输出反馈镇定问题

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控制工程技术基础第7章现代控制理论简介

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7.2控制系统的状态空间表达式
7.2.1状态、状态变量
状态：系统运动信息的集合。状态变量：可以完全确定系统的运动状态且数目最小的一组变量。所谓完全确定，是指只要给定t0时刻的这组变量的值和系统在t ≥t0时系统的输入函数，则系统在t > t0的任意时刻的状态就可完全确定。所谓数目最小是指：如果变量数目大于该值，则必有不独立的变量；小于该值，又不足以描述系统的运动状态。状态向量：n个状态变量x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)所构成的向量X(t)就是系统的状态向量，记作X(t)=[x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)]T
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7.4最优控制
以上可见，邦特略京极小值原理实际上是把一个求性能指标J的最小值问题，转化成一个求哈密顿函数H的最小值问题。当系统的状态方程为
第7章现代控制理论简介
7.1概述 7.2控制系统的状态空间表达式 7.3状态反馈与输出反馈 7.4最优控制
7.1概述
现代控制理论的基本内容包括五个方面，简单说明如下。 1.最优控制在图7-1所示系统中，有一组输入函数u (t)作用在受控系统上，其相应状态变量是x (t)，通过量测系统可得到这些状态的某种组合y (t)，此即系统输出。根据实际需要，可为受控系统指定一些目标（性能指标）。 2.最优估计图7-1所示系统中，输出量y (t)是通过量测系统由状态转换过来的。但实际的量测系统常受到噪声v (t)的干扰，如图7-2所示。如果将整个系统看成是一个信息传递系统，用输入噪声w( t)表示这个系统的模型误差，也称动态噪声，则从y (t)中，克服w( t)和v (t)的影响估计出状态x (t)来，称为最优状态估计问题。

现代控制理论试题详细答案

现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。

2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1．能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。

状态变量个数是2。

…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）…..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。

（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。

若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。

…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分）[][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分）rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为求两系统串联后系统的最小实现。

多时滞离散切换系统反馈镇定

维普资讯
第ｌ２卷第６期２０年１月０７２
文章编号：１０．２９（０７０ —１３００７０４２０）６０４ —５
电路与系统学报
ＪＩＲＮＡＬＦＲＣＵＩ０ＪＯＣＩＴＳＡＮＤＳＳＹＴＥＭＳ
性条件，以及系统状态反馈镇定、输出反馈镇定的控制器设计。并通过两个仿真实例验证所设计控制方案的有效性。
关键词；切换系统；多时滞；线性矩阵不等式；镇定
中图分类号；Ｔ１Ｐ３
文献标识码；Ａ
ＶＯ１１．２
ＮＯ．６
Ｄｅｍｂｅ，２７ｃｅｒ００
多时滞离散切换系统反馈镇定
卢建宁，赵光宙
（江人学系统科学与工程系，浙江杭州３０２）浙１０７
摘要；研究一类具有多时滞子系统的离散切换系统的稳定性分析和反馈镇定问题。通过状态变量的转换，将时滞切换系统变为不含时滞项的切换系统。Ｌ形式给出了在任意切换信号作用下多时滞离散切换系统渐近稳定的充分以ＭＩ
上较为简单但又比较典型的一类系统。包含几个子系统和一个决定某一时刻活动子系统的切换规则。它
当系统的状态或时间满足某种条件时，子系统就发生变化，由一个子系统切换到另一个子系统。近年来，线性矩阵不等式（ＭＩＬ）方法引起了控制理论学者的广泛重视，许多控制理论问题，可以转换为相应的ＬＭＩ问题ＪＭＩ已经成为了一种重要的分析方法。目前，Ｌ在切换系统理论中也，ＬＭＩ

第6章_线性定常系统的反馈结构及状态观测器

第6章线性定常系统的反馈结构及状态观测器
一．极点可配置条件
1．利用状态反馈的极点可配置条件
定理（P505）利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。证明：以单输入—多输出系统来证明该定理。 1）充分性：若系统完全可控，则通过非奇异线性变换其中：可变换为可控标准型:
第6章线性定常系统的反馈结构及状态观测器
引入状态反馈：
其中：
第6章线性定常系统的反馈结构及状态观测器
则引入状态反馈后闭环系统的系统矩阵为：
闭环特征方程为：
第6章线性定常系统的反馈结构及状态观测器
闭环特征方程为：
该n阶特征方程中的n个系数，可通过
来独立设置，也就是说
的特征值可以任意
选择，即系统的极点可以任意配置。 2）必要性：如果系统（A, b）不可控，说明系统的有些状态将不受u的控制，则引入状态反馈时就不可能通过控制 k 来影响不可控的极点。
即控制作用的规律。通常，这种控制作用规律
常取为反馈的形式。
第6章线性定常系统的反馈结构及状态观测器
在控制理论中，反馈结构是系统设计的
主要方式。对输入输出模型，只能采用
输出反馈；而状态空间模型由于能够提
供系统内部的状态信息，所以不仅能够
采用输出反馈，还能够采用状态反馈对
系统进行控制。
第6章线性定常系统的反馈结构及状态观测器
利用状态反馈和输出反馈使闭环系统的极点位于所希望的极点位置，称为极点配置。状态反馈和输出反馈都能配置闭环系统的极点。状态反馈K不能改变不可控部分的极点，但能够任意配置可控部分的极点。输出反馈F也只能配置可控部分的极点，但不一定能实现期望极点的任意配置；肯定不能将极点配置到系统的零点处。

一类非线性系统的输出反馈渐进输出追踪控制

得
(5) xk=zk+ak +… -,.,二十 ak 一k 一 -1Pk ' k=2,...,n, -I,k ，-，G(k ) -1 Z 这里，ak =1 ,l,k ,...,n,I=1 ,...,k 都是与L无关的实
数，对经变换式(5)得到的新系统 ( 产
1
二石= :
.t;(xl十"' ,xi+Z f (z,，， :1 i)一 …z,)l<
Lv+L凤 :十乙。 +L凡 ,l艺 …十戊，牙、 e,
(6)
这里用卜 !表示向量的 Euclidean 范数或实数的绝对
存在线性反馈 v ，使得闭环系统满足
只< - 2L(郭+…+ z--1+素 :_, n )+LM ， (7) e矛
-6 2 4 -
海军筑空工租学院学报
2006 年第 6 期
其中: V l， .) =针+ 二 _， .(Z ...,Z . +狱 +兹，M是一与L
无关的实数。证明: 我们用递归设计方法证明结论。
么1‘ , +… )+L ;e + + -2L(Z +钉 M
第步: 记x, 二一 0.
作变换元二, +x, ， z " 系统变为 !
l s e J 、万 ‘ e e s 口 t
吕世良
( 鲁东大学数学与信息学院，山东烟台， 264025 ) 摘要: 研究一类非线性系统的输出反馈输出追踪控制问题。利用高增益观测器和反传设计方法，在非线性系
统满足 Lipschit: 条件下，对任意给定的常数参考信号，一动态反馈控制器，设计了输出使得闭环系输出统的指数

第5章-线性定常系统的综合2

6
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
5.1.3 从输出到x 的反馈
结构图如下：
u
B
x
x
C
y
A
G
x Ax Bu
y
Cx
Du
若D＝0，则
x Ax Bu Gy Ax Bu G(Cx Du) (A GC)x (B GD)u
y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0 u,
0 2 3 1
y 10 0 0 x
25
5.2 极点配置问题
（2）加入状态反馈 K k0 k1 k2
闭环特征多项式为：
f () I ( A bK ) 3 (3 k2 ) 2 (2 k1) (k0 )
（3）由期望的闭环极点可得期望的特征多项式：
5
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 D=0 时，闭环系统传递函数
WH (s) C[sI ( A BHC)]1 B
原受控系统传递函数为：
W0 (s) C(sI A)1 B
则还有以下关系式成立：
WH (s) W0 (s)[I HW0 (s)]1
或
WH (s) [I W0 (s)H ]1W0 (s)
16
5.2 极点配置问题闭环系统的特征多项式：
f () I ( A bK ) n (an1 kn1) n1 (a1 k1) (a0 k0 )
(3) 欲使闭环极点与期望的极点相符，必须满足：
f () f *()
ai ki ai*
ki ai ai*
K a0 a0* a1 a1*
得： u (I HD)1(HCx v) 代入受控系统：

现代控制理论试题与答案

现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.3.对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为05.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控(2)对完全能控的单输入-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件[1]∑0完全能控[2]动态补偿器的阶数为n-1(3)对系统用从输出到x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定(1)对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的(3)对系统采用输出到x 反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输入输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制,每个输入也仅能控制相应的一个输出11.系统解耦方法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u u y y 222++=+&&&&&&&，试求其状态空间最小实现。

扇形区域极点配置静态输出反馈可靠控制

扇形区域极点配置静态输出反馈可靠控制徐艺超;王福忠【摘要】Considering the continuous fault model in a linear system,we propose problem of a static output feedback reliable control of pole placement with actor faults in sector region. First,we study the system without any faults . We can get a feedback reliable controller ,the poles in the sector region ,but the controller will lose efficacy with the system with actor faults. Then under the actor faults,use the theory of Lyapunoy deduced the sufficient condition that make all the poles still in the same sector region . A static output feedback reliable con-troller can be obtained by using linear matrix inequality. A simulation example is given to illustrate the feasibility and effectiveness of the results.%针对线性系统，考虑连续增益故障模型，研究了具有执行器故障的扇形区域极点配置的静态输出反馈可靠控制问题。

首先，在执行器无故障的前提下，给出使极点能够配置在扇形区域内的充分条件，进而得出系统的静态输出反馈可靠控制率。

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2.2输出反馈镇定问题
建立动态时不变输出反馈系统：
1



F
BuAxx



''
)(AyxCCFFF



'
A



其中

nnn

M
RRRx,0,,,

，

0





M
A

F
JJJJ

eLyxCLFuExx'-)(


0
xKeFAM'


其中

nnn

M
RRRx,,,

，输出为：


'BuF

xKuJJ

初始条件为

000，
,00,0xx,nRx0， 00,0
,nR0,00,0
,

n
R

0


2,2.1
问题1

我们给出有输出2的系统1，然后寻找是否具有状态KnRkt,的线性动态时
不变输出反馈。我们设系统为
1

a1

FKK

yBA b1

其中


n

M
R,0,

0





JKK

yFE





其中nMR,
输出：

FKFC,

e1

JKCJ,

f1

并且初始条件为00,0，00,0 ，k0nR

这样，让MMAeE成为闭环单色矩阵，
(I) gCM ;
(II)sCsM:，10 ;
(III) 0M;
请注意，如果能够找到问题1.I的解，则动态时不变输出反馈使得闭环系统是渐
近稳定的。另一方面，如果能够找到问题1.II的解，那么，让','x，存在
一个常数0,cRc，使得对于闭环动态系统的任何初始条件0,0，

0,0,kckt
最后，如果能够找到问题1.III的解，那么控制器使得闭环

系统的状态被趋于0。

第三章实例分析
这章中我的主要贡献是运用已知的理论知识，整理出来算法，结合具体的实
例条件去解决问题。在此，我们将给出一个实例来验证本文中提出的结果的有效
性。这里我们使用 matlab 工具进行仿真实现。假设有半径为r的圆盘，总质
量m和惯性i，在两个平行壁面之间的水平平面上运动，与运动平面正交，质量
无限大。设rl20l，是两堵墙之间的距离。设ccyx,为圆盘质心的坐标，

表示圆盘的角位置(如下图)。
假设所有撞击都是弹性的，并在预碰撞条件下发生，使圆盘与墙接触的无穷
小间隔包含在第一个滑动区间内。接着是第二次滚动，即

121,1,ktxuktrktykckkc，



l
mr
2



’


是描述无穷小滑动的动力摩擦系数，另外假设00cx，

0)0()(vxtx
cc


，系统的混杂状态空间描述为






cc
yy
，输入


'21

。
rl2

c
y

c
x














1
0

0
1
00
0000
1000
0000
0010

M













1111101001000100001r
r

和00,,,0,0ccyy，假设系统的唯一可测输出是预冲击垂直和角位置
1,ktykc和
1,kt

k


，
0Zk
。

0FC






01000001JC

由此知道系统是强可达和可控的，但不可测。由于定理2中所述的分离原理，矩
阵FK,JK,和FL,JL使得gC可以分离计算。即我们假设设EeAMA~和
][~,BAAFReBM
。为了计算矩阵FK和JK，使得集是gC的子集,这是可求的。
方法是求解以下方程(通常称为代数Riccati方程)：

APBBPBIBPAAPAIP~'~~'~~'~~'~1

通过考虑具有数据的离散线性系统gCKBA~~~是可稳定和可测的矩阵，且我
们知道:

APBPBBIK~'~'~~1
,所以 gCKBA~~~ 。因此，设KKKFJ~'''，则集是

gC的子集。利用上面定理所述的对偶性原理，可以计算FL和JL，使集是g
C
的

子集。因此，时不变动态输出反馈使得闭环系统的特征值是在gC中，闭环系统
是渐近稳定的。

如下图：
第四章仿真分析
在smvmrkgm/1,5.0,22.0的条件下，对具有时不变动态输出反馈的闭
环系统的解进行了数值模拟。同时ml1，反馈控制器的零初始条件为


'/2.01.0/2.00.100sradradsmm，

然后进行仿真模拟，我们知道：

5.0,5011rm
，则
200112l

mr


；