2019届高三数学一轮复习目录(理科)
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和课时跟踪检测理
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n 项和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100D ．200解析：a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100. 答案：C2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D ．558解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：A3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.答案：A4．(xx 届太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.答案：B5．(xx 届莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017解析：由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.答案：D6．(xx 届海口市调研测试)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12 B ．1716 C ．2D ．17解析：设{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B.答案：B7．(xx 届衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1解析：因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.答案：C8．(xx 届广州市五校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，所以a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，所以a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211. 答案：C9．由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________. 解析：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1a 10)·(a 2a 9)·…·(a 5a 6)＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.答案：2510．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.答案：3n －111．(xx 届南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2－3q ＋1＝0， 因为q ≠1， 所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝81＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2符合上式，∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥1)， ∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 22a n ＋1－a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．[能 力 提 升]1．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________．解析：T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0<a 1<a 2<…<a 14<a 15<1<a 16<a 17<…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.答案：152．(xx 届山西吕梁质检)已知数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，则这个数列的前2 018项之积T 2 018等于________．解析：数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，这个数列的前8项分别为2,8,4，12，18，14，2,8，易得从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项积为2×8×4×12×18×14＝1.又因为2 018＝336×6＋2，所以这个数列的前2 018项之积T 2 018＝1336×2×8＝16. 答案：163．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n.2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.4数列求和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．2 015B ．－2 015C ．3 021D ．－3 022解析：由题知a 1＝tan(180°＋45°)＝1，∴a 5＝13 ∴d ＝a 5－a 15－1＝124＝3. ∴a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. 设b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 014＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－6 037＋6 040)＝3×1 007＝3 021.故选C. 答案：C2．设{a n }是公差不为零的等差数列，a 2＝2，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4 B ．n 22＋3n 2C.n 24＋3n4D ．n 22＋n2解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则 由a 23＝a 1a 9得(a 2＋d )2＝(a 2－d )(a 2＋7d )， 代入a 2＝2，解得d ＝1或d ＝0(舍)． ∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n ， ∴S n ＝a 1＋a n n2＝1＋n n 2＝n 22＋n 2.故选D. 答案：D3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36解析：设等比数列{a n }的公比为q 则a 21q 3＝2a 1，①a 1q 3＋2a 1q 6＝52，②解得a 1＝16，q ＝12，∴S 5＝a 11－q 51－q＝31，故选B.答案：B4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝32S n ，求{c n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{b n }的公差为d ， ∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＋3d ＝18，6＋d ＝q 2.求得q ＝3，d ＝3，∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意得S n ＝n 3＋3n2，c n ＝32S n ＝32×23×1n n ＋1＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.5．(xx 届广州综合测试)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2. 所以a n ＝a 2qn －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1， 所以a n b n ＝(2n －1)2n，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n＋(2n －1)·2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×41－2n －11－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.6．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.7．已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立， 求实数λ的取值范围．解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5， 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6， 所以{a n }是等差数列，首项为1，公差为6， 即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n， 所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2，由λa n >2n＋n ＋2λ得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，令f (n )＝12＋n 2n ＋1，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0， 所以12＋n2n ＋1在n ≥1时单调递减，所以当n ＝1,2时，2n＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞. [能 力 提 升]1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以S n ＝2n 2－n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. a 1＝1＝4×1－3，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)． 当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1，综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.2．在数列{a n }中，已知a n >1，a 1＝1＋3，且a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，记b n ＝(a n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：13≤1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <34.解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，所以a 2n ＋1－a 2n －2a n ＋1＋2a n ＝2， 即(a n ＋1－1)2－(a n －1)2＝2. 又b n ＝(a n －1)2，n ∈N *，所以b n ＋1－b n ＝2，数列{b n }是以b 1＝(1＋3－1)2＝3为首项，2为公差的等差数列， 故b n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)证明：由(1)得S n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，所以1S n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，n ∈N *， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.记T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n，因为1S n>0，n ∈N *，所以T n 单调递增．故T n ≥T 1＝1S 1＝13.综上13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34.3．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2n ＋a n ＝2S n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.解：(1)因为当n ∈N *时，a 2n ＋a n ＝2S n ， 故当n >1时，a 2n －1＋a n －1＝2S n －1，两式相减得，a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n >0，所以a n ＋a n －1>0，所以当n >1时，a n －a n －1＝1.又当n ＝1时，a 21＋a 1＝2S 1＝2a 1，得a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＝n .(2)证明：由(1)及等差数列的前n 项和公式知S n ＝n n ＋12，所以S n ＝ n n ＋12>n 22＝n2， 所以S 1＋S 2＋…＋S n >12＋22＋…＋n 2＝ 1＋2＋…＋n 2＝S n 2. 又S n ＝ n n ＋12<n ＋122＝n ＋12， 所以S 1＋S 2＋…＋S n <22＋32＋…＋n ＋12＝1＋2＋…＋n ＋12－12＝S n ＋1－12， 所以S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.。
高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 等比数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型三 等比数列的判定与证明
例 3 (2011·天津文)已知数列{an}与{bn}满足 bn＋1an＋bnan ＋1＝(－2)n＋1，bn＝3＋－2 1n－1，n∈N*，且 a1＝2.
设 cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列．
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
aq1＝13， 解方程组1－a1 q＝－12，
得aq1＝＝31，， ⇒n＝4
∴a2n＝a1·q2n－1＝1·32n－1＝32n－1＝37.
【答案】 37
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
探究 1 (1)等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 及前 n 项 和公式 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1)共涉及五个量 a1，an， q，n，Sn，知其三就能求另二，体现了方程思想的应用．
高考调研
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第六章 数列
第六章 数列
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第3课时 等比数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
2012·考纲下载
1．理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并 能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系.
2．(2012·大连模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＝30， a3＋a4＝60，则 a7＋a8＝________.
答案 240
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
3．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么( ) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
高三数学理科一轮复习试卷详解
高三数学理科一轮复习试卷详解第1页共14页高三单元滚动检测卷数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测四三角函数、解三角形第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(湖北重点中学第三次月考)已知角α的终边上一点的坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则角α的最小正值为( )A.5π6B.5π3C.11π6D.2π32．(河南中原名校高三期中)已知sin 2α＝－2425，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α等于( ) A ．－15B.15 C ．－75 D.753．(广西贵港市模拟)已知sin(π3－x )＝35，则cos(x ＋π6 )等于( ) A ．－35B ．－45 C.45 D.354．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )A ．5海里B ．53海里第2页共14页C ．10海里D ．103海里5．(安庆市大观区模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a b ＝b ＋3c a，sin C ＝23sin B ，则tan A 等于( )A. 3B ．1 C.33 D ．－36．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A 0，ω0，|φ|π2 )的图象(部分)如图所示，则ω，φ分别为( )A ．ω＝π，φ＝π3B ．ω＝2π，φ＝π3C ．ω＝π，φ＝π6D ．ω＝2π，φ＝π67．(泉州模拟)在△ABC 中，若B ＝60°，AB ＝2，AC ＝23，则△ABC 的面积为( )A. 3 B ．2 3C.233D.4338．(湖北省教学合作联考)将函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数g (x )( )A ．有最大值，最大值为3＋1B ．对称轴方程是x ＝7π12＋k π，k ∈Z C ．是周期函数，周期T ＝π2D ．在区间[π12，7π12]上单调递增9．已知函数f (x )＝sin 4(ωx ＋π4)－cos 4(ωx ＋π4)(ω0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－32，则ω的值为( )A.34B.12第3页共14页C ．1 D.3210．(龙泉中学模拟)关于函数f (x )＝sin(2x －π4)，有下列命题：①其表达式可写成f (x )＝cos(2x ＋π4)；②直线x ＝－π8是f (x )图象的一条对称轴；③f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位得到；④存在α∈(0，π)，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立．其中真命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④11．(徐州质检)已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2＝θ(θ为钝角)．若sin(θ＋π4)＝35，则x 1x 2＋y 1y 2的值为( ) A.55B ．－1010C ．－210 D.1010 12．(上饶模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b，则sin C sin A的值为( ) A ．2 B.13C ．2 3D ．3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．第4页共14页15．(陕西改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ????π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．16．(湖南师大附中月考)将函数f (x )＝sin x ＋cos x 的图象向左平移φ(φ0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(惠州第三次考试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A 0，ω0，－π2φπ2)，其部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图象上，求sin ∠MNP 的值．18.(12分)(北京)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．19．(12分)(醴陵一中模拟)在△ABC 中，已知A ＝π4，cos B ＝255.第5页共14页(1)求cos C 的值；(2)若BC ＝25，D 为AB 的中点，求CD 的长．20．(12分)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(|φ|π2)，且函数y ＝f (2x ＋π4)的图象关于直线x ＝7π24对称．(1)求φ的值；(2)若π3α5π12，且f (α)＝45，求cos 4α的值；(3)若0θπ8时，不等式f (θ)＋f (θ＋π4 )|m －4|恒成立，试求实数m 的取值范围．第6页共14页21.(12分)(广雅中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 0，ω0,0φπ)，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图象经过点M (0,1)．(1)求f (x )的解析式；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且f (A )＝35，f (B )＝513，求f (C )的值．22．(12分)(河北正定中学月考)已知向量a ＝(2sin(ωx ＋2π3)，2)，b ＝(2cos ωx ,0)(ω0)，函数f (x )＝a b 的图象与直线y ＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在[0，b ](b 0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．第7页共14页答案解析1．B2．B [∵α∈(－π4，0)，∴sin α＋cos α0，∴(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝125，∴sin α＋cos α＝15，故选B.] 3．D [cos(x ＋π6)＝cos[π2－(π3－x )]＝sin(π3－x )＝35.故选D.] 4．C [如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10.在Rt △ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．] 5．C [由sin C ＝23sin B ，变形得：sin C sin B＝23，利用正弦定理化简得：sin C sin B ＝c b＝23，即c ＝23b ，由a b ＝b ＋3c a，整理得：a 2－b 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，∴A ＝30°，则tan A ＝33，故选C.]6．C [由函数的图象可得A ＝2，根据14T ＝142πω＝56－13＝12，求得ω＝π. 再由五点法作图可得π×56＋φ＝π，第8页共14页解得φ＝π6，故选C.]7．B [∵在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝2，AC ＝23，∴由正弦定理AC sin B ＝AB sin C得：sin C ＝AB sin B AC ＝2×3223＝12，∴C ＝30°，∴A ＝90°，则S △ABC ＝12AB AC sin A ＝23，故选B.]8．D [化简函数得y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π6)，所以g (x )＝2sin(2x －2π3)易求最大值是2，周期是π，由2x －2π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程是x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．根据正弦函数的单调递增区间可得－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )?π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )，故选D.] 9．B [f (x )＝sin 4(ωx ＋π4)－cos 4(ωx ＋π4) ＝[sin 2(ωx ＋π4)－cos 2(ωx ＋π4)][sin 2(ωx ＋π4)＋cos 2(ωx ＋π4)] ＝sin 2(ωx ＋π4)－cos 2(ωx ＋π4) ＝－cos(2ωx ＋π2)＝sin 2ωx ，所以2ωx ∈[－2π3ω，π2ω]，所以满足－2π3ω≥－π2且－2π3ω＝－π3的ω＝12 ，故选B.] 10．C [f (x )＝sin(2x －π4)＝22(sin 2x －cos 2x )．①f (x )＝cos(2x ＋π4)＝22(cos 2x －sin 2x )．与原函数不是同一个函数，①错误．②x ＝－π8时，f (x )＝sin[2×(－π8)－π4]＝sin(－π2)＝－1，函数取得最小值，所以直线x ＝－π8是f (x )图象的一条对称轴，第9页共14页②正确．③将g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位得到图象对应的解析式是y ＝sin 2(x －π4 )＝sin(2x －π2)＝－cos 2x ，与f (x )不是同一个函数，③错误．④取α＝π2，f (x ＋α)＝f (x ＋π2)＝sin[2(x ＋π2)－π4]＝sin(2x ＋3π4)，f (x ＋3α)＝f (x ＋3π2)＝sin[2(x ＋3π2)－π4]＝sin(2x ＋3π－π4)＝sin(2x ＋2π＋π－π4)＝sin(2x ＋3π4)，所以存在α＝π2∈(0，π)，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，④正确．故选C.]11．C [因为x 1x 2＋y 1y 2＝OP 1→OP 2→＝cos θ，所以cos θ＝cos(θ＋π4－π4)＝22[cos(θ＋π4)＋sin(θ＋π4)]．因为θ∈(π2，π)，θ＋π4∈(3π4，5π4)，所以cos(θ＋π4)＝－45，cos θ＝－210.故选C.] 12．D [由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin A sin B，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ，化简可得，sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )，又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin C sin A＝3.] 13．0解析原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α0，cos α0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0. 14．－14解析∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c ，∴b ＝32c .第10页共14页代入b －c ＝14a 得a ＝2c ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14. 15．8解析由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.16.3π4解析函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，根据图象平移规律可得平移后图象对应的函数解析式为y ＝2sin(x ＋π4＋φ)，又所得函数图象关于原点对称，∴π4＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π4(k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小值为3π4. 17．解(1)由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8，所以T ＝2πω＝8，ω＝π4. 又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2φπ2，所以－π4π4＋φ3π4，π4＋φ＝π2，φ＝π4. 所以f (x )＝sin(π4x ＋π4)．(2)因为f (－1)＝sin[π4×(－1＋1)]＝0，f (1)＝sin[π4×(1＋1)]＝1，f (5)＝sin[π4×(5＋1)]＝－1，所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)，|MN |＝5，|MP |＝37，|PN |＝20，从而cos ∠MNP ＝5＋20－3725×20＝－35，由∠MNP ∈(0，π)，第11页共14页得sin ∠MNP ＝1－cos 2∠MNP ＝45 . 18．解(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ????x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ????－3π4＝－1－22. 19．解(1)∵cos B ＝255且B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝55，cos C ＝cos(π－A －B )＝cos(3π4－B )＝cos 3π4cos B ＋sin 3π4sin B ＝－*****＋2255＝－1010. (2)由(1)可得sin C ＝1－cos 2C ＝1－(－1010)2＝*****，由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C，即2522＝AB 31010，解得AB ＝6.在△BCD 中，CD 2＝(25)2＋32－2×3×25×255＝5，所以CD ＝5.20．解(1)f (x )＝sin(2x ＋φ)，则y ＝f (2x ＋π4)＝sin(4x ＋π2＋φ)＝cos(4x ＋φ)．又y ＝cos x 的图象的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，第12页共14页令4x ＋φ＝k π(k ∈Z )，将x ＝7π24代入可得φ＝k π－7π6(k ∈Z )，而|φ|π2，故φ＝－π6. (2)由f (α)＝45可得sin(2α－π6)＝45，而π22α－π62π3，故cos(2α－π6)＝－35，故sin 2α＝sin[(2α－π6)＋π6]＝43－310，故cos 4α＝1－2sin 22α＝243－750. (3)f (θ)＋f (θ＋π4)＝sin(2θ－π6)＋cos(2θ－π6) ＝2sin(2θ＋π12)，因为0θπ8，所以π122θ＋π12π3，故f (θ)＋f (θ＋π4)2×32＝62，故只需|m －4|≥62，即m ≤4－62或m ≥4＋62，即实数m 的取值范围是(－∞，4－62]∪[4＋62，＋∞)．21．解(1)因为函数f (x )的最大值是1，且A 0，所以A ＝1.因为函数f (x )的最小正周期是2π，且ω0，所以T ＝2πω＝2π，解得ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为函数f (x )的图象过点M (0,1)，所以sin φ＝1.因为0φπ，所以φ＝π2. 所以f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x . (2)由(1)得f (x )＝cos x ，第13页共14页所以f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513. 因为A ，B ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，sin B ＝1－cos 2B ＝1213 . 因为A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以cos C ＝cos(π－(A ＋B ))＝－cos(A ＋B )，所以f (C )＝cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－(35×513－45×1213)＝3365. 22．解(1)函数f (x )＝a b ＝4sin(ωx ＋2π3)cos ωx ＝[4×(－12)sin ωx ＋4×32cos ωx ]cos ωx ＝23cos 2ωx －sin 2ωx＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx＝2cos(2ωx ＋π6)＋3，由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π，∴ω＝1，故f (x )＝2cos(2x ＋π6)＋3. 令2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z )，得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )，∴y ＝2cos(2x ＋π6)＋3的单调递增区间为[k π－7π12，k π－π12](k ∈Z )．当k ＝1时，函数的单调递增区间为[5π12，11π12 ]．当k ＝2时，函数的单调递增区间为[17π12，23π12]．∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为[5π12，11π12]，[17π12，23π12]．(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )＝2cos 2x ＋3的图象．令g (x )＝0，得x ＝k π＋5π12或x ＝k π＋7π12，k ∈Z ，第14页共14页∴函数g (x )在每个周期内恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ](b 0)上至少含有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，∴b 的最小值为4π＋7π12＝55π12.。
2019届高考理科数学一轮复习学案：第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像
第19讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用课前双击巩固1.y=A sin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)AT=f==2.用五点法画y=A sin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:xωx+φy=A sin(ωx+φ)0A0-A03.函数y=sin x的图像经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图像的步骤图3-19-1题组一常识题1.[教材改编]函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.[教材改编]某函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin,则原函数的解析式是.3.[教材改编]若函数f(x)=sinωx(0<ω<2)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,则ω=.4.[教材改编]已知简谐运动f(x)=2sin x+φ的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为.题组二常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos的图像,只需将函数y=sin2x的图像向平移个单位长度.6.设ω>0,若函数f(x)=sin cos在区间上单调递增,则ω的取值范围是.7.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f=f,且f=-3,则实数m=.8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-2所示,则φ=.图3-19-2课堂考点探究探究点一函数y=A sin(ωx+φ)的图像变换1(1)[2016·全国卷Ⅰ]将函数y=2sin2x+的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为()A.y=2sin2x+B.y=2sin2x+C.y=2sin2x-D.y=2sin2x-(2)[2018·安徽江南十校联考]函数y=cos2x的图像可以由函数y=sin2x的图像经过平移而得到,这一平移过程可以是()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度[总结反思]由y=sin x的图像变换到y=A sin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx 加减多少值.式题(1)[2017·雅安三诊]把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移个单位长度,所得图像的函数解析式为()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin(2)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图像,可以将函数y=cos3x的图像()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度探究点二函数y=A sin(ωx+φ)的图像与解析式2(1)[2017·马鞍山三模]已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图像如图3-19-3所示,则φ=.图3-19-3(2)已知函数f(x)=M sin(ωx+φ)M>0,|φ|<的部分图像如图3-19-4所示,其中A(2,3)(点A为图像的一个最高点),B-,0,则函数f(x)=.图3-19-4[总结反思]利用图像求函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)根据函数图像上的某一特殊点求出φ的值.式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-19-5所示,且A,1,B(π,-1),则φ值为.图3-19-5探究点三函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质3(1)[2017·惠州模拟]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后所得图像过点P(0,1),则函数f(x)=sin(ωx+φ) ()A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增(2)[2017·西宁二模]函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图像如图3-19-6所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=2,则该函数图像的一条对称轴为()图3-19-6A.x=B.x=-C.x=2D.x=1[总结反思]求y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的一般步骤.(1)求A,B.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.(2)求ω.确定函数的周期T,则ω=.(3)求φ.常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.式题[2017·长安一中质检]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-7所示,若f(0)=,且·=-8,B,C分别为最高点与最低点.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若将f(x)的图像向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.图3-19-7探究点四三角函数模型的简单应用4有一个半径为4m的水轮(如图3-19-8),水轮的圆心O距离水面2m,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈,当水轮上的点P从水中浮现(即到达图中点P)时开始计时.(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数;(2)在水轮转动一圈的过程中,有多长时间点P距水面的高度超过4m.图3-19-8[总结反思](1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=A sin(ωx+φ)+k中的待定系数.(2)把实际问题“翻译”为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论,最后把数学结论“翻译”为实际问题的答案.式题某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的月平均气温为℃.。
2019届高三数学一轮复习：第46讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
对值相等,则直线 l 的方程为
.
[答案] x-y+1=0 或 x-y-1=0
[解析] 设直线 l 在两坐标轴上的
截距分别为 a,b,则 ab = -1, 解得 a = b,
a b
= =
-1,或 1
a b
= =
1-1, ,故直线
l
的方程
为 x-y+1=0 或 x-y-1=0.
2019年8月10日
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,0
,
结合图形与 a>0,12×������������++���1���× 1 +
������ ������
=12⇒(a+b)2=a(a+1)>0⇒a=1���-���22������ .
∵a>0,∴1���-���22������>0⇒b<12,当 a=0 时,极限位
置易得 b=1- 22,故答案为 B.
不含直线 x=x1(x1≠x2)
和直线 y=y1(y1≠y2)
不含垂直于坐标轴
和过原点的直线
平面内所有直线都适
Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
用
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课前双基巩固
常用结论
直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应关系:
α
[解析] 因为直线 AB 的斜率为 -42--11=-1,所以 k=tan α =-1,所以 α=135°,即直线 AB 的倾斜角为 135°.
2019年8月10日
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【导与练】(新课标)2019届高三数学一轮复习 第7篇 柱、锥、台、球学案 理
第 44课时 柱 锥 台 球课前预习案1．理解空间几何体的结构特征．2．知道斜高、侧棱、高、母线的定义，并会有关计算. 3.掌握柱、锥、球的体积、表面积计算方法．1.棱柱：(1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱⎪⎩⎪⎨⎧−−−−→−−−−−→−−−−−−→−正棱柱直棱柱斜棱柱底面是正多边形侧棱垂直于底面侧棱不垂直于底面 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体。
(2)性质：①侧面都是平行四边形； ②两底面是全等多边形； ③平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形；④长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。
(3)面积：ch S =直棱柱侧（c 是底面周长，h 是高）(4)体积：S Sh V 侧面棱柱21==（S 为底面积，h 为高） 2.棱锥：(1)定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥； 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫正棱锥； (2)性质：①平行于底面的截面和底面相似，截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；②正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三角形；通过四个直角三角形POH Rt ∆，POB Rt ∆，PBH Rt ∆，BOH Rt ∆实现边，高，斜高间的换算 (3)面积：正棱锥侧S '21ch S =正棱锥（c 为底周长，'h 为斜高） (4)体积：Sh V 31=棱锥（S 为底面积，h 为高）3.圆柱、圆锥、圆台分别以矩形的_____、直角三角形的___________、直角梯形_______________所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台. 4.棱台(1)定义:用一个_______________的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫作棱台.(2)正棱台:用_______截得的棱台叫作正棱台.正棱台的侧面是全等的等腰梯形,它的高叫作正棱台的斜高.棱长都相等底面是正方形底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 A B CD PO H(3)分类:三棱台、四棱台、五棱台、…5.球(1)定义：①球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
高考数学一轮复习 考点50 椭圆必刷题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
考点50 椭圆1．（市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在某某卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A．125B．340C．18D．35【答案】B 【解析】如下图，F为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，｜BF｜＝400＋1738＝2138. 2a＝1838＋2138，a＝1988，a＋c＝2138，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：1503198840cea==≈，选B.2．（某某省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ∆的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若2MI IE=，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．22B ．12C ．32D ．13【答案】B 【解析】解：12MF F ∆的内心为I ，连接1IF 和2IF ， 可得1IF 为12MF F ∠的平分线，即有11MF MI F EIE=，22MF MI F EIE=，可得12122MF MF MI F E F E IE===，即有1212222MF MF aF EEF c===， 即有12e =， 故选：B ．3．（某某2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( )A ．32-B ．31-C ．22D ．32【答案】B 【解析】解：设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点, 设122F F c =,则1DF c =,23DF c =． 椭圆定义,得122||||3a DF DF c c =+=+, 所以23131c e a ===-+, 故选：B ．4．（某某省某某市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A 【解析】 如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c -∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 5．（某某省某某市2019届高三全真模拟考试数学理）已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，则椭圆C 的离心率为_________.【解析】1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，可得2AF 的方程为x c =，1AF 的方程()a y x c b =+，可得2(,)acA c b， 1AF 的中点为(0,)acb ，代入直线bx ay ab +=，可得：222ac b c a ==-，1c e a=<， 可得210e e --=，解得12e =．6．（某某省某某市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)数学（理）已知F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，直线AF 与椭圆另一交点为B ，且2AF FB =，则椭圆的离心率为______.【答案】33【解析】设()0,A b -，(),0F c ，作BC y ⊥轴，垂足为C ，如下图所示：则：22AF b c a =+=由2AF FB =得：23AF c ABBC==32BC c ∴=，即：32B x c = 由椭圆的焦半径公式可知：B BF a ex =-232B AF a ac c a ex FBa a ∴===--⋅，整理可得：223a c =213e ∴=，即3e =本题正确结果：337．（某某省某某市2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．25【解析】如图，圆锥面与其内切球1O ，2O 分别相切与B,A ，连接12,O B O A 则1O BAB ，2O A AB ，过1O 作12O D O A 垂直于D ，连接12,O F O E ，EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β 在12Rt O O D 中，2312DO ，22182215O D11221515cos84O O O D 128O O = 218CO O C21EO CFO C11218O C O CO E O F 解得1=2O C 222211213CFO FO C即13cos2CF O C则椭圆的离心率3cos 252cos 5154e8．（某某省某某市师X 大学某某市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(3M ，离心率为12．直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ．且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若AP PB λ=，当230t <≤时，求λ的取值X 围． 【答案】（1）22143x y +=（2）35λ⎛+∈ ⎝⎦【解析】解析：（1）．由题意，12c e a ==且3b =2a =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）．因为直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ，所以直线l 的斜率为1t -，设1:1l y x t=-+，将其代入椭圆方程22143x y +=中，消去x 得()22223463120t y t y t +-+-=，当∆>0时，设()11,A x y 、()22,B x y ，则2122634t y y t +=+……①，212231234t y y t -=+……②因为AP PB λ=，所以()()1122,,t x y x t y λ--=-，所以12y y λ=-……③ 联立①②③，消去1y 、2y ，整理得()222124141t λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-．当0t <≤时，()[)2221241412,1t λλ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭-，解351,2λ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦由()2122261034t y y y t λ+=-=>+且20y <，故1λ>，所以λ⎛∈ ⎝⎦． 9．（某某省威海市2019届高三二模考试数学理）在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,短轴的两个端点分别为,A B ，且160AF B ∠=︒，点1)2在C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 和圆O 分别相切于P ,Q 两点，当OPQ ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程.【答案】(Ⅰ) 2214x y +=.(Ⅱ) y x =【解析】(Ⅰ)由160AF B ∠=︒，可得2a b =，①由椭圆C经过点1)2，得2231144b b+=，② 由①②得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(Ⅱ)由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得()222148440k x kmx m +++-=（*），由直线l 与椭圆相切得，()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得2241m k =+，故方程（*）化为2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=， 解得4kx m-=， 设()11,P x y ，则124414km k x k m--==+，故111y kx m m =+=， 因此41(,)k P m m-． 又直线:(0)l y kx m k =+>与圆O相切，可得||OQ =所以||PQ ==所以1||||2OPQS PQ OQ ∆=⋅= 将2241m k =+式代入上式可得OPQS ∆===21321k k =⋅+3112k k=⋅+， 由0k >得12k k+≥，所以313124OPQ S k k∆=⋅≤+，当且仅当1k =时等号成立，即1k =时OPQ S ∆取得最大值．由22415m k =+=，得5m =±， 所以直线l 的方程为5y x =±．10．（某某省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞，()4,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且213213cos OA CA OC OB BC BA 〈〉=-=-，，．（1）求椭圆E 的方程．（2）过椭圆E 右焦点F 的直线，交椭圆E 于11,A B 两点，交直线8x =于点M ，判定直线11,,CA CM CB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）是，理由见详解. 【解析】 （1）由2OC OB BC BA -=-，得2B A C C =，即2O A C C =，所以AOC ∆是等腰三角形， 又4a OA ==，∴点C 的横坐标为2；又213cos OACA 〈〉=，， 设点C 的纵坐标为C y 222132C y =+，解得3C y =±， 应取(2,3)C ，又点C 在椭圆上，∴22222314b +=，解得212b =，∴所求椭圆的方程为2211612x y +=；（2）由题意知椭圆的右焦点为(2,0)F ，(2,3)C ， 由题意可知直线11,,CA CM CB 的斜率存在， 设直线11A B 的方程为(2)y k x =-，代入椭圆2211612x y +=并整理，得2222(34)1616480k x k x k +-+-=；设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线11,,CA CM CB 的斜率分别为123,,k k k ，则有21221634k x x k+=+，2122164834k x x k -=+， 可知M 的坐标为(8,6)M k ；∴()()12121312122323332222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+---- 1212124232142()x x k k x x x x +-=-•=-+-+，又263222182k k k -=•=--； 所以1322k k k +=，即直线11,,CA CM CB 的斜率成等差数列．11．（某某市某某区2019届高三一模数学理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，且离心率为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ 为等边三角形，求直线1l 的方程。
2019届高考理科数学一轮复习专题演练：专题2.3基本初等函数(含解析)
专题2.3基本初等函数【三年咼考】4 2 11. 【2019高考新课标3理数】已知a =2空,b=45, c=25'，则( )(A) b ::: a ：：：c ( B) a ::: b ::: c (C) b ：：：c ... a(D) c ... a::: b【答案】A4 2 2 1 2 2【解析】因为a= 23=4345= b，c = 253= 53• 43= a，所以b ：.a ::: c，故选A.5 b a2. 【2019 高考浙江理数】已知a>b>1.若log a b+log b a=—, a =b ,贝U a= , b=.2 --- ----------【答案】4 2【强忻】设log/三匕则r Al,因为F —==斗n r = 2 n 口■扩，因此扌三扩=> 卩=户=>2&=罗nb三2卫=4.3. [2019高考上海理数】已知点(3,9)在函数f(x)=1，a x的图像上，贝Uf (x)的反函数f」(x) = _________ .【答案】log2(x -1)【解析】将点(3,9)带入函数f x = 1 • a x的解析式得a = 2，所以f x =1 2x，用y表示x 得x = log2(y -1)，所以f x = log2(x -1).4. [2019高考天津理数】已知函数f (x) = x (4^3)x 3a,^ 0,( a>0,且a z 1)在R[log a(x+1) + 1,x^0上单调递减，且关于x的方程I f(x)戶2 -x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( )2 23 1 2 3 1 2 3(A) (0, ] (B) [―,—] ( C) [―,]_{ —} (D)[―,)【」{—}3 34 3 3 4 3 3 4【答案】C的实数解，可皿闰-S 扫弓又a = -B 寸』抛物线p = F+(4o —3找+%与直线 41 j 3=2-工相切，也符合题童…I 实数立的去范围是［-f -］U{-},故选C3 3 45.【2019高考上海理数】已知 a ・R ，函数f(x) =log 2(〕 a).x(1)当a = 5时，解不等式f (x) • 0 ；(2)若关于x 的方程f (x) - log?" -4)x • 2a - 5］ =0的解集中恰好有一个元素，求a 的取 值范围;1(3)设a ■ 0，若对任意t ［^,1］，函数f (x)在区间［t,t 1］上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围. 【解析】(1)由log 2 1 50，得1 5 1，解得x l x丿 x\(2) 1 a 二 a -4 x 2a -5， a —4 x 2a — 5 x -1 =0，当 a = 4 时，x = -1，经检x1验，满足题意.当a = 3时，x^ x 2 - -1,经检验，满足题意.当a = 3且a = 4时，x^a — 4x^ -1，x 广x 2. x 1是原方程的解当且仅当丄• a • 0 ,即a 2 ； x 2是原方程的解当且仅1当一，a ・0，即a 1 •于是满足题意的a ・1,2 1.综上，a 的取值范围为1,2 1U ：3,4?.x2【解析】宙/■&)在丘上递减可知由方程|/(x)|=2 3 4-工恰好有两个不相等，所以f x 在0, •：：上单调递减•函数 f x 在区间lt,t 1 1上的最大值与最小值分别为 f t ，f t -f t 1 二呃 J a-log2 丄a <1 即at2 a 1 t-1-0, It +1 丿对任意-1,1 成立.因为a 0，所以函数y=a「am在区间1,1上单调递增,1 3 1 3 12 2t 时，y有最小值—a ，由一a 0，得a .故a的取值范围为，■::.2 4 2 4 23 IL36. 【2019高考四川，理8】设a,b都是不等于1的正数，则“ 3a. 3b. 3 ”是“log a 3 ：：：log b 3 ”的（）（A）充要条件（B）充分不必要条件（C必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若3">3*>3,则Q—从而有1昭/<嗨异,故为充耸条件一若106,3<lo gi3不一定有比如4 =丄上二务从而3J>3*>3不成立”故选B37. 【2019高考北京，理7】如图，函数f x的图象为折线ACB，则不等式f x > log2 x 1的解集是（）A. 〈x|—1：：：x w 0? B .〈x|—1 w x w 1? C.〈x|—1：：：x < 1 D .〈x | —1 ：：： x < 2【答案】C【解析】如图所示，把函数y二log2x的图象向左平移一个单位得到y二log 2（x 1）的图象x - 1时两图象相交，不等式的解为-1 ：：：x < 1，用集合表示解集选C8. 【2019高考天津，理7】已知定义在R上的函数f x =2x^ -1 （m为实数）为偶函数，记 a = f (log °.53),b = f (log ? 5 ),c = f (2m )，则 a,b,c 的大小关系为()(A ) a ::: b ::: c (B ) a ::: c ::: b (C ) c ：：： a ：：： b (D ) c ：：： b ：：： a 【答案】C【解析】因为函数f x i ；=2x R _1为偶函数，所以m = o ，即f x i ； = 2x -1，所以b = f log ? 5 二 2log 25 一1 = 4,c 二 f 2m 二 f (0) = 2。
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2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版）
（理科）
第一章集合常用逻辑用语推理与证明
第1课时集合的概念、集合间的基本关系
第2课时集合的基本运算
第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件
第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第5课时合情推理与演泽推理
第6课时直接证明与间接证明
第7课时数学归纳法
第二章不等式
第8课时不等关系与不等式
第9课时一元二次不等式及其解法
第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
第11课时基本不等式及其应用
第12课时不等式的综合应用
第三章函数的概念与基本初等函数
第13课时函数的概念及其表示
第14课时函数的定义域与值域
第15课时函数的单调性与最值
第16课时函数的奇偶性与周期性9
第17课时二次函数与幂函数
第18课时指数与指数函数
第19课时对数与对数函数
第20课时函数的图象
第21课时函数与方程
第22课时函数模型及其应用
第四章 导数
第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数）
第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值
第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用
第五章 三角函数 第26课时
任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时
同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时
二倍角的三角函数 第30课时
三角函数的图象和性质 第31课时
函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用 第32课时
正弦定理、余弦定理 第33课时
解三角形的综合应用
第六章 平面向量 第34课时
平面向量的概念及其线性运算 第35课时
平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时
平面向量的数量积 第37课时
平面向量的综合应用
第七章 数 列 第38课时
数列的概念及其简单表示法 第39课时
等差数列 第40课时
等比数列 第41课时
数列的求和 第42课时
等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时
平面的基本性质及空间两条直线的位置关系
第44课时直线、平面平行的判定与性质
第45课时直线、平面垂直的判定与性质
第46课时空间几何体的表面积与体积
第47课时空间向量的应用——空间线面关系的判定
第48课时空间向量的应用——空间的角的计算
第九章平面解析几何
第49课时直线的方程
第50课时两直线的位置关系与点到直线的距离
第51课时圆的方程
第52课时直线与圆、圆与圆的位置关系
第53课时椭圆
第54课时双曲线、抛物线
第55课时曲线与方程
第56课时直线与圆锥曲线的位置关系
第57课时圆锥曲线的综合应用
第十章复数、算法、统计与概率
第58课时抽样方法、用样本估计总体
第59课时随机事件及其概率
第60课时古典概型
第61课时几何概型互斥事件
第62课时算法的含义及流程图
第63课时复数
第十一章计数原理、随机变量及其分布第64课时分类计数原理与分步计数原理
第65课时排列与组合
第66课时二项式定理
第67课时离散型随机变量及其概率分布
第68课时事件的独立性及二项分布
第69课时离散型随机变量的均值与方差
第十二章选修4系列
第70课时选修4－1 《几何证明选讲》相似三角形的进一步认识
第71课时选修4－1 《几何证明选讲》圆的进一步认识
第72课时选修4－2 《矩阵与变换》平面变换、变换的复合与矩阵的乘法第73课时选修4－2 《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
第74课时选修4－4《参数方程与极坐标》极坐标系
第75课时选修4－4《参数方程与极坐标》参数方程
第76课时选修4－5《不等式选讲》绝对值的不等式
第77课时选修4－5《不等式选讲》不等式的证明。