4.3,4二次型与合同变换(第十五次)
合同变换二次型标准型
合同变换二次型标准型在数学中，二次型是一种非常重要的数学对象，它在许多领域都有着广泛的应用。
而将一个二次型转化为标准型，则是解决二次型问题中的一项重要任务。
本文将介绍如何通过合同变换的方法将一个二次型转化为标准型，并给出详细的步骤和示例，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来回顾一下什么是二次型。
二次型是指n个变量的二次齐次多项式，通常可以表示为一个对称矩阵的形式。
具体而言，对于n元二次型，可以表示为一个n维向量x和一个n×n的对称矩阵A的乘积，x^TAX，其中x^T表示x的转置。
在实际问题中，我们通常会遇到需要对二次型进行变换的情况，而合同变换就是一种常用的变换方法。
接下来，我们来介绍如何通过合同变换将一个二次型转化为标准型。
设有二次型Q(x)=x^TAx，其中A是一个对称矩阵。
我们的目标是找到一个非奇异矩阵P，使得通过合同变换P^TAP=I，其中I是单位矩阵，从而将二次型Q(x)转化为标准型。
具体的步骤如下：1. 首先，求出对称矩阵A的特征值和对应的特征向量。
2. 将特征向量按列排成一个矩阵P，使得P的第i列为A的第i个特征向量。
3. 计算P的逆矩阵P^{-1}。
4. 则通过合同变换P^TAP=I，可以得到A=P^{-1}IP=(P^{-1})^TIP=diag(λ_1,λ_2,...,λ_n)，其中diag(λ_1,λ_2,...,λ_n)表示一个对角矩阵，对角线上的元素为A的特征值。
通过以上步骤，我们就可以将二次型Q(x)=x^TAx通过合同变换转化为标准型。
这样一来，我们就可以更方便地对二次型进行研究和应用。
下面，我们通过一个具体的例子来说明合同变换二次型标准型的过程。
设有二次型Q(x)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3，我们要将其转化为标准型。
首先，求出对称矩阵A的特征值和对应的特征向量，得到特征值λ_1=0，λ_2=2，λ_3=4，对应的特征向量分别为(1,1,0)^T，(0,0,1)^T，(1,-1,1)^T。
4.3,4二次型与合同变换(第十五次)
因r(B)=2, 故二次型的秩等于2. 故二次型的秩等于
2 2 f ( x1 , x2 ,L , xn ) = d1 x12 + d 2 x2 + L + d n xn .
二次型的矩阵形式
f ( x1 , x2 ) = x
2 1
+ 4 x1 x2 +x
2 2
f ( x1 , x2 ) = x
f ( x1 , x2 ) = X T AX
2 1
+ 2 x1 x2
3 −2 −4 A = −2 6 −2 , −4 −2 3
3 −2 −4 x1 f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x3 ) −2 6 −2 x2 , −4 −2 3 x 3
2 2 f = x12 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
1 1 1 解：二次型的系数矩阵为 A = 1 2 3 1 3 5 1 1 1 1 0 1 1 1 2 3 0 1 2 0 A 1 3 5 1 3 5 c2 −c1 1 r2 − r1 = → → E 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0
4.4 合同变换与二次型的标准形
合同变换法
0 1 1
解： f ( x1, x2 , x3 ) 的矩阵为
A
1 1
0 3
3 0
1 1 0
令
C1
1 0
1 0
0 1
,
1 1 00 1 1 1 1 0
A1
CA
C1
1 0
1 0
0 1
1 1
第五章 二次型 §2 标准形
一、二次型的标准形 1、任意二次型的化简（配方法） 定理1 数域P上任一二次型都可经过非退化 线性替换化成平方和的形式.
证明： 对二次型变量个数n作归纳法. n=1时，f ( x1) a11x12, 结论成立. 假定对n－1元二次型结论成立. 下面考虑n元 二次型 f ( x1, x2 , , xn ).
a11 0
G
0
A1 a111
G
a11 0
0 D
为对角矩阵.
令 C C1C2 , 则C可逆，且 C AC 为对角矩阵.
第五章 二次型 §2 标准形
2) a11 0, 但有一个 aii 0, i 1 令 C1 P(1, i), 显然 C1 P(1, i)
2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3 2( y1 y3 )2 2 y32 2 y22 8 y2 y3
第五章 二次型 §2 标准形
再令
z1 z2
y1 y2
y3
或
y1 y2
z1 z2
z3
z3 y3
二次型及其标准形
例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交 变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具 有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.
二次型和矩阵合同
⼆次型和矩阵合同1. ⼆次型含有n个变量x_{1},x_{2},...,x_{n}的⼆次齐次函数f(x_{1},x_{2},...,x_{n})称为n元⼆次型，即在⼀个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每⼀项的次数都为2的多项式，如f(x) = ax^{2} \\ f(x,y) = ax^{2} + by^{2} + cxy \\ f(x,y,z) = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + dxy + exz + fyz它起源于⼏何学中⼆次曲线⽅程和⼆次曲⾯⽅程化为标准形问题的研究。
⼆次型中每⼀项都是⼆次的，没有⼀次项和常数项，之所以不研究包含⼀次项和常数项的⼆次⾮齐次多项式，是由于：⼀次项与常数项的改变不会影响函数图像的⼤致形状。
⼀个⼆次型可以⽤⼀个矩阵表⽰成如下的形式：f(x) = x^{T}Ax其中x是⾃变量组成的列向量。
⼀定都会找到⼀个对称的矩阵A来表⽰表⽰这个⼆次型，假如A不对称，那么必然有对称矩阵B = (A + A^{T}) / 2满⾜x^{T}Ax = x^{T}Bx因为实对称矩阵具有许多特别的性质，为了⽅便研究，规定⼆次型矩阵就是⼀个实对称矩阵。
更为关键的是：如果⼆次型矩阵是对称的，那么它将是唯⼀的。
⼆次型的图形：为了⽅便研究⼆次型，我们代⼊具体的函数值，研究⼀个具体的图形：x^{T}Ax = C这样就表⽰成⼀个曲线或者曲⾯，这个图形由取具体函数值的⾃变量全体构成的。
描述它的参考系(少了函数值那个维度)不同，⼆次型矩阵也不同，这涉及到合同的概念。
2. 矩阵合同在线性代数，特别是⼆次型理论中，常常⽤到矩阵间的合同关系。
定义：设A和B是两个n阶⽅阵，若存在可逆矩阵C，使得C^{T}AC = B则⽅阵A与B合同，A到B的变换C称为合同变换。
那矩阵A和B合同到底有什么意义呢？我们已经知道相似是相同的线性变换在不同基下的表⽰，那合同呢？下⾯针对⼀个⼆次型的图形来表述，即代⼊具体函数值之后的曲线或曲⾯。
4.3,4二次型与合同变换(第十五次)解析
2a1n x1 xn 2a2 n x2 xn
2 ann xn
叫做n元二次型，当二次型的系数aij ( i, j=1,2, …,n)都是实数时, 称为实二次型. 特别地, 只含有平方项的n元二次型称为n元二次型的标准形.
f ( x1, x2 ,
注：n阶矩阵A与对角矩阵 Ldiag(l1 , l2 , , ln) 相似的充
分必要条件是 A特征方程的每个 k重根l对应k个线性无关的特征 向量，即齐次线性方程组 (lE-A)X=o 的基础解系是否有 k 个解， 亦即系数矩阵lE-A的秩r(lE-A)=n-k.
推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则 A与对角矩阵 Ldiag(l1 , l2 , , ln) 相似.
5 x 4 y , 6 x - 6 4 y
-1 1 ①求x , y的值； 得其基础解系x1= 1 ,x2= 0 . ②求可逆矩阵P，使P-1AP=B. 0 1
对于特征值l36，解线性方 程组(6E-A)Xo，
解得
x 5 . y 6
1 得其基础解系x3= -2 ， 3
2 , xn ) d1x12 d2 x2
2 dn xn .
二次型的矩阵形式
f ( x1 , x2 ) x
2 1
4 x1 x2 x
2 2
f ( x1 , x2 ) x
f ( x1 , x2 ) X T AX
2 1
2 x1 x2
2 2
2 x1 x2 x
1 f ( x1 , x2 ) ( x1 x2 ) 2
2 dn xn ,
T f ( x , x , , x ) X LX ,其中 则 f 的矩阵形式为 1 2 n
二次型的可逆变换和合同变换
二次型的可逆变换和合同变换二次型的可逆变换和合同变换在线性代数中，二次型是一个非常重要的概念。
它在数学、物理、工程以及计算机科学等领域中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将深入探讨二次型的可逆变换和合同变换，并按照从简到繁的方式来讲解，以便读者能够更好地理解和应用这两个概念。
1. 二次型的基本概念让我们回顾一下二次型的基本概念。
二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，通常可以表示为q(q)=q^qqq，其中q是一个n维列向量，q是一个对称矩阵。
二次型在矩阵和向量的运算中有着重要的作用，因此对二次型的可逆变换和合同变换的理解至关重要。
2. 可逆变换可逆变换是指通过一系列的矩阵运算，将原始的二次型转化为一个新的二次型，并且这个过程是可逆的。
具体来说，如果存在一个非奇异矩阵q，使得新的二次型q′(q)=q^q(q^qqq)q，那么我们称这个变换是可逆的。
这种变换可以帮助我们简化原始二次型的计算，或者将其转化为更易处理的形式。
3. 合同变换与可逆变换类似，合同变换也是通过一系列的矩阵运算来改变二次型的形式。
不同的是，合同变换并不要求转化矩阵是非奇异的。
具体来说，如果存在一个矩阵q，使得q′(q)=q^q(q^qqq)q，那么我们称这个变换是合同的。
合同变换保持了二次型的惯性和正负惺度等重要性质，因此在二次型的研究中有着重要的地位。
4. 个人观点和理解对于二次型的可逆变换和合同变换，我个人认为它们为我们处理复杂的二次型问题提供了非常有力的工具。
通过合适的矩阵变换，我们可以简化二次型的计算，获取更多有用的信息。
而合同变换则保持了二次型的重要性质，在研究中也有着广泛的应用。
总结通过本文的讲解，我们不仅对二次型的基本概念有了复习和加深理解，同时也深入探讨了二次型的可逆变换和合同变换。
这些概念对于矩阵和向量的运算有着重要的应用，并且在实际问题中也起着至关重要的作用。
希望本文能够帮助读者更好地理解和应用二次型的可逆变换和合同变换，从而在相关领域取得更多的成就。
合同变换的定义及性质
合同变换的定义及性质一、图形的一一变换如果按照某种法则，使图形F上的点与图形F＇上的点建立了一一对应关系，我们就把这种法则叫做图形F到图形F＇的一一变换．如果P是F上的点，P＇是F＇上P的对应点，我们就称P＇是P的像点，F＇是F的像，F是F＇的原像，记作F＇=f(F)．因为两个图形的一一变换是可逆的，所以称F＇到F的变换为f的逆(变换)，记作F=f-1(F＇)．如果一个平面图形经过f1与f2两次一一变换，所得到的像与经过一一变换fa所得到的像完全相同，我们就说f3是f1与f2的积，记作f3=f2·f1．经过一一变换，没有变动位置的点和直线，称为这个变换的二重点(不变点)和二重线(不变线)．二、合同变换由两个图形的一一变换的定义可知，如果对应点间的对应法则不同，那么图形的一一变换也就不同．我们看下面几个例．例1等．那么当点M在△ABC上变动一周时，M＇便形成了△A＇B＇C＇．显然△ABC与△A＇B＇C＇的点与点之间建立了一一对应关系，因此可以说△ABC到△A＇B＇C＇的变换是一一变换．下面我们给具有上述特点的变换下一个一般的定义．定义两个具有一一变换关系的图形，如果每对对应点所确定的线段都同向平行且相等，则称这种变换为平移交换，简称平移．例2 在平面上取一点O，以O为端点，通过位于该平面上的△ABC的顶点引三条射线OA、OB、OC，让这三条射线以O为中心，向同一方向(例如逆时针方向)转动同一个角度θ，于是上述三条射线分别转动到了射线OA＇、OB＇、OC＇的位置，如果OA＇=OA，OB＇=OB，OC＇=OC，那么显然△ABC就转动到了△A＇B＇C＇的位置(图3－2)．不难看出，这时△ABC与△A＇B＇C＇的点与点之间建立了一一对应关系，因此，△ABC到△A＇B＇C＇的变换是一一变换．定义两个具有一一变换关系的图形，如果每对对应点到某一定点的距离相等，从该点向每对对应点所引射线所成的角都相等且同向，则称这种变换为旋转变换，定点称为旋转中心，旋转之有向角称为旋转角．旋转角为180°时的旋转变换称为中心对称(或点对称)，如图3－3．例3 如果由△ABC的三个顶点分别向直线l作垂线，设垂足分别为O1、O2、O3．分别延长AO1、BO2、CO3至A＇、B＇、C＇，使O1A＇=O1A、O2B＇=O2B、O3C＇=O3C．连结A＇B＇、B＇C＇、C＇A＇．这时，若以直线l为界把△ABC所在的半平面翻折过来，那么△ABC 必与△A＇B＇C＇重合(图3－4)．容易证明△ABC与△A＇B＇C＇的点与点之间建立了一一对应关系．事实上，若P点是△ABC上之任一点，则必有△A＇B＇C＇上一个P＇点与之对应，反之亦然．如果在△ABC上取两个不同的点P1、P2，那么根据上述作图法，必在△A＇B＇C＇上得到两个不同的点P＇1、P＇2与之对应(否则若P抇1=P抇2，则将引出过直线外一点可作两条直线与已知直线垂直的矛盾)．因此，△ABC到△A＇B＇C＇的变换是一一变换．这种变换叫做轴对称变换．下面给出一般定义．定义两个图形具有一一变换的关系，如果以每对对应点为端点的线段都和同一条直线垂直且被平分，则称这种变换为轴对称(或直线反射)，每对对应点互称对称点，垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴．上面所说的平移、旋转、轴对称等变换的共同特征是像与原像是合同图形，所以这些变换统称为合同变换．下面我们给合同变换一个明确的定义．定义如果两个图形F和F＇间具有一一变换的关系，并且F上每两点所确定的线段与F＇上与之对应的两点所确定的线段总相等，则称F到F＇的变换为合同变换．关于合同变换，具有以下一些性质：1°在合同变换下，对应线段相等．2°在合同变换下，直线上的点的顺序不变．3°在合同变换下，两个图形合同．证明设F＇是F经过合同变换后的像，假定A、B、C是F上任意不共线三点，它们在F＇上的像点分别是A＇、B＇、C＇．我们必然重合．此时可能有(1)B与B＇重合在这种情况下，C与C＇可能在直线A＇B＇的同侧，也可能在异侧，如果在异侧，我们使C以A＇B＇为轴作轴对称变换，则C与C＇必在直线A＇B＇同侧(图3－5)．这时，由于A＇C=A＇C＇、B＇C＇=B＇C，C与C＇必然重合．否则，△A＇CC＇和△B＇CC＇都是等腰三角形，作∠CA＇C＇的平分线交CC＇于O，由轴对称定义，易知A＇O为C与C＇的对称轴，所以A＇O垂直平分CC＇，B＇O也垂直平分CC＇，这样，线段CC＇的垂直平分线就有两条了，这就引出矛盾．因此，C与C＇只能重合，所以△ABC≌△A＇B＇C＇．由于A、B、C三点的任意性，所以图形F与F＇的对应点能够完全重合，所以F 与F＇合同．(2)B与B＇不重合B＇重合，再重复(1)之证明，则F与F＇合同．4°在合同变换下，对应角相等．5°图形F总与自己合同；图形F1若与F2合同，则F2也与F1合同；若图形F1合同于F2，F2合同于F3，则F1合同于F3．定义如果两个平面合同图形F和F＇的任何一对对应角都同向，那么就称F和F＇为第一种合同(本质合同)，由F到F＇的变换称为第一种合同变换．如果F和F＇的任何一对对应角都反向，那么就称F和F＇为第二种合同(镜照合同)，F到F＇的变换称为第二种合同变换．在图3－6中，△ABC与△A＇B＇C＇是第一种合同图形，△ABC与△A″B″C″是第二种合同图形．6°以两条平行直线为轴的两次轴对称的积是一个平移．证明设直线l1∥l2，P是任意原像点，由P作l1、l2的垂线垂足分别为P1和P2(图3－7)．设P＇为P关于l1的对称点，P″为P＇关于l2的对称点．不论P点在平面上的什么位置，应用有向线段的加法总有：所以关于两条平行线l1和l2的两次轴对称之积等于一个平移．平移的方向是直线l1、l2的法线方向，平移的距离为l1和l2之间距离的两倍．应当指出，性质6°的逆命题也成立．7°以相交两直线为轴的两次轴对称的积是一个旋转．其逆命题也成立．推论以相交成直角的两条直线为轴的两次轴对称的积是一个中心对称．上面我们简单地介绍了合同变换的概念及其性质．如果我们注意到对同一个图形作上述各种合同变换(平移、对称、旋转等)时的方向，便可得到下面简要的表(表3－1)．平面上如果有任意位置的两个合同图形，我们利用表按下列程序(图3－8)可以把这两个图形完全重合．按上述程序，根据合同图形的性质可知，平面上任何两个不同位置的合同图形，最多通过三次轴对称，便可使其中一个图形和另一个图形重合．。
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3 -2 -4 x1 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) -2 6 -2 x2 , -4 -2 3 x 3
1. 合同 2. 用合同变换化二次型为标准形
定义4 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 PTAPB 成立，则称矩阵A与B合同，记为 A B 合同关系具有如下性质： • 自反性 • 对称性 • 传递性 • 合同变换不改变矩阵的秩 • 对称矩阵经合同变换仍化为对称矩阵
定理4 任何一个实对称矩阵A都合同于对角矩阵. 即对于一个n 阶实对称矩阵A，总存在可逆矩阵P，使得
值的特征向量. 容易验证a1, a2, a3是3阶方阵
A的3个线性无关的特征向量，
所以A相似于对角阵 L＝diag(1, 0, -1).
1 0 0 2 0 0 6 - 1 - 1
A 5= PL 5P -1 PL P-1=A .
定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 Ldiag(l1 , l2 , , ln) 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.
因r(A)=3, 故二次型的秩等于3.
例1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩. 2 2 (1) f ( x1, x2 , x3 ) 3x12 6x2 3x3 - 4x1x2 - 8x1x3 - 4x2 x3 2 2 4 y3 (2) f ( y1 , y2 , y3 ) y2 解: (2)二次型 f ( y1 , y2 , y3 )系数矩阵及矩阵形式分别为
例2 已知二次型f (x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩
为2，求c
解一：二次型的系数矩阵为
5 -1 3 A -1 5 - 3 3 -3 c
|A|=0, 可推知c=3. 解二：r (A) = 2
5 - 1 3 -1 5 - 3 1 5 3 0 24 12 3 - 3 c 0 12 c - 9
记作
X=PY.
问题：如何找一个可逆线性变换X=PY，使得将其代入二次型
后，得到新的二次型只含变量的平方项的形式(标准形) .
现将X=PY代入二次型，得
f ( x1 , x2 , , xn ) X T AX
X PY
( PY )T A( PY ) Y T ( PT AP)Y ,
上式右端是关于变量y1, y2,…, yn的二次型. 设其化成了标准形：
2 , xn ) d1x12 d2 x2
2 dn xn .
二次型的矩阵形式
f ( x1 , x2 ) x
2 1
4 x1 x2 x
2 2
f ( x1 , x2 ) x
f ( x1 , x2 ) X T AX
2 1
2 x1 x2
2 2
2 x1 x2 x
1 f ( x1 , x2 ) ( x1 x2 ) 2
0 1 2 -1 1 0
1 1 2 0 0 4 c3 - c1 1 0 0 0 1 0
0 1 2 -1 1 0
0 2 4 -1 0 1
1 0 0 r3 - 2 r2 1 0 0
a12 a22 an 2
a1n x1 a2 n x2 ,X . x ann n
实对称矩阵称A为二次型系数矩阵, A的秩称为二次型的秩.
若二次型 f 是标准形 f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) d1x12 d2 x2
1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 - 1 0 0 0 0 2 - 1 0 2 1 1 0 0 - 1 2 1 1
-1
特征值为l11, l20, l3 -1,
a1, a2, a3是A对应于上述特征
2 x1 1 x2
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
2 a22 x2 2a23 x2 x3
2a1n x1 xn 2a2 n x2 xn
2 ann xn
f ( x1 , x2 ,
矩阵A可对角化的充分必要条件是二重根1，有2个
线性无关的特征向量，即齐次线性方程组(E-A)X=0有2 个线性无关的解，亦即系数矩阵的秩r(E-A)=1. 因为
1 0 0 0 0 1 1 0 - 1 E - A 0 1 0 - 1 1 x -1 0 - x 0 0 1 1 0 0 -1 0 1
于是c-9=-6, 可推知c=3.
2. 实对称矩阵的性质
定理1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的 k重特征值
li 对应 k个线性无关的特征向量.
实对称矩阵一定可以找到n个线性无关的特征向量， 即一定可以对角化 定理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的.
4.4.2 合同变换与二次型的标准形
1 PTAPL
1
-1
-1 0
.
ห้องสมุดไป่ตู้
0
例1.用合同变换化二次型为标准形
2 2 f x12 2x2 5x3 2x1x2 2x1x3 6x2 x3
1 1 A 1 1 E 0 0
1 2 3 0 1 0
1 1 1 0 1 3 0 1 2 0 5 1 3 5 c2 -c1 1 r2 - r1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0
, xn ) ( x1 x2
a11 a12 a21 a22 xn ) an1 an 2
a1n x1 a2 n x2 (注：aij a ji ) ann xn
f ( x1, x2 ,
a11 a21 T , xn ) X AX ，其中 A a n1
0 0 0 B 0 1 0, 0 0 4 0 0 0 y1 f ( y1 , y2 , y3 ) ( y1 , y2 , y3 ) 0 1 0 y2 , 0 0 4 y 3
因r(B)=2, 故二次型的秩等于2.
0 1 0 -1 1 0
0 1 2 0 0 0 c3 - 2 c2 1 1 0 0 1 0
0 1 0 -1 1 0
0 0 F3T F2T F1TAF1 F2 F3 0 1 -2 PT P 1 T
思考题：
0 0 1 问x取何值时，矩阵A可对角化。 设 A 1 1 x ， 1 0 0
解：由A的特征方程 l 0 -1 | l E - A | -1 l - 1 - x (l - 1)2 (l 1) 0, -1 0 l
得
l1 -1, l2 l3 1.
0 1 2 -1 1 0
1 2 5 0 0 1
上述2步操作相当于F1TAF1
1 0 1 1 0 0
0 1 2 -1 1 0
1 1 2 0 5 r3 - r1 0 0 1 0 0 1 0
由于A和B相似，且B是一个 对角阵，可得A的特征值为
-1 1 1 所以 P 1 0 2 . 0 1 3
例5. 设3阶方阵A满足Aa1a1，Aa2o，Aa3-a3，其中 a1(1,2,2)T, a2(0,-1,1)T, a3(0,0,1)T, 求A和A5. 解：由所给条件知矩阵A的 取P＝(a1, a2, a3)， 则有P-1 A P L ，所以 A = P L P -1
2 dn xn ,
T f ( x , x , , x ) X LX ,其中 则 f 的矩阵形式为 1 2 n
L diag (d1 , d2 ,
, dn ) ,即其系数矩阵是对角阵.
例1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩. 2 2 (1) f ( x1, x2 , x3 ) 3x12 6x2 3x3 - 4x1x2 - 8x1x3 - 4x2 x3 2 2 4 y3 (2) f ( y1 , y2 , y3 ) y2 解: (1)二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 系数矩阵及矩阵形式分别为
2 a22 x2 2a23 x2 x3
2a1n x1 xn 2a2 n x2 xn
2 ann xn
叫做n元二次型，当二次型的系数aij ( i, j=1,2, …,n)都是实数时, 称为实二次型. 特别地, 只含有平方项的n元二次型称为n元二次型的标准形.
f ( x1, x2 ,
5 x 4 y , 6 x - 6 4 y
-1 1 ①求x , y的值； 得其基础解系x1= 1 ,x2= 0 . ②求可逆矩阵P，使P-1AP=B. 0 1
对于特征值l36，解线性方 程组(6E-A)Xo，
解得
x 5 . y 6
1 得其基础解系x3= -2 ， 3
-1 1 0 0 0 x 1 0 0 0
于是，x= -1.
4.3 二次型的概念
一、二次型 二、二次型的秩
1. 二次型的定义
定义1 含有n个变量的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3