平新乔《微观经济学十八讲》课后习题和强化习题详解(4-6讲)【圣才出品】

第4讲 VNM 效用函数与风险升水

4.1 课后习题详解

1．（单项选择）一个消费者的效用函数为，则他的绝对风险规避系数

为：

（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】C

【解析】由消费者的效用函数，可得，，

则可得该消费者的风险规避系数为：。

2．证明：若一个人的绝对风险规避系数为常数，则其效用函数形式必为，

这里代表财产水平。

证明：这是一个求积分的问题，即由绝对风险规避系数来倒求效用函数。根据绝对风险规避系数的定义，就有：

对等式（1）最后一个等号两边积分得：

即：。 进一步整理得：

①

()bw

u w ae c −=−+a a b +b c ()bw

u w ae

c −=−+()bw u'w abe −=()2bw

u w ab e −''=−()()()2bw

a bw

ab e R w u w w b abe −−−=−"'=−

=c ()cw

u w e −=−w ()()

()

a u w R w c u w "=−

='()

()

d d u w w c w u w "=−⎰

⎰'()ln u w cw C '=−+()cw C cw u w e Ce −+−'==

其中，对①式两边积分得：

其中为任意实数。根据效用函数的单调递增特性可知（因为如果，就说明财富越少，消费者的效用就越高，这不符合正常的情况）。又因为效用函数的单调变换不改变它所代表的偏好，所以表示的偏好也可以用表示。

3．若一个人的效用函数为，证明：其绝对风险规避系数是财富的严格增函

数。

证明：由效用函数，可得，，则该消费者的

绝对风险规避系数为：

其中。因此，当时： 即绝对风险规避系数是财富的严格增函数。

4．设一种彩票赢得900元的概率为0.2，而获得100元的概率为0.8。计算该彩票的期望收入。若一个人对该彩票的出价超过彩票的期望收入，请写出这个人的效用函数形式。（形式不唯一）。

答：（1）用表示风险收入，那么该风险收入的期望值为：

（元）

（2）如果此人对该彩票的出价超过彩票的期望收入，说明他是风险喜好者（如图4-1

0C C e =>()1cw

C u w e C c

−=−

+1C 0c >0c <()1cw

C u w e C c

−=−

+()cw u w e −=−2

u w aw =−()2

u w w aw =−()12u'w w α=−()2u w α''=−()()()212a u w R w u w w

α

α"=−

='−12w α≠

12w α

≠()()()

2

2

d 20

d 12a R w w w αα=>−w ()0.29000.8100260E w =⨯+⨯=

所示）。一个可能的效用函数是。

图4-1 风险爱好者的效用函数

5．证明：在下列效用函数中，哪些显示出递减的风险规避行为： （1）； （2）；

（3）； （4）。

答：递减的风险规避行为是指随着消费者财富的增加，他的风险厌恶程度会逐渐减弱，也就是说他的绝对风险规避系数关于财富数量是递减的。

（1）因为，

所以，关于财富求导得：

因此，该效用函数显示出递减的风险规避行为。

（2）因为，，所以，这就意味着，因此该效用

2

u w =()()0,01u w w β

ααβ=+≥<<，()u w w =()()ln 0u w w αα=+≥，()3

u w w =()()()()()

1

2

1u w w u w w βββαββα−−'=+"=−+，()()()()

2

1

111a w R w w w w ββββαββ

αα

βα−−−+−−=−

=−

=+++()a R w w ()()

()

2

10a R w w βα−−'=

<+()1u w '=()0u w "=()0a R w =()0a R w '≡

函数不显示出递减的风险规避行为。

（3）因为，，所以，关于财富求导得：

因此，该效用函数显示出递减的风险规避行为。 （4）因为，，所以，关于财富求导得： 因此，该效用函数不显示出递减的风险规避行为。

6．一个具有VNM 效用函数的人拥有160000单位的初始财产，但他面临火灾风险：一种发生概率为5%的火灾会使其损失70000；另一种发生概率为5%的火灾会使其损失120000。他的效用函数形式是。若他买保险，保险公司要求他自己承担前7620单位的损失（若火灾发生）。什么是这个投保人愿支付的最高保险金？

解：用表示保费，那么投保人购买保险的期望效用为：

投保人不购买保险的期望效用为：

当投保人支付最高保险金时，他对买保险与不买保险的期望效用相同，即：

从而解得，故此投保人愿支付的最高保险金为11013。

7．考虑下列赌局：

()1u w w α'=

+()()

21u w w α"=−+()1

a R w w α=+()a R w w ()()

2

1

0a R w w α'=−

<+()2

3u w w '=()6u w w "=()2

a R w w

=−

()a R w w ()2

2

0a R w w '=

>()w u w R 0.91600000.116000076200.91600000.1152380R R R R −−−=−−0.91600000.05160000700000.05160000120000385−−0.91600000.1152380385R R −−=11013R ≈