2第三章 静磁场解析
电动力学 第三章 静磁场
→
→
→
对静磁场，规定矢 的散度 的散度为 对静磁场，规定矢势的散度为：
∇•A=0
→
（3 ）
式(3)是库仑规定(规范)！ (3)是库仑规定(规范) 现在由 (1)和式(3)唯一确定矢 现在由式(1)和式(3)唯一确定矢势 A ！ 和式(3)唯一确定 → → 例如：任意矢 例如：任意矢势 A = A 0 + ∇ ϕ （a）
教材P.79 求长度为 l 的载流直导线的矢 的载流直导线的矢 例1. 教材 势和磁感应强度。 磁感应强度。 解：用矢势的叠加计算 矢势的叠加计算 任意电流元
→
dA
Id z ′ ，在场
→
点的矢势为 点的矢势为 d A r→ r → d = = ez dAA ezdAdA
/ ′ µ0I d µ0I dzz dz dz′ dA= = （ ） 2 / 2 a） 4π R 4π r +(z − z ) /
∇ A=0
2
→
（5 ）
2）在直角坐标系中,矢势和电流密度为 在直角坐标系中, 和电流密度为
→
A = Ax ex + Ay ey + Az ez
→ → → →
→
→
→
→
） J = J x ex + J y ey + J z ez （g）
→ → → →
→
→
→
将式(g) 代入式(4)， 将式 代入式 ，得
y分量方程： ∇ A y = − µ J y 分量方程： z分量方程： ∇ A z = − µ J z 分量方程：
（6）
将式(6)与静电场的电位方程比较，可得矢 的 将式 与静电场的电位方程比较，可得矢势的 方程比较 积分表达式： 积分表达式：
第三章 静磁场
磁感应强度为： ， 记到的距离，矢径， 则在的磁感应强度为： 其中，故的磁场对的作用能及作用力为 负号表明受到吸引力。
第3章 静磁场 3.1、试用表示一个沿z方向的均匀恒定磁场，写出的两种不同的表达 是，证明两者之差就是无旋场。 【解】由，在直角坐标系中，有
，， 有许多A场可以满足这组方程，其中两个A场可选为
， 而且显然有
3.2、均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流 为，试用唯一性定理求管内外磁感应强度。 【解】设螺线管截面半径为a，z轴为其中心轴，在柱坐标系中，螺线 管表面电流密度，记螺线管内部磁场为，外部磁场为，全部定解条件 为 ，（，）（1） ，有限；， （2） ，， （3）
3 -9 将一磁导率为，半径为的球体，放入均匀磁场内，求总磁感应 强度和诱导磁矩。 解：这类问题类似于在均匀电场中放入线性均匀介质球的情形。这 介质球将被磁化。以球心为坐标原点，令做用外场，于是就有Z轴 的对称性。因球内外均无传导电流分布，可引入磁标势，使。球内 球外，因此球内假想磁荷体密度， 球外。于是磁标势的全部定解条件为： ， （1） 有限；（2）
3.7、半径为a的无限长圆柱导体内有恒定电流J均匀分拨于截面上，试 解矢势A的微分方程，设导体的磁导率为，导体外的磁道率为。 【解】设Z轴为导体柱的中心轴，导体内有恒定电流，由于电流不是 分布于有限区域，应选择有限远折点为矢势零值参考点，可令。即导 体柱面。则在柱坐标系中，导体、外两区域矢势的全部定解条件为 有限（3） 因导体内的电流总是沿方向，从方程（1）可知导体内矢势A1只能有 方向的分量，且由对称性它只是r的函数，即；又由处矢势连续的条
（3） 由（2）的两个条件，及轴对称性，两区域内标势方程的通解可写 为 再由条件（3），解出 ， 球内为均匀磁场，是第一项原外场与第二项介质球面磁化电流产生 的均匀磁场之叠加；球外的第一项为原外场，第二项为球面磁化电 流产生在外部产生的磁磁偶极场，将与式比较，得： 事实上，介质球的磁化强度 是常矢量，因此它的磁矩为 3 -10 将一内外半径分别为和的空心球，位于均匀磁场内1）和（2）分别是 边界条件（4）为
静磁场标准-概念解析以及定义
静磁场标准-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述静磁场是指磁场在时间上不变化或变化很慢的状态下的磁场。
与动态磁场相比，静磁场具有稳定性和持久性的特点。
在科学研究和工程应用中，静磁场的准确测量和标定是非常重要的。
本文旨在探讨静磁场标准的重要性以及与之相关的定义、特性和测量方法。
通过对静磁场标准的研究，可以提高测量和应用领域对静磁场的准确度和可重复性。
在接下来的章节中，我们将先介绍静磁场的定义和特性。
通过了解静磁场的本质，我们可以更好地理解其测量的重要性。
然后，我们将详细探讨静磁场的各种测量方法，包括经典方法和现代先进方法。
这些方法的比较和分析将有助于我们选择合适的方法来进行静磁场的测量。
静磁场标准的重要性不仅体现在科学研究中，也涉及到工程应用领域。
在科学研究中，准确测量静磁场可以提供重要的实验数据，对于实验结果的可靠性和可复制性具有关键性的影响。
在工程应用中，如电磁设备、磁共振成像等领域，静磁场标准的建立和使用可以确保设备的稳定性和性能的精确控制。
最后，我们将总结静磁场标准的重要性，并对其未来的发展进行展望。
静磁场标准的不断改进和完善，将为科学研究和工程应用提供更精确和可靠的测量结果，推动相关领域的进一步发展。
在本文中，我们将通过对静磁场标准的深入研究，为读者提供关于静磁场的基本知识和最新进展的综合介绍。
希望通过本文的阅读，读者能够更好地理解和应用静磁场标准，为相关领域的科研和工程应用做出更多的贡献。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：第2部分：正文2.1 静磁场的定义与特性静磁场是指时间上不变的磁场。
它是由静止不动的电荷或电流所产生的磁场，没有时间变化，并且磁场的大小和方向在空间中保持不变。
静磁场具有以下特性：稳定性、定向性、无能量损失、无辐射等。
本节将详细介绍静磁场的定义和特性。
2.2 静磁场的测量方法静磁场的测量方法是指用于测量和评估静磁场的工具、技术和方法。
常用的测量方法包括：磁力计法、霍尔效应法、法拉第电磁感应法等。
2第三章 静磁场
但由于 B 0 ,所以B可以表为另一矢量场的旋度，即 A称为磁场的矢势。 (P277 附录 I.17) 2. 矢势A的物理意义 为了看出矢势A的意义，我们考察上式的积分形式。把B对任 一个以回路L为边界的曲面S积分，得
B A
B dS A dS
证明：在所有的可以描述磁场的矢势中，必存在
一个矢势A，满足 A 0 证：设有一个A，满足 B A ，但
A u 0 我们另取一个矢势 A A 显然 A’可以描述磁场，即 B A 现在 A A 2 u 2
因而不能引入标势。 如果想引入磁标势，所研究的磁场必须与保守
场相似，即在求解区域内
H dl 0,
L
2. 引入磁标势的前提条件 对于求解区域内的任何闭合回路，都有
H dl 0,
L
3. 实际问题的处理 (1) 空间中没有自由电流，全空间均可以引入磁标
势描述磁场。 (2) 空间中有自由电流， 则挖去电流及电流线所 围着的一个曲面 S ，在 剩下的空间中可以引入
静电场： D 0 E P 静磁场： B 0 H 0 M 与ρp = -∇⋅P 相对应
D 自由电荷
B 0
不存在自由磁荷。∇⋅B 为自由磁荷密度。
m (0 M ) 0 M
这就是（束缚）磁荷密度。
3. 与静电场的对比 电场
1
m1 n
2
m2 n
m1 m 2 注意该式与 n M1 M 2 的异同。 n n
例 证明μ→∞的磁性物质表面为等磁势面。
解 以角标1代表磁性物质，2代表真空，由磁场边 界条件
第三章 静磁场
二、磁偶极子的场与标势
由磁偶极子的势 可计算出磁偶极子的场，
（其中， ， ）
由于
所以
如果定义 为磁偶极子的磁标势。
则 ，
总之，一个小范围内的电流分布在远处产生的磁场的最初级近似为磁偶极近似，
矢势的最初级近似 。
磁场的最初级近似 。
三、小区域电流在外场中的能量
1、电流分布 在外场中的相互作用能
当研究介质中的磁场时，必须考虑介质的磁化对场的影响。自由电流产生磁场，磁场作用于介质产生磁化电流，又激发磁场，场再作用于介质……也必须象静电学问题一样，求解反映场与介质相互作用的微分方程（在一定边界条件下求解）。
我们先引入静磁场的矢势，导出矢势满足的微分方程，然后再讨论磁标势及其微分方程，最后讨论磁多极展开。
球内磁场是
铁球内外的 和 。 线总是闭合的，而 线则不然。 线从右半球面的正磁荷发出，止于左半球的负磁荷。在铁球内部， 和 反向，说明磁铁内部的 和 是有很大的差异。
代表磁铁内的总宏观磁场，即在物理小体积内对微观磁场的平均值，而 仅为一辅助场量。
静电场
静磁场
无旋场
无源场
（由此，历史上人们错误地认为 与 相对应）
2、矢势的一级近似
恒定电流可以分成许多闭合电流管，我们就一个电流管计算上式。若线圈电流为 ，则有
由于 为线圈上各点的坐标，因此 （ 表示对带撇的变量微分）。利用全微分绕闭合回路的线积分等于零，得
因此
则
其中 ，是电流体系的磁偶极矩。电流分布是一个小线圈，则 ， 是线圈的面积矢量， ， 为线圈法线方向单位向量， 与电流方向满足右手螺旋关系。
若考虑外场变化的情况，设外场是由另一带有电流 的线圈 产生。
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高二下册物理第三章磁场知识点讲解
高中物理是高中理科(自然科学)基础科目之一，准备了高二下册物理第三章磁场知识点，具体请看以下内容。
一、磁场
磁极和磁极之间的相互作用是通过磁场发生的。
电流在周围空间产生磁场，小磁针在该磁场中受到力的作用。
磁极和电流之间的相互作用也是通过磁场发生的。
电流和电流之间的相互作用也是通过磁场产生的。
磁场是存在于磁体、电流和运动电荷周围空间的一种特殊形态的物质，磁极或电流在自己的周围空间产生磁场，而磁场的基本性质就是对放入其中的磁极或电流有力的作用。
二、磁现象的电本质
1．罗兰实验
正电荷随绝缘橡胶圆盘高速旋转，发现小磁针发生偏转，说明运动的电荷产生了磁场，小磁针受到磁场力的作用而发生偏转。
2．安培分子电流假说
1。
静磁场
W
1 2
(A
1 2
(
Ae
Ae ) (J J e
J e )dV
1 2
)dV
(A
Je
1 2
( A J )dV
Ae J )dV
最后一项称为相互作用能，记为
可以证明： Wi
( A J e )dV
2．矢势的形式解
A
J(
x)dV
4 V r
Ai
4
V
Ji (x)dV r
已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分
布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。
3．B 的解
B
A
4
V
(
J
(x))dV r
4
V
1 r
W 1
B
HdV
1
(
A
H
)dV
1
A JdV
2
2
2
1
A JdV
2
2. 电流分布在外磁场中的相 互作用能
设 Je 为外磁场电流分 布，Ae为外磁场的矢
势；J 为处于外磁 场 Be中的电流分布，它激
发的场的矢势为 A 。总能量：
静磁场
H 0
H
m 0
m
0
M
第3章 静磁场
令 1 ( ) ,
则 2
0 Ia 0 (2sin 2 1)d 1 2 2 2 2 2 2 a z 2 a (2sin 1) 2 2 (2sin 1)d 2 1 0 2 2 2 2 2 a z 2 a (2sin 1)
2 2 2 2 1 1 R M 1 1 R M I lim ln lim ln 2 2 2 2 M 4 M 1 1 R0 M 1 1 R M 0 0 1 1 x 1 x 1 R2 2 2 I lim ln 2 2 M 4 M 1 R0 2 M 2
2
je ( x1 ) Ae ( x2 ) d 1 4 V r
1
r x1 x 2 x 2 x1
V1
j
e
Ad 1
V 1 V2
j ( x2 ) je ( x1 ) d1 d2 4 r je ( x1 ) j ( x2 ) d1 d2 4 r
15
r 2 a 2 R 2 2 x x dl idl x jdl y
l x a cos 其中 y a sin l dl x a sin d dl y a cos d
a sin d R 2 a 2 2 x x a cos d R 2 a 2 2 x x
第三章 静磁场
1
§3.1 矢势及其微分方程
1、矢势 稳恒电流磁场的基本方程
B 0 H j
磁场的特点和电场不同。静电场是无旋的，即 来描述。而磁场是有旋的，一般不 引入标势 能引入一个标势来描述整个空间的磁场，但由 于磁场是无源的，可以引入一个矢量来描述它 。 A ——磁场的矢势 B 0 B A
静磁场的主要作用
静磁场的主要作用介绍静磁场是指在不随时间变化的情况下产生的磁场。
它是由静止的电荷或电流所产生的，与静电场不同，它的作用对象是带电粒子运动中的磁性质。
静磁场在物理学、工程学和医学等领域中具有重要的作用。
本文将详细探讨静磁场的主要作用。
二级标题1：静磁场对电荷的作用三级标题1：洛伦兹力静磁场对电荷的主要作用是产生洛伦兹力。
根据洛伦兹力定律，当电荷在静磁场中运动时，它将受到一个与电荷速度和磁场强度相关的力。
洛伦兹力的方向垂直于电荷速度和磁场方向，大小由电荷量、速度和磁场强度决定。
这种力的作用使得带电粒子在磁场中做圆周运动，被广泛应用于粒子加速器、磁共振成像等领域。
三级标题2：霍尔效应静磁场对电荷的另一个重要作用是产生霍尔效应。
当电荷在静磁场中运动时，如果它们在一个导体中，将会在导体两侧产生电势差。
这是由于磁场对电荷运动的影响，导致电荷在导体中聚集或偏移。
霍尔效应被广泛应用于传感器和电子器件中，用于测量电流、磁场和导电性等参数。
三级标题3：磁场对电荷轨迹的影响静磁场还可以改变电荷的运动轨迹。
当电荷穿过静磁场时，它们将受到一个力的作用，使得它们的轨迹发生偏转。
这种现象被应用于质谱仪、电子束聚焦和粒子物理实验等领域，用于分析和控制带电粒子的运动。
二级标题2：静磁场对磁性物质的作用三级标题1：磁场对磁性物质的磁化静磁场对磁性物质的主要作用是产生磁化效应。
磁性物质在静磁场中会发生磁化，使得它们具有磁性。
磁场对磁性物质的磁化程度与磁场强度和物质的磁性特性有关。
这种现象被广泛应用于电磁铁、磁存储和磁共振等领域。
三级标题2：磁场对磁性物质的吸附和分离静磁场还可以用于吸附和分离磁性物质。
在静磁场的作用下，磁性物质会受到一个力的作用，使得它们在磁场中聚集或偏移。
这种现象被广泛应用于磁选和磁分离等领域，用于分离和提纯磁性物质。
三级标题3：磁场对磁性物质的传输和操控静磁场还可以用于磁性物质的传输和操控。
通过改变静磁场的分布和强度，可以对磁性物质进行传输和操控。
电动力学习题解答3
第三章 静磁场1. 试用A 表示一个沿z 方向的均匀恒定磁场0B ，写出A 的两种不同表示式，证明二者之差为无旋场。
解：0B 是沿 z 方向的均匀恒定磁场，即 z B e B 00=，由矢势定义B A =⨯∇得0//=∂∂-∂∂z A y A y z ；0//=∂∂-∂∂x A z A z x ；0//B y A x A x y =∂∂-∂∂三个方程组成的方程组有无数多解，如：○10==z y A A ，)(0x f y B A x +-= 即：x x f y B e A )]([0+-=； ○20==z x A A ，)(0y g x B A y += 即：y y g x B e A )]([0+= 解○1与解○2之差为y x y g x B x f y B e e A )]([)]([00+-+-=∆ 则 0)//()/()/()(=∂∂-∂∂+∂∂+∂-∂=∆⨯∇z x y y x x y y A x A z A z A e e e A 这说明两者之差是无旋场2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n ，电流强度I ，试用唯一性定理求管内外磁感应强度B 。
解：根据题意，取螺线管的中轴线为 z 轴。
本题给定了空间中的电流分布，故可由⎰⨯='430dV r rJ B πμ 求解磁场分布，又 J 只分布于导线上，所以⎰⨯=304r Id r l B πμ1)螺线管内部：由于螺线管是无限长理想螺线管，所以其内部磁场是均匀强磁场，故只须求出其中轴 线上的磁感应强度，即可知道管内磁场。
由其无限长的特性，不z y x z a a e e e r ''sin 'cos ---=φφ， y x ad ad d e e l 'cos ''sin 'φφφφ+-= )''sin 'cos ()'cos ''sin '(z y x y x z a a ad ad d e e e e e r l ---⨯+-=⨯φφφφφφz y x d a d az d az e e e '''sin '''cos '2φφφφφ+--=取''~'dz z z +的一小段，此段上分布有电流'nIdz⎰++--=∴2/32220)'()'''sin '''cos '('4z a d a d az d az nIdz z y x e e e B φφφφφπμ ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-=+=+=z z I n a z a z d nI nI z a dz a d e e 02/3202/3222200])/'(1[)/'(2)'(''4μμφπμπ2)螺线管外部：由于螺线管无限长，不妨就在过原点而垂直于轴线的平面上任取一点)0,,(φρP 为场点，其中a >ρ。
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流激发的基本理论应用到静磁场的情况，即研究恒定电 在恒定电流情况下，电场也同时存在，电源及导线表面上 都带有一定的电荷，但由于电场和磁场与时间无关，因而电场 和磁场可以分开研究。根据麦克斯韦方程组，恒定电流激发的 磁场满足：
H J B 0 与静电场的标势相对应，静磁场的矢势是一个重要概念。
A2t A1t
(1)
( A 0)
S
A2 n A1n
（１）、（２）两式合算，得到
般情况下不能用标势描述。
但由于 B 0 ,所以B可以表为另一矢量场的旋度，即 A称为磁场的矢势。 (P277 附录 I.17) 2. 矢势A的物理意义 为了看出矢势A的意义，我们考察上式的积分形式。把B对任 一个以回路L为边界的曲面S积分，得
B A
B dS A dS
S S
L
A dl
这就是通过曲面S的磁通量。
设S1和S2是两个有共同边界L的曲面，则
S1
B dS A dl B dS
L S2
这正是B的无源性的表现。
因为是无源的，在S1和S2所包围的区域内没有磁感应线
发出，也没有磁感应线终止，B线连续地通过该区域，因而 通过曲面S1的磁通量必须等于通过曲面S2的磁通量。这磁通
对于线电流情形，设I为导线上的电流强度，作代换 JdV→Idl，得
Idl r B 4 r 3
这就是毕奥－萨伐尔定律给出的结果。
三、矢势边值关系
由前面知，当全空间的电流分布J给定时，可以计算磁 场。对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解矢势 微分方程的边值问题，必然要用到矢势的边值关系。 在两介质分界面上磁场的边值关系为
其中B0为常量。
Bz B0
由定义式:
Ax B0 x y Az Ay Ax Az 0 y z z x 我们不难看出有解：
Ay
Az Ay 0,
Ax B0 y
同时还可以看出有另一解：
Az Ax 0,
Ay B0 x
3. 确定A的辅助条件
可以证明上式满足规范条件，因此，该式确实是微分方程 的解。式中x’是源点, x为场点，r为由x’到x的距离。若讨
论真空情形，令μ=μ0即可。
3. 根据A求B
J ( x)dV B A 4 r 1 ( ) J ( x)dV 4 r J r dV 3 4 r
可以用较简单的形式A1=A2代替。 将矢势沿闭合回路积分，当回路短边长度趋于零时 由于回路面积趋于零，有
L
A dl ( A2t A1t )l
L
A dl B dS 0
S
因此
( A2t A1t )l 0
另外，若取 A 0 ，利用高斯公式，推导，可得
§3.1 矢势及其微分方程
一、矢势 1. 矢势的概念 恒定电流磁场的基本方程是 上两式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础。 磁场的特点和电场不同： 静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于 负电荷，静电场线永不闭合，可以引入标势来描述。
Η J
B 0
静磁场是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线。一
( A) 2 A J
若取A满足规范条件∇⋅A = 0 ，得矢势的微分方程
2 A J
2
( A 0)
A的每个直角分量Ai满足泊松方程
Ai J i , (i 1,2,3)
2. 若J已知，求A 的解 ( x ) 1 ( x)dV . 2 对比 4 r 方程 2 Ai J i , (i 1,2,3) 的解应为： J i ( x)dV Ai ( x ) . 4 r 所以方程 2 A J 的解为： J ( x)dV A( x ) . 4 r
证明：在所有的可以描述磁场的矢势中，必存在
一个矢势A，满足 A 0 证：设有一个A，满足 B A ，但
A u 0 我们另取一个矢势 A A 显然 A’可以描述磁场，即 B A 现在 A A 2 u 2
因为任意函数 ，其梯度的旋度恒为零，故有
( A ) A.
即 A 与 A对应于同一个磁场B。 A的这种任意性是由于只有A的环量才有物理意义，
而每点上的A本身没有直接的物理意义。 由于A的这种任意性，要确定A ，必须加一个辅助
条件。最常用的办法就是令
A 0
量由矢势A对S1或S2的边界的环量表示。
因此，矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代
表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有A的环量才
有物理意义，而每点上的值没有直接的物理意义。 由矢势 A 可以确定磁场 B ，但是由磁场 B 并不能唯一地 确定矢势A。 例如：有沿Z 轴方向的均匀磁场:
Bx By 0
n ( B2 B1 ) 0 n ( H 2 H1 ) α
将场量用矢势A表示出来，即可得到矢势的边值关系。
矢势的边值关系为
n ( A2 A1 ) 0
n( 1
2
A2
1
1
A1 ) α
若取规范条件∇⋅A = 0 ，
n ( A2 A1 ) 0
2 取 为泊松方程 u 的一个解，问题得证。
当加上辅助条件 A 以后，A就可以确定下来。 对A所加的辅助条件称为规范条件。
二、矢势微分方程
1. A的微分方程 在均匀线性介质内，B=∇×A=μH，代入方程 ∇×H = J 得矢势A的微分方程
( A) J
由矢量分析公式 ( A) ( A) 2 A. 得