第6天(角平分线的性质)暑期预习每日一练(人教版八年级上)(解析版)

【答案】
【解析】
过点D作DF⊥AC，交AC于F，如图所示
∵在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,
∴
又∵AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF
∴
∴DE=
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质以及三角形面积公式的运用，熟练掌握，即可解题.
10．（2019·湖北省初二期中）如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，CB=8，则点M到BC的距离_______．
【答案】4
【解析】
如图，过点M作ME⊥AD于E，
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，∠B=∠C=90°，
∴BM=ME，CM=EM，
∴BM=CM，
∵BC=8，
∴ ，
∴ME=4，
即点M到AD的距离为4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
∴∠C=180°-∠CDB-∠CBD=100°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了邻补角，平行线的性质，角平分线定义的应用，解此题的关键是求出∠ABC的度数，注意：①两直线平行，同旁内角互补，②两直线平行，内错角相等．
5．（2020·黑龙江省初二期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）
（1）求证：CF=EB；
（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析（2）AB＝AF＋2BE
【解析】
（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90 ，
∴DC＝DE，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△FCD≌Rt△BED，
∴CF＝EB；
（2）解：在Rt△ACD和Rt△AED中，
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】
如图，过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∵∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3，
∴DE＝3，
∴点D到AB的距离等于3．
故选：C．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，作辅助线DE⊥AB使DE=CD是解答的关键．
2020甘肃省靖远五中初二期中如图直线123lll表示三条相互交叉的公路现要建一个货物中转站要求它到三条公路的距离相等则可供选择的地址有a
第6天角平分线的性质
一、单选题
1．（2020·广西壮族自治区初三三模）△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离等于（ ）
A．11B．5.5
C．7D．3.5
【答案】B
【解析】
作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵DE=DG，
∴DM=DE，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DE=DN，
∴△DEF≌△DNM，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMG=590﹣39=11，
S△DNM=S△DEF= S△MDG= =5.5
故选C
8．（2018·内蒙古自治区初二期末）如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正确的有（ ） 个 ．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
∴ DE(AB+AC)=45，即： ，
解得：DE=3（cm）.
12．（2019·黑龙江省初二期末）如图， 中， 与 的平分线相交于点 ， 经过点 ，分别交 ， 于点 ， ， ．点 到 的距离为 ，则 的面积为__________ ．
【答案】6
【解析】
解：∵BE=OE，
∴∠EBO=∠EOB，
∵BO平分∠ABC，
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】B
【解析】
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质，得出EC=DE是解题关键．
6．（2019·内蒙古自治区初二期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
∴∠EBO=∠CBO，
∴∠EOB=∠CBO，
∴EF∥BC，
∵点O到BC的距离为4cm，
∴△COF中OF边上的高为4cm，
又∵OF=3cm，
∴△OFC的面积为 cm2
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义以及三角形的面积，判定EF∥BC是解决问题的关键．
13．（2019·湖北省初二期中）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝______.
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
∴②正确；
③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
∴③正确；
④因为BD是△ABC的角平分线，且BA>BC,所以D不可能是AC的中点，则AC≠2CD，
【点睛】
本题考查三角形内角和，解题的关键是根据条件列出关于α与β的方程组，本题属于中等题型．
14．（2020·辽宁省丹东市第二十一中学初二期中）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于_____．
【答案】9
【解析】
过E作EF⊥BC于F，
故④错误.
故选：C.
【点睛】
此题考查角平分线定理，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的面积关系等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键.
二、填空题
9．（2019·上海民办永昌学校初二月考）如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB于点E,则DE的长是__________
【答案】58°
【解析】
解：设∠ABD＝α，∠BAD＝β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
即α+β＝90°
∵BD是∠ABC得角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2α，
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180
∴2α+β+38°+20°＝180°，
∴联立可得 ，
解得： ，
∴∠BAD＝58°；
故答案为：58°.
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝3，
∵BC＝6，
∴△BCE的面积为 ×BC×EF＝9，故答案为9.
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
三、解答题
15．（2020·甘肃省靖远五中初二期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF．
3．（2020·甘肃省靖远五中初二期中）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）
A．一处B．二处C．三处D．四处
【答案】D
【解析】
解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
BD=BC，∠ABD=∠CBD，BE=BA，
∴△ABD≌△EBC(SAS)，
∴①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
11．（2019·青浦东方中学初二期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45cm2，AB=16cm，AC=14cm，则DE=______．
【答案】3cm
【解析】
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF.
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD= AB DE+ AC DF= (AB+AC) DE
∴点O到△ABC各边的距离为4，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴ ×AB×4+ ×AC×4+ ×BC×4＝34，
∴AB+AC+选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，也考查等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的5种判定方法．
（2）在Rt△PDM和Rt△PDN中，
，
∴Rt△PDM≌Rt△PDN（HL），
∴DM＝DN，
∴D在MN的垂直平分线上，
∵PM＝PN，
∴P在MN的垂直平分线上，
∴PD是MN的垂直平分线．
【点睛】
本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB和DM=DN是解题的关键．