离散控制系统及Z变换(补充)
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离散时间信号、系统和Z变换
冲激信号的强度压缩到原信号的1/2。
第二章信号分析和处理基础
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序 列用 y(n) 表示。设运算关系用 T ［· ］ 表示，输出与输入之间关 系用下式表示：
y(n)=T［x(n)］
其框图如图所示:
在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统，因为很多物 理过程可用这类系统表征。
e j(ω +2πM)n= e jω n,
0 0
M=0,〒1,〒2…
复指数序列具有以2π为周期的周期性。
指数信号
表达式：
f (t ) K e
直流(常数) 指数衰减
指数增长
t
f (t )
0
K
a0 a0 a0
0 0
O
t
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
通常把 称为指数信号的时间常数，记作，代表 信号衰减速度，具有时间的量纲。
设输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即： T[ax1(n)] =3ax1(n)+4;
例2 已知f(t)的波形如图所示，试画出f(-3t-2)的波形
1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4
f(t)
-3
-2
-1
0 f(t-2)
1
2
3
4
-3
-2
-1
0
1 f(3t-2)
2
3
4
-3
-2
-1
0
1 f(-3t-2)
2
列就是时域离散信号。 实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时 nT 代表
第八章-Z变换与离散系统z域分析
第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。
2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。
♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。
《信号、系统与数字信号处理》第五章 Z变换与离散系统的频域分析
同理
sinh0nun
1 2
e0n
e0n
un
1 z
2
z
e0
z z e0
z2
z sinh0 2z cosh0
1
z max e0 , e0
2、双边z变换的移位 n0 0
若 xn X z
RX
z
R X
则 x n n0 z n0 X z
RX
z
R X
证明： Z x n n0
n
xT t nT estdt
n
xnT esnT
n
令 z esT 引入新的复变量， 将上式写为
X s s xnT zn
n
此式是复变量 z 的函数（T 是常数），记为
X z xnzn
n
x 2z2 x 1z x0 x1z1 x2z2
Z xn 2un z2 X z z1x1 x 2
3） 若 xn 为因果序列 xnun X z
则 xn mun zm X z
m0
xn
mun
zm
X
z
m1 k 0
xk
z
k
例5-9 求周期序列的单边z变换
解： 周期序列 xn xn rN
m0
令 n 0 ~ N 1 的主值区序列为 x1 n ，
( z 1)
4、指数序列加权
若 xn X z RX z RX
则 an xn X a1z
RX a 1z RX
证：Z an xn an xnzn
n
xn a1z n X z / a
n
RX a 1z RX
a
R X
z
a
R X
利用
02第二章 离散控制系统及Z变换
一般来说，采样函数的变量直接用k表 示，即f(k)=f(kT)，记作fk，所以
F ( Z ) Z [ f (t )] f (kT ) z k f k z k
k 0 k 0
(2-8)
需要强调几点 • ⑴只有采样函数ƒ*(t)才能定义Z变换。 • ⑵比较下面式（2-9）和式（2-10）表示的 时域内的采样函数及其在“Z”域内的Z变换
• 量化噪音夹杂在输入信号中输入进计算机， 随着计算程序传递到输出量中，会使计算机 控制系统的输出量不平滑。(缺点) • 被控对象总是有惯性的，具有低通滤波性， 能抑制频率较高的噪音。但是若ADC（模数 转换器）位数不够，ｑ较大，输入信号又较 迟缓，就会产生振幅较大、频率较低、被控 对象难以抑制的量化噪音，严重影响输出的 平滑性，因此在选择ADC位数时,不仅要从静 态精度考虑，还要从动态平滑性的角度考虑。
• 2.1.3. 采样信号的复现 • 虽然在时域中采样信号的包络线相当于连 续信号,但在频域中,这两个函数的特性完全 不同. • 采样函数ƒ*(t)在频率域中为一离散型频谱, 除主频谱外,尚包含无穷多个附加高频频谱 分量. 附加的高频频谱分量会使系统元件过 度磨损.因此采样信号在实际计算机运算后 加到被控对象之前,往往经过一种理想滤波 器以滤去附加高频频谱,实际上理想滤波器 是无法实现的,常采用所谓零阶保持器来代 替.
• 2.1.2 量化（幅值的离散，叫量化 DSP） 当我们衡量一个物品的价值时，最小单 位是分，其价值只能是分的整数倍。采样信 号ƒ＊（ｔ）在时间上是离散的，但幅值上仍 是连续的。对采样信号进行编码，用数字量 表示时，也只能用最小单位q（称为最小量 化单位）的整数倍来表示，因此存在“舍” 与“入”的问题。这个过程称为整量化，简 称量化。量化是由A/D转换器实现的。 • A/D转换器有两种整量化方法。一种是“只 舍不入”，另一种是“有舍有入”。由于前 者误差大，因此大部分A/D转换器采用有舍 有入的方法。图2-4给出了量化过程示意图。
F ( Z ) Z [ f (t )] f (kT ) z k f k z k
k 0 k 0
(2-8)
需要强调几点 • ⑴只有采样函数ƒ*(t)才能定义Z变换。 • ⑵比较下面式（2-9）和式（2-10）表示的 时域内的采样函数及其在“Z”域内的Z变换
• 量化噪音夹杂在输入信号中输入进计算机， 随着计算程序传递到输出量中，会使计算机 控制系统的输出量不平滑。(缺点) • 被控对象总是有惯性的，具有低通滤波性， 能抑制频率较高的噪音。但是若ADC（模数 转换器）位数不够，ｑ较大，输入信号又较 迟缓，就会产生振幅较大、频率较低、被控 对象难以抑制的量化噪音，严重影响输出的 平滑性，因此在选择ADC位数时,不仅要从静 态精度考虑，还要从动态平滑性的角度考虑。
• 2.1.3. 采样信号的复现 • 虽然在时域中采样信号的包络线相当于连 续信号,但在频域中,这两个函数的特性完全 不同. • 采样函数ƒ*(t)在频率域中为一离散型频谱, 除主频谱外,尚包含无穷多个附加高频频谱 分量. 附加的高频频谱分量会使系统元件过 度磨损.因此采样信号在实际计算机运算后 加到被控对象之前,往往经过一种理想滤波 器以滤去附加高频频谱,实际上理想滤波器 是无法实现的,常采用所谓零阶保持器来代 替.
• 2.1.2 量化（幅值的离散，叫量化 DSP） 当我们衡量一个物品的价值时，最小单 位是分，其价值只能是分的整数倍。采样信 号ƒ＊（ｔ）在时间上是离散的，但幅值上仍 是连续的。对采样信号进行编码，用数字量 表示时，也只能用最小单位q（称为最小量 化单位）的整数倍来表示，因此存在“舍” 与“入”的问题。这个过程称为整量化，简 称量化。量化是由A/D转换器实现的。 • A/D转换器有两种整量化方法。一种是“只 舍不入”，另一种是“有舍有入”。由于前 者误差大，因此大部分A/D转换器采用有舍 有入的方法。图2-4给出了量化过程示意图。
第六章 线性离散系统与Z变换
* (t ) xi* (t ) y* (t )
1 fs （6.2） T0 2π s （6.3） T0
在一般情况下，
图6.1中两个采样器的动 作是同步的，因此可等 效为如图6.3所示的系统 方块图。 在离散控制系 统中最常用的离散 系统是数字控制系 统，它是通过数字 图6.3 离散系 统简化方框图
( nT0 )1(t nT0 ) 1(t nT0 h )
n 0
(6.5)
式中， (t nT0 ) 1(t nT0 h)是表示发生在 nT0 时刻上宽度 1 为 h ，高度为1，即面积为 h 的方块波。当采样持续时间远远 小于采样周期 T0 ，也远远小于采样器后面低通滤波器（或离散 系统的连续部分）的时间常数时，则可近似认为采样持续时间 h 趋向于零。此时，上述方波序列 可近似用宽度为无穷小，幅度为无穷大，面积为1的单位脉冲序 列
(t nT0 )dt 1
（6.7）
* (t )
* *
由于 (t ) (t ) , 则上式可以写成
n
(nT ) (t nT )
0 0
(6.8)
* (t )
n
(nT ) (t nT )
0 0
由式(6.8)可知，离散偏差信号 (t ) 是由一系列脉冲组成， 在数学上表现为两个函数的乘积，其中由于单位脉冲函数的面积 为1 ，它不表示采样脉冲的面积，只表示采样脉冲发生的采样 时刻 nT0 ，采样脉冲的面积（或强度）是由采样时刻的函数值 * ( nT0 )(t nT0 ) 来确定的。因此，离散偏差信号 (t ) 是在采样时刻 nT0 n * 上强度为 ( nT0 )的脉冲序列。在数字控制系统中，数字序列可 (t ) (t nT0 ) n 以看成是由数字描述的脉冲序列。 根据理想单位脉冲函数的定义，式(6.8)还可以写成如下形式
离散系统Z变换分析法02
3.闭环 Z 传递函数的结构图1
闭环 Z 传递函数的结构图2
2.5.4 过渡过程特性
与连续系统用传递函数分析过渡过程类 似，可以用 Z传递函数来分析离散系统的过 渡过程特性。 • 分析离散系统的过渡过程特性的步骤： • • 1）Y（Z）=GC（Z）R（Z）
•
•
2）由Y(Z)求出y(kT)
例题12 例题12
2. 开环 Z 传递函数 • 线件离散系统的开环 Z传递函数 跟连续系统的开环传递函数具有类似 的特性。
串联环节的Z传递函数
例题9
z az , G2 ( z ) = , 设图2 − 10 a）中G1 ( z ) = （ − aT z −1 z −e 试求开环Z传递函数G ( z )。 z az 解：G ( z ) = G1 ( z )G2 ( z ) = z − 1 z − e − aT az 2 = ( z − 1)( z − e − aT )
（1）离散系统稳定的充要条件（时域） 设：系统差分方程
c(k ) + a1c(k − 1) + a2 c(k − 2) + L + an c(k − n) = b0 r (k ) + b1r (k − 1) + L + b0 r (k − m)
系统齐次方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c(k ) + a1c(k − 1) + a2 c(k − 2) + L + an c(k − n) = 0
−1 −1 −Ts
1 1 )( − )] s s+a
= 1(t ) − 1(t − T ) − e − at + e − a ( t −T ) 对y (t )采样，离散化后，得 y (kT ) = 1(kT ) − 1(kT − T ) − e −akT + e − a ( kT −T ) 则 HG ( z ) = Z [ y (kT )] z 1 z 1 1 − e − aT = − − − = − aT − aT z −1 z −1 z − e z−e z − e −aT
DSP实验报告--离散时间信号与系统的时、频域表示-离散傅立叶变换和z变换-数字滤波器的频域分析和实现-数字
南京邮电大学实验报告实验名称：离散时间信号与系统的时、频域表示离散傅立叶变换和z变换数字滤波器的频域分析和实现数字滤波器的设计课程名称数字信号处理A(双语) 班级学号B13011025姓名陈志豪开课时间2015/2016学年，第1学期实验名称：离散时间信号与系统的时、频域表示实验目的和任务：熟悉Matlab基本命令，理解和掌握离散时间信号与系统的时、频域表示及简单应用。
在Matlab环境中，按照要求产生序列，对序列进行基本运算；对简单离散时间系统进行仿真，计算线性时不变（LTI）系统的冲激响应和卷积输出；计算和观察序列的离散时间傅立叶变换（DTFT）幅度谱和相位谱。
实验内容：基本序列产生和运算：Q1.1～1.3，Q1.23，Q1.30～1.33离散时间系统仿真：Q2.1～2.3LTI系统：Q2.19，Q2.21，Q2.28DTFT：Q3.1，Q3.2，Q3.4实验过程与结果分析：Q1.1运行程序P1.1，以产生单位样本序列u[n]并显示它。
clf;n = -10:20;u = [zeros(1,10) 1 zeros(1,20)];stem(n,u);xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');title('Unit Sample Sequence');axis([-10 20 0 1.2]);Q1.2 命令clf，axis，title，xlabel和ylabel命令的作用是什么？答：clf命令的作用：清除图形窗口上的图形；axis命令的作用：设置坐标轴的范围和显示方式；title命令的作用：给当前图片命名；xlabel命令的作用：添加x坐标标注；ylabel c命令的作用：添加y坐标标注；Q1.3修改程序P1.1，以产生带有延时11个样本的延迟单位样本序列ud[n]。
运行修改的程序并显示产生的序列。
clf;n = -10:20;u = [zeros(1,21) 1 zeros(1,9)];stem(n,u);xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');title('Unit Sample Sequence');axis([-10 20 0 1.2]);Q1.23修改上述程序，以产生长度为50、频率为0.08、振幅为2.5、相移为90度的一个正弦序列并显示它。
02第二章 离散控制系统及Z变换
• ⑸根据计算机的精度。在用积分作用消除静 差的系统中，如果Ｔ过小，T 可能太小，当
Ti T 偏差ek小于一定值时， ek就可能受到计算 Ti
T Ti
精度限制而始终为0，使积分作用失去作用，
从而不能消除静差；此外如果Ｔ太小，再加
上计算机字长有限，前后两次采样值可能没
有什么变化，从而使ek-ek-l，甚至ek-2ekl+ek-2为0，从而削弱PID算式的作用。所以
过小也是不行的。
• 影响选择采样周期的上述诸因素，对采样周 期的要求是不同的，有时是矛盾的，因此在 选择采样周期时，应根据实际情况和主要要 求折衷考虑。表2-1是常用被控制量的经验 采样周期。
表2-1 常见被控量的经验采样周期
被控制量
流量 压力 液位 温度 成分
采样周期T（秒）
1~5 3~5 6~8 10~15 15~20 优选1~2
的相位移，相当于系统增加了一个延迟的时
间为T/2的延迟环节，使系统的总相位滞后
变大，增加不稳定因素，校正变得较为困难。
2.2 Z 变换
• 2.2.1 采样函数的拉氏变换
在连续控制系统中，运用拉氏变换法， 可以把复杂的微分方程变成简单的代数方程. 因此分析离散控制系统时，我们仍然希望借 助拉氏变换这一有力工具。
• 本章首先引入采样与量化的概念，然后介绍 分析离散系统的数学工具——Z变换，再介 绍应用Z变换分析研究离散系统的方法。
2.1 离散系统的基本概念
2.1.1 采样和采样定理 1．采样过程 计算机控制生产过程，只能每隔一定时间 进行一次控制循环。在每一次循环中，首先 输入信息，即将模拟信号加到模/数转换器 上，转换成数字信号并输入计算机，然后执 行控制程序，计算出控制量，然后输出，如 图2-1。
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n 0
对上式两边取拉氏变换，令 F (s) L[ f * (t )] 则
F ( s) L[ f (t )] f (nT )L[ (t nT )] f (nT )e
* n 0 nTs n 0 n 0
令z e
Ts
1 ，解得 s ln z ，则 T
f*(t)
f(t) K T
f*(t)
由采样过程知，连续信号与采样信号分别是采样开关 的输入/输出信号，则有
f (t ) f (t ) T (t ) f (t ) (t nT ) f (nT ) (t nT )
* n 0 n 0
3、零阶保持器的数学表示(zero-order holder) 保持器有零阶保持器、一阶保持器、二阶保持器等。 实际中，用的最多的是零阶保持器。其图如下 由图得，零阶保持器的数学表示为：
F ( z ) F ( s) s 1 ln z f (nT )z n
T n 0
定义：F ( z ) Z [ f * (t )] L[ f * (t )]
几点说明：
1 s ln z T
f (nT ) z n
n 0
1、Z变换定义是关于z的幂级数。只有当级数 收敛时，才称为采样函数的Z变换。
6、被控量的性质(quality
of object)
如温度对象，热惯性较大，反映较慢，调节不宜过 于频繁，可选择较大的采样周期，而对于流量对象， 变化迅速，反映快，则选择较小的采样周期。 常见被控对象的采样周期经验值如下表：
被控量 采样周期 流量 1～5s 压力 3～10s 液位 6～8s 温度 10～20s 位置 电流环 速度环
f (t )
g (t )
f (t )
g (t )
0
T
2T
3T
t
3、Z变换的物理意义表现在延迟性上。
F ( z) f (nT ) z f (0) z f (T ) z f (2T ) z f (nT ) z
n 0 1 2 n n 0
n n f ( nT ) f ( nT ) z 上式中，通项 ，由 决定幅值， 决 z 定时刻，称 z 1为位移(延迟)算子,n为位移量。
K 若对象为 G p ( s) ，一般取 T 0.1T0 T0 s 1 T (1.2 ~ 0.35) ,0.1 T 0 1 若对象为 Ke s ， G p (s) T0 s 1 T (0.35 ~ 0.22) ,1 T 0 10
3、给定值的变化频率（variety
三、Z变换的求法(Z transform methods ) 1、级数求和法(series summing)
(1)展开采样函数(expanding)
f * (t ) f (nT ) (t nT ) f (0) (t ) f (T ) (t T )
n 0
f (2T ) (t 2T ) f (nT ) (t nT )
脉冲传递函数（pulse transfer function） 离散系统稳定性判据(stability criterion)
§4.1 离散控制系统的理论基础
一、 信号的基本形式(basic form of signal)
1)连续信号 (continuous )
2）采样信号sampling
3）采样保持信号(sampling holding)
(2)求拉氏变换(transforming)
F (s) f (0) f (T )e Ts f (2T )e 2Ts f (nT )e nTs
(3)令 z e
Ts
F ( z ) f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (nT ) z n
二、信号的数学表示(math form of signal )
1、理想采样开关的数学表示
(t ) 单位脉冲函数是一个幅值为1， 1
宽度为0的脉冲量，图形表示 如右，
1, t 0 其数学表达式为 (t ) 0 t 0
0
t
由于理想采样开关的闭合时间很短， 1 所以图中其波形看作是一个有强度、 无宽度的脉冲序列，其数学表达式 t 为 0 T 2T 3T 4T (t ) (t nT )
F ( s) 1 e Ts e 2Ts e nTs
令 z eTs
F ( z) 1 z z
1 2
z
n
1 z ( 当 z 1 ) 1 z 1 z 1
例2 求 f (t ) e at 的Z变换
解：因 f (nT ) e anT
(4)然后按级数的性质写出级数的和函数 例1 求单位阶跃函数 f (t ) 1(t )的Z变换 解：因 f (nT ) 1 故 f (t ) f (nT ) (t nT ) (t nT )
* n 0 n 0
(t ) (t T ) (t 2T ) (t nT ) ห้องสมุดไป่ตู้ 求拉氏变换得
线性连续控制系统 微分方程 拉普拉斯变换 传递函数 状态方程 线性离散控制系统 差分方程 Z变换 脉冲传递函数 离散状态方程
§4.2.1 Z变换(Z transform）
一、定义（definition）
由前面得，采样信号得数学表达式为：
f * (t ) f (nT ) (t nT )
2、Z变换是针对采样函数f * (t ) 而言。即是说Z变 换由采样函数决定，它只对采样点有意义，反 映的是采样时刻的信息，对非采样时刻不关心。
故Z变换与采样函数是一一对应的。
F ( z ) G( z )
f * (t ) g * (t ) f (t ) g (t )
* f 上述关系说明：一个采样函数 (t ) 对应一个Z变换， 一个Z变换对应一个采样函数, 但是由于一个采样函 数 f * (t ) 可对应无穷多的连续函数 ,因为采样函数只是 考查得一些离散点的值。如下图所示：
f * (t ) f (nT ) (t nT ) e anT (t nT )
n 0 n 0
(t ) e aT (t T ) e 2aT (t 2T ) e anT (t nT )
F ( s) 1 e
第四章
离散控制系统及Z变换
discrete control system and Z transform）
离散控制系统的理论基础(basic theory)
Z变换及Z反变换(Z transform & Z inverse transform)
差分方程(difference equation)
4）数字信号(digital)：用量化单位q来度量采
样信号幅值后所得的信号。如图d
量化
图d
因此，一个计算机控制系统包括四种信号：连 续信号、采样信号、采样保持信号、数字信号。
整个计算机控制系统信号变换过程如下：
模拟信号 采样 经采样开关 模拟信号 采样保持信号 采样信号 经D/A转换 数字信号 经A/D转换器量化
T
n 0
T (t ) (t nT )
其中
1
1, t nT (t nT ) (n 0,1,2,) 0 t nT
n 0
t 0 T 2T 3T 4T
2、采样信号的数学表示
* f ( t ) f 连续信号用 表示，采样信号用 (t ) 表示。
f(t) K T
1. 系统动态指标（dynamic
一般取 T (1 15 ~ 1 4)t s
criterion）
time)为过渡时间（调节时间）:被 控量进入偏离稳态值的误差为±5％(或±2％)的 范围并且不再越出这个范围所需的时间。
t s (settling
2、系统的动态特性（dynamic
character）
经保持
量化、保持功能由A/D转换器完成，采样开关为软开关，由程 序的脉冲序列完成，故整个计算机控制系统信号变换过程等效 如下：
y (t )
y * (t )
A/ D
y(kT ) - +
数字信号
r (kT )
D( z )
u (kT )
u (t ) G ( s) D/ A p
模拟信号
模拟信号 采样信号
数字信号
t 0 n0 z
5、终值定理(finial value theorem)
f () lim f (t ) lim f (nT ) lim (1 z ) F ( z ) lim ( z 1) F ( z )
t n z 1 z 1 * 1
常见函数的Z变换表如下
f (t )
F (s)
1
1 s 1 s2 1 s3 1 s (1 / T ) ln a
(t )
1(t ) t
1 2 t 2
F ( z) 1
z z 1 Tz ( z 1) 2
a k (a t / T )
e
at
1 e at
1 sa 1 s( s a)
T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3 z za z z e aT (1 e aT ) z ( z 1)(z e aT )
二、Z变换的性质(character)
1、线性性质
* * * * Z[af1 (t ) b1 f 2 (t )] aZ[ f1 (t )] bZ[ f 2 (t )] aF1 ( z) bF2 ( z)
对上式两边取拉氏变换，令 F (s) L[ f * (t )] 则
F ( s) L[ f (t )] f (nT )L[ (t nT )] f (nT )e
* n 0 nTs n 0 n 0
令z e
Ts
1 ，解得 s ln z ，则 T
f*(t)
f(t) K T
f*(t)
由采样过程知，连续信号与采样信号分别是采样开关 的输入/输出信号，则有
f (t ) f (t ) T (t ) f (t ) (t nT ) f (nT ) (t nT )
* n 0 n 0
3、零阶保持器的数学表示(zero-order holder) 保持器有零阶保持器、一阶保持器、二阶保持器等。 实际中，用的最多的是零阶保持器。其图如下 由图得，零阶保持器的数学表示为：
F ( z ) F ( s) s 1 ln z f (nT )z n
T n 0
定义：F ( z ) Z [ f * (t )] L[ f * (t )]
几点说明：
1 s ln z T
f (nT ) z n
n 0
1、Z变换定义是关于z的幂级数。只有当级数 收敛时，才称为采样函数的Z变换。
6、被控量的性质(quality
of object)
如温度对象，热惯性较大，反映较慢，调节不宜过 于频繁，可选择较大的采样周期，而对于流量对象， 变化迅速，反映快，则选择较小的采样周期。 常见被控对象的采样周期经验值如下表：
被控量 采样周期 流量 1～5s 压力 3～10s 液位 6～8s 温度 10～20s 位置 电流环 速度环
f (t )
g (t )
f (t )
g (t )
0
T
2T
3T
t
3、Z变换的物理意义表现在延迟性上。
F ( z) f (nT ) z f (0) z f (T ) z f (2T ) z f (nT ) z
n 0 1 2 n n 0
n n f ( nT ) f ( nT ) z 上式中，通项 ，由 决定幅值， 决 z 定时刻，称 z 1为位移(延迟)算子,n为位移量。
K 若对象为 G p ( s) ，一般取 T 0.1T0 T0 s 1 T (1.2 ~ 0.35) ,0.1 T 0 1 若对象为 Ke s ， G p (s) T0 s 1 T (0.35 ~ 0.22) ,1 T 0 10
3、给定值的变化频率（variety
三、Z变换的求法(Z transform methods ) 1、级数求和法(series summing)
(1)展开采样函数(expanding)
f * (t ) f (nT ) (t nT ) f (0) (t ) f (T ) (t T )
n 0
f (2T ) (t 2T ) f (nT ) (t nT )
脉冲传递函数（pulse transfer function） 离散系统稳定性判据(stability criterion)
§4.1 离散控制系统的理论基础
一、 信号的基本形式(basic form of signal)
1)连续信号 (continuous )
2）采样信号sampling
3）采样保持信号(sampling holding)
(2)求拉氏变换(transforming)
F (s) f (0) f (T )e Ts f (2T )e 2Ts f (nT )e nTs
(3)令 z e
Ts
F ( z ) f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (nT ) z n
二、信号的数学表示(math form of signal )
1、理想采样开关的数学表示
(t ) 单位脉冲函数是一个幅值为1， 1
宽度为0的脉冲量，图形表示 如右，
1, t 0 其数学表达式为 (t ) 0 t 0
0
t
由于理想采样开关的闭合时间很短， 1 所以图中其波形看作是一个有强度、 无宽度的脉冲序列，其数学表达式 t 为 0 T 2T 3T 4T (t ) (t nT )
F ( s) 1 e Ts e 2Ts e nTs
令 z eTs
F ( z) 1 z z
1 2
z
n
1 z ( 当 z 1 ) 1 z 1 z 1
例2 求 f (t ) e at 的Z变换
解：因 f (nT ) e anT
(4)然后按级数的性质写出级数的和函数 例1 求单位阶跃函数 f (t ) 1(t )的Z变换 解：因 f (nT ) 1 故 f (t ) f (nT ) (t nT ) (t nT )
* n 0 n 0
(t ) (t T ) (t 2T ) (t nT ) ห้องสมุดไป่ตู้ 求拉氏变换得
线性连续控制系统 微分方程 拉普拉斯变换 传递函数 状态方程 线性离散控制系统 差分方程 Z变换 脉冲传递函数 离散状态方程
§4.2.1 Z变换(Z transform）
一、定义（definition）
由前面得，采样信号得数学表达式为：
f * (t ) f (nT ) (t nT )
2、Z变换是针对采样函数f * (t ) 而言。即是说Z变 换由采样函数决定，它只对采样点有意义，反 映的是采样时刻的信息，对非采样时刻不关心。
故Z变换与采样函数是一一对应的。
F ( z ) G( z )
f * (t ) g * (t ) f (t ) g (t )
* f 上述关系说明：一个采样函数 (t ) 对应一个Z变换， 一个Z变换对应一个采样函数, 但是由于一个采样函 数 f * (t ) 可对应无穷多的连续函数 ,因为采样函数只是 考查得一些离散点的值。如下图所示：
f * (t ) f (nT ) (t nT ) e anT (t nT )
n 0 n 0
(t ) e aT (t T ) e 2aT (t 2T ) e anT (t nT )
F ( s) 1 e
第四章
离散控制系统及Z变换
discrete control system and Z transform）
离散控制系统的理论基础(basic theory)
Z变换及Z反变换(Z transform & Z inverse transform)
差分方程(difference equation)
4）数字信号(digital)：用量化单位q来度量采
样信号幅值后所得的信号。如图d
量化
图d
因此，一个计算机控制系统包括四种信号：连 续信号、采样信号、采样保持信号、数字信号。
整个计算机控制系统信号变换过程如下：
模拟信号 采样 经采样开关 模拟信号 采样保持信号 采样信号 经D/A转换 数字信号 经A/D转换器量化
T
n 0
T (t ) (t nT )
其中
1
1, t nT (t nT ) (n 0,1,2,) 0 t nT
n 0
t 0 T 2T 3T 4T
2、采样信号的数学表示
* f ( t ) f 连续信号用 表示，采样信号用 (t ) 表示。
f(t) K T
1. 系统动态指标（dynamic
一般取 T (1 15 ~ 1 4)t s
criterion）
time)为过渡时间（调节时间）:被 控量进入偏离稳态值的误差为±5％(或±2％)的 范围并且不再越出这个范围所需的时间。
t s (settling
2、系统的动态特性（dynamic
character）
经保持
量化、保持功能由A/D转换器完成，采样开关为软开关，由程 序的脉冲序列完成，故整个计算机控制系统信号变换过程等效 如下：
y (t )
y * (t )
A/ D
y(kT ) - +
数字信号
r (kT )
D( z )
u (kT )
u (t ) G ( s) D/ A p
模拟信号
模拟信号 采样信号
数字信号
t 0 n0 z
5、终值定理(finial value theorem)
f () lim f (t ) lim f (nT ) lim (1 z ) F ( z ) lim ( z 1) F ( z )
t n z 1 z 1 * 1
常见函数的Z变换表如下
f (t )
F (s)
1
1 s 1 s2 1 s3 1 s (1 / T ) ln a
(t )
1(t ) t
1 2 t 2
F ( z) 1
z z 1 Tz ( z 1) 2
a k (a t / T )
e
at
1 e at
1 sa 1 s( s a)
T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3 z za z z e aT (1 e aT ) z ( z 1)(z e aT )
二、Z变换的性质(character)
1、线性性质
* * * * Z[af1 (t ) b1 f 2 (t )] aZ[ f1 (t )] bZ[ f 2 (t )] aF1 ( z) bF2 ( z)