的值． 【详解】∵已知 ∴ ，∴a＝（1+bi）（1i） ，即 a＝b+1+（b1）i， ，其中 a，b 是实数，i 是虚数单位，则 a+bi=______．
天津市河西区2018-2019学年度第一学期高三年级期末质量调查数学试卷(理科)(word解析)
开泉涤尘高中数学资源网：2018-2019学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x-3）＞0}，则A∩B=（）A. B. C. D.2. 已知变量x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为（）A. B. 1 C. 3 D. 03. 设，为向量，则|•|=||||是“ ∥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是（）A. 2B. 1C.D.5. 直线截圆（x-2）2+y2=4所得劣弧所对的圆心角是（）A. B. C. D.6. 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）A. B. C. D.7. 函数y=（sin x+cos x）（sin x-cos x）是（）A. 奇函数且在上单调递增B. 奇函数且在上单调递增C. 偶函数且在上单调递增D. 偶函数且在上单调递增8. 已知函数，且存在不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1•x2•x3的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9. 已知，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+bi=______．10. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•=______．11. 如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．12. （文）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=______．13. 设点（m，n）在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动，则log2m+log2n的最大值为______．14. 设函数f（x）在R上存在导数f'（x），∀x∈R，有f（-x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上，f'（x）＜x，若f（6-m）-f（m）-18+6m≥0，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共78.0分）15. △ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，，（1）求sin A；（2）求边c的值．16. 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．17. 如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分开泉涤尘高中数学资源网：别为棱AC、AD的中点．（1）求证：DC⊥平面ABC；（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；（3）求二面角B-EF-A的余弦．18. 已知数列{a n}的前n项和为S n=（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=+（-1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．19. 已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且⊥，求直线l的方程．20. 已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥-2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．开泉涤尘高中数学资源网：1.D解：因为B={x∈R|（x+1）（x-3）＞0}={x|x＜-1或x＞3}，又集合A={x∈R|3x+2＞0}={x|x}，所以A∩B={x|x}∩{x|x＜-1或x＞3}={x|x＞3}，故选：D．求出集合B，然后直接求解A∩B．本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．2.B解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（-1，1），B（2，1），C（1，0）设z=F（x，y）=x-2y，将直线l：z=x-2y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z=F（1，0）=1最大值故选：B．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x-2y对应的直线进行平移，可得当x=1，y=0时，z取得最大值1．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x-2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3.C解：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．利用向量的数量积公式得到•=，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．本题考查平行向量与共线向量，以及充要条件，属基础题．4.A解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1，2，侧棱与底面垂直，侧棱长是2．∴几何体的体积是×1×2×2=2．故选：A．根据三视图可知几何体是一个三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1，2，侧棱与底面垂直，侧棱长是2，根据三棱柱的体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积和由三视图还原三视图，本题解题的关键是看清各部分的数据，这样计算就不会出错．5.D解：圆（x-2）2+y2=4的圆心为（2，0），圆心到直线的距离d==1，而圆的半径等于2，设弦所对的劣弧所对的圆心角是2θ，则有cosθ==，可得θ=，故2θ=，故选：D．求出圆心到直线的距离d==1，设劣弧所对的圆心角是2θ，则有cosθ=，开泉涤尘高中数学资源网：可得θ 的值，则2θ 即为所求．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题．6.B解：设要求的双曲线为，由椭圆得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．∴a=1，c=2，∴b2=c2-a2=3．∴双曲线为．故选：B．熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．7.C解：由于函数y=（sinx+cosx）（sinx-cosx）=sin2x-cos2x=-cos2x，故函数为偶函数，故排除A、B．令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得kπ-≤x≤kπ，k∈z，故函数的减区间为[kπ-，kπ]，k∈z．令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得kπ≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为[kπ，kπ+]，k∈z，故选：C．利用二倍角公式化简函数的解析式为-cos2x，可得函数为偶函数，再求出函数的单调区间，从而得出结论．本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的奇偶性以及单调性，属于中档题．8.A解：函数的图象如图所示：设x1＜x2＜x3，又当x∈[2，+∞）时，f（x）=2x-2是增函数，当x=3时，f（x）=2，设f（x1）=f（x2）=f（x3）=t，1＜t＜2，即有-x12+2x1+1=-x22+2x2+1=2=t，故x1x2x3=（1-）（1+）（2+log2t）=（t-1）（2+log2t），由g（t）=（t-1）（2+log2t），1＜t＜2，可得g′（t）=2+log2t+＞0，即g（t）在（1，2）递增，可得g（t）的范围是（0，3）．故选：A．作出y=f（x）的函数图象，设x1＜x2＜x3，f（x1）=f（x2）=f（x3）=t，1＜t＜2，求得x1，x2，x3，构造函数g（t）=（t-1）（2+log2t），1＜t＜2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，考查转化思想和构造函数法，数形结合思想，难度中档．9.2+i解：∵已知，∴a=（1+bi）（1-i），即a=b+1+（b-1）i，∴，∴a=2，b=1，则a+bi=2+i，故答案为2+i．由条件可得，a=b+1+（b-1）i，再根据两个复数相等的充要条件求得a和b的值，即可求得a+bi的值．开泉涤尘高中数学资源网：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相等的充要条件，属于基础题．10.2解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（）•（）=（）•（）=-+-=4+0-0-=2，故答案为2．根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．11.5 8解：根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x=5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴=16.8，解得：y=8；综上，x、y的值分别为5、8．故答案为：5 8．根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．12.解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得故答案为：设等比数列{a n}的公比为q，由题意可得，解方程组可得．本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及方程组的解法，属中档题．13.-2解：∵点（m，n）在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动∴m+n=1，m＞0，n＞0，∴log2m+log2n=log2（mn）≤log2（）2=log22-2=-2，当且仅当m=n=时“=”成立．故答案为：-2．先根据点在直线上得到m与n的等式关系，然后欲求两个对数的和的最值，根据对数的性质和基本不等式进行化简变形，注意这个关系中等号成立的条件．本题主要考查了对数的性质，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14.[3，+∞）解：令g（x）=f（x）-x2，∵g（x）+g（-x）=f（x）-x2+f（-x）-x2=0，∴函数g（x）是奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）-x＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）递减，又由题意得：f（0）=0，g（0）=0，故函数g（x）在R递减，故f（6-m）-f（m）-18+6m开泉涤尘高中数学资源网：=g（6-m）+（6-m）2-g（m）-m2-18+6m≥0，即g（6-m）-g（m）≥0，∴g（6-m）≥g（m），∴6-m≤m，解得：m≥3，故答案为：[3，+∞）．令g（x）=f（x）-x2，求出函数的单调性和奇偶性得到关于m的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查转化思想，是一道常规题．15.解：（1）=cos（π-C）=-cos C，则cos C=，则sin C==，sin B===，则sin A=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C=+=+=．（2）∵，∴=，则c=a，又ac=2，得c=1．（1）根据两角和差的正弦公式进行转化求解即可．（2）结合正弦定理，建立方程组关系进行求解．本题主要考查两角和差的正弦公式以及正弦定理的应用，结合同角的关系式进行转化化简是解决本题的关键．16.解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．17.解：（1）证明：在图甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°，∠ABD=90°即AB⊥BD（2分）在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．（4分）又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B∴DC⊥平面ABC．（5分）（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点∴EF∥CD，又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，垂足为点E∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角（7分）在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°设CD=a则，，，（9分）∴在Rt△FEB中， ∠即BF与平面ABC所成角的正弦值为．（10分）解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD=a，则BD=AB=2a，，（6分）可得B（0，0，0），D（2a，0，0），A（0，0，2a），，，，F（a，0，a），∴，，，，，（8分）设BF与平面ABC所成的角为θ由（1）知DC⊥平面ABC∴开泉涤尘高中数学资源网：∴（10分）（3）由（2）知FE⊥平面ABC，又∵BE⊂平面ABC，AE⊂平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，∴∠AEB为二面角B-EF-A的平面角（12分）在△AEB中，∴ ∠即所求二面角B-EF-A的余弦为．（14分）（其他解法请参照给分）（1）根据题设中的条件，用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面ABC；（2）点E、F分别为棱AC、AD的中点可得出EF∥CD，由（1）知，EF⊥平面ABC，由此证得∠FBE即为所求线面角，正弦值易求；解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴，BA所在直线为Z轴建立如图的空间直角坐标系，给出有关各点的坐标，由题设条件求出线段BF的方向向量，面ABC的法向量，由公式求出线面角的正弦；（3）由题意可证得∠AEB为二面角B-EF-A的平面角，在直角三角形中求出∠AEB，本题考查二面角的平面角的求法，解答本题，关键是掌握求二面角的方法，即作出平面角，证明平面角，再求平面角，尤其是中间一步证明平面角易漏掉，做题时要注意，本题涉及到了线面角的求法，线面垂直的证明，涉及到的知识点较多，对推理论证能力要求较高．18.解：（1）由S n=（n∈N*），得a1=S1=1．当n≥2时，=n．a1=1适合上式，∴a n=n；（2）b n=+（-1）n a n=2n+（-1）n•n，设数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n=（21-1）+（22+2）+（23-3）+…+（22n+2n）=（2+22+23+…+22n）+[-1+2-3+…-（2n-1）+2n]==22n+1+n-2．（1）由已知数列的前n项和求得首项，再由a n=S n-S n-1（n≥2）求得数列通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入b n=+（-1）n a n，利用数列的分组求和求数列{b n}的前2n项和．本题考查数列递推式，考查了等差数列的通项公式的求法，训练了数列的分组求和方法，是中档题．19.解：（1）设椭圆C的方程为＞＞．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）．由，得（2k2+1）x2-4k2x+2（k2-1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，，，，因为⊥，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线开泉涤尘高中数学资源网：l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目．20.解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）-f（x）=2ke x（x+1）-x2-4x-2，则F′（x）=2ke x（x+2）-2x-4=2（x+2）（ke x-1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=-ln k，x2=-2，①若1≤k＜e2，则-2＜x1≤0，从而当x∈（-2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（-2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[-2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=-x1（x1+2）≥0，x≥-2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x-e-2），从而当x∈（-2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（-2，+∞）上是增，而F（-2）=0，故当x≥-2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg （x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x-e-2），而F（-2）=-2ke-2+2＜0，所以当x＞-2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．。
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河西区2 0 1 2一2 0 1 3学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）
数 学 试 卷（理工类）
本试卷分第1卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120 分钟。
第1卷l 至2页，第II 卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题纸上，并在规定位置填写座位号。
答卷时，考试务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将答题纸交 回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上。
答在试卷上的无效。
2．本卷共8小题，每小题5分，．共40分
参考公式：
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (l)在复平面内，复数32i
z i
-+=
+对应的点的坐标为 (A)(1，1) (B)(一1,1) (C)(1，一1) (D)（一1，一1） (2)与命题“若p 则-q"等价的命题为
(A)若p 则q (B)若-p 则q (C)若q 则-p (D)若-q 则p (3)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y=bx+a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
(A)65.5万元 (B)66.2万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元 (4)右图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 (A)6 (B) 27 (C)56 (D)124
(5)已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321
,
,22
a a a 成等差数列，则
89
67
a a a a ++等于
(A)1
(B)1
(C)3+
(D)3-
(6)双曲线2
213
x y -=的焦点到它的渐近线的距离为 (A)1
(D)2
(7)在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若
(,)E F m A B n A D m n R =+∈ ，则m
n
的值为
(A)2 (B)-2 (C)3 (D)-3
(8)若22
1,0
()(1)(1),0
ax
ax x f x a a e x ⎧+≥⎪=≠±⎨-<⎪⎩，在定义域(,)-∞+∞上是单调函数，则a 的取值范围是
(A)(
(B)
)
)
1⎡+∞⎣
(C)
((
,-∞
(D))
20,3⎛
⎫+∞ ⎪⎝⎭
河西区2019学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）
数 学 试 卷（理工类）
第II 卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上。
2．本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
(9)设变量x ，y 满足约束条件0,1030,y x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
则2z x y =+的
最大值 为
_____________。
(10)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积为__________________． (11)已知全集U R =，集合{}
|333A x R x x =∈+-->
()241|,0,t t B x R x t t ⎧⎫-+=∈=∈+∞⎨⎬⎩⎭
则集合()
U B C A = __________________。
(1 2)在极坐标系中，曲线.2ρ=cos sin 0(0)θθθπ+=≤≤ 的交点的极坐标为__________________．
(13)如图，已知P 是O 外一点，
PD 为O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ．
若PF=12，PD=O 的半径长为____________。
(1 4)已知5
2
x ⎛ ⎝
的开式中的常数项为T ，()f x 是以和T 为周期的偶函数，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，若在区间[]1,3-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是
_______________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (15)（本小题满分13分）
已知A ，B 是直线y=0与函数2
()2cos cos()1(0)23
x
f x x ωπ
ωω=++->图象的两个相邻交点，
且2
AB π
=
．
(I)求ω的值：
(Ⅱ)在锐角ABC ∆中，a,b ，c 分别是角A ，B,C 的对边，若3
()2
f A =-，c=3，ABC ∆C 的面积
为a 的值．
(16)（本小题满分13分）
一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
(I)采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率。
(Ⅱ)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望． (17)（本小题满分1 3分）
如图，在直棱柱
111ABC A B C -中
1,2AB BC AB BD CC ⊥===，D 为AC 的中点．
(I)证明AB//平面1BDC ；
(Ⅱ)证明1
AC ⊥平面1BDC ； (Ⅲ)求二面角1A BC D --的正切值．
(18)（本小题满分13分）
已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且1
1()2
n n S a n N +=∈ ． (I)求数列{}n a 的通项公式：
(II)设3log (11)()n n b S n N =-+∈ ，求适合方程11125 (1123151)
b b b b bnbn +++=+的正整数n 的值．
(19)（本小题满分14分）
已知对称中心为坐标原点的椭圆1C 与抛物线22:4C x y =有一个相同的焦点鼻，直 线:2l y x m =+与抛物线2C 只有一个公共点． (I)求直线l 的方程；
( II)若椭圆1C 经过宜线l 上的点P ，当椭圆1C 的的离心率取得最大值时，求椭圆1C 的方程及点P 的坐标．
(20)（本小题满分1 4分）
已知函数()ln ,()()'()f x x x x g x f x xf a =-=-,其中'()f a 表示函数()f x 在x a =处的导数，a 为正常数．
(I)求g(x)的单调区间；
( II)对任意的正实数12,x x ，且12x x <，
证明21221211()'()()()()'()x x f x f x f x x x f x -<-<- (Ⅲ)对任意的n N ∈
，且2n ≥，证明1111(1)...ln 2ln 3ln ln 2ln f n n n
-++++<⋅。