(新课程)高中数学 第18课时(向量的加法)导学案 苏教版必修4
2019-2020学年苏教版必修4 2.2.1 向量的加法 学案
2．2 向量的线性运算 2．2.1 向量的加法1.了解向量加法的实际背景．2.理解向量加法的几何意义．3.掌握向量加法运算法则．1．向量加法的定义已知向量a 和b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则向量OB →叫做a 与b的和，记作a ＋b .即a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →.求两个向量和的运算叫做向量的加法．2．向量加法法则与运算律加法法则三角形法则已知非零向量a 和b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则向量OB →叫作a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →平行四边形法则已知两个不共线的向量a 、b ，作OA →＝a ，OC →＝b ，以OA ，OC 为邻边作▱OABC ，则以O 为起点的对角线OB →就是向量a 与b 的和运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a 结合律a ＋b ＋c ＝a ＋(b ＋c )(1)设a 为任一向量，则a ＋0＝0＋a ＝a ． (2)对于相反向量，有a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0． (3)a 与b 互为相反向量⇔a ＋b ＝0⇔a ＝－b ⇔b ＝－a ．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个向量的和仍然是一个向量．( ) (2)|a ＋b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是a ∥b .( )(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( ) 解析：(1)正确．根据向量和的定义知该说法正确． (2)错误．条件应为a ∥b ，且a ，b 的方向相同．(3)错误．当两个向量共线时，两向量的和向量与这两个向量中的任意一个都共线． 答案：(1)√ (2)× (3)×2．已知非零向量a ，b ，c ，则向量(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(b ＋a )，c ＋(a ＋b )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案：D3．已知向量a 表示“向东走3千米”，b 表示“向南走3千米”，则a ＋b 表示________． 解析：由已知可利用向量加法的平行四边形法则，则a ＋b 表示的方向是东南方向，大小是3 2 千米．答案：向东南走3 2 千米 4．化简： (1)DC →＋BA →＋AD →； (2)PQ →＋OM →＋QO →＋MQ →.解：(1)DC →＋BA →＋AD →＝DC →＋BD →＝BD →＋DC →＝BC →. (2)PQ →＋OM →＋QO →＋MQ → ＝PQ →＋QO →＋OM →＋MQ → ＝PO →＋OM →＋MQ → ＝PM →＋MQ →＝PQ →.已知向量作和向量如图所示，已知向量a ，b ，c ，试作出向量a ＋b ＋c .【解】 法一：利用三角形法则作a ＋b ＋c ，如图①所示，作OA →＝a ，以A 为起点，作AB →＝b ，再以B 为起点，作BC →＝c ，则OC →＝OB →＋BC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋b＋c .法二：利用平行四边形法则作a ＋b ＋c ，如图②所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA →，OB →为邻边作▱OADB ，则OD →＝a ＋b ，再以OD →，OC →为邻边作▱ODEC ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c .(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合． ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点． ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．1.如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .解：(1)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(1)． (2)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(2)． (3)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(3)．向量的加法运算化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.【解】 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →.(2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB →＝(BC →＋CD →)＋DB → ＝BD →＋DB →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.向量运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．2.如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：(1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.解：(1)DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →. (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0.向量加法的应用(1)如图，已知电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|＝24 N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|＝12 N ，则F 1与F 2的合力大小为________N ；方向为________．(2)某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？【解】 (1)如图，根据向量加法的平行四边形法则，得合力F 1＋F 2＝OC →.在△OAC 中，|OA →|＝24，|AC →|＝12，∠OAC ＝60°，所以∠OCA ＝90°，|OC →|＝123，所以F 1与F 2的合力大小为12 3 N ，方向为竖直向上．故填123和竖直向上． (2)如图，设此人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →.由勾股定理知|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．应用向量加法解题的关键及技巧(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量．(2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．3.一架飞机从A 地沿北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地沿南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解：如图所示，设AB →，BC →分别表示飞机从A 地沿北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地沿南偏东55°的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)． 又α＝35°，β＝55°， 所以∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝ |AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.1．向量加法的三角形法则和平行四边形法则 三角形法则 平行四边形法则 物理模型 位移的合成 力的合成 使用条件 任意两个非零向量 任意两个不共线的向量简记首尾相连，始终连线共起点，为邻边，平行四边形共起点的对角线(1)当a ，b 至少有一个为零向量时，不等式显然成立．(2)当a ，b 不共线时，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OB →，如图①所示，根据三角形边长关系，有||a |－|b ||＜|a ＋b |＜|a |＋|b |.(3)当a ，b 非零且同向时，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OB →，如图②所示，此时|a ＋b |＝|a |＋|b |.(4)当a ，b 非零且反向时，若|a |＞|b |.作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OB →，如图③所示，此时|a ＋b |＝|a |－|b |.同理可证|a |＜|b |时，|a ＋b |＝|b |－|a |；|a |＝|b |时，|a ＋b |＝0＝|a |－|b |.综上分析可知||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.3．向量加法运算律的推广向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立，恰当地使用运算律可以实现简化运算的目的．如在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合进行．如(a ＋b )＋(c ＋d )＝(a ＋d )＋(b ＋c )．小船以10 3 km/h 的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h ，则小船实际航行速度的大小为________ km/h.【解析】 如图，设船在静水中的速度为|v 1|＝10 3 km/h ，河水的流速为|v 2|＝10 km/h ，小船实际航行速度为v 0，则由|v 1|2＋|v 2|2＝|v 0|2，得(103)2＋102＝|v 0|2，所以|v 0|＝20 km/h ，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.【答案】 20(1)解答本题，易将船的实际速度看成静水速度加河水的流速，得不出正确的实际船速关系式而致误．(2)①向量的和一般不能直接用模作和，要注意向量的方向的合成，如本例中用两个速度不能直接作和．②船在静水中的航行速度，水流的速度，船实际的航行速度三者间，当航行方向与水流方向不共线时不能直接用实际加法求船的实际航行速度，如本例中两个方向垂直，利用勾股定理求船的实际航行速度的大小．1．化简OP →＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A ．QP → B ．OQ → C ．SP →D ．SQ →解析：选B ．OP →＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →.2．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝________． 解析：如图，因为AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →，所以|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2|AO →|＝2|AB →|＝2. 答案：23．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3小时，该船的实际航程为________km.解析：由题意，如图，OA →表示水流速度，OB →表示船在静水中的速度，则OC →表示船的实际速度．则|OA →|＝2，|OB →|＝4，∠AOB ＝120°， 则∠CBO ＝60°，又因为∠AOC ＝∠BCO ＝90°， 所以|OC →|＝23，所以船的实际航行速度的大小为2 3 km/h ， 则实际航程为23×3＝63(km)． 答案：6 3[学生用书P103(单独成册)])[A 基础达标]1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( ) A ．AB → B ．BC → C ．CD →D ．DA →解析：选A ．因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A ．2.如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝( )A ．CD →B ．DC → C ．DA →D ．DO →解析：选B ．OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝DO →＋OA →＋AB →＋BC →＝DA →＋AB →＋BC →＝DB →＋BC →＝DC →. 3．若向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向北航行 3 km ”，则向量a ＋b 表示( )A ．向东北方向航行2 kmB ．向北偏东30°方向航行2 kmC ．向北偏东60°方向航行2 kmD ．向东北方向航行(1＋3)km 解析：选B ．如图，易知tan α＝13，所以α＝30°.故a ＋b 的方向是北偏东30°.又|a ＋b |＝2 km ，故选B ．4.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3解析：选B ．由正六边形知FE →＝BC →， 所以AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， 所以|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2. 故选B ．5．向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向 B ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与b 同向 C ．若a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向D ．若a 与b 同向，则a ＋b 与b 同向解析：选B ．a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向，所以B 错；a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向，也与b 同向．6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 答案：AC →7．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________． 解析：因为|OA →|＝|OB →| 且∠AOB ＝90°，所以|a ＋b |为以OA →，OB →为两邻边的正方形的对角线的长， 所以|a ＋b |＝3 2. 答案：3 28．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________． 解析：由图知|BC →＋BA →|＝|BD →|.|BC →＋AB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|， 所以|BD →|＝|AC →|.所以四边形ABCD 为矩形． 答案：矩形9．某飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到达B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．解：如图所示，设AB →，BC →分别是直升飞机的两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →.在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km. 在Rt △ACD 中，|AC →|＝ |AD →|2＋|DC →|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°方向，且距离A 地40 3 km 处．10．如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：(1)OA →＋OC →；(2)BC →＋FE →.解：(1)由图可知，四边形OABC 为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →，所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.[B 能力提升]1．已知有向线段AB →，CD →不平行，则( )A ．|AB →＋CD →|>|AB →|B ．|AB →＋CD →|≥|CD →|C ．|AB →＋CD →|≥|AB →|＋|CD →|D ．|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|解析：选D ．由向量加法的几何意义得||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，等号当且仅当a ，b 共线的时候取到，所以本题中，|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|.2．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|；②|AB →＋CA →|＝|BC →|；③|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.解析：①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠BAC ＝90°，所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ，所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|.②正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.③正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.答案：①②③3.如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解：如图，在平行四边形OACB 中，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|CO →|＝300 N ，所以|OA →|＝|CO →|cos 30°＝150 3 N ，|OB →|＝|CO →|cos 60°＝150 N.所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.4.(选做题)如图，已知向量a ，b ，c ，d ，(1)求作a ＋b ＋c ＋d ；(2)设|a |＝2，e 为单位向量，求|a ＋e |的最大值．解：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →.因为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)．由图可知当B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线，|OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.2.1 向量的加法》8
《向量的加法》教学设计江苏睢宁高级中学南校孙永一．教材分析：本节内容位于高中数学教材必修4第二章《平面向量》的第二节第一课。
向量的加法是我们在学习完向量的基本概念后首先要掌握的一种运算，本节内容的学习既能够加深对向量概念的深层次理解，也能为以后学习向量减法，实乘向量及平面向量基本定理等知识奠定基础，因此，本节内容起着承上启下的重要作用。
由于之前物理里面也学习过力、速度等矢量的分解，因此学生对向量的加法具有一定的基础，在向量的加法学习过程，学生能够与物理中学习过的内容联系起来，对于新课学习很有帮助。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一个本节课最重要的内容，讲授时应一次到位。
不仅要讲述清楚、表述规范，还有通过问题的解决加以强调，并要求学生亲自实践以加深理解。
向量加法的运算律也是本节课的重点内容。
其结论不应简单的给出，而应该让学生按照加法法则作图检验。
二．教学目标：（一）知识和能力：1．通过本节课的学习，学生掌握向量加法的概念，能熟练运用向量加法的平行四边形法则和三角形法则作出两个或多个向量的和。
掌握向量加法的交换律和结合律，并能在解决具体问题中熟练的运用这些知识。
（二）情感、态度与价值观：学生经历类比物理中求合力的平行四边形法则及30届青少年科技创新大赛机器人的行走位移到向量加法问题的提出的过程，能感受到数学问题来自于客观现实，感受到学好数学有利于解决实际问题。
学生经历用三角形法则与平行四边形法则进行向量求和的作图过程，不仅深刻理解了物理中的力、速度的合成分解的作图方法，体现出数学的实用性，还感受到了数学和物理的合作，从而感悟出一种合作精神，迁移到同学们的学习和生活中，便能体会出团结协作尤为重要。
三．学情分析与教法设计：（一）学情分析1．知识方面本节课学习之前，学生学习了向量的概念，对向量的方向性有了一定的认识。
更重要的是学生在物理中的学习过一些矢量的正交分解（如力的正交分解）概念，这为学习向量的加法作了最好的铺垫。
江苏省盐城市时杨中学高中数学 向量的加法导学案 苏教版必修4
备
注
P47 自我检测第 1－6 题
解：
解：
解：
解：
6、解：
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B（北京）
O(台北) A(香港 港)港) 港) a b
2. 已知向量 a , b （如图），求作向量
．
a b
a
a b b b
a
3.向量加法的 “平行四边形法则”如何描述的呢？
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【自主探究】 例 1 如图，O 为正六边形 ABCDEF 的中心，作出下列向量： （1） OB OD ；（2） EF OA ；
江苏省盐城市时杨中学 2013-2014 学年高中数学 向量的加法导学案 苏教版必 修4
【学习目标】 备 1．理解向量的加法含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法 则作出两个向量的和向量； 2．掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量运算 【问题情境】 1. 2003 年春节探亲时，由于台湾和祖国大陆之间没有直达航班，某先 生只好从台北（O 点）经过香港（A 点），再抵达北京（B）．试问这 两次的位移之和是多少？怎样用数学关系式反映⊿ABC 中， 几 何 法 作 出 向 量 ：
试用 B
CB CA, AC AB
A
C
6． 已知 | AB | 6, | AC | 4 ， 则 | BC | 的取值范围为________________
【回标反馈】
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【巩固练习】 完成伴你学 解：
D E C F O
备
注
A
B
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【课堂检测】 1. 若 AB = DC ，则四边形 ABCD 是（ A. 梯形 B. 等腰梯形 ） D. 菱形
向量的加法 导学案
2.1向量的加法导学案
一、情境引入
情境1：2019年1月13日，梧州市西江机场开通，新增了梧州直飞北京的航班，结束了梧州至首都无直航的历史，大大方便了市民的出行。
问题：飞机从梧州飞往广州,再从广州飞往北京,这两次位移的结果与飞机直接从梧州飞往北京的位移是相同的吗？
二、新课讲解
向量的加法：求两个向量和的运算；
课堂探究1：向量加法的三角形法则
例1：如下图，已知向量b a
, ，作这两个向量的和。
三角形法则作图关键： ；
练习1：已知向量b a
, ，请用三角形法则作b a ；
课堂探究2：向量加法的平行四边形法则
平行四边形法则作图关键： ；
例2：已知向量b a
,，请用平行四边形法则作b a +；
思考：当两个向量b a
,共线时，b a +如何做出来？
有何关系？，与共线，则，）两向量（讨论||||||1:b a b a b a
+的方向有何关系？，的方向与共线，则，）两向量（b a b a b a
+2
练习2：已知向量b a
,，分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出
b a 。
例3：如图所示，O 为正六边形
6
54321A A A A A A 的中心，化简下列式子：
6
A 3
A
推广：n个向量顺次相接，前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一个向量曲线，则这个向量的和等于，即
能力提升
课堂小结
本节课学习了哪些内容？
1、向量加法的三角形法则
2、向量加法的平行四边形法则
3.向量加法满足交换律
作业：课本
P78 练习 1 P81 习题2-2 5（1）（2）。
高中数学必修四导学案-向量的加法运算及其几何意义
2. 2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义.学 法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学过程： 一、设置情景：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+A BCA BCCOAa aa bbb（4）船速为，水速为，则两速度和：=+二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当与同向时，则+、、同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) ==+ ∴(+) +=+ (+)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二（P94—95）略a练习：P95四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.五、课后作业：P103第２、３题六、板书设计（略）2.2.1 向量的加法运算及其几何意义课前预习学案 预习目标：通过复习提问回顾向量定义及有关概念；利用问题情景提出向量加法运算、给出实际背景。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.2.1 向量的加法》4
《向量的加法》教案无锡市玉祁高级中学韦佳春一．教材分析：本节内容位于苏教版《普通高中课程标准实验教科书》必修4第二章《平面向量》的第二节第一课。
向量的加法是我们在学习完向量的基本概念后首先要掌握的一种运算，本节内容的学习既能够加深对向量概念的深层次理解，也能为以后学习向量减法，向量的数乘及平面向量基本定理等知识奠定基础。
同时在今后学习空间向量时，还要用到向量的有关知识及思想方法，因此在整个高中阶段的学习中起着承上启下的作用。
另外，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具，在实际生活、生产中有广泛的应用。
二、学情分析：学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。
同时，根据皮亚杰的认知理论可知，学生已经处于形式运算阶段，因此初步具备了从具体的事物中抽象出一般的概念，因此为向量的加法通过物理知识的引入提供了可能。
三、教学目标：基于教材分析及学生的实际情况，根据课程标准的要求，以数学从生活中来到运用于生活中去为目的，本节课从知识与技能，过程与方法，情感态度价值观三个维度确立了以下的教学目标：1．说出向量加法的概念，知道向量加法的几何意义。
2．知道并能运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会作已知两向量的和向量。
3．让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发现”过程，获得“发现”的经验，培养合情推理的能力。
4知道向量的交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量的计算，并培养类比、迁移、分类、归纳等能力，渗透辩证唯物主义思想教育。
四、教学重点与难点1、教学重点：两个向量和的概念及几何意义（三角形法则与平行四边形法则）说明：两个向量和的概念是向量加法的基础，而向量加法是向量运算的基础。
由于向量本身的几何意义比较特殊，因此在向量加法的背后我们更要引导学生从形的角度，即几何意义上去理解，进而探究发现三角形法则与平行四边形法则。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.2.1 向量的加法》
课题：向量的加法江苏省盐城中学徐瑢一、教学目标向量是近代数学中重要的根本概念,是中学数学的核心内容,具有工具性的特点,而其工具作用主要通过向量的运算而得以表达的．向量的加法运算是向量运算的根底,它是以物理中矢量的合成为背景抽象出的一种全新的数学运算．依据?高中数学课程标准?的要求,结合学生的认知特点,确定这节课价值取向是强调本质、再现过程、开展思维、提升能力基于此,本节课的教学目标确立为: 1理解向量加法的含义,掌握向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么,掌握向量加法的交换律与结合律,并会简单应用；2经历将实际问题抽象为数学概念的过程,体会数学思维的严谨性和数学的简约美,同时掌握思想方法,开展各种能力；3开展学生的数学应用意识,体验数学文化,丰富学生的学习情感,提升数学素养．二、学情分析向量加法是向量运算的起始课，是学生第一次有意识地主动去定义一种全新的数学运算，是对运算认识的一次飞跃．然而学生的认知存在着缺乏，他们对数学运算的经验只局限于数或式等这些代数对象上，对运算的理解也仅局限于算法层面，没有经历过自觉地建构数学运算的过程，所以对于向量加法的意义建构与理解，对学生而言无疑是陌生的、有一定的难度．这就需要去分析学生已有的知识经验．其实，在物理中，学生对力、位移、速度等矢量的合成比拟熟悉，这就有了得到向量加法定义及两个法那么的抽象原型，同时，学生在学习?向量的概念和表示?时，已经历过从物理原型抽象出向量概念的过程，这为学生顺利抽象出向量加法的定义和法那么奠定了根底；此外，学生在初中已图1 经学习过数和式的运算律，这为学习向量加法的运算律提供了类比对象与方法．因此，教师在课堂教学过程中，应该充分发挥教学智慧，为学生提供熟悉的物理情境，给学生适时的启发、点拨，用问题去引导学生展开对物理模型的抽象，从而探究出向量加法的定义及其运算法那么，再引导学生对已经学过的数与式的运算规律加以回忆，类比出向量加法的运算律，并加以验证、熟悉和应用．三、重点、难点重点：从实际问题中抽象出数学模型，引导学生归纳出向量加法的定义和运算法那么，培养学生的观察发现、归纳类比、抽象概括能力；难点：对向量加法法那么本质的理解四、教法方法问题探究式五、教学过程设计1 问题情境师:我们知道,数能进行运算,有了运算,从而使得数变化无穷、魅力无比那么与数的运算类比,我们目前研究的向量——既有大小又有方向的量,它是否也能进行运算呢？因为向量有着丰富的物理背景,所以我们先来看几个物理现象: 情境1速度的合成 今年7月,江淮流域发生了历史罕见的大洪灾．某城外有一条自西向东流淌的大河,河两岸高筑堤坝,某天,巡防队员在南岸巡逻时发现正对岸的堤坝有一处险情,他们立即跳上小船垂直向对岸驶去〔如图1〕,船的静水速度为8,河水以4的速度东流．请问如果船不改变方向,他们能否准确到达出事地点？为什么？生:由于受水流的影响,船的实际航向将会偏离,从而不能准确到达．图3图2 师:从物理角度怎么解释？生:船的实际速度应是船静水速度和水流速度的合成．师:很好,这说明速度与速度之间是可以合成的． 情境2力的合成 如图2,很熟悉吧,这是苏教版物理必修1第61页的一幅插图,它说明了什么？生:两个孩子用的力和一个成人用的力是等效的,力也是可以合成的． 情境3 位移的合成 如图3,你能读懂这幅画吗 现在仅从位移的角度看,这两种航行方式之间是何关系生:从上海到台北有两条途径,这两种航行方式是等效的,即两个位移也是可以合成一个位移的．师:在物理中,速度、力和位移都是矢量,去掉这些量的物理属性,从数学的角度来看,它们都是向量,两个矢量的合成也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——加法！这就是我们今天要研究的课题． 2 自主探究问题 1 对于给定的两个向量,我们该如何定义它们的和？前面这些物理原型,给我们什么启发？师:请大家认真思考,可相互讨论交流留足够的时间供学生自主探究生:受速度和力的合成的启发,我们可以在平面内任取一点,分别作,以为邻边作平行四边形,那么以为起点的对角线就是向量的和如图4．师:这是通过构造平行四边形来操作的,可称之为平行四边形法那么这种操作要注意什么？生:两个向量要平移至共起点,和向量为以O 为起点的对角线．师:还有其他想法吗？生:受位移合成的启发,我们还可以在平面内任取一点,作,那么向量叫做向量的和如图5．师:这个可称为三角形法那么,在操作中要注意什么？生:首尾顺次连接．问题2 这两个法那么之间有什么联系？生:在图4中,只要将向量平移至,平行四边形法那么和三角形法那么就可以相互转化,平行四图4图5边形法那么中蕴含了三角形法那么〔图形中有两个完全一致的三角形〕,三角形法那么也可以生成平行四边形法那么师:也就是说,这两者是等价的,在本质上是一致的．问题 3 如果我们选择其一作为向量和的定义,你愿意选择哪一种呢？为什么？生:我愿意选择三角形法,因为它显得更简约、更容易操作．师:好,下面我们就按照这位同学说的把三角形法那么作为两个向量的和的定义,请试着把它的操作过程用文字语言表达出来．3 意义建构定义:向量、,在平面内任取一点O,作,那么向量叫做向量的和记作:,即．师:由此可知,两个向量的和仍然是一个向量,它的方向可能与原来的两个向量方向都不相同,它的模也不一定是原来两个向量模的简单叠加我们把求两个向量和的运算叫做向量的加法显然,这里是通过几何作图的方式加以定义的．在具体求和时,应该根据情况灵活地选择两个法那么．练习:、,作出．〔黑板上给出三个问题:①两个是不共线的向量；②两个同向共线的向量；③两个反向共线的向量〕追问1:问题③是反向共线,反向共线中有一种非常特殊的情形——两个相反向量的和什么？该如何求和？生:两个相反向量,其和是,即,这种情况实质上就是向量的终点又回到起点．师:请注意,和0有着本质的区别；和任意向量都共线,其和满足:．追问2:后面的两个小题及其拓展说明了什么？生:共线向量相加时,虽然不能构成三角形,但仍可以用三角形法那么来实施操作．追问3:共线向量相加时,能否用平行四边形法那么？生:不能,因为此时不能构成平行四边形,无法确定其对角线,所以无法操作师:这进一步说明用三角形法那么来定义向量的加法,不仅简约,而且全面、严谨、科学．从数学的角度看,前面提及的物理问题中矢量的合成实质上都是向量的加法．问题 4 以前学习数、字母、式的加法时,它们都满足交换律和结合律,即,．那么向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？如果满足,具体形式是什么呢？生:应该满足,即交换律:；结合律:追问:该如何来验证呢？生:作图．师:好,下面我们分组来试一试〔学生热情高涨,思维活泼,学生代表积极交流、展示〕师:研究结果说明:向量的加法也满足交换律和结合律,这与数的加法是一致的．经过大家的协作探究,我们对向量的加法有了一些认识．向量加法的引入,丰富了加法运算的内涵,实现了加法运算的一次质的飞跃．4 数学应用例1 如图6,为正六边形的中心,作出以下向量:1；〔平行四边形法那么〕2；〔共线向量的和〕3；4；〔多个向量的和〕解析:略师:更一般地,如图7,这是2021年第30届伦敦奥运会的会徽,现在,它的外围有假设干向量首尾顺次相接,那么所有这些向量的和是什么？这说明什么？请用文字语言来描述．生:,即．师:其实这是连续运用三角形法那么的结果．因此,这可以看作为向量加法三角形法那么的推广,我们不妨称其为多个向量相加的多边形法那么；进一步,如果再加上一个向量,和向量是什么？生:,即．师:请用文字语言来描述．生:如果平面内有个向量依次首尾相接组成一条封闭折线,那么这个向量的和为．师:这里“终点又回到起点〞,结果是,但过程中却可以是精彩纷呈的这启示我们,生命的意义在于过程,而不是结局． 图6 图7例2 回到情境11如果船不改变方向,船的实际航向是什么？用与水流速度所成角的正切值表示图82如果要使船能够垂直到达对岸,该如何确定其航向？解析:略师:这里的第2小题,其实质是知道了两个向量的和向量以及其中的一个向量,求另一个向量,这实际上涉及到到了两个向量加法的逆运算,是我们下一节课将要重点研究的问题5 课堂小结师:船成功到达此岸的时刻,也是我们这节课结束的时候了本节课我们从物理原型抽象出数学模型,在此根底上去研究数学模型,最后应用到生活实践中去．再一次告诉我们,数学源于生活,又效劳于生活．马克思说过:一门科学只有在成功地运用数学时,才算到达真正完善的地步．向量的加法为研究物理的相关问题提供了理论根底, 随着对向量研究的逐步深入,向量作为一种新的数学工具被越来越广泛的应用．6 课后作业〔1〕作业：P66 习题2．2的1，2，3〔2〕拓展探究：请同学们课后完成下面的拓展探究题：向量和的模与模的和之间有什么关系？〔是任意两个向量，那么与之间有什么关系？〕可以根据自己感兴趣的话题进行拓展探究．。
(精品)9.2.1向量的加法(导学案)
9.2.1向量的加法（导学案）班级 姓名学习目标：1. 通过实际例子掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则及其几何意义；2.灵活运用三角形法则和平行四边形法则进行向量求和运算。
学习重点：运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。
一、课前预习：（自主学习普高课本P9-11）导向探究一：三角形法则（1）问题：小明从A 地出发向东行走5千米到达B 地，再向北走了5千米到达C 地， 那么小明实际行走的效果如何？方向？距离？ 分析：根据题意，画出示意图.结论：向量 为向量 与向量 的和向量.（2）向量的加法 规定：（3）向量加法的三角形法则: （尝试用口诀概括）导向探究二：平行四边形法则（１）问题：如题，计算合力的值。
（２）向量加法的平行四边形法则: （尝试用口诀概括）导向探究三：向量加法的运算律（1）向量加法满足交换律，即： . （2）向量加法满足结合律，即： .OF 1F二、预习自测：1.如图，已知□ABCD，设，试用表示下列向量：（1），（2）2.=+BCAB；三、课堂探究例1如图，已知向量,分别运用三角形法则和平行四边形法则作出和向量。
跟踪训练1∶分别运用三角形法则和平行四边形法则作出和向量.跟踪训练2: 运用三角形法则作出和向量.（1）（2）例2化简：（1）;（2）;baaba bA BCD（3）.例3长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。
一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h,同时江水的速度为向东6km/h.（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度以及与江水速度夹角的正切值。
巩固练习一：如图，O为正六边形的中心，作出下列向量:（1）；（2）; （3）;（4）巩固练习二：如图，已知ba与，求作（只有画图表示，不必写作法）.四、课后探究1、下列判断正确的是（）．A.没有方向B.C.若，则D.若，则E DCBAFab b aab2、若是非零向量，则下列等式正确的是 （ ）．A.B.C.D.3、化简：（1） ;（2） ;（3） .4、已知矩形ABCD ，设则.5、如图，已知向量，求作（只要求画图表示，不必写作法）.（1）,（2）,6、如图，点B 、D 在□AECF 的对角线EF 上，且EB =DF .设.（1）填空： ，.（2）求作：bacAECF BD。
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总 课 题 平面向量 总课时 第18课时 分 课 题 向量的加法 分课时 第 1 课时 教学目标
理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和，掌握加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的运算。
重点难点
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
向量加法的交换律和结合律。
引入新课 问题1、利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为OA ，从景点A 到景点B 的位移为AB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB （如图）
这里，向量OA ，AB ，OB 三者之间有什么关系？
1、向量加法的定义________________________________________________________
2、向量加法的三角形法则___________________________________________________ 具体步骤：
（1）把两个向量平移后，使两个向量的一个起点与另一个起点相连。
（2）将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量为两个向量的和。
简记为“首尾相连，首是首，尾是尾”
3、向量加法的平行四边形法则_______________________________________
4、对于零向量和任一向量a 有
a a a =+=+00，对于相反向量有()()0
=+-=-+a a a a
5、向量加法的运算律
交换律____________________________ 结合律______________________________
6、如果平面内有n 个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n 个向量的和是什么？
例题剖析
例1、作出下列向量的和：
O B
A a b b b
a a (1) (2) (3)
例2、如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： （1）OC OA + （2）FE BC + （3）FE OA +
例3、在长江南岸某渡口处，江水以h km /5.12的速度向东流，渡船的速度为h km /25。
渡
船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
巩固练习
1、化简 =++++FA BC CD DF AB ________________________________。
2、已知点O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，则下面结论中正确的是 （ ）
A 、AC C
B AB =+
B 、A
C A
D AB =+ C 、BD CD AD ≠+ D 、0 ≠+++OD OB CO AO
3、在△ABC 中，求证；0 ≠++AC BC AB
4、一质点从点A 出发，先向北偏东 30方向运动了cm 4，到达点B ，再从点B 向正西方向运动了cm 3到达点C ，又从点C 向西南方向运动了cm 4到达点D ，试画出向量CD BC AB ,,以及CD BC AB ++。
课堂小结
1、向量加法的定义。
2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
3、向量加法的运算律。
O E F C D
课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、已知正方形的边长为1，,,,c b a ===则=++c b a （ ）
A 、0
B 、3
C 、2
D 、22
2、设点O 是△ABC 内一点，若0 =++，则必有 （ ）
A 、点O 是△ABC 的垂心
B 、点O 是△AB
C 的外心
C 、点O 是△ABC 的重心
D 、点O 是△ABC 的内心
3、当b a ,________时，b a b a +=+；b a ,________时，b a +平分b a ,之间的夹角。
4、在四边形ABCD 中，若AD AB AC +=，则四边形ABCD 一定是___________。
5、向量b a ,满足8||,4||==b a ，则||b a +的最大值和最小值分别为_____________。
6、飞机从甲地按南偏东 10的方向飞行km 2000到达乙地，再从乙地按北偏西 70的方向飞
行km 2000到达丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地离甲地多远？
二、提高题
7、一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，试求飞机飞行的路程和位移。
三、能力题
8、已知作用在同一质点上的两个力21,F F 的夹角是直角，且它们的合力F 与1F 的夹角是 60，N F 10|| ，求1F 和2F 的大小。