高中数学知识要点重温之线面关系
线面关系江苏 郑邦锁1．“公理1”用于证明“线在面内”；“公理2”用于证明“点在线上”，“公理3”及其推论用于证明“共面”。
[举例1]⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1所在的平面交于直线l ，AB 和A 1B 1交于P ，BC 和B 1C 1交于Q ，AC 和 A 1C 1交于R ，则下列判断正确的是： （ ） A ．P 、Q 、R 确定平面γ，且l ⊂γ； B ．P 、Q 、R 确定平面γ，且l ∥γ； C ．P 、Q 、R 确定平面γ，且l ⊥γ； D ．P 、Q 、R 都在直线l 上解析：易见P 是平面ABC 和平面A 1B 1C 1的一个公共点，由公理2知，P 在它们的公共线l 上，同理：Q 、R 也在直线l 上。
[举例2] 如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面1111A B C D ， 1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面．（07高考安徽理17） 解析：几何体为六面体，则AB 、A 1B 1共面，BC 、B 1C 1共面， CD 、C 1D 1共面，AD 、A 1D 1共面；1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ． ∴平面1111A B C D ∥平面ABCD 于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．设E F ，分别为DADC ，的中点，连结11EF A E C F ，，， 有：A 1D 1平行且等于AD ，故A 1E 平行且等于DD 1， 同理C 1F 平行且等于DD 1，于是A 1E 平行且等于C 1F∴11AC EF ∥．又由1DE DF ==，得EF AC ∥， 故11AC AC ∥，11AC 与AC 共面．过点1B 作1BO ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，，于是11OE B A ∥，11OF B C ∥，OE OF =∴．1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴．1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．所以点O 在BD 上，而11D B 与DO 共面，故11D B 与DB 共面．[巩固1]已知在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且BG ：GC=DH ：HC=2：1，则EG 、FH 、AC 的位置关系是： （ ） A ．两两异面 B ．两两平行 C ．交于一点 D ．两两相交。
ABCD 1A 1B 1C 1D ABCD1A 1B 1C 1D MOEFC D D 1A 1B 1C 1[巩固2] 如图，已知1111ABCD A BC D -是棱长为3的正方体， 点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． 求证：1E B F D ，，，四点共面； （07高考江苏卷18）2．在分析比较复杂的“孤立”的线面关系（不在几何体中）时，可以将其放置于一个我们熟悉的几何体（如三棱锥、长方体等）中研究，以便观察、寻找它们之间的联系。
[举例] 设γβα、、、为平面，l n m 、、为直线，以下四组条件：① l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα②γβγαγα⊥⊥=⋂,,m ； ③αγβγα⊥⊥⊥m ,,；④αβα⊥⊥⊥m n n ,,；可以作为β⊥m 的一个充分条件是 。
解析：题中线面关系既复杂又抽象，注意到其中包含大量的垂直关系，故可以在正方体内观察：①记面AD 1为α，面AC 为β，则AD 为l ，若视AB 为m ，m ⊥l ，但m 在面β内；②若γβα、、、两两垂直，则可以得到β⊥m ，但该条件中没有α⊥β，故反例只可能存在 于此处，记面AD 1为α，面BB 1D 1D 为β，面AC 为γ，则AD为m ，但m 与β成450角；③注意到m ⊥α，只要α、β不平行，就得不到β⊥m ，记面AD 1为α，面BB 1D 1D 为β，面AC 为γ，视AB 为m ，但m 与β成450角；④由n ⊥α，n ⊥β得α∥β，再由m ⊥α得β⊥m ；故只有④。
[巩固]设a 、b 为直线，α为平面，直线1a 、1b 分别为a 、b 在面α内的射影，则下列四个命题中正确的个数是： （ ） ①若a ⊥b 则1a ⊥1b ；②若1a ⊥1b 则a ⊥b ；③若a ∥b 则1a ∥1b ；④若1a ∥1b 则a ∥b A ．3， B ．2 C ．1， D ．0注：07年高考上海卷理科第10题就是由这一题变形、延伸而来：[延伸] 在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个 相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异面直线的充分条件：3．证明立几问题时要有降维的思想：通过线线垂直证线面垂直，通过线面垂直证面面垂直；CHMDEF1B 1A 1D 1CACDS图4-1QPAB CD S图4-2 QPAB CDS 图4-3QPQ 1 P 1通过线线平行证线面平行，通过线面平行证面面平行。
4．证明“线面平行”的关键是找准“这条直线”平行于平面内的哪条直线，（也可以先证经过“这条直线”的平面与平面平行）；[举例] 右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．若点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ；（07高考江西理20） 解析：取A 1B 1中点 D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥．1111()32OD AA BB CC =+==． ∴四边形1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥．又1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，∴OC ∥面111A B C ． 注：在找“线”与面内的一条直线平行时，常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例 定理的逆定理等。
[巩固] 如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点． 证明EF ∥平面SAD ；（07高考全国卷Ⅱ理19）5．已知“线面平行”的条件，一般只有一个“发展”方向：过“线”的议和平面与已知“面”的交线和已知的“线”平行，故设法找到经过“线”的平面与已知“面”的交线往往是解题的关键。
[举例]如图4-1，正四棱锥S-ABCD 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P 、Q 分别在BD 和SC 上，并且BP ：PD=1：2，P Q ∥面SAD ，求线段PQ 的长。
解析：要用条件“P Q ∥面SAD ”，需找到过PQ 的平面与面SAD 的交线，方法有二：①分别延长CP 、DA 交于点R ，如图4-2，则面SCR 交面SAD 于SR ，又P Q ∥面SAD ，∴QP ∥SR ；11AEBCFSD而在面ABCD 中，⊿PDR ∽⊿PBC ，且PD=2PB ，∴PR=2PC ，PR=2BC=2a ； 于是在⊿CSR 中有：SR=3QP ；在等腰⊿SAD 中，可以求出cos ∠SDA=41,则在⊿SRD 中由余弦定理可以求得SR=6a ，即PQ=36a ；②过P 、Q 分别作CD 的平行线，分别交AD 于P 1、交SD 于Q 1，连P 1Q 1，如图4-3，面PP 1Q 1Q 交面SAD 于P 1Q 1且P Q ∥面SAD ，则PQ ∥P 1Q 1，∴四边形PP 1Q 1Q 是平行四边形，即PQ=P 1Q 1；在⊿DAB 中，∵PD=2PB ，∴PD=2PA=32a ，PP 1=32AB=32a ， ∴QQ 1=32a=32CD ，于是在⊿SCD 中有：SQ 1=32SD ， ∴Q 1D=32a ，仿方法①可以求出P 1Q 1。
[巩固]如图，在矩形ABCD 中，a BC AB 22==，E 为AB 上一点，将B 点沿线段EC 折起至点P ，连结、PA PD PC 、， 取PD 的中点F ，若有//AF 平面PEC ．试确定E 点位置。
6. 证明“面面垂直”关键要找准哪个平面内的哪条直线垂直于另一个平面. 也可以证明两个平面的法向量垂直[举例] 如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面， M 、N 分别是AB ，PC 的中点；若P-CD-A 为450 的二面角，求证： 平面MND ⊥平面PDC ； 解析：仅仅观察平面MND 和平面PDC ，很难 发现垂直的线索；从二面角P-CD-A 入手，易见 C D ⊥AD ，C D ⊥AP ，∴CD ⊥面PAD ，∴CD ⊥PD ，即∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面角，∴∠PDA=450，那么在R t ⊿PAD 中有AP=AD ，取PD 中点E ，则AE ⊥PD ，又由CD ⊥面PAD 得CD ⊥AE ，故AE ⊥面PCD ；而EN 平行且等于21DC ，即EN 平行且等于AM ，∴四边形AMNE 是平行四边形，即MN ∥AE ；于是有MN ⊥面PCD ， 又∵MN 在面MND 内，∴平面MND ⊥平面PDC 。
[巩固]如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AB AC AA ==，90BAC ∠=，D 为棱1BB 的中点．求证：平面1A DC ⊥平面ADC ．6．已知“面面垂直”的条件，一般发展为“一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个面”。
在直棱柱中隐藏着侧面与底面垂直的条件。
[举例]四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知B DCAPEFC 1 B 1A 1 DB CA CABCD D 1A 1B 11OA 11C 1A BC 45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB =SA BC ⊥；（07高考全国卷Ⅰ理19）解析：作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ． ∵SA SB =，∴ AO BO =，又45ABC =∠ 故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 又SO ⊥BO ，∴BC ⊥面SAO ，∴BC ⊥SA （或直接由三垂线定理得到）． 注：证明“线线垂直”一般去证一条“线”垂直于 过另一条“线”的面，或者使用三垂线定理。
[巩固] 如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，B 1C 1= A 1C 1， A 1B ⊥AC 1，求证：A 1B ⊥B 1C 。
高中数学证明几何的题的知识点总结 线面垂直线面平行点面面面的证明
高中数学证明几何的题的知识点总结线面垂直线面平行点面面面的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学中，证明几何是一个重要的部分，特别是涉及到线面垂直、线面平行、点面面面的证明。
这些知识点是我们理解几何学的基础，掌握了这些知识点，可以更好地应用几何学的相关定理解决问题。
下面我们来总结一下关于这些知识点的证明方法。
首先是线面垂直的证明，线面垂直是指一条直线与一个平面相交成直角。
在证明线面垂直的过程中，常常使用垂直于平面的直线与这条直线的夹角为90度，并结合相关的几何定理来进行证明。
在证明直线与平面的垂直时，可以利用平行线的性质来证明。
其次是线面平行的证明，线面平行是指一条直线与一个平面平行。
在证明线面平行的过程中，常常使用有平行性质的几何图形，比如平行线、平行四边形等。
通过利用这些性质，可以简单明了地证明线面平行的关系。
在证明这些知识点的时候，我们需要注意一些技巧和方法。
首先要善于利用已知条件，根据题目中给出的条件来进行推理。
其次要善于利用几何图形的性质，结合相关定理来进行推理。
最后要善于应用代数方法，通过代数运算来证明一些几何关系。
证明几何是高中数学中非常重要的内容，能够帮助我们更好地理解几何学的相关定理和性质。
通过掌握线面垂直、线面平行、点面面面的证明方法，我们可以更好地解决各种几何问题，并提高数学解题能力。
希望以上总结对大家有所帮助，让我们共同努力，提高数学水平！第二篇示例：在高中数学中，证明几何是一个非常重要的部分，它不仅考察了学生对数学知识的掌握程度，还培养了学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
线面垂直、线面平行、点面、面面等几何关系的证明是学习数学证明的一个重要内容。
下面我们就来看一下关于这些几何关系的证明的知识点总结。
我们来介绍线面垂直的证明。
在线面垂直的证明中，一般需要用到的有以下几个重要的定理：1. 垂直平分线定理：在一个平面内，若一条线段垂直于一条线段的中点，那么这条线段垂直于这条线段。
高中数学空间中的线面关系
空间中的线面关系知识框架空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A高考要求明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．（一） 知识内容线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称 这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直． 2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．αl直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．例题精讲板块三：线线垂直与线面垂直n mA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α内任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略．3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明， 如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证． 由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．（三）典例分析：【例1】 直线和平面所成的角为α，则（ ）A ．090α︒<<︒B ．090α︒︒≤≤C ．090α︒<︒≤D ．090α︒<︒≤【例2】 m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两条不同平面，下面有四个命题：①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ③,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥ 其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．【例3】 室内有一根直尺，无论怎么放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线A ．异面B ．相交C ．平行D ．垂直【例4】 （2007湖南文6）如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面AB CDE F A 1B 1C 1D 1【例5】 （2008辽宁卷11）在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ ） A ．不存在 B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条【例6】 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．．求证：1BD ⊥面1AB C ．A 1D 1C 1B 1DCBA【例7】 在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【解析】 FEC 1B 1D 1A 1AB C D【例8】 如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B H D O ''⊥，H 为垂足．求证：B H '⊥平面AD C '．【解析】OH DCBAD'C'B'A'【例9】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【解析】 FEBDCAP【例10】 在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：1B O ⊥面PAC ． 【解析】 P OA 1D 1C 1B 1D CB A【例11】 （2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠． ⑴ 证明1C C BD ⊥； ⑵ 当1CDCD 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例12】 已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160A AB A AD ∠=∠=．求证：1CC ⊥BDOABCD A 1B 1C 1D 1【例13】 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M ，N 分别为PC ，AB 的中点．（1）求证：MN ∥平面PAD ；（2）若45PDA ∠=，求证：MN ⊥面PCD ．QPD BCAMN【例14】 如图，四面体P ABC -，PA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作AE ⊥PB 交PB 于E ，过A 作AF⊥PC 交PC 于F ．求证：PC ⊥EF ．【例15】 下列说法正确的有__________．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面． ⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例16】 （2009安徽，理15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_____ （写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线异面；②由顶点A 做四面体的高，其垂足是BCD ∆三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高线所在的直线异面；④分别做三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； ⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【例17】 在正方体1111ABCD A B C D -中，P Q ，分别是棱1AA ，1CC 的中点，则过点B P Q ，，的截面（ ） A ．邻边不等的平行四边形 B ．菱形但不是正方形C ．邻边不等的矩形D ．正方形【例18】 如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面ABCD 满足条件时，有11AC B D ⊥（写出你认为正确的一种条件即可．）ABCD 是菱形或是正方形或是对角线互相垂直的四边形D 1C 1B 1A 1A DCB【例19】 如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论ABC DO【例20】 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，问当点N 位于AB 上何处时，1MN MC ⊥?【例21】 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心；⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．OCBAP【例22】 在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有_________个．【例23】 如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论．ABC DO【例24】 如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．AA 1【例25】 如图所示，直角ABC ∆所在平面外一点S ，且SA SB SC ==，D 为AC 中点，连结SD ，BD ．⑴求证：SD ⊥面ABC ；⑵若直角边BA BC =，求证：BD ⊥面SAC ．SABD【例26】 如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC的中点，11AB ==，⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．D CBA A 1B 1C 1【例27】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，求证：⑴1BD ⊥平面11A C D ；⑵1//EF BD ．FE ABCDA 1B 1C 1D 1【例28】 已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+ ②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例29】 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥【例30】 已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CDABCDE【例31】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．A 1D 1CA【例32】 （07全国2文7）已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） ABC．2D【例33】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1DEF 的距离为（ ） ABCD ABCDE【例34】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是 ．【例35】 （2008福建卷6）如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D所成角的正弦值为（ ） A．3B ．5C ．5D ．5DCBAA 1D 1B 1C 1【例36】 如图，已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点．求证：平面EBD ⊥平面SACE DCBAS【例37】 正方体1111ABCD A B C D -中，作截面1BDC ，求二面角1B DC C --的正切值的大小．O A 1D 1C 1B 1D CBA【例38】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中．求平面1A BD 和平面1C BD 相交所组成的二面角11A BD C --的余弦值．OA 1D 1C 1B 1DCBA【例39】 在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【解析】 FEC 1B 1D 1A 1AB C D【例40】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．HACBDP【例41】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是AB 的中点．⑴求二面角1A BC A --的大小； ⑵求二面角1B AC P --的大小． PF E A 1D 1C 1B 1DCBA【例42】 已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：//AC 平面EFG ，//BD 平面EFG ．【解析】 GFEBA【例43】 （2006年湖南高考题·理3）过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（ ）． A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条【例44】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例45】 已知正方体1111-ABCD A B C D ，求证：平面11//AB D 平面1C BD ．ABCDA 1B 1C 1D 1【例46】 判断下面命题的正误：⑴一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行． ⑵如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ⑶垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．⑷过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．⑸如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．【例47】 如图，四边形ABCD 是矩形，P ∉面ABCD ，过BC 作平面BCEF 交AP 于E ，交DP 于F ，求证：四边形BCEF 是梯形．PFE DCBA【例48】 设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、1111A B C D 的中心，如图，⑴证明：//PQ 平面11AA B B ；⑵求线段PQ 的长．AB CDA 1B 1C 1D 1PQ【例49】 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ， 求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．EBCFDGSA【例50】 已知：四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90A ∠=，且AB CD ∥，12AB CD =，点F 为线段PC 的中点．EFDCBAP⑴求证：BF ∥平面PAD ； ⑵求证：BF CD ⊥．（一） 知识内容线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 2．空间中两直线的位置关系：⑴共面直线：平行直线与相交直线；⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线． 3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵；⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相板块二：空间中的平行关系交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒． 图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB 与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向． 求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''． 所以DD E E ''是平行四边形． 因此DE D E ''=．于是ADE A D E '''∆≅∆． 所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的范围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行． 要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． 3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒． 图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画． 如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面． 3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．（二）主要方法：由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心内容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．（三）典例分析：【例1】 （2005湖北，理10）如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为AC '、CB '、A B '、B C ''的中点，G 为ABC ∆的重心．从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（ ） A ．K B ．H C ．G D ．B 'A'B【例2】 如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点． 求证：1A C //平面1AB D ．EABCA 1B 1C 1D【例3】 如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC BCD ︒∠=∠=，12DC AB =，E 是PB 的中点． 求证：EC ∥平面APD ．E PDABC【例4】 如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ．CBADEFP【例5】 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面， ,E F 分别是PB 和AC 的中点，求证：①EF ∥平面PAD ；②EF AB ⊥I H G FE DCBA P【例6】 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【例7】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱1//2EF BC ． 求证：FO ∥平面CDEFEDCBAO【例8】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,,,M N E F 分别是11111111,,,A B A D B C C D 的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ．【例9】 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【例10】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱1//2EF BC ． 求证：FO ∥平面CDE【解析】FEDCBAO【例11】 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的点，1A N AM =．N MF EAB 1C 1D 1DCBA 1⑴求证：MN ∥平面11BB C C ； ⑵求MN 的最小值．【例12】 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的点，1A N AM =．⑴求证：MN ∥平面11BB C C ； ⑵求MN 的最小值．N MFEAB 1C 1D 1DC B A 1【例13】 已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，⑴若,,,E F G H 都分别是所在边的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形； ⑵若//EH FG ，求证：//EH BD ．H GFE D CBA【例14】 已知,,,E F G M 分别是四面体的棱,,,AD CD BD BC 的中点，G FEDCB AMN求证：//AM 面EFG ．【例15】 平行于平面α的a ，b 是两异面直线，且分别在平面α的两侧，,,,A B a C D b ∈∈，若AC 与α平面交于点M ，BD 与α平面交于点N ．求证：AM BNMC ND=． ABCDαabMN【例16】 如图，正方体1AC 中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：//MN 平面11AA B B ．D 1C 1B 1M B NFECDA 1A【例17】 已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，求证：//PQ 平面ACD ．【例18】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例19】 如图，B 为ACD ∆所在平面外一点，M ，N ，G 分别为ABC ∆，ABD ∆，BCD ∆的重心，⑴求证：平面MNG ∥平面ACD ； ⑵求:MNG ADC S S ∆∆GFDC BAMNPH【例20】 已知平面//αβ，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：//EF α，//EF β．【解析】βBGDFEαCA【例21】 如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF ∆的面积为72，求BDE ∆的面积．βD QB EαPC AF【例22】 已知长方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是','AA CC 的中点．求证：平面//BDF 平面''B D E ．AA'BB'CC'DD'E F【例23】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是11B C 、11A D 、11A B 的中点，求证：平面EBD ∥平面FGA ．D 1C 1B 1A 1GF ED CBA【例24】 正方体1111ABCD A B C D -中，E 、G 分别是BC 、11C D 的中点，如下图．求证：//EG 平面11BB D D ．D 1C 1B 1A 1GEDCBA【例25】 （2008新课标海南宁夏）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．⑴在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； ⑵按照给出的尺寸，求该多面体的体积；⑶在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．侧视图正视图D'C'B'GFE DCBA【解析】⑴如图俯视图正视图侧视图。
立体几何线面关系经典
立体几何线面关系一、柱、锥、球图形画法、基本性质、表面积及体积公式概念基本性质表面积体积二、线面关系及判定1、线线平行的判断：（1）、平行于同一直线的两直线平行。
（2）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（3）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（4）、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线线垂直的判断：（1）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（2）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直那么它和这条斜线的射影垂直。
（3）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
3、线面平行的判断：（1）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
4、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
5、面面平行的判断：（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。
6、面面垂直的判断：（1）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
三、线面关系网络图公理4 线线平行线面平行面面平行三垂线定线线垂直线面垂直面面垂直三垂线逆定理立体几何线面关系训练一.选择题：1.线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）A.AB α∈B. AB α⊂C.有线段AB 的长短而定D.以上都不对 2.下列说法正确的是（ ）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.两个相交平面有不同在一条直线上的三个交点 3.利用斜二测法画得的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形 ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形。
高中数学证明几何的题的知识点总结 线面垂直线面平行点面面面的证明
高中数学证明几何的题的知识点总结线面垂直线面平行点面面面的证明几何证明是高中数学中的重要组成部分，它不仅锻炼了学生的逻辑思维能力，还培养了严密的数学推理能力。
本文针对高中数学中常见的线面垂直、线面平行以及点面、面面关系证明的知识点进行总结，以帮助学生更好地掌握几何证明的技巧和方法。
一、线面垂直的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。
2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直。
3.证明方法：（1）利用垂直的定义，找出直线与平面内任意一条直线垂直的关系。
（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条相交直线垂直的关系。
二、线面平行的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都没有公共点，则这条直线与该平面平行。
2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条平行直线都平行，则这条直线与该平面平行。
3.证明方法：（1）利用平行的定义，找出直线与平面内任意一条直线没有公共点的关系。
（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条平行直线都平行的关系。
三、点面关系的证明1.定义：如果一点在一个平面内，则这个点与该平面有公共点。
2.判定定理：如果一点与一个平面内的任意一条直线都有且只有一个公共点，则这个点在该平面内。
3.证明方法：（1）利用定义，找出点与平面内任意一条直线有公共点的关系。
（2）利用判定定理，找出点与平面内任意一条直线有且只有一个公共点的关系。
四、面面关系的证明1.定义：如果两个平面有公共点，则这两个平面相交。
2.判定定理：如果两个平面内分别有两条相交直线互相平行，则这两个平面平行。
3.证明方法：（1）利用定义，找出两个平面有公共点的关系。
（2）利用判定定理，找出两个平面内分别有两条相交直线互相平行的关系。
通过以上对高中数学几何证明知识点的总结，相信同学们在解决相关问题时会更加得心应手。
高中数学人教版必修2课件：2.—2.线面关系、面面关系
高中数学人教版必修2课件：2.—2.线 面关系 、面面 关系
高中数学人教版必修ຫໍສະໝຸດ 课件：2.—2.线 面关系 、面面 关系
提升练习
4、以下命题（其中a、b表示直线，α表示平面） ①若a∥b，b⊂α，则a∥α ； ②若a∥b，b∥α，则a∥α； ③若a∥α，b∥α，则a∥b ； ④若a∥α，b⊂α，则a∥b。 其中正确命题的个
追踪练习
6、如果三个平面两两相交，那么它们的交线 有多少条？画出图形表示你的结论。
高中数学人教版必修2课件：2.—2.线 面关系 、面面 关系
（1）
（2）
高中数学人教版必修2课件：2.—2.线 面关系 、面面 关系
合作交流（3min）
• 3个平面把空间分成几部分？
46 6
(1)
(2)
(3)
高中数学人教版必修2课件：2.—2.线 面关系 、面面 关系
示平面α的平行四边形内；直线a在平面α外，
应把直线a或它的一部分画在表示平面α的平
行四边形外，即两种情况：
a A
α
a α
高中数学人教版必修2课件：2.—2.线 面关系 、面面 关系
高中数学人教版必修2课件：2.—2.线 面关系 、面面 关系
追 1、判断正误
踪 练
①若直线l上有无数个点不在平面α内， 则l//α；
抛砖引玉
(1) 一 支 笔 所 在 直 线 与 一 本 书 所 在 的 平 面 ， 可 能有几种位置关系？
(2)拿出两本书，看作两个平面，上下、左右 移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
高中数学人教版必修2课件：2.—2.线 面关系 、面面 关系
高中数学：点线面关系知识总结和练习(附答案)
//a α//a b点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。
（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂ 2.性质定理：//a abαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。
（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂=//αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥//αβ; ////a γβγ//αβ 2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
（2）判定方法 ① 用定义.//a b a b αα⊄⊂//a α//a b//a b② 判定定理:a b a cb c A bc αα⊥⊥⋂=⊂⊂a α⊥③ 推论://a a bα⊥b α⊥ （3）性质 ①a b αα⊥⊂a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理a a αβ⊂⊥αβ⊥ （3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥αβ⊥ ②lP P A A αβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为A l ∈ ④lP PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥PA α⊂“转化思想”面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
线面关系知识点
线面关系知识点线面关系是几何学中一个重要的概念，描述了线段和平面之间的关系。
线段是由两个点之间的直线部分组成，而平面是无限延伸的二维图形。
了解线面关系对于解决几何问题和应用数学非常重要。
本文将介绍线面关系的几个重要概念和用途。
1.平行线和交叉线平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
平行线的性质包括：它们有相同的斜率，这意味着它们倾斜的角度相同；它们之间的距离在任何一对平行线上都是相等的。
交叉线是指在同一个平面内相交的两条直线。
交叉线的性质包括：它们的斜率不相等，它们的交点是它们的公共点。
2.垂直线和垂直平面垂直线是指两条直线在交点处形成的直角。
垂直线的性质包括：它们的斜率互为倒数，正交。
垂直平面是指两个平面相交并形成的直角。
垂直平面的性质包括：它们的法向量相互垂直。
3.平面与线段的位置关系平面与线段之间有三种可能的位置关系：线段在平面内部、线段与平面相交和线段在平面外部。
线段在平面内部意味着线段的两个端点都在平面内。
线段与平面相交意味着线段的一部分在平面内，一部分在平面外。
线段在平面外部意味着线段的两个端点都在平面外。
4.平面与线段的距离平面与线段的距离是指平面上离线段最近点的距离。
计算平面与线段的距离可以使用公式：d = |ax + by + cz + d| / sqrt(a^2 +b^2 + c^2)，其中(a, b, c)是平面的法向量，d是平面的常数项。
5.线面关系在实际应用中的应用线面关系在科学、工程和日常生活中都有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，了解线面关系可以帮助建筑师设计出稳定和坚固的结构。
在机械工程中，线面关系可以用来设计零部件的装配方式。
在地理学中，线面关系可以用来描述地球表面的地形。
总结：线面关系是几何学中一个重要的概念，描述了线段和平面之间的关系。
了解线面关系对于解决几何问题和应用数学非常重要。
在几何学中，我们学习了平行线和交叉线的性质，垂直线和垂直平面的性质，以及平面与线段的位置关系和距离计算。
考点21 线线、线面、面面的位置关系-2019届高考数学(文)提分必备30个黄金考点(解析版)
【考点剖析】1.命题方向预测：1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．以考查点、线、面的位置关系为主.2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．着重考查垂直关系的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．4.线线、线面、面面的位置关系问题，往往是平行、垂直关系综合考查，题型有选择题、填空题及解答题．难度中、低档题兼有.2.课本结论总结：1.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角). ②范围：02π⎛⎤⎥⎝⎦，.3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行.6.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.7.直线与平面平行的判定与性质8.面面平行的判定与性质9.直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法.②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.②垂直于同一个平面的两条直线平行.③垂直于同一条直线的两平面平行.10.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.11.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.12.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.3.名师二级结论：（1）异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．(2)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(3)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(4)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．(5)平行问题的转化关系：(6)垂直问题的转化关系判定判定(7)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；(8)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.4.考点交汇展示：【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】【解析】如图， 在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=． （1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．（2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥， 所以PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分 因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x <<，……………8分 所以AC =…………9分因为13P ABC ABC V S PA -=⨯△ 16=………………………………………………………………………………10分=PAB()224162x x +-≤⨯…………………………………………………………………………11分 13=．…………………………………………………………………………………………12分当且仅当224x x =-，即x =………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分【2018届江苏省南宁市高三摸底联考】在如图所示的正方体中，分别棱是的中点，异面直线与所成角的余弦值为（ ）A.B. C.D.【答案】D【解析】如下图，过E 点作EM//AB,过M 点作MN//AD,取MN 中点G,所以面EMN//面ABCD ，EG//BF, 异面直线与所成角,转化为，不妨设正方形边长为2，GE=,,在中，由余弦定理，选D.【考点分类】考向一 线线、线面、面面平行与垂直关系的判定1.【2017课标3，文10】在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【答案】C2.【2018届安徽省六安市第一中学适应性考试】已知直线、，平面、，给出下列命题： ①若，，且，则②若，，且，则 ③若，，且，则 ④若，，且，则其中正确的命题是（ ）A ． ②③B ． ①③C ． ①④D ． ③④ 【答案】C【解析】分析：①可由面面垂直的判定定理进行判断；②可由面面平行的条件进行判断；③可由面面垂直的条件进行判断；④可由面面垂直的判定定理进行判断. 解析： ①若，，且，则，正确.，且，可得出或，又，故可得到.②若，，且，则，不正确.两个面平行与同一条线平行，两平面有可能相交. ③若，，且，则，不正确.且，可得出，又，故不能得出.④若，，且，则，正确.且，可得出，又，故得出.故选：C. 【方法规律】1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.线面平行的证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行.3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.4.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.5.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直.6.面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.【解题技巧】1.利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.2.立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.3.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.4.线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.5.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.6.垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.7.线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；8.线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；【易错点睛】1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.5.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.6.证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.例.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是αβ，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βA．⊥αβ，且m∥αD．m⊥n，且n∥βC．⊥【答案】B【解析】∵m∥n, m⊥β∴n⊥β故选B.【易错点】没有掌握线面垂直的条件考向二空间线线、线面及面面关系中的角度问题1.【2018年全国卷II文】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】C2.【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】【方法规律】求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.【解题技巧】求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.【易错点睛】1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.3.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].例.过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l 可以作()A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】 D【解析】如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条.【易错点】忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系.考向三线线、线面、面面的位置关系的综合问题1.【2018年江苏卷】在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析2. 【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通过计算，根据勾股定理得,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）找出直线AC1与平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（Ⅰ）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）根据方程组解出平面的一个法向量，然后利用与平面法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.详解：方法一：（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.【解题技巧】1．利用线线、线面和面面的平行、垂直关系相互转化．2．求线面所成角时注意垂直关系的应用．3. 结合向量法进行证明和求解【易错点睛】(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．（1）证明过程要规范（2）注意角度的取值范围（线线、线面和面面）例1.【2017山东，文18】（本小题满分12分）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD, AO∥平面B1CD1;（Ⅰ）证明：1（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.【答案】①证明见解析.②证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）取11B D 中点F ,证明1//AO CF ,（Ⅱ）证明11B D ⊥面1A EM .(II)因为 AC BD ⊥,E ，M 分别为AD 和OD 的中点, 所以EM BD ⊥,因为ABCD 为正方形,所以AO BD ⊥, 又 1A E ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD 所以1,A E BD ⊥ 因为11//,B D BD所以11111,,EM B D A E B D ⊥⊥又1,A E EM ⊂平面1A EM ，1A EEM E =.所以11B D ⊥平面1,A EM又11B D ⊂平面11B CD , 所以平面1A EM ⊥平面11B CD .【易错点】不会灵活应用线线、线面和面面平行的判定定理和性质定理进行转换，答题过程不规范。
高三立体几何复习讲义线线、线面、面面关系.docx
线线、线面、面面关系知识要点：一、平面：平面及其表示方法；平面的基本性质。
1、平面用平行四边形表示，常用表示方法：①一个大写字母，②一个小写希腊字母，③三个或者三个以上的字母；2、三个公理；三个推论：二、线线关系1、两条直线的关系：①从面的角度，分为共面和不共面；②从交点的角度，分为相交，平行和异面。
公理4：平行于同一直线的两条直线相互平行。
推论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
2、异面直线（1）异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线。
（2）异面直线画法：（3）异面直线证法：反证法，即证明两直线既不平行也不相交。
（4）求异面直线所成的角异面直线所成的角是指过空间任意一点。
分别作两条异面直线的平行线，所得的两条相交直线所成的锐角(或直角)。
它的取值范围为〔0,号。
辨析：异面直线所成的角的取值范围是；向量所成的角的取值范围是［0,&］。
所以，用向量方法求异面直线所成的角时，如果得出的是钝角，还要修正为锐角。
异面直线所成的角求法：①几何法：通过直线搬动，具体搬动一条直线还是两条都搬动，要看实际情况。
②代数法：采用向量运算。
三、线面关系直线与平面的位置关系是：直线在平面内、平行和相交。
1＞直线在平面内：山公理1判断；2、直线与平面平行：判断一条直线与平面平行的方法：①定义：直线与平面没有公共点；②在平面上找到一条直线与该直线平行定理：一条直线与平面平行，经过这条直线作一个平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。
3、直线与平面相交(1)直线与平面的垂直：①定义：直线与平面内所有直线都垂直。
②定理：直线与平面内两条相交直线垂直，那么直线垂直于平面。
(2)直线与平面的交角，分以下两种情况：①直线和平面所成的角：直线与它在平面内的射影所成的锐角。
②直线与平面平行或在平面内，记为0°；直线与平面垂直，记为90°。
四、面面关系：平行和相交1、两个面平行判断方法：①定义：两个平面没有交点；②定理：一个面上有两条相交直线与另一个面平行，则这两个平面互相平行。
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。