输出反馈

C H
T
T

(5-15)
(5-15）是一个q个未知量，n个方程的方程组，而 是 任意的n维向量，它由所期望的极点所决定。
方程（5-15）对任意的 有解，显然要求 C 是n×n可逆方阵。
一般来说当q<n 时，对于任意 ，（5-15）无解。
对于给定的 ，方程（5-15）有解的条件是它们 相容，亦即当C的秩为q时，q个方程的唯一解应满足 剩下的n-q个方程。这时，这n-q个等式给出了加在
用静态输出反馈配置极点 首先研究单输入多输出的系统，以说明用静态 输出反馈配置极点时所遇到的困难，而这些困难是 用全部状态变量作反馈时所未遇到的。一个单输入 多输出系统动态方程为
Ax bu x y Cx
（5-11）
(5-12)
u=Hy+v
联合（5-11）和（5-12）可得闭环系统的动态方程为
i
i , i 0 使得扰动后的S非奇异，由于 C 的秩为q，
这总是可以做到的。式（5-17）给出了H的一个明显 表达式，并且 i H i 是给定的 1 , 2 ,, q 的函数， i S非奇异，则可精确地使闭环 如果所给的 能使
全维状态观测器及其设计
状态观测器 状态估计器 状态重构
^
2n阶复合系统：
. x . A ^ L HC x
y C
Bk x B ^ v A Bk HC L x B
x 0 ^ x
ˆ x x ( A Hc )( x x ) L 由(1)-(2):
3. 分离定理： . cx 原系统 x Ax Bu y ^ 引入状态反馈： u v k x
x Ax Bk x Bv, y cx . ^ ^ ^ 全维观测器：
.
^
(1)
x A x Bu H L ( y y)
^
y cx
^
( A Bk Hc Bv (2) L L L ) x Hcx
^ . ^ ^ ^
L —适当选取． Ｈ
2 1 0 例： x x u 0 1 1 y 1 0x
. T 0
设计观测器，使观测器的极点为：1, 2 解：
1)
3
C 1 0 T S rank S0 2 CA 2 1
原系统状态 估计状态
xR
n
n xR
全维状态观测器．
v
-
u
b
^
x I/S x
A
.
C
原系统
y
k x 观测器
带观测器的闭环系统
要求：lim x(t ) x(t )
t
^
1. 状态观测器的构成： . 原系统： x Ax Bu 模拟系统： .
^ ^
y cx
^
(1)
^
由于：
x(t0 ) x(t0 )
( A bHC) x bv x
（5-13）
设A和A+bHC特征方程式分别为△o(s)和△c(s)，
△0(s)= s a n1s
n n 1
a n 2 s
n 2
a1s a 0
n n 1 n 2 △c(s)= s a n1s a n 2s a1s a 0
a 0 , a1 a n1 上的约束，这意味着 a 0 , a1 a n1
中仅有q个系数可以任意选取。
若所期望的极点给得使那n-q个等式极点可以成 立，即表示这组用输出反馈所达到 ，否则就不能。
定理5—5 设单输入系统（5-11）可控，rankC=q, 总存在常值向量H，使得q个特征值任意接近于预 先给定的q个值，这个值中如有复数，应是共轭成 对出现。 证明 设预先给定个值为 1 , 2 ,, q ， 并设它们彼此不同，根据前面的推导，可得闭环系 统的特征方程为
2
2 h0
h1
1 1
4) 令 a( ) a ( )
*
(3 h0 ) (2 h0 h1 )
5) 。 x ( A HC L L ) x Bu Hy
. ^
h0 3 H L h1 4
^
5 1 ^ 0 3 x u y 4 1 1 4
观测器存在的条件：
(2)-(1)可得： ^ 令
~
. ~
x(t0 ) x . (t 0 )
.
^
lim ( x x) 0
x
^
x x ( A Hc L )( x x)
^
^
其解为：
x xx ~ x ( A Hc L )x
^ ( A Hc L )( t t0 )
若（A、b）可控，可用一等价变换化为可控标准形， 变换矩阵为P
0 A PAP1 a 0 1 1 1 a 1 a n 1
0 b Pb 0 1
C CP
=（A+BHC）x+Bv x
闭环系统的示意图如图
B
y= Cx
（5-3）
x

A
C
K
例5-1
二维系统动态方程为
0 1 0 x x u 0 0 1
y 1
0x
取u=Hy+v，这样可以得到闭环系统的特征多项式为 s2-H，无论H取何值，闭环系统的极点只能在复平面 的实轴或虚轴上移动。这说明输出反馈不能任意改 变这个系统的极点。 （5-2）式的输出反馈控制律中的H阵与闭环极 点之间的关系是复杂的，可以说仍是线性控制理 论至今尚未解决的问题。
In p In
1
0 In
1
In 0 p In In
1
1 B c cp c 0 A p Ap B p B 0
x Ax Bv y c x
.
x A Bk . . ^ 0 x x
.
1
B 0
状态反馈子系统
x Ax B(v kx) ( A Bk) x Bv, y cx
I n ( A Bk ) Bk L ) 0 I n ( A Hc
L ) 0 I n ( A Bk ) I n ( A Hc
^
^
要求：观测器的响应速度大于状态反 馈系统的响应速度．
v
u -
Ｂ
x 1/S x
+ Ａ
.
Ｃ
y
状 态 反 馈 部 分
^
K
Ｂ
-
+
x 1/S
Ａ L H
. ^
x
^
y Ｃ
- 观 +
测 器 部 分
定理：若系统(A,B,C)完全能观，则可用如 下的全维观测器对原状态来进行估计：
L ( x x) x A x Bu Hc L L ) x Bu Hy ( A Hc
x ^ A x Bu y cx ^
xx 0
2. 全维观测器的设计： .
.
x A x Bu H L ( y y)
^ ^ ^
^
^
^
y cx
(2)
^
^
x A x Bu Hc L ( x x) ( A Hc L ) x Bu Hy L
^
A Hc L ----观测器的系统阵 n q L H R ----观测器的输出反馈阵
即
0 (i ) Hc hi
i 1,2,hq
其中
h1 (1 ) , 并记0 (i )为i
2 i i n1 T i
若
S C(h1h 2 h q )
是非奇异阵，即有
1
i 代替
H (12 q )S
det S 0, 可对 i进行一些小的扰动，即用
.
Bk x B ^ v A HC L x x B
x y c 0 ^ x x
G( s) G( s) Bk sI n ( A Bk) c 0 0 sI n ( A L Hc) 1 c[sI n ( A Bk)] B
s n (an 1 Hcn ) s n1 (an2 Hcn1 ) s n2 (a1 Hc2 ) s a0 Hc1 0
将 i (i 1,2,, q) 代入上式可得 in an1in1 a1i a0 Hcnin Hc2i Hc1
原系统能观 观测器的极点可任意配置。
2) 又 a* ( ) ( 3)2 2 6 9 3) 设 2 h0 1 h0 L H L A HC h1 1 h1
a ( ) I ( A HC L )
x x e
^
L )( t t0 ) ( A Hc
~
[ x(t0 ) x(t0 )]
^
^
x x x不可控 与u，v^ 无关。 ~ 用 xx x 直观 引入如下变换： x p x x0 x ^ x x^ x x x
1
这时闭环系统矩阵为
1 1 0 0 0 1 1 0 H C 1 1 0 0 a a a 1 a a a 1 n 1 1 n 1 0 0
L 相互独立设计 K和H
分离定理：若系统 ( A, B, C ) 能控能观，用 ^ x 形成状态反馈后，K和L 的设计可以分别独立进行。