2.5龟兔赛跑悖论古希腊哲学家(数学家)Zeno提出关于运动的4个悖论
生活中简单悖论的例子
生活中简单悖论的例子
悖论是指在逻辑上自相矛盾的事物或观点。
生活中有很多简单的悖论，下面是一些例子：1.赛跑中的“乌龟和兔子”悖论：这个悖论源于一个寓
言故事，讲述了一只乌龟和一只兔子之间的赛跑。
兔子开始跑得很快，但
是因为他太自信了，所以在半路上停下来休息。
乌龟则一直缓慢地前进，
最终赢得了比赛。
这个故事中的悖论在于，兔子明明比乌龟跑得快，但是
因为他的自信心和骄傲导致他输掉了比赛。
2.“鸡生蛋还是蛋生鸡”悖论：这个悖论源于一个古老的哲学问题，即鸡和蛋哪一个先存在。
如果我们认
为鸡先存在，那么鸡是从哪里来的呢？如果我们认为蛋先存在，那么蛋是
从哪里来的呢？这个问题没有一个明确的答案，因为它涉及到时间和因果
关系的问题。
3.“谎言和真话”悖论：这个悖论源于一个经典的逻辑问题，即如果一个人说“我现在说的是谎言”，那么他是在说真话还是谎言呢？
如果他说的是真话，那么他说的是谎言，这就是一个悖论。
如果他说的是
谎言，那么他说的是真话，这也是一个悖论。
4.“自指悖论”：这个悖论
源于一个自指的语句，即“这个语句是假的”。
如果这个语句是真的，那
么它所说的就是假的，这就是一个悖论。
如果这个语句是假的，那么它所
说的就是真的，这也是一个悖论。
这些悖论虽然看似简单，但是却涉及到
深刻的哲学和逻辑问题。
它们提醒我们在思考问题时要注意逻辑的严密性
和自相矛盾的可能性。
芝诺--四个经典的拟难
Zeno's paradoxes摘要：芝诺(Zero of Elea，前490-425)是古希腊爱利亚学派的代表人，他提出的四个拟难——二分法、阿基里斯追龟、飞箭、运动场，客观上把微积分中的离散和连续的对立统一惹人注目地摆了出来，其中“二分法”和“阿基里斯追龟”涉及无穷运算中收敛的无穷级数和有限的问题；“飞箭”则是一个典型的导数问题，运动的物体在每一时刻不仅有速度，而且还有加速度等；“运动场”明显地同运动的两个相反的方向即正负概念有关。
下面则是四个拟难的详细介绍及分析。
二分法●追龟说‚一个跑得最快的人永远追不上一个跑得最慢的人，理由：因为追赶者首先必须跑到被追者的起跑点，因此走得慢的人永远领先。
‛阿基里斯(Achilles)，古希腊奥运会中的一名长跑冠军。
即当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经走在前面一小段路了，阿基里斯又必须赶过这一小段路，而乌龟又向前走了。
这样，阿基里斯可无限接近它，但不能追到它。
●飞箭静止说‚如果任何事物，当它是在一个和自己大小相同的空间里时(没有越出它)，它是静止着。
如果位移的事物总是在‘现在’里占有这样一个空间，那么飞着的箭是不动的。
‛运动场悖论A A A A A A A AB B B B→B B B BC C C C←C C C CAAAA为一排静止物体，而BBBB和CCCC分别代表以相同速度作相反方向运动的物体，当第一个B到达最末一个C的同时，最末一个C也达到了第一个B，这时第一个C已经经过了所有的B，而第一个B只经过了所有的A中的一半，因为经过每个物体的时间是相等的，所以一半时间和整个时间相等。
分析：1.亚里士多德（Aristotle）批评芝诺在这里犯了错误“他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别地和无限的事物相接触。
须知长度和时间被说成是“无限的”有两种涵义，并且一般地说，一切连续事物被说成是“无限的”都有两种涵义：或分起来的无限，或延伸上的无限。
古希腊数学家芝诺提出的四大悖论
古希腊数学家芝诺提出的四大悖论古希腊数学家芝诺提出的四大悖论（1）运动场问题（The dichotomy paradox）中的，又称为两分法悖论。
悖论的内容：因为一运动物体在到达目的地之前，必须先抵达距离目的地之一半的位置。
即：若要从A处到达B处，必须先到AB中点C，要到达C，又须先到达AC的中点D。
如此继续划分下去，所谓的“一半距离”数值将越来越小。
最后“一半距离”几乎可被视为零。
这就形成了某一物体若要从A移动到B，必须先停留在A的悖论。
这样一来，此物体将永远停留在初始位置，或者说物体初始运动所经过的距离近似0，以至这物体的运动几乎不能开始。
因此，我们得出了运动不可能开始的结论。
《庄子·天下篇》，庄子提出：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。
”悖论的解释：此悖论在设立时有意忽略了一个事实，那就是从A到B 的“运动”必须是一个时间相关的概念而不仅仅是距离的概念。
也就是说如果运动的速度为0的时候这个悖论为真！但是一旦运动起来，必然有一个速度，速度等于经过的距离除以历经的时间。
什么时候速度为0呢？一种情况是距离为0，根本没有要动，另一种情况大家一般会忽略掉，就是经历的时间趋近于无限，不论距离多大，只要是一个固定值，那么速度就是0，于是悖论就成立了。
此悖论虽然没有提及时间，但是却故意掩盖了时间这个因素。
这同最小分割无关，因为在数学上，无限分割是成立的。
（2）飞矢不动悖论悖论内容：一根箭是不可能移动的，因为箭在其飞行过程中的任何瞬间都有固定位置，则可知一枝动的箭是所有不动的集合，所以可导出一根箭是不可能移动的。
中国古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。
悖论提出过程：芝诺问他的学生“一支射出的箭是动的还是不动的？”，学生回答“那还用说，当然是动的。
”芝诺又问“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。
可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？学生回答“有的，老师。
”芝诺又一连串的问道，“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。
芝诺悖论的认识
芝诺悖论的认识引言芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一系列悖论，它们挑战了我们对于时间、空间和无限的直觉和理解。
这些悖论引发了人们对于逻辑和数学的深度思考，对于哲学和数学领域的发展产生了重要影响。
芝诺悖论的概述芝诺悖论是一系列看似矛盾和荒谬的陈述，但却能通过推理得出合理的结论。
它们挑战了我们对于现实世界的感知和理解，引发了人们对于逻辑和数学的思考。
悖论一：亚基里斯与乌龟赛跑在这个悖论中，亚基里斯与乌龟进行一场赛跑。
乌龟比亚基里斯慢，但亚基里斯必须先给乌龟一个头脑的优势。
然而，根据芝诺的推理，亚基里斯将永远无法超过乌龟，因为每当亚基里斯到达乌龟之前，乌龟已经前进了一段距离。
悖论二：阿喀琉斯与乌龟赛跑这个悖论类似于前一个悖论，但加入了连续性的概念。
根据芝诺的推理，亚基里斯将永远无法超过乌龟，因为在每次追赶乌龟之前，他都必须先赶上乌龟前一刻的位置，而乌龟又会在这一刻前进一段距离。
悖论三：无限齐次线段这个悖论涉及到无限的概念。
根据芝诺的推理，如果我们有一个长度为1的线段，我们可以无限次地将其分成两半。
这意味着我们可以得到无限多个长度为1/2、1/4、1/8等的线段，而它们的总和应该是无限大。
然而，这与我们对于有限和无限的理解相矛盾。
悖论四：阿喀琉斯与乌龟的箭矢在这个悖论中，亚基里斯试图射中乌龟。
然而，根据芝诺的推理，箭矢在射中乌龟之前必须先到达射出箭矢的位置，而在那之前箭矢已经前进了一段距离。
这意味着箭矢永远无法射中乌龟。
芝诺悖论的意义和影响芝诺悖论挑战了我们对于时间、空间和无限的直觉和理解，引发了人们对于逻辑和数学的深度思考。
它们对于哲学和数学领域的发展产生了重要影响。
对于逻辑的影响芝诺悖论迫使人们重新审视逻辑的基础和推理的有效性。
它们揭示了一些常识和直觉可能会导致矛盾和荒谬的结论。
人们开始思考如何修正逻辑系统，以避免这些悖论的出现。
对于数学的影响芝诺悖论对于数学的发展也产生了重要影响。
它们引发了人们对于无限的思考，导致了对于无穷集合和无限序列的研究。
芝诺的四个悖论
芝诺的四个悖论 Last revision date: 13 December 2020.3、芝诺的四个悖论第一个悖论是阿基里斯与乌龟悖论，希腊战士阿基里斯跟乌龟赛跑，乌龟说，如果它比阿基里斯先跑10米，那么阿基里斯永远都追不上它，因为只要阿基里斯跑了10米，这时乌龟就又多跑了几米，若阿基里斯再跑到乌龟曾经停留的点，乌龟一定又跑到阿基里斯前面去了；看似有理，但要怎么说明为何如此呢？第二个是二分法悖论，是说你永远不可能抵达终点，因为你为了抵达终点，必得先跑完全程的一半，而要跑到全程的一半，你又得跑完一半的一半……如此一来，你永远跑不到终点；甚至可以说你根本无法起跑，因为若要起跑一小段距离，你就得移动那一小段距离的一半，似乎永远无法开步跑？第三则是飞矢悖论，在任一时刻，飞矢会占据着与它同等长度的空间，就这个瞬间而言，飞矢可说是静止不动的；如果每一个“任一时刻”飞矢都静止不动，那么飞矢应该一直不动。
怎么可能如此？飞矢应该不断往前飞啊！第四是竞技场悖论，假设时间有最小不可分割的单位（这是自古以来的基本假设），现在有3辆车子，在单位时间内，一号车向左移一个车身，二号车不动，三号车向右移一个车身，于是一号和三号便相差两个车身，那么一号和三号车在过程中相差一个车身时，需要花费基本单位元时间的一半，但这与基本的单位时间假设相冲突。
林兹要阐释这四个芝诺悖论，所持的基本论点是，对运动中的物体而言，并没有所谓的“任一时刻会位于某个确定位置”，因为物体的位置会随时间不停地改变。
他解释道︰“这样想应该比较能够理解，无论时间间隔多么小，或者物体在某段时间间隔中运动得有多慢，它还是在运动状态中，位置还是不断在改变，因此，无论时间间隔有多短，运动物体没有所谓在任一时刻、某一瞬间拥有确定的相对位置这回事。
”从芝诺到牛顿乃至于今天的物理学家，在讨论运动的本质时，无不假设“运动中的物体之间具有确定的相对位置”，而林兹则认为，便是因为假设时间可以冻结在任一时刻，此时运动中的物体位在一个确定的位置上，因此芝诺悖论中那种不可能发生的情况才会成立。
十大烧脑哲学悖论
十大烧脑哲学悖论哲学悖论是哲学领域中一种常见的逻辑困境，它们挑战着我们对于真理、时间、自由意志等重要问题的理解。
下面将介绍十大烧脑的哲学悖论。
一、拉塞尔悖论（Russell's Paradox）拉塞尔悖论是数学家和哲学家伯特兰·罗素于1901年提出的。
它提出了一个关于集合的问题：是否存在一个包含所有不包含自己的集合？这个悖论揭示了集合论的一些内在矛盾，对于数学哲学产生了深远的影响。
二、康德悖论（Kant's Antinomies）康德悖论是德国哲学家康德于1781年在《纯粹理性批判》中提出的。
它提出了四个对立的命题，分别是有限性与无限性、因果性与自由意志、必然性与偶然性以及存在性与非存在性。
这些对立命题无法同时成立，挑战了我们对于世界的认知。
三、佐罗斯特悖论（Zeno's Paradoxes）佐罗斯特悖论是古希腊哲学家佐罗斯特于公元前5世纪提出的。
他通过一系列悖论来质疑运动的连续性，如箭矢悖论和阿喀琉斯悖论。
这些悖论揭示了运动与时间的复杂关系，引发了对于无穷和无限的思考。
四、薛定谔猫悖论（Schrödinger's Cat Paradox）薛定谔猫悖论是量子物理学中的一个思想实验，由奥地利物理学家薛定谔于1935年提出。
它描述了一个封闭的盒子中有一只猫，同时有一瓶放射性物质，如果物质衰变，猫将死亡；如果物质不衰变，猫将幸存。
根据量子力学的原理，猫在盒子中既是死亡又是幸存的，这个悖论挑战了我们对于现实世界的认识。
五、哥德尔不完全性定理（Gödel's Incompleteness Theorems）哥德尔不完全性定理是奥地利数学家哥德尔于1931年提出的。
它证明了任何一套包含基本算术的形式化系统都会存在未能被证明或证伪的命题。
这个定理揭示了数学的局限性，对于逻辑和形式系统有着深远的影响。
六、孟塞尔悖论（Münchhausen's Trilemma）孟塞尔悖论是德国哲学家汉斯·阿尔贝特·孟塞尔于1900年提出的。
芝诺曾提出四个运动的不可分性的哲学悖论有什么
B、C两个列队开始移动,如下图所示相对于观众席A,B和C分别向右和左各移动了一个距离单位.
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而此时,对B而言C移动了两个距离单位.也就是,队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位,也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位,这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾.因此队列是移动不了的.
二分法悖论：
这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先到达距离D的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去.因此,这个物体永远也到达不了D.这些结论在实践中不存在,但是在逻辑上无可挑剔.
芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动,因为如果有这样的运动,就会有‘完善的无限’,而这是不可能的.”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟,那么,“这是一种不合逻辑的现象,因而决不是真理,而仅仅是一种欺骗”.这就是说感官是不可靠的,没有逻辑可靠.
有人用物理语言描述这个问题说,在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量.一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S,速度分别为V1和V2.当时间T=S/(V1-V2)时,阿基里斯就赶上了乌龟.
但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点,这个时间为T'.对于任何T',可能无限缩短,但阿基里斯永远在乌龟的后面.关键是这个T'无法度量T=S/(V1-V2)以后的时间.
古代追逐问题 数学悖论
古代追逐问题数学悖论
在“龟兔赛跑”的寓言故事中，乌龟凭借着它的坚毅和耐力，赢过了轻敌的兔子。
那么如果乌龟和人赛跑时会是怎样的情景呢？关于此，科学界有过一个有趣的悖论，这便是公元前五世纪，出生在意大利半岛南部埃利亚的古希腊著名数学家、哲学家芝诺提出的著名的“阿基里斯悖论”。
阿基里斯悖论阿基里斯悖论指的是埃利亚学派哲学家芝诺提出的阿基里斯和乌龟赛跑，而只要乌龟先跑，阿基里斯是无论如何也追不上它的故事。
阿基里斯是海女神忒提斯和人间的国王珀琉斯所生之子，自出生时，他便被母亲浸入冥河，除了被母亲手指遮挡住的脚后跟外，全身都刀枪不入，他是古希腊最勇猛的勇士、最善跑的英雄，正是他在特洛伊战争中两次扭转了战局。
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2． 5 龟兔赛跑悖论
古希腊哲学家(数学家)Zeno 提出关于运动的4个悖论，是针对当时的对时空的两种对立观点：
1. 时空无限可分（故运动是连续的平稳的）；
2. 时空由不可分的小段组成（故运动是不连续的，跳动的，象放电影似的）。
Zeno 的第二悖论：领先者无法被追上。
Zeno 原话：“Achilles （希腊的神行太保）追不上乌龟”。
演绎成如今的“龟兔赛跑悖论”：
设乌龟跑步速度50 m/分，兔子跑步速度100 m/分，乌龟领先100 m ，现赛跑开始。
兔子跑了100 m 追到乌龟的领先点，乌龟已经又领先50 m ，兔子再跑了50 m 追到乌龟的第二领先点，乌龟又领先25 m ，如此一直无限追下去，兔子永远追不上乌龟？
Zeno 的上述第二悖论是攻击“时空无限可分”的哲学观点的。
即：若时间无限可分，从而有限时间含无限段，无限段时间无法走完。
或者：若空间（长度）无限可分，从而有限空间含无限段，无限段无法走完。
事实上，兔子追了n 次后，
用时： 11111...2(1)222
n n n t -=+++=-(2)<，2n t →分钟， 行走距离：11001001100...200(1)(200)222
n n n s -=+++=-<，200n s →m 。
将2分钟时段分解成无限段：111{1,,...,,...}22
n -，每时段内追不上。
将200m 长度分解成无限段：1100100{100,,...,,...}22
n -，每段内追不上。
但跨过2分钟时间界限（或跨过200 m 的距离界限），兔子就追上乌龟了。
事实上，有限时间2分钟内可以跨越有限长度200 m 的无限可分的无限段。
Aristotle 在驳斥Zero 时也指出：无限性有两种意义：无限可分与无限宽广。
有限时间内是可以接触可分意义上无限的东西。
参考书：《古今数学思想》，第一册，P40－42. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 龟 兔 100m 150m 175m。