冀教版八年级上册数学16.3《角的平分线》
冀教版数学八年级上册《16.3角的平分线》教学设计3
冀教版数学八年级上册《16.3 角的平分线》教学设计3一. 教材分析冀教版数学八年级上册《16.3 角的平分线》是角平分线相关知识的学习，主要内容包括：角平分线的定义、性质和作法。
这部分内容是初中数学的重要知识点，也是中考的热点，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、角的分类等基础知识，对角有一定的认识。
同时，学生已经掌握了直线、射线、线段等基本几何概念，具备一定的几何思维能力。
但是，对于角的平分线这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质和作法。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的定义、性质和作法。
2.难点：角平分线的性质和作法的灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究角平分线的性质和作法。
2.利用几何画板等软件，直观展示角平分线的作法和性质。
3.通过小组讨论、汇报交流等形式，培养学生的团队合作意识和表达能力。
4.运用例题和练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的几何图形和图片，用于引导学生观察和思考。
2.准备几何画板软件，用于展示角平分线的作法和性质。
3.准备练习题和作业题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际生活中的例子，如剪刀、扇子等，引导学生观察其中的角平分线，从而引出本节课的主题——角的平分线。
2.呈现（10分钟）教师利用几何画板软件，展示角的平分线的作法和性质，引导学生通过观察、思考，总结出角平分线的定义和性质。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关角平分线的问题，让学生分组讨论，并通过几何画板软件进行操作验证。
冀教版数学八年级上册《16.3 角的平分线》教学设计3
冀教版数学八年级上册《16.3 角的平分线》教学设计3一. 教材分析冀教版数学八年级上册《16.3 角的平分线》是角的平分线这一节的内容，主要让学生掌握角的平分线的性质和作法。
本节内容是在学生已经学习了角的概念、角的计算等知识的基础上进行学习的，是为后续学习三角形、多边形等知识做铺垫。
二. 学情分析学生在学习本节内容时，已经具备了角的基本概念和基本运算能力，但对于角的平分线的性质和作法可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、操作等活动，发现角的平分线的性质，并学会如何作角的平分线。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握角的平分线的性质，并学会如何作角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考等活动，培养学生的观察能力、动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，增强学生对数学学科的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：角的平分线的性质和作法。
2.教学难点：角的平分线的性质的证明和作法的灵活运用。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生通过观察、操作、思考等活动，发现角的平分线的性质。
2.实践操作法：让学生亲自动手作角的平分线，加深对角的平分线性质的理解。
3.讲解法：教师对角的平分线的性质和作法进行讲解，帮助学生理解和掌握。
六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、圆规等。
2.教学课件：角的平分线的性质和作法的课件。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾角的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
呈现（10分钟）教师通过课件呈现角的平分线的定义和性质，让学生初步了解角的平分线。
操练（10分钟）教师引导学生用三角板、直尺、圆规等工具，亲自动手作角的平分线，并观察和思考角的平分线的性质。
巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生巩固对角的平分线的性质的理解和掌握。
拓展（10分钟）教师引导学生思考：角的平分线和角的对称轴有什么关系？角的平分线还有什么性质？让学生对角的平分线有更深入的了解。
冀教版数学八年级上册《16.3角的平分线》教学设计
冀教版数学八年级上册《16.3 角的平分线》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册《16.3 角的平分线》这一节主要介绍了角平分线的性质和角平分线的作法。
它是初中数学中的一个重要概念，也是学习几何的基础知识。
本节内容通过讲解角平分线的性质，让学生了解角平分线的作用，并通过实际作图，让学生掌握角平分线的作法。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经掌握了基本的几何知识，如角、线段等，具备一定的逻辑思维能力。
但他们对角平分线的理解和应用可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解角平分线的性质，并通过实际操作，让学生掌握角平分线的作法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解角平分线的性质，学会用尺规作图作出一个角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的几何思维能力和动手能力。
3.情感、态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：角平分线的性质，角平分线的作法。
2.教学难点：理解角平分线的性质，熟练掌握角平分线的作法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、几何模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实例，引出角平分线的概念，激发学生的兴趣。
2.讲解角平分线的性质：通过多媒体课件展示角平分线的性质，引导学生理解并归纳总结。
3.角平分线的作法：讲解角平分线的作法，让学生动手实践，分组讨论，总结作法步骤。
4.应用拓展：出示一些练习题，让学生运用角平分线的性质和作法解决实际问题。
5.课堂小结：回顾本节课所学内容，总结角平分线的性质和作法。
6.布置作业：布置一些有关角平分线的练习题，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：角平分线的性质：1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2.角的平分线与角的两边构成等腰三角形。
冀教版数学八年级上册16.3 角的平分线
16.3 角的平分线学习目标：1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.〔难点〕证明相关结论并应用.(重点〕3.能利用尺规作出一个角的角平分线.学习重点：角平分线的性质定理及其逆定理.学习难点：角平分线的性质定理及其逆定理的应用.自主学习一、知识链接1.角是轴对称图形吗？你能确定角的对称轴吗？试着在以下图中画出∠ABC的对称轴.二、新知预习2.在一张半透明的纸上画出一个角〔∠AOB〕，将纸对折，使得这个角的两边重合，从中你能得什么结论？答：________________________________________________________________________. 3.按照以下图所示的过程，将你画出的∠AOB，依照上述方法对折后；设折痕为直线OC；再折纸，设折痕为直线n，直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交于点P；将纸展开平铺后，猜测线段PD与线段PE，线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由.猜测：_____________________________________________.得出结论：__________________________________________________.下面我们就来证明折纸过程中发现的结论：：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.证明：在△______和△______中，∵__________________________________________________,∴△______≌△______.∴____________________________.于是我们得到角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离______.3.我们已经学习过线段垂直平分线的性质的逆命题是一个真命题〔定理〕.角平分线的性质定理的逆命题呢？〔1〕角平分线的性质定理的逆命题：________________________________________________________________.（2）根据这个逆命题的内容，画出图形；（3）解题图形，提出你对这个逆命题是否正确的猜测；猜测：_____________________________________________.（4）设法验证你的猜测；：如图，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E且PD=PE.求证：OC是∠AOB的平分线证明：在△______和△______中，∵__________________________________________________,∴△______≌△______.∴____________________________.于是我们得到角平分线性质定理的逆命题是一个_____命题.即_____________________________________________________________________.三、自学自测1.如图，△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC 的面积是________．2.如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F．那么∠FAC=_______．四、我的疑惑_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________合作探究一、要点探究探究点1：角平分线的性质定理问题1：如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.证明：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.【归纳总结】角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段〞相等．【针对训练】如下图，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.问题2：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，那么AC的长是( )A．6 B．5 C．4 D．3【归纳总结】利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【针对训练】如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连结BC，AB=10 cm，CA=4 cm，那么△OBC的面积为 ________cm2．探究点2：角平分线的性质定理的逆定理问题1：如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．【归纳总结】证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【针对训练】如图，：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．〔提示：作辅助线如下图〕问题2：如下图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【归纳总结】运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【针对训练】如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，那么以下结论：①DA 平分∠CDE ；②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB ；⑤A ，D 两点一定在线段EC 的垂直平分线上，其中正确的有〔 〕A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 探究点3：用尺规作角的角平分线问题：如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M.假设∠ACD＝120°，求∠MAB 的度数．【归纳总结】通过此题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键． 【针对训练】如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30 m ，40 m ，50 m ，现要把它分成面积比为3:4:5的三局部，分别种植不同的花.请你设计一种方案，保存作图痕迹.二、课堂小结内容角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等.如果点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，那么PD＝________．角平分线性质定理的逆定理角的内部到角的两边距离________的点在角的平分线上．如果点P为∠AOB内一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD＝PE，那么点P在∠AOB的平分线上.角平分线的作法(1)作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以M，N为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧相交在∠AOB的内部于点C；③画射线OC，射线OC即为所求．(2)上述作角平分线的理论依据是________．1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE =DF，∠EDB= 60°，那么∠EBF= _______度，BE=________ .2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,那么点D到AB的距离是______.3.用尺规作图作一个角的平分线的示意图如下图，那么能说明∠AOC=∠BOC的依据是〔〕当堂检测4.如下图，△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．5.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，\求证：点F在∠DAE的平分线上．当堂检测参考答案：1.60 BF3.A4. 解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上..。
冀教版数学八年级上16.3角的平分线课件
• 将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条 折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三
条折痕,你能得到什么结论?
A
1、折痕PE和PD与角的两边OA、OB有什么
关系？
O
PD和PE相等吗？
2、两次折叠形成的两个直角三角形全等 吗？
3、由此你能得出关于角平分线的结论吗？ 并证明你的结论。
D P C
谢谢观赏You mad源自 my day!我们，还在路上……
作业：课堂内外
思考: 1、到一三角形三边距离相等的点有几个?画图说明.
2、求证：三角形的三条平分线交于一点。
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
O
∠DOP=∠BOP （已证）
∠ODP=∠OEP （已证）
OP=OP （已知）
∴ △ADC≌△ABC (ＡＡS)
∴ＰＤ＝ＰＥ（全等三角形对应边相等）
D PC
E B
几何语言:
∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
解： 作夹角的角平分线OC，截取
冀教版初中八年级数学上册16-3角的平分线第一课时角平分线的性质定理课件
∴∠ABD=∠DBC,即BD平分∠ABC, 如图,过点D作DE⊥BC于E,
∴DE=AD=2,
∴S△BCD=
1 2
1
BC×DE=2
×4×2=4.
图①
图②
(1)如图①,当PC⊥OA,PD⊥OB时,PC与PD的数量关系是 PC=PD ;
(2)如图②,点C、D在射线OA、OB上滑动,且∠AOB=90°,当 PC⊥PD时,PC与PD在(1)中的数量关系还成立吗?说明理由.
解析 (1)PC=PD. 理由:∵OM是∠AOB的平分线, ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等). (2)成立,理由如下:
△ADF的面积为14,则 1 AF·DF=14,即1 ×7×DF=14,解得DF=4,
2
2
∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,∴DE=DF=4,∵△ADC
的面积为22,∴ 1 AC×4=22,解得AC=11.
2
5.(新独家原创)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°, ∠DBC=45°,AD=2,BC=4,求△BCD的面积.
DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF=1,∵AC=2,∴S△ACD= 1 AC·DF=
2
1 ×2×1=1.
2
4.(2024吉林舒兰期末)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB, 垂足为F,若AF=7,△ADF和△ADC的面积分别为14,22,则AC的 长为 11 .
解析 如图,过点D作DE⊥AC于点E,在直角△ADF中,AF=7,
∴PF=PG,PE=PG,∴PE=PF= 1 EF=2,∴PG=2,即点P到AB的距
冀教版八年级数学上册第十六章16.3角的平分线优秀教学案例
3.小组合作：组织学生进行小组讨论，鼓励学生相互交流、分享成果，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.反思与评价：让学生进行自我评价和同伴评价，教师对学生的学习过程和结果进行评价，给予肯定和鼓励，提出改进建议，促进学生的持续发展。
2.同伴评价：鼓励学生相互评价，发现他人的优点，学习他人的长处。
3.教师评价：教师对学生的学习过程和结果进行评价，给予肯定和鼓励，提出改进建议。
4.设计具有针对性的练习题：让学生在课后进行巩固练习，提高学生的知识运用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例导入：展示一把剪刀，引导学生观察剪刀的两个剪切面，提问：“你们能发现剪刀剪切面之间的特殊关系吗？”
5.针对性的练习题：设计具有针对性的练习题，让学生在课后进行巩固练习，提高学生的知识运用能力，确保学生能够将所学知识灵活运用到实际问题中。
3.能够理解并应用角的平分线的性质定理，如角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
4.能够熟练地使用直尺和圆规作角的平分线，提高空间想象能力和动手能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、思考、讨论，引导学生自主发现和总结角的平分线的性质，培养学生的观察能力和思维能力。
2.利用几何画板或实物模型，让学生直观地感受角的平分线性质，提高学生的空间想象能力。
3.设计具有梯度的练习题，让学生在解决实际问题的过程中，学会运用角的平分线的性质，提高学生的应用能力。
4.引导学生进行小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
冀教版八年级数学上册16.3角的平分线
OP=OP
O
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
A C
P
EB
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学 符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证 的途径，写出证明过程。
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
C
P
C P
OP平分∠AOB
已知
条件 PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论
PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
如图，△ABC的角平分线BM，
CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、
CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D，
A
D NP
F M
结PE⊥论B：C于三E，角PF形⊥A的C于三F，条角平分线交于
LOGO
在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.
求BD的长。
A E
C
D
B
Your site here
LOGO
如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的 平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
A
F
E
CD B
Your site here
D
A
C
P
D B
E
B
C
O
练习
A
1 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足
E
分别是E，F， DE =DF， ∠EDB=
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《角的平分线》本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完轴对称的基础上进行教学的。
内容包括角平分线的作法、角平分线的性质与判定定理初步应用。
作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形与轴对称知识的延续，因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。
同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。
【知识与能力目标】1.经历探索角的对称性的过程,进一步体验轴对称图形的特征,发展合情推理的能力.2.理解和掌握角的平分线的性质定理及其逆定理,并能利用它们进行证明或计算.3.理解和掌握用尺规作已知角的平分线.【过程与方法目标】1.了解角平分线的性质定理及其逆定理在生活、生产中的应用.2.在探索角平分线的性质定理及其逆定理中提高几何直觉.3.让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.【情感态度价值观目标】1.在探讨作角的平分线的方法及角平分线的性质定理及其逆定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣.2.增强学生解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,逐步培养学生的理性精神.3.通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数学、热爱数学.【教学重点】角平分线的性质定理及其逆定理的证明及应用.【教学难点】灵活运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题. 课前准备【教师准备】直尺和圆规、课件1~2.【学生准备】直尺和圆规.教学过程导入新课【问题探究】(投影显示)如图所示的是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明其中的道理吗?【教师活动】首先提出探究问题,然后运用教具直观地进行讲述.【学生活动】小组讨论后得出:根据三角形全等的“边边边”判定法,可以说明这个仪器的工作原理.【教师活动】那么角平分线有哪些性质呢?又怎样判定一条线是角的平分线呢?今天我们就来研究这一问题.[设计意图]通过平分角的仪器,了解全等三角形判定方法在实际生活中的应用,从而引出角平分线的画法,为下面的学习做好铺垫.导入二:师:前面我们学习了角的平分线,你能说出它的定义吗?学生思考回答.师:你会作角平分线吗?生:会.师:怎么作呢?生1:用折纸的方法来作.生2:用量角器来作.师:很好,这节课我们继续学习角平分线的有关知识(板书课题).[设计意图]通过简单的复习,导出本节课的教学内容,抢答有利于提高学生的学习积极性.自主探究，新知构建活动一:角平分线的性质定理及其逆定理思路一1.整体感知师:在一张半透明纸上画出一个角,将纸对折,使这个角的两边重合,从中你能得到什么结论?生:角是轴对称图形,它的平分线是对称轴.师:出示课件.【课件1】按下图所示的过程,将你画出的∠AOB依上述办法对折后,设折痕为直线OC;再折纸,设折痕为直线n,直线n与边OA,OB分别交于点D,E,与折线OC交于点P;将纸展开后,猜想线段PD与线段PE,线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系,并说明理由.生:由折纸过程可知PD=PE.特别地,当折痕n与OB垂直时,可得出:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.请同学们用逻辑推理的方法来加以证明,将这个命题画出图形,写出已知、求证.已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE.2.师生互动互动1师:这是证明线段相等的问题.我们有哪些方法可以证明线段相等? 生:全等三角形的对应边相等.师:归纳得很好.我们就借鉴这个思路,证明哪两个三角形全等呢? 生:ΔPDO与ΔPEO.师:怎样证全等?生:可以通过AAS的判定方法.(证明过程略)师:于是得到了角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.明确借助于三角形全等来证明线段相等的方法.互动2师:反过来,到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?师:事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.这样就有角平分线的判定定理(角平分线性质定理的逆定理):到角的两边距离相等的点在角平分线上.互动3刚才我们掌握了角的平分线的性质和判定方法,现在请同学们利用刚才学到的知识解决下面的例题,请看例题:【课件2】(补充例题)如图所示,ΔABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证点P到三边AB,BC,CA的距离相等.〔解析〕因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们,所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.证明:过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足为分别D,E,F. ∵BM是ΔABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE.同理PE=PF,∴PD=PE=PF,即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.说明:在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,那么可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程.思考:点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?(点P在∠A的平分线上,三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三角形三条边的距离都相等.)思路二如图所示,任意作一个角∠AOB,利用折纸的方法作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P分别作OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你能得到什么结论?在OC上找几个点试试.生:相等.师:为什么?学生思考,小组讨论.师:你能证明这个结论吗?学生思考证明.教师说明:一般情况下,我们要证明一个几何命题成立,可以按照以下步骤进行,即:1.明确命题中的已知和求证.2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.教师找学生板演.已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,OC平分∠AOB,∴∠PDO=∠PEO=90°,∠AOC=∠BOC.在ΔPDO和ΔPEO中,∴ΔPDO≌ΔPEO(AAS),∴PD=PE.集体纠正.师:你能总结这个结论吗?生:角平分线上的点到角的两边的距离相等.[知识拓展]利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.师:谁能说出它的逆命题?生:到角的两边距离相等的点在角平分线上.四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换:到角的两边距离相等的点在角平分线上.事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.即角平分线性质定理的逆定理:到角的两边距离相等的点在角平分线上.[知识拓展](1)角平分线的判定可帮助我们证明角相等,使证明过程简化.(2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合.(3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.活动二:角平分线的画法教师引导学生作图:作∠AOB的平分线.学生讨论作法.教师总结作法:1.以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点D,E.2.分别以点D,E为圆心,适当长为半径,在∠AOB的内部画弧,两弧相交于点C.3.作射线OC,则OC为所要求作的∠AOB的平分线.学生作图.师:你能证明OC为什么是∠AOB的平分线吗?学生进行交流,写出证明过程,教师巡回指导.师:当∠AOB的两边成一直线时(即∠AOB=180°),你会作这个角的平分线吗?这时的角平分线与直线AB是什么关系?生:垂直.师:你会作吗?学生小组操作.教师说明:实际上节课我们学习的过直线上一点作已知直线的垂线可以看作是作平角的平分线.课堂总结1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.作用:证明角相等.3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是角平分线上的点,那么它到此角两边一定等距离,无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上,绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等(角平分线).检测反馈，巩固提高1.如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,SΔABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是 ()A.3B.4C.6D.52.如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,连接AB.下列结论中不一定成立的是()A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB平分OP3.如图所示,在ΔABC中,角平分线AD,BE相交于O点,连接CO,则下列结论成立的是()A.ΔCEO≌ΔCDOB.OE=ODC.CO平分∠ACBD.OC=OD4.如图所示,ΔABC中,∠C=90°,AM平分∠CAB,BC=16cm,CM∶MB=3∶5,求点M到AB的距离.布置作业【必做题】1.教材第122页练习第1,2题.2.教材第122~123页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第123页习题B组第1,2,3题.。