《自动控制理论》第八章 离散控制系统
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自动控制原理8PPT课件
式中： Z ----定义在Z平面上的一个复变量，称为Z变换子；
Ts ----采样周期； S---拉氏变换算子。
F (z) F *(s) f (kTs )zk k 0
上式收敛时，被定义为采样函数 f *(t) 的Z变换。即
Z f *(t) F (z) f (kTs )zk
k 0
注意： 1、上面三式均为采样函数 f *(t) 的拉氏变换式； 2、 F(z) 是 f *(t) 的Z变换式；
采样系统中既有离散信号，又有连续信号。 采样开关接通时刻，系统处 于闭环工作状态。而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。
2、 计算机控制系统
计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号， 即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输 出是连续信号， 故需要A/D和D/A实现两种信号的转换。
3、 F(z) 只表征连续函数 f (t)
在采样时刻的信号特性， 在采样时刻之间的特性，不能反映。
(2) Z变换方法 Z变换方法多种，主要的有
1) 级数求和法。以例说明
例 求单位价跃函数1（t）的Z变换.
解：因为
Z[1*(t)] Z[1(t)] 1(nT )Z n 1 Z 1 Z 2 ...... Z n ...... n0
f * (t) f (t)T (t) f (kTs ) (t kTs ) k 0
对上式两边取拉氏变换
f * (t)
F * (s) L f (kTs ) (t kTs ) f (kTs )ekTss
k 0
k0
可看出，F * (s) 是以复变量s表示的函数。引入一新变量z
Z eTss
瞬间。这样离散信号就变成了一阶梯信号fh(t)。因为fh(t)在每一个采样区间 内的值均为常数，其导数为0，故称为零阶保持器。
Ts ----采样周期； S---拉氏变换算子。
F (z) F *(s) f (kTs )zk k 0
上式收敛时，被定义为采样函数 f *(t) 的Z变换。即
Z f *(t) F (z) f (kTs )zk
k 0
注意： 1、上面三式均为采样函数 f *(t) 的拉氏变换式； 2、 F(z) 是 f *(t) 的Z变换式；
采样系统中既有离散信号，又有连续信号。 采样开关接通时刻，系统处 于闭环工作状态。而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。
2、 计算机控制系统
计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号， 即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输 出是连续信号， 故需要A/D和D/A实现两种信号的转换。
3、 F(z) 只表征连续函数 f (t)
在采样时刻的信号特性， 在采样时刻之间的特性，不能反映。
(2) Z变换方法 Z变换方法多种，主要的有
1) 级数求和法。以例说明
例 求单位价跃函数1（t）的Z变换.
解：因为
Z[1*(t)] Z[1(t)] 1(nT )Z n 1 Z 1 Z 2 ...... Z n ...... n0
f * (t) f (t)T (t) f (kTs ) (t kTs ) k 0
对上式两边取拉氏变换
f * (t)
F * (s) L f (kTs ) (t kTs ) f (kTs )ekTss
k 0
k0
可看出，F * (s) 是以复变量s表示的函数。引入一新变量z
Z eTss
瞬间。这样离散信号就变成了一阶梯信号fh(t)。因为fh(t)在每一个采样区间 内的值均为常数，其导数为0，故称为零阶保持器。
自动控制原理离散系统知识点总结
自动控制原理离散系统知识点总结自动控制原理中的离散系统是指在时间域和数值范围上都是离散的系统。
在离散系统中，信号是以离散时间点的形式传递和处理的。
本文将对自动控制原理离散系统的知识点进行总结，包括离散系统的概念、离散信号与离散系统的数学表示、离散系统的稳定性分析与设计等。
一、离散系统的概念与特点离散系统是指系统输入、输出和状态在时间上都是以离散的方式存在的系统。
与连续系统相比，离散系统具有以下特点：1. 离散时间：离散系统的输入、输出和状态是在离散时间点上采样得到的，而不是连续的时间信号。
2. 离散数值：离散系统的输入、输出和状态都是以离散数值的形式存在的，而不是连续的模拟数值。
二、离散信号与离散系统的数学表示离散信号是指在离散时间点上采样得到的信号。
离散系统可以通过离散信号的输入与输出之间的关系进行描述。
常见的离散系统数学表示方法有差分方程和离散时间传递函数。
1. 差分方程表示：差分方程是通过离散时间点上的输入信号和输出信号之间的关系来描述离散系统的。
差分方程可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。
2. 离散时间传递函数表示：离散时间传递函数描述了离散系统输入与输出之间的关系，类似于连续时间传递函数。
离散时间传递函数可以通过Z变换得到。
三、离散系统的稳定性分析与设计离散系统的稳定性是指系统的输出在有限时间内收敛到有限范围内，而不是无限增长或震荡。
离散系统的稳定性分析与设计是自动控制原理中的重要内容。
1. 稳定性分析：离散系统的稳定性可以通过判断系统的极点位置来进行分析。
若系统的所有极点都位于单位圆内，则系统是稳定的；若存在至少一个极点位于单位圆外，则系统是不稳定的。
2. 稳定性设计：若离散系统不稳定，可以通过调整系统的参数或设计控制器来实现稳定性。
常见的稳定性设计方法包括PID控制器调整、根轨迹设计等。
四、离散系统的性能指标与优化离散系统的性能指标与优化是指通过调整控制器参数或控制策略，使离散系统的性能得到优化。
清华电机系 《自动控制原理》离散控制系统
• 可以证明，开式解与闭式解是对应的。 • 3，多入多出系统情况（简单介绍） • 离散状态空间方程 X (k 1) A* X (k ) B*u(k ), X (0)
Y (k ) C * X (k )
• 式中， A*, n n; B*, n p; C*, q n. • 则相应脉冲传递函数矩阵为
• 若差分定义如上，则用差分表示动态系统中动 •
• 态环节可得到系统的差分方程模型
y(k n) a1 y(k n 1) an 1 y(k 1) an y(k ) b0r (k m) b1r (k m 1) bmr (k )
• • 在零初值条件下取z变换，得
(6.3)
• a，高阶差分方程转为离散状态空间方程 • 算法：方程(6.2)，将输出序列补至m=n，多补 出项系数为零。取状态变量为
•
x1 (k ) y (k ) d 0u (k ) d 0 b0 x (k ) x (k 1) d u (k ) d1 b1 a1d 0 2 1 1 , xn (k ) xn 1 (k 1) d n 1u (k ) d n bn a1d n 1 an 1d1 an d 0
• 3，留数法
x(k ) Re s[ X ( z ) z k 1]z z m
m
• 6.3 脉冲传递函数及离散动态方程 • 1，取差分方程（前向）
y (k ) y (k 1) y (k ) 2 y (k ) y (k ) y (k 2) 2 y (k 1) y (k ) n y (k ) n 1 y (k )
• 例6.1 将2阶差分方程转化离散状态空间方程。 • y(k+2)+y(k+1)+0.16y(k)=u(k+1)+2u(k) • 解：设状态变量为 x1(k ) y(k ) d0u(k ) y(k )
自动控制原理(离散控制系统 )共43页文档
7.1 离散系统的基本概念
一、离散/采样系统
线性连续系统 1、线性系统
线性离散系统
采样 / 脉冲控制系统 （信号为脉冲序列）
数字系统 / 计算机控制系统 （信号为数字序列）
2、离散系统的特点（P311）
采样系统中一处或多处的信号是脉冲序列或数字序列。因此， 离散系统中必须具备的两个特殊环节。
采样器（采样开关）：连续信号 采样
图(c) 采样信号频谱 s < 2 h
由此可见，要想使连续信号不失真地从采样信号中恢复过来， 则必须满足条件：
s 2h
5、采样定理（Shannon定理）
Shannon定理：如果采样器的输入信号e（t）的频谱具有有限带宽，
并且有T 直 到22ωh h的频率分即量，则s 只≥要2 采 样h 周期T满足：
0
因为0 ： tesd t t1
所以 E*S： L enT tnT enT LtnT
n0
n0
en TenTS
n0
故
E*SenTenTS
n0
4、采样信号的频谱分析
设连续信号的傅氏变换为，则采样信号的傅氏变换为：
E*(j)T 1n E [j(nS)]
由于连续信号 e ( t )的频谱 E( j)是单一的连续频谱，其最大角频率
二、信号恢复（保持） 1、信号的输出形式 直接输出数字信号； 输出连续信号（需要保持器将数字信号恢复成连续信号）。
2、保持器的类型 （1）、零阶保持器
a、工作原理
b、输出表达式： e h n T e nT n 0 ,1 ,2 ,
c、传递函数：
Gh
S
1eTS S
d、频率特性
（2）、一阶保持器
a、工作原理 b、输出表达式：
一、离散/采样系统
线性连续系统 1、线性系统
线性离散系统
采样 / 脉冲控制系统 （信号为脉冲序列）
数字系统 / 计算机控制系统 （信号为数字序列）
2、离散系统的特点（P311）
采样系统中一处或多处的信号是脉冲序列或数字序列。因此， 离散系统中必须具备的两个特殊环节。
采样器（采样开关）：连续信号 采样
图(c) 采样信号频谱 s < 2 h
由此可见，要想使连续信号不失真地从采样信号中恢复过来， 则必须满足条件：
s 2h
5、采样定理（Shannon定理）
Shannon定理：如果采样器的输入信号e（t）的频谱具有有限带宽，
并且有T 直 到22ωh h的频率分即量，则s 只≥要2 采 样h 周期T满足：
0
因为0 ： tesd t t1
所以 E*S： L enT tnT enT LtnT
n0
n0
en TenTS
n0
故
E*SenTenTS
n0
4、采样信号的频谱分析
设连续信号的傅氏变换为，则采样信号的傅氏变换为：
E*(j)T 1n E [j(nS)]
由于连续信号 e ( t )的频谱 E( j)是单一的连续频谱，其最大角频率
二、信号恢复（保持） 1、信号的输出形式 直接输出数字信号； 输出连续信号（需要保持器将数字信号恢复成连续信号）。
2、保持器的类型 （1）、零阶保持器
a、工作原理
b、输出表达式： e h n T e nT n 0 ,1 ,2 ,
c、传递函数：
Gh
S
1eTS S
d、频率特性
（2）、一阶保持器
a、工作原理 b、输出表达式：
自动控制原理 任彦硕 第八章
k 1 k 0 2
z , z 1
( | z | 1 )
例8-4 求指数函数的z变换。
解：
1 1 e
aT
f (t ) e at ，则 设
F ( z) 1 e aT z 1 e a 2T z 2 e akT z k
第8章
基本内容
离散控制系统
8-1 离散控制系统的基本概念
8-2 信号的采样与恢复
8-3 离散系统的数学模型
8-4 离散系统的稳定性分析
8-5 离散系统的稳态误差分析
8-6 离散系统的动态分析 8-7 离散系统的校正
基本要求
①
正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保 持器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联 系。 Z变换和Z反变换，熟练掌握几种典型信号的Z变换和 通过部分分式分解进行反变换, 了解用Z变换法解差 分方程的主要步骤和方法。 正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样 系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算 方法, 掌握典型闭环采样系统输出的Z变换表达式。
-ω s
-ω s -ω m
2
0 ω m ωs
2
ωs
2ω s
ω
采样后信号频谱是以s为周期的。
三、采样定理
采样时间满足什么条件？ 才能复现原信号！
连续信号在时域上是连续的，但频域中 的频谱是孤立的； 连续信号采样之后，具有以采样角频率 s 为周期的无限多个频谱。
F(j)
Fm
s 2
0
s 2
由此类推，计算n阶导数的近似值需已 知n+1个采样时刻的瞬时值。若上式 的右边只取前n+1项，便得到n阶保持 器的数学表达式。
z , z 1
( | z | 1 )
例8-4 求指数函数的z变换。
解：
1 1 e
aT
f (t ) e at ，则 设
F ( z) 1 e aT z 1 e a 2T z 2 e akT z k
第8章
基本内容
离散控制系统
8-1 离散控制系统的基本概念
8-2 信号的采样与恢复
8-3 离散系统的数学模型
8-4 离散系统的稳定性分析
8-5 离散系统的稳态误差分析
8-6 离散系统的动态分析 8-7 离散系统的校正
基本要求
①
正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保 持器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联 系。 Z变换和Z反变换，熟练掌握几种典型信号的Z变换和 通过部分分式分解进行反变换, 了解用Z变换法解差 分方程的主要步骤和方法。 正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样 系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算 方法, 掌握典型闭环采样系统输出的Z变换表达式。
-ω s
-ω s -ω m
2
0 ω m ωs
2
ωs
2ω s
ω
采样后信号频谱是以s为周期的。
三、采样定理
采样时间满足什么条件？ 才能复现原信号！
连续信号在时域上是连续的，但频域中 的频谱是孤立的； 连续信号采样之后，具有以采样角频率 s 为周期的无限多个频谱。
F(j)
Fm
s 2
0
s 2
由此类推，计算n阶导数的近似值需已 知n+1个采样时刻的瞬时值。若上式 的右边只取前n+1项，便得到n阶保持 器的数学表达式。
中职教育-《自动控制原理》课件：第8章 线性离散控制系统的分析与设计(8)电子工业出版.ppt
18
3．离散系统稳定性可由z平面和s平面的映射关 系推导出，为了应用代数稳定判据，必须经过双线 性变换。在离散系统的分析中，无论是稳定性，稳 态误差和动态响应，它们除与系统固有结构和参数 有关外，还与系统的采样周期有密切关系，因此， 在选择系统采样周期时，除必须满足采样定理，还 必须综合考虑系统的稳定性、稳态误差和动态响应 等。
9
例8-20 利用MATLAB求例8-18所示系统在输入信号 r(t)= t作用下的稳态误差。
10
8.8.5 利用MATLAB分析离散系统的动态特性
11
例8-21 利用MATLAB求例8-18所示系统 在T=1秒时的单位阶跃响应。
12
图8-43 单位阶跃响应曲线
13
例8-22 利用Simulink求例8-18所示系统 当r(t)=1(t)，T=1秒和0.1秒时，系统的输 出响应。
8-8 基于MATLAB的离散控制 系统的分析与设计
MATLAB提供了多种求取离散系统的函数，使 用它们可以很方便对离散控制系统进行分析和设计。
1
8.8.1 利用MATLAB实现z变换
2
例8-17 求函数的z变换和函数的z反变换。 解 MATLAB命令如下 >>syms k t z;f=k*t^1;F1=ztrans(f),F=k*z/(z-1)^2;f1=iztrans(F) 结果显示： F1 =
19
4．离散系统的校正有连续校正和数字校正两种。 校正装置也可用模拟电路来实现。目前离散系统多 采用计算机的硬件和软件实现。
20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
16
1．离散系统中既包含有连续信号，又 包含有离散信号，是一个混合信号系统。 为了将离散信号转换为连续信号，需要 在连续对象前面加入保持器，常用的是 零阶保持器。
3．离散系统稳定性可由z平面和s平面的映射关 系推导出，为了应用代数稳定判据，必须经过双线 性变换。在离散系统的分析中，无论是稳定性，稳 态误差和动态响应，它们除与系统固有结构和参数 有关外，还与系统的采样周期有密切关系，因此， 在选择系统采样周期时，除必须满足采样定理，还 必须综合考虑系统的稳定性、稳态误差和动态响应 等。
9
例8-20 利用MATLAB求例8-18所示系统在输入信号 r(t)= t作用下的稳态误差。
10
8.8.5 利用MATLAB分析离散系统的动态特性
11
例8-21 利用MATLAB求例8-18所示系统 在T=1秒时的单位阶跃响应。
12
图8-43 单位阶跃响应曲线
13
例8-22 利用Simulink求例8-18所示系统 当r(t)=1(t)，T=1秒和0.1秒时，系统的输 出响应。
8-8 基于MATLAB的离散控制 系统的分析与设计
MATLAB提供了多种求取离散系统的函数，使 用它们可以很方便对离散控制系统进行分析和设计。
1
8.8.1 利用MATLAB实现z变换
2
例8-17 求函数的z变换和函数的z反变换。 解 MATLAB命令如下 >>syms k t z;f=k*t^1;F1=ztrans(f),F=k*z/(z-1)^2;f1=iztrans(F) 结果显示： F1 =
19
4．离散系统的校正有连续校正和数字校正两种。 校正装置也可用模拟电路来实现。目前离散系统多 采用计算机的硬件和软件实现。
20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
16
1．离散系统中既包含有连续信号，又 包含有离散信号，是一个混合信号系统。 为了将离散信号转换为连续信号，需要 在连续对象前面加入保持器，常用的是 零阶保持器。
自动控制原理第八章
1) σ < 0, z < 1, 瞬态分量衰减。 2) σ > 0, z > 1, 瞬态分量发散。 3) σ = 0, z = 1, 瞬态分量等幅振荡。
离散系统的Routh稳定判据（在w平面上的应用） 稳定判据（ 平面上的应用） 离散系统的 稳定判据 平面上的应用
选择w 平面，取z 选择w = σ + jω平面，取z = 由幅值条件 z = z < 1, σ < 0; w + 1 σ + jω + 1 = 作双线性变换 w 1 σ + jω 1 得： z = 1, σ = 0; 1+ w 或z = 1 w
∞
s )e
nT s s
Z变换的求取方法
级数求和法 查表计算法（ Z Z变换表）
Z x * (t) = X(z) =
{
}
∑ x(nT
n=0
∞
s )z
n
( z = e Ts )
Z变换的基本定理 Z反变换的求取方法
长除法 分布分式查表计算法
差分方程的求解
直接递推求解 利用z变换求解
Z变换的求取方法（对离散系统而言） 变换的求取方法 对离散系统而言）
R(s)
求所示开环系统的传递 函数 G(s) = 1 e Ts
T Gh0(s) R*(s) G(s) C(s)
T C*(s)
1 ; G (s) = . ho s(s + 1) s C(z) 1 = Z G (s)G (s) = (1 z 1 )Z[ G(z) = ] 1 2 2(s + 1) R(z) s
x * (t) = Z 1 [X(z)] = 10δ(t T) + 30δ(t 2T) + 70δ(t 3T) + 150δ(t 4T) + 310δ(t 5T) +
离散系统的Routh稳定判据（在w平面上的应用） 稳定判据（ 平面上的应用） 离散系统的 稳定判据 平面上的应用
选择w 平面，取z 选择w = σ + jω平面，取z = 由幅值条件 z = z < 1, σ < 0; w + 1 σ + jω + 1 = 作双线性变换 w 1 σ + jω 1 得： z = 1, σ = 0; 1+ w 或z = 1 w
∞
s )e
nT s s
Z变换的求取方法
级数求和法 查表计算法（ Z Z变换表）
Z x * (t) = X(z) =
{
}
∑ x(nT
n=0
∞
s )z
n
( z = e Ts )
Z变换的基本定理 Z反变换的求取方法
长除法 分布分式查表计算法
差分方程的求解
直接递推求解 利用z变换求解
Z变换的求取方法（对离散系统而言） 变换的求取方法 对离散系统而言）
R(s)
求所示开环系统的传递 函数 G(s) = 1 e Ts
T Gh0(s) R*(s) G(s) C(s)
T C*(s)
1 ; G (s) = . ho s(s + 1) s C(z) 1 = Z G (s)G (s) = (1 z 1 )Z[ G(z) = ] 1 2 2(s + 1) R(z) s
x * (t) = Z 1 [X(z)] = 10δ(t T) + 30δ(t 2T) + 70δ(t 3T) + 150δ(t 4T) + 310δ(t 5T) +
机械控制理论基础(第八章 离散控制系统)1PPT课件
coswt
an
a n cosn e-aT0 n cosn 线性定理 初值定理 终值定理 迟后定理
X(z)
z sin wT0
z 2 - 2 coswT0 z 1
z( z - coswT0 )
z 2 - 2 coswT0 z 1
z z-a
z za
z z e -aT0
Z (ax(t)) aX (z)
1 - z - 1 z - 1
例2 求指数函数e-at的Z变换
解：Ze-at1e-a0 T z-1e-2a0 T z-2 e-na 0zT -n
1-e- 1 a0 T z- 1z-e z-a0 T
11
第八章 离散控制系统 §8-2 Z变换
② 部分分式法 设
xt XsM N ss i n1s A isi
z z - e -aT0
T0 ze -aT0 ( z - e -aT0 ) 2
z(1 - e -aT0 ) (z - 1)(z - e-aT0 )
T0 z
z(1 - e -aT0 )
(z - 1) 2 (z - 1)(z - e-aT0 )
z(e -bT0 - e -aT0 ) (z - e -bT0 )(z - e -aT0 )
1. Z变换
(1) 定义
❖的采样开关后变成离散时间函数x*(t)，即
x*txn0Tt-n0T
x*txn0Tt-n0T
n-
n0
对上式进行拉氏变换
Z eT0S
Lx*tX*S xn0T e-n0T s
XZxnT0Z-n
n0
n0
若级数收敛，则称X(Z)为离散时间函数x*(t)的Z变换
9
第八章 离散控制系统 §8-2 Z变换
第8章离散控制系统
留数计算法求其z变换
n
z
n
E (z) i 1Rs[E e(s)zesT ]|s si i 1R i
在极式点中s ，sis时i为的E (留s) 的数极。点，Ri Rse[E(s)zzes
T]|ssi为
E(s)
z
z esT
当E (s)具有一阶极点 s si ，其留数 R 1 为 R1ls ism i(ssi)E(s)zzesT
设E ( z) 的有理分式表达式为
E(z)b am nzzm n a bm n 1 1zzn m 11 a b0 0
通常 mn，用分母除分子，可得
E ( z ) c 0 c 1 z 1 c 2 z 2 c n z n c n z n
n 0
上式的z反变换式为
e * ( t ) c 0 ( t ) c 1 ( t T ) c 2 ( t 2 T ) c n ( t n ) T
e*(t) e(nT)(tnT) n0
上式也可写作:
e*(t)e(t)T(t)
式中 T(t)(tnT)(称为单位理想脉冲序列) n0
而e * (t ) 则为加权单位理想脉冲序列。
8.2.2 采样定理 香农采样定理：
要保证采样后的离散信号不失真地恢复原连续信号，或者 说要保证信号经采样后不会导致任何信息丢失，必须满足 两个条件：
例 试求单位阶跃信号 e(t)1(的t) z变换。 解： 单位阶跃函数在任何采样时刻的值均为1，即
e(n)T1(n)T1
由z变换定义求得
(n1,2,)
E (z) Z [1 (t) ] 1 (n)z T n 1 z 1 z 2 z n
n 0
这是公比为 z 1 的等比级数，在满足收敛条件 | z1 |1时， 其收敛和为：
n
z
n
E (z) i 1Rs[E e(s)zesT ]|s si i 1R i
在极式点中s ，sis时i为的E (留s) 的数极。点，Ri Rse[E(s)zzes
T]|ssi为
E(s)
z
z esT
当E (s)具有一阶极点 s si ，其留数 R 1 为 R1ls ism i(ssi)E(s)zzesT
设E ( z) 的有理分式表达式为
E(z)b am nzzm n a bm n 1 1zzn m 11 a b0 0
通常 mn，用分母除分子，可得
E ( z ) c 0 c 1 z 1 c 2 z 2 c n z n c n z n
n 0
上式的z反变换式为
e * ( t ) c 0 ( t ) c 1 ( t T ) c 2 ( t 2 T ) c n ( t n ) T
e*(t) e(nT)(tnT) n0
上式也可写作:
e*(t)e(t)T(t)
式中 T(t)(tnT)(称为单位理想脉冲序列) n0
而e * (t ) 则为加权单位理想脉冲序列。
8.2.2 采样定理 香农采样定理：
要保证采样后的离散信号不失真地恢复原连续信号，或者 说要保证信号经采样后不会导致任何信息丢失，必须满足 两个条件：
例 试求单位阶跃信号 e(t)1(的t) z变换。 解： 单位阶跃函数在任何采样时刻的值均为1，即
e(n)T1(n)T1
由z变换定义求得
(n1,2,)
E (z) Z [1 (t) ] 1 (n)z T n 1 z 1 z 2 z n
n 0
这是公比为 z 1 的等比级数，在满足收敛条件 | z1 |1时， 其收敛和为：
第8章 离散控制系统
可用一台计算机分时控制若干个系统，提高 了设备的利用率，经济性好。 容易实现一些复杂的控制算法和实现“最优 控制”，对于具有传输延迟，特别是大滞后 的控制系统，可以引入采样的方式使之稳定。 综合问题的性能指标函数可分为优化型和非 优化型性能指标。
离散控制系统的研究方法
研究连续线性系统所用的方法，例如拉氏变换， 传递函数和频率特性等不再适用。 通过z变换这个数学工具，可以把我们以前学 习过的传递函数，频率特性，根轨迹法等概念 应用于离散控制系统。 z变换具有和连续系统中拉氏变换同等的作用， 是研究线性离散系统的重要数学工具。 与连续系统对比，只是运用了不同的数学工具， 所研究的内容范围一样。
k 0
* 或 e ( t ) e ( t ) ( t kT ) e ( t ) ( t ) T k 0
采样开关相当于一个单位脉冲发生器，采样信 号的调制过程如图所示。
载波
调制器
采样信号的调制过程
2. 采样过程的数学描述 脉冲序列的拉普拉斯变换表达式
E (s) L [e (t)]L [ e (kT ) (t kT )]
差。
时间迟后：零阶保持器的输出为阶梯
信号eh(t) 其平均响应为e[t－(T/2)],表明
零阶保持器。
7.3.1 零阶保持器
零阶保持器是一种
按照恒值规律外推的保
持器。它把前一采样时
刻nT的采样值e(nT)恒
定不变保持到下一采样 时刻(n+1)T，其输入信 号和输出信号的关系如 图。
e(t )
e* (t )
eh (t )
t
t
t
e(t )
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由图可见，采样开关输出端的信号为脉冲信号，每 个脉冲信号之后有一段无信号的时间间隔，该时间 间隔内，控制系统实际上工作在开环状态。如果采 样频率太低，包含在连续信号中的信息经过采样以 后将丢失。 因此，有采样定理如下： 在采样过程中，只有当采样频率 ω s ≥ 2ω m 时，才能将采 样后的离散信号 e*无失真地恢复为原来的连续信 (t ) 号e(t)。其中， ω 为连续信号频谱的最大带宽。
第八章 离散控制系统
自 动 控 制 理 论
8.1 8.2
引言 z变换和z反变
8.3
8.4 8.5 8.6
脉冲传递函数
离散系统数学模型 离散系统性能分 数字控制器设计
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8.1
一、连续系统与离散系统
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绪言
连续系统：系统中各处的信号都是时间的连续函数。 离散系统：系统中有一处或多处的信号是离散信号。 连续信号：在时间上连续，在幅值上也连续的信号。 离散信号：信号在时间上是离散的脉冲系列。离散信号是通过 对连续信号采样得到的，故又称采样信号。
7，差分 后向 前向 Z[x(k +1) − x(k)] = (z −1) X (z) − zx(0) 8，卷积 Z[x1(t)* x2(t)] = X1(z)X2(z)
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（三）留数计算法 若连续函数f(t)的拉氏变换式F(s)及其全部极点 pi为已知，则可用留数计算法求其z变换。计算公式： n n z * F ( z ) = Z [ f (t )] = ∑ res[ F ( pi ) ] = ∑ Ri pi T z−e i =1 i =1 z z Ri = res[ F ( pi ) ] F ( pi ) 在 s = pi 的留数 pi T pT z−e z −e 留数计算公式： 当F(s)具有一阶极点 s = p1 时
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【例1】求单位阶跃函数的z变换 解：对单位阶跃函数有 f(nT)=1 故
Z [1(t )] = f (0) + f (T ) z + f (2T ) z + ... + f (nT ) z = 1 + z + z + ... + z 1 z = = −1 1− z z −1
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6.2 z变换和z反变换
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传递函数是分析线性连续系统的有力工具，但对序列u*(t) 和零阶保持器的拉氏变换表明：在离散系统中沿用传统的拉氏 变换为分析工具在运算中会出现s的超越函数，带来不便，采 用z变换则可避免这一问题。
一、z变换的定义
L[x*(t)] = ∑x(kT)e−kTs = X *(s)
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零阶保持器的传 递函数为：
1 − e −Ts Gh ( s) = s
b)一阶保持器 一阶保持器是按照线性规律外推的保持器，其输出信 号如图所示。
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F * ( s ) = f (0) *1 + f (T )e −Ts + f (2T )e −2Ts + ... + f (nT )e− nTs + ...
F ( z ) = f (0) + f (T ) z −1 + f (2T ) z −2 + ... + f (nT ) z − n + ...
−1 −2 −n
−1
−2
−n
+ ...
+ ...
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【例2】求 f (t ) = e − at 的z变换 解： f * (t ) = f (nT ) = e − anT
F ( z ) = f (0) + f (T ) z −1 + f (2T ) z −2 + ... + f (nT ) z − n + ... = 1 + e − aT z −1 + e −2 aT z −2 + ... + e − naT z − n + ... = 1 1− e
四、数字控制的优点： 1，占用空间小； 2，成本低； 3，灵敏、抗干扰性强； 4，方便控制算法的重构与复用。 在离散控制系统的分析中为方便起见引入以下 假设： 1，定时采样和A/D转换相当于一个每隔T秒瞬时 接通一次的理想采样开关，采样时间为0，周 期为T。 2，D/A相当于保持器，将数字信号变为连续信 号。本课程中假设保持器均为0阶保持器
e* (t ) = e(t )∑ δ (t − nT ) = ∑ e(nT )δ (t − nT )
n =0 n=0 ∞ ∞
其拉氏变换为：
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L[e* (t )] = E * ( s ) = ∑ e(nT )e− nTs
n=0
∞
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二、采样过程与采样定理 将连续信号变为离散信号的过程称为采样过程，这 一过程是通过采样开关来实现的。
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采样开关每经过一定的时间T闭合一次，每次闭合的 时间为 ε ， ε < T ，T为采样周期。
1 fs = T
采样频率 ω s = 2π f s = 2π 采样角频率
T
由于采样持续时间 ε 远小于采样周期T，故可以认 为 ε → 0 ，理想采样器。 采样过程可以看作一个脉冲调制过程，它能产生单 位脉冲系列 δ (t ) ，用数学公式表达则为：
T
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δ T (t ) =
Z[x(t + mT)] = zm[ X (z) − ∑X (k)z−k ]
3，初值 4，终值
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x(0) = lim X (z)
z→∞
z→ 1
k =0
x(∞) = lim (z −1) X (z) = lim (1− z−1) X (z)
z→ 1
（只有 k →∞ 5，复位移
i
z R1 = lim ( s − p1 )[ F ( s ) ] sT s → p1 z−e
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当F(s)具有q阶重极点时，留数计算公式为：
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【例4】求 cos ω t 解：F ( s) = s =
s2 + ω 2
1 d q −1 z q R= lim q −1 [( s − p ) F ( s ) ] sT s → p ds (q − 1)! z−e
换为
z Ai z − e pi T
所以可得
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z F ( z ) = ∑ Ai z − e pi T i =1
s域 时域 z域
n
n
部分分式
ai G(s) = ∑ , s + pi i= 1
ai ai − pi t ⇔ aie ⇔ s + pi 1− e− piT z−1
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时x(k)收敛情况下才能应用）
Z[x(t)e±αt ] = X (zemαT )
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6，复微分
dX (z) Z[tx(t)] = −Tz dz
z −1 Z[x(k) − x(k −1)] = X (z) − z X (z) = X (z) z
−1
s z 1 z R2 = [ ] = sT s = − jω s − jω z − e 2 z − e − jω T
20122012-3-2 z z F ( z ) = R1 + R2 = [ + ] = ... jω T − jω T 2 z −e z −e
通分、化简
k =0 ∞
若令 z = e
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Ts 或
1 s = ln z ，则 T
X (z) = Z[x (t)] = ∑x(kT)z−k
* k =0
∞
这是一种由s平面到z平面的保角变换，可视为拉氏变 换的一种特殊形式。
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二、z变换的求法 （一）级数求和法 f * (t )展开如下 将离散函数
− aT
z
−1
z = − aT z−e
z>e
− aT
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（二）部分分式法 若函数f(t)的拉氏变换可以展开位部分分式的形式
Ai F ( s) = ∑ i =1 s − pi