【资料】运筹学生产与存储问题汇编
生产与存储问题
阶段 i
0
1
2
3
4
需求量di
-
2
3
2
4
生产量xi
-
5
0
6
0
库存量vi
0
3
0
4
0
对于每个i都有vi-1·xi=0，则称该点的生产决策具有 再生产点性质。如果Vi=0则称阶段i为再生产点。
i
i
i 1
i
c( j,i) cj( ds) cs(0) hs( dt)
• 某工厂要对一种产品制订今后四个时期的生产计 划，据估计在今后四个时期内，市场对于该产品 的需求量如下表所示。
时 期(k) 1 2 3 4 需求量(dk) 2 3 2 4
•假定生产每批产品的固定成本3(千元)，若不生产就 为0；每单位产品成本为1(千元)；每个时期生产能力 所允许的最大生产批量为不超过6个单位；每个时期 未售出的产品，每单位需付存贮费0.5(千元)。
f1(1)=min{3+x1+0.5×1}=6.5 有x1=3 x1=3
f1(2)=min{3+x1+0.5×2}=8 有x1=4 x1=4
f1(3)=min{3+x1+0.5×3}=9.5 有x1=5 x1=5
f1(4)=min{3+x1+0.5×4}=11 有x1=6 x1=6
k=2， 由f2(v2)=min{C2(x2)+h2(s3)+f1(v2+3-x2)}可知，
3)
CC22
(1) h2(0) (2) h2(0)
f1(2) f1(1)
运筹学 存储论
D 1 TOC C2 n C2 , TCC C1Q. Q 2
量为Dt,此时的库存量为Q-Dt,则平均库存量为
1 T
D 1 C TOC TCC C2 C1Q, 求C的最小值, Q 2 C2 D 1 2 DC2 dC 2 C1 0, Q , Q 称为EOQ dQ Q 2 C1 公式.此时C 2 DC1C2 .
解:先用图形表示这一过程
数量
Q
O
t
T
时间
C表示全年发生的总费用,TOC表示全年内的 定货费,TCC表示全年内的的存储费,n表示全
D 年的平均定货次数, n Q .
1 平均存储量为 2 Q. 这是因为在时间t内的需求
1 1 2 T 1 1 T 2 ( Q Dt ) dt ( Qt | Dt | ) ( QT DT ) 0 0 0 T 2 T 2 1 1 1 Q DT Q Q Q. 2 2 2
第一节
引言
在生产和生活中,人们经常进行着各种个样的存 贮活动,这是为了解决供应(或生产)与需求(或消 费)之间不协调或矛盾的一种手段.例如,一场战 斗在很短时间内可能消毫几十万发炮弹,而兵工 厂不可能在这么短的时间内生产那么多炮弹,这 就是供需矛盾,为了解决这一矛盾,只能将军火 工厂每天生产的炮弹储存到军火库内,以备战争 发生时的需要.
一、ABC库存管理技术 ABC库存管理技术是一种简单，有效的库存 管理技术，它通过对品种，规格极为繁多的 库存物资进行分类，使得企业管理人员把主 要注意力集中在 金额较大，最需要加以重视 的产品上，达到节约资金的目的。
A类物资的特点：品种较少，但因年耗用
量特别大，或价格高，因而年金额特别大， 占用资金很多。通常它占总品种的10%以下 ，年金额占全部库存物资的年金额的60%到 70%。A 类物资往往是企业生产过程中主要 原材料和燃料。它是节约企业库存资金的重 点和关键。
《运筹学》第八章存贮论
– 求极小值
C3 1 dC (t ) 2 C1 R 0 dt t 2 C3 1 dC (t ) 2 C1 R 0 dt t 2 2C3 * – 最佳订货间隔 t C1 R
*
Q * Rt *
2C3 RP C1 ( P R)
R * t3 t P
*
R( P R) * A R(t t ) t P
* * * 3
平均总费用
C * 2C3 t *
模型Ⅳ：允许缺货，补充时间极短 最优存贮周期 经济生产批量
t
*
2C3 (C1 C2 ) C1C2 R
1
存贮量 R
[t1, t2 ] －以速度R满足需求及 以（P-R）速度补充[ 0, t1 ] 内 的缺货。t2时缺货补足。
P-R
S
[t2, t3 ] －以速度R满足需求， 存贮量以P-R速度增加。 t3时 刻达到最大存贮量A，并停止 生产。
t1
0
[t3, t ] －以存贮满足需求，存 贮以需求速度R减少。 t2
二、确定型存贮模型
模型Ⅰ：不允许缺货，补充时间极短
假设：
需求是连续均匀的，即单位时间的需求量R为常数 补充可以瞬时实现，即补充时间近似为零 单位存贮费C1，单位缺货费C2=∞，订购费用C3；
货物单价K
经济 订购 批量
经济订购批量
接收 订货 存贮消耗 (需求率为Ｒ)
Q
平均 存贮量
Q — 2
模型Ⅵ：需求是离散随机变量
设报童每天准备Q份报纸。 采用损失期望值最小准则确定Q
运筹学生产与存储问题
• 综上所述，该生产与存储问题的最优化安排是： • 第1个月生产10台，费用为70万元；
• 第2个月生产10台，费用为72.8万元；
• 第3个月生产5台，费用为41.4万元； • 第4个月生产6台，费用为45.6万元。
• 一至四月的生产与存储费用最小为229.8万元。
不确定性的采购问题
• 在实际问题中，还遇到某些多阶段决策过程，不 是像前面所讨论的确定性那样，状态转移是 完全 确定的，而是出现些随机性因素，状态转移 不能 完全确定，它是按照某种已知的概率分布取 值的。 具有这种性质的多阶段决策过程就称为随 机性的 决策过程。 • 用动态规划的方法可处理这种随机性问题， 又称 随机性动态规划。
• 现设有一个生产部门，生产计划周期为n个阶段， 已知最初库存量为 x 1 ，阶段需求量为dk ，单位产 品的消耗费用是 l k，单位产品的阶段库存费用为hk， 仓库容量为 mk ，阶段生产能力为bk ，生产固定成 本为 c k 。问如何安排现阶段的产量，使计划期内 的费用综合为最小？
• 该问题本身就是一个多阶段决策问题，设状态变 量为 xk 为k阶段初的库存量，由于计划期初的库存 量 x1已知，计划期末的库存量通常也是给定的， 为简单起见，假定 x( n1) =0，于是状态变量 xk 的约 束条件是：
+ 0 1 10 3 72 118.2 190.2
9
10 9 8 2 10 9 8 7 3 10 9 8 7 6 4 10 9 8
2
4 3 2 5 4 3 2 6 5 4 3 2 7 6 5
64.8
72.2 65 57.8 72.4 65.2 58 50.8 72.6 65.4 58.2 51 43.8 72.8 65.6 58.4
运筹学课程设计--生产和库存规划问题
课程设计（论文）任务书摘要整数规划主要应用在制定生产计划，在总体计划方面主要是从总体确定生产、存贮和劳动力的配合等计划以适应波动的要求。
此外还可用于生产作业计划、日程表的编排等，还有在合理下料、配料问题、物料管理等方面的应用。
本文将运用整数规划来解决实际应用中的生产和库存规划问题，并通过Lindo软件的求解分析来说明理论求解在实际应用中的局限性，解决实际问题必须将理论与实际相结合。
关键词：生产和库存模型；Lindo软件；整数规划目录一、问题的提出与分析 (1)1、问题提出 (1)2、问题分析 (1)二、模型的建立 (2)1、变量设定 (2)2、约束条件 (2)3、整数规划模型 (4)三、问题求解 (5)四、模型分析与改进 (10)参考文献 (11)一、问题的提出与分析1、问题提出某公司生产某种商品A，目前公司有员工290个，生产能力是每人每月20件。
现在已经是12月份，估计到明年6月底，商品A将会全部售出（即库存量为0）。
根据市场调查，预测市场明年对该商品A的需求量如表1所示：要求根据这份预测数据，对明年上半年（1－6月）的生产和库存制定计划，使总费用（包括解雇员工与新雇员工的费用，以及库存费用）达到最小。
公司明年确定制定计划的目标如下：（1）正常生产和加班生产正常生产每人每月20件；而加班生产每人不超过6件，且每加班生产一件增加费用20美元。
（2）解雇或新雇员工对相邻的两个月，增加或减少的员工数不得超过40人，而且每解雇一个员工需要支付420美元，每新雇用一个员工，需要支付300美元的培训费。
（3）库存多余的产品可以存放在仓库中，每月每件产品的存储费为6美元。
根据以上所给条件，制定一个以总费用最少为目标的生产库存计划，并且要求在明年6月底无库存。
2、问题分析关于如何制定生产和库存计划，使公司的总费用为最小，是一个整数规划问题。
因此我们可以利用Lindo软件进行求解。
在解题过程中，我们先对各个问题进行分析，总费用包括解雇员工与新雇员工的费用，以及库存费用两个方面，并且在解雇员工与新雇员工在每月人数流动问题上进行了优化假设，设定变量，再求变量的约束条件，最后给出了生产和库存计划的模型，并对该模型的结果进行了分析。
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-存储论(圣才出品)
第14章存储论14.1设某工厂每年需用某种原料1800吨，不需每日供应，但不得缺货。
设每吨每月的保管费为60元，每次订购费为200元，试求最佳订购量。
解：由题意知，该模型为“不允许缺货，生产时间很短”，按E.O.Q计算Q*得所以最佳订购量为32吨。
14.2某公司采用无安全存量的存储策略。
每年使用某种零件100000件，每件每年的保管费为30元，每次订购费为600元。
试求：（1）经济定购批量；（2）订购次数。
解：（1）按E.O.Q模型计算，得所以经济订购批量为2000件。
（2）订购次数为：＝50（次）所以每年的订购次数为50次。
*32()Q==≈吨*Q*2000()Q===件14.3某工厂生产某种零件，每年需要量为18000个，该厂每月可生产3000个，每次生产后的装配费为5000元，每个零件的存储费为1.5元，求每次生产的最佳批量。
解：由题意知，该题模型为“不允许缺货，生产需一定时间”，已知，，。
最佳批量是所以，每次生产的最佳批量为4472个。
14.4某产品每月用量为4件，装配费为50元，存储费每月每件为8元，求产品每次最佳生产量及最小费用。
若生产速度为每月可生产10件，求每次生产量及最小费用。
解：（1）用“不允许缺货，生产时间很短”的模型求解。
已知。
则最佳批量为以月为单位的平均费用为（2）用“不允许缺货，生产需一段时间”的模型求解。
已知，，则最佳批量为最小费用为3C5000=1C 1.5=P3000R180********==÷=，*Q4472==≈（个）31C50R4C8===，，*7()Q==≈件**1374()85056.6()227Q RC Q CCQ=+=⨯+⨯≈元31C50C8P10===，，R4=所以，如果生产时间足够短，那么最佳生产量为7件，最小费用为56.6元；如果生产速度为每月可生产10件，那么最佳生产量为9件，最小费用为43.8元。
14.5每月需要某种机械零件2000件，每件成本l50元，每年的存储费用为成本的16％，每次订购费100元，求E.O.Q 及最小费用。
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(存储论)
第13章存储论13.1 复习笔记1．存储论的基本概念备货时间：从订货到货物进入“存储”往往需要一段时间，我们把这段时间称为备货时间。
备货时间可能很长，也可能很短，可能是随机性的，也可以是确定性的。
提前时间：从另一个角度看，为了在某一时刻能补充存储，必须提前订货，那么这段时间称之为提前时间。
存储策略：决定多少时间补充一次以及每次补充数量的策略称为存储策略。
存储论要解决的问题是：多少时间补充一次，每次补充的数量应该是多少，即存储策略。
2．一些参数的含义K：货物单价；：最佳订货周期；R：需求速度；：最佳订货批量；：单位存储费用；：单位缺货损失；：订购费；：最佳费用；：最佳生产时间；：生产速度；：最大存贮量；：最大缺货量；：最大缺货量。
3．存储策略（1）-循环策略，每隔时间向系统内补充存储量Q。
（2）策略，当存储量时不补充；当时补充存储，补充量(即，将存储量补充到S)。
（3）混合策略，每经过t时间检查存储量，当时不补充；当时，补充存储量使之达到S。
4．确定性存储模型（1）模型一—经典的E.O.Q模型：不允许缺货，备货时间很短，且需求是连续均匀的，即需求速度是一常数；每批订货量不变，订货费用为常数；单位存储费用不变。
已知，求，，（2）模型二：不允许缺货，生产需一定时间，其余条件同模型一。
已知，求，，（3）模型三：允许缺货，备货时间很短，其余条件同模型一。
已知，求，，，最大缺货量（4）模型四：允许缺货（需补足缺货），生产需要一定时间，其余条件同模型一。
已知，求，，简便的记忆方法：①永远成立②记住模型一，，③定义两个因子④与因子的关系与乘以因子，与除以因子模型二乘除，模型三乘除，模型四乘除⑤模型二的，模型三的，模型四的说明：在允许缺货条件下，经过研究而得出的存储策略是：每隔时间订货一次，订货量为，用中的一部分补足所缺货物，剩余部分进入存储。
很明显，在相同的时间段落里，允许缺货的订货次数比不允许缺货时订货次数减少了。
运筹学第九章存贮论
第九章 存贮论一、问题的提出和分类：1.目的：由于现实生活中经常发生供不应求或者供大于求的现象，于是人们在供应与需求者两个环节之间加上了存贮这一环节，一起到协调和缓和供和需之间的矛盾的作用。
2.存贮问题包括的基本要素及符号：需求率D 、订货批量Q 、订货间隔期t 、订货提前期L 、生产速率P 、每次组织订货费用D C 、存贮物品所需费用P C 、短缺损失费S C 、单位时间（可以是一年，也可以是一个月等）的平均总费用TC 、最大允许短缺量S 。
3．分类：1、经济订货批量存贮模型2、允许缺货的经济订货批量模型3、不允许缺货的经济生产批量模型4、允许缺货的经济生产批量模型5、经济订购批量折扣模型二．问题的求解1.分析题意，判断所属的存贮模型；2.根据各模型给出的公式带入数据进行求解.①. 经济订货批量存贮模型(基本的EOQ 模型) 特点：订货提前期为零，不允许缺货 公式：订货批量PD *C D*C 2Q =，单位时间的平均总费用D C C P D **2TC *=. ②．允许缺货的经济订货批量模型 特点：订货提前期为零，允许缺货 公式:订货批量SS P C C C *C D *C 2Q P D *）（+=，单位时间的平均总费用SP S p D *C C C DC C 2TC +=，最大允许短缺量)C (C DC 2S S P S PD *+=C C 。
③．不允许缺货的经济生产批量模型 特点：订货提前期不为零，不允许缺货 公式：最佳生产批量）（P /D -1*C D*C 2Q P D *=，单位时间的平均总费用)/1(C C *D 2TC D p *P D -=，最大库存量PD *C D/P)-D(1*C 2=S ，生产周期D*C D/P)-(1*C 2D -P P *C D *C 2t t t P D P D *2*1+=+=）（。
④．允许缺货的经济生产批量模型（一般的EOQ 模型）特点：订货提前期不为零，不允许缺货 公式：生产批量）（）（P C C C S S P /D -1*C D *C 2Q P D *+=，最大存贮量)C (C D/P)-D(1*C 2SP P D *1+=C C S S ，最大短缺量)C (C D/P)-D(1*C 2S P S D *2+=C C S P ，单位时间的平均总费用SP D S p *C C )/1(C C C *D 2TC +-=P D 。
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• 在生产和经营管理中，经常遇到要合理地安排生 产(或购买)与库存的问题，达到既要满足社会的
需要又要尽量降低成本费用。因此，正确制定生 产(或采购)策略，确定不同时期的生产量(或采购 量)和库存量，以使总的生产成本费用和库存费用
之和最小，这就是生产与存贮问题的最优化目标 。
生产计划问题
4
81.2
16
97.2
9
3
73.2
23.4
96.6
8
2
65.2
30.8
96
7
1
57.2
38.2
95.4
6
0
49.2
45.6
94.8
7
10
5
81.4
8.6
90
9
4
73.4
16
89.4
8
3
65.4
23.4
88.8
7
2
57.4
30.8
88.2
6
1
49.4
38.2
87.6
5
0
41.4
45.6
87
○3 k=2 时 确定 x2 的取值范围 因为 x1=0，0≦u1≦10，且 d1=6，且 x3≧2 因此 0≦x2≦4 即 x2=0,1,2,3,4. 对于 x2 的每个确定值，分别求出 u2 的可能取值 X2=0 时，u2=10，9 X2=1 时，u2=10，9，8 X2=2 时，u2=10，9，8，7 X2=3 时，u2=10，9，8，7，6 X2=4 时，u2=10，9，8，7，6，5
+
2
10
0
80.4
45.6
126
3
10
1
80.6
38.2
118.8
9
0
72.6
45.6
118.2
4
10
2
80.8
30.8
111.6
9
1
72.8
38.2
111
8
0
64.8
45.6
110.4
5
10
3
81
23.4
104.4
9
2
73
30.8
103.8
8
1
65
38.2
103.2
7
0
57
45.6
102.6
6
10
• 大批量生产可以降低成本，但当产量大于销量时 就会造成产品积压而增加库存费用；单纯按市场 要求安排生产也会因为开工不足或加班加点造成 生产成本增加。因此合理利用存贮资源调节产量， 满足要求是十分有意义的。
• 现设有一个生产部门，生产计划周期为n个阶段， 已知最初库存量为x1 ，阶段需求量为d k ，单位产 品的消耗费用是l k ，单位产品的阶段库存费用为h k ， 仓库容量为 m k ，阶段生产能力为b k ，生产固定成 本为 c k 。问如何安排现阶段的产量，使计划期内 的费用综合为最小？
+
0
10
3
72
118.2
190.2
9
2
64.8 126
190.8
1
10
4
72.2 110.4
182.6
9
3
65
118.2
183.2
8
2
57.8 126
183.6
2
10
5
72.4 102.6
175
9
4
65.2 110.4
175.6
8
3
58
118.2
176.2
7
2
50.8 126
176.8
3
10
6
72.6 94.8
•该问题本身就是一个多阶段决策问题，设状态变量
为 已知，x为1 计kx阶k 划段期初末的的库库存存量量，通由常于也计是划给期定初的的，库为存简量单
起见，假定 ：
=0，于x(n是1) 状态变量 的约束条x k 件是
•决策变量uk选为阶段k的产量，它满足的约束条件 是：
状态转移方程为， 。
它满足无后效性的要求
，12台，故x4=0，1，2，3，4，5台
表1 k=4时
+
0
6
0
45.6
0
45.6
1
5
0
38.2
0
38.2
2
4
0
30.8
0
30.8
3
3
0
23.4
0
23.4
4
2
0
16
0
16
5
1
0
8.6
0
8.6
○2 k=3 时 因为 d3=12，d1=6，d2=7，x1=x5=0.每月的最大生产能力为 10 台，故 2≦x3≦7 当 x3=2，u3=10 x3=3，u3=10，9 x3=4，u3=10，9，8 x3=5，u3=10，9，8，7 x3=6，u3=10，9，8，7，6 x3=7，u3=10，9，8，7，6，5
• 阶段效用由两阶段组成，一部分为生产费用，另 一部分为存贮费用，即：
• 动态规划基本方程为：
•某机床厂根据合同，在一至四月份为客户生产某种机床。工厂每月的生 产能力为10台，机床可以库存，存储费用为每台每月0.2万元，每月需要
的数量及每台机床的生产成本如下表。试确定每月的生产量，要求既能 满足每月的需求，又能使生产成本和存储费用之和达到最小
• 综上所述，该生产与存储问题的最优化安排是： • 第1个月生产10台，费用为70万元； • 第2个月生产10台，费用为72.8万元； • 第3个月生产5台，费用为41.4万元； • 第4个月生产6台，费用为45.6万元。 • 一至四月的生产与存储费用最小为229.8万元。
表4 k=1
0
10
4
70
159.8 229.8
0
9
3
63
167.4 230.4
0
8
2
56
175
231
0
7
1
49
182.6 231.6
0
6
0
42
190.2 232.2
○5 求全过程最优指标函数与最优化策略 由 k=1.可以求出其全过程最优指标函数 f1(x1)；由 k=1 至 k=4 各表，可以依次求出第 1，2，3，4 各阶段的最优策略，进 而得到最优策略。由表 1 可知。在年初无库存的情况下，四 个月的最小费用 f1(0)为 229.8 万元。且第一阶段的最优决策 u1=10 台，第一阶段末即第二阶段初的最优库存 x2=4 台。 根据 x2=4 台查表 3 可知，第二阶段的最优决策 u2=10 台， 因此库存 x3=7 台。 根据 x3=7 台，查表 2 得，第三阶段的最优决策 u3=5 台，因 此 x4=0 台，查表 1 得 u4=6 台。这样到最后一个月恰好无库 存，即 x5=0。
表 需求量及生产成本
月份
1
2
3
4
需求（台）
6
7
12
6
生产成本（万元/台）
7
7.2
8
7.6
• 3.逆序逆推计算
○1 k=4 时 按照问题的各种约束条件，确定状态变量 x4 的取值范围。 按穷举法的思路，在量化的精度内，确定状态变量 x4 的全 部可能取值。
• 又x5=0，d4=6 所以有x4+u4=6 • 又因为每个月的最大生产能力为10台。第1，2，3月的需求量为6，7
167.4
9
5
65.4 102.6
168
8
4
58.2 110.4
168.6
7
3
51
118.2
169.2
6
2
43.8 126
169.8
4
10
7
72.8 87
159.8
9
6
65.6 94.8
160.4
8
5
58.4 102.6
161
7
4
51.2 110.4
161.6
6
3
44
118.2
162.2
4、k=1时 确定x1的取值范围 X1=0 确定u1的取值范围 因为d1=6，x1=0。故6≦u1≦10 所以u1=10，9，8，7，6