《自动控制原理》第七章 离散控制系统
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k 0
若 | z | 1 ，则可写成闭合形式：
E( z) 1 z 1 az 1 z a
a
2.部分分式法
将连续时间函数 e(t ) 的拉氏变换 E ( s) 展开成部分分式之和的形式，即
n An A A1 A2 E ( s) i s p1 s p2 s pn i 1 s pi
| z 1 | 1 ，则级数收敛，可写成如下闭合形式：
1 z 1 z 1 z 1
e(t ) eat (a 0) 的z变换。 例7-2 试求衰减指数函数
解：将 e at 在各采样时刻上的采样值代入展开式，得
E ( z ) e akT z k 1 e aT z 1 e2aT z 2 e kaT z k
第7章 离散控制系统
教学重点
了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握 线性连续系统与线性离散系统的区别与联系； 熟练掌握Z变换的方法、Z变换的性质和Z反变换； 了解差分方程的定义，掌握差分方程的解法； 了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环 系统脉冲传递函数的计算方法； 与线性连续系统相对应，掌握线性离散系统的时 域和频域分析方法和原则。
则
e (t ) 1(kT ) (t kT ) (t kT )
* k 0 k 0
为一理想单位脉冲序列，因此
E ( z ) 1(kT ) z k 1 z 1 z 2 z k
k 0
上式为一个等比级数，若满足
E( z)
例7-5 利用部分分式法求取正弦函数 sin t 的z变换。 解：已知正弦函数 sin t 的拉氏变换为 2 2 ，将其分解成部分分式之和的 s 形式，得 1 1 L[sin t ] 2 s 2 2 j ( s j ) 2 j ( s j ) 利用拉氏反变换求出
k 0
式（7-2）也可写作
。
e (t ) e(t ) (t kT )
k 0
因此，采样过程从物理意义上可以看作是脉冲调制过程。此时，采样开关 相当于理想单位脉冲发生器的作用，通过它将连续信号
e(t ) 调制成脉冲序列。
从频率特性的角度看：
假设连续信号e(t ) 的频率特性为 如图7-5所示。
最高角频率为 max ，则只要采样角频率 s 满足： s 2max
f 或采样频率 f s 满足： s 2 fmax 则通过理想滤波器，由采样得到
的离散信号能够可以不失真地恢复为原连续信号。 采样定理给出了采样频率下限的选取规则，对于采样频率的上限，要依据易 实现性和抗干扰性来统一确定。
在采样控制系统中，把连续信号 e(t ) 转化为脉冲序列 e (t ) 的过程称为采样。 如图7-2所示。
T —采样周期
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f s 1/ T —采样频率
s 2 f s 2 / T
—采样角频率 图7-2 采样过程
2.信号复现
在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现。实 现复现过程的装置称为保持器。 最简单的保持器是零阶保持器，它将脉冲序列 e (t ) 复现为阶梯信号 eh (t ) 如图7-3所示。
E (s) a 1 1 s( s a) s s a
然后对上式逐项求取拉氏反变换，得
e(t ) 1(t ) eat
根据求得的时间函数再逐项写出相应的z变换，得
z z z (1 e aT ) E( z) 2 aT z 1 z e z (1 e aT ) z e aT
k 0
对于零阶保持器，在任意时刻kT 输入单位脉冲信号 (t kT ) ,其单位脉冲响应 为一个幅值为1的矩形方波。如图7-9所示。
零阶保持器的频率特性为
图7-9 零阶保持器的时域特性 T
1 e jT Gh ( j ) T j sin 2 e j T 2
T
e* (t ) e(kT ) (t kT )
k 0
进行拉氏变换可得 E (s) L[e (t )] e(kT )e 得到以 z 为变量的函数 E ( z )，即
* * k 0
kTs
，引入一个新变量 z ，即
e* (t )
z eTs
E ( z ) E* ( s) e( kT ) z k
e (t ) e(0)[1(t ) 1(t )] e(T )[1(t T ) 1(t T )] e(kT )[1(t kT ) 1(t kT )] e(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]
的拉氏变换为
1 即 | E ( j ) | | E ( j jks ) | T k
如图7-6所示
图7-6 采样信号频谱（s 2max 时）
图7-7 采样信号频谱（s 2max 时）
7.2.2 采样定理
如果被采样的连续信号 e(t ) 的频谱具有有限带宽，且频谱的 香农采样定理：
7.1.1 采样控制系统
一般来说，采样控制系统是对传感器所采集的连续信号在某些规定的时间 上取值，然后通过对这些值的比较、计算和输出，来达到控制目标的系统。 采样控制系统结构构成：主要由采样器、数字控制器、保持器、执行器、 被控对象和测量变送器构成，如图7-1所示。
图7-1 采样控制系统方框图
1.信号采样
E( z) e(0) e(T ) z 1 e(2T ) z 2 e(nT ) z n
例7-1 试求单位阶跃函数 e(t ) 1(t ) 的z变换。
解：因为单位阶跃函数 e(t ) 1(t ) 在所有采样时刻上的采样值均为1，即
e(kT ) 1, k 0,1, 2,
1.A/D转换器
A/D转换器是把连续的模拟信号转换为离散数字信号的装置。A/D转换包括 采样过程和量化过程。
采样过程 是每隔 T 秒对连续信号 e(t ) 进行一次采样，得到采样信号e (t )。 量化过程 是计算机中任何数值都用二进制表示，因此，幅值上连续的离散 信号e (t ) 须经过编码表示成最小二进制数的整数倍，成为离散数字
由拉氏反变换可得原时间函数： 直接对上式进行z变换，得
e(t ) Ai e pit
i 1
n
E( z)
i 1
n
Ai z z e piT
a
例7-4 已知连续时间函数 e(t ) 的拉氏变换为E (s) s(s a) ，试求其z变换。 解：首先将 E ( s) 展开成部分分式的形式：
似性。利用z变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和方 法，推广应用于离散系统。
离散系统与连续系统相比，既有本质上的不同，又有分析研究方法的相
本章内容：主要介绍线性离散系统的分析方法。
首先给出信号采样和保持的数学描述。 然后介绍z变换理论与性质以及脉冲传递函数。 接着研究线性离散系统稳定性、稳态误差、动态性能的分析方法， 并介绍最少拍系统的设计方法。 最后介绍如何利用MATLAB进行线性离散系统的分析。
一阶保持器的幅频特性和相频特性曲线， 如图7-13所示。
图7-13 一阶保持器的幅频特性与相频特性
7.3 z变换理论
Z变换是从拉氏变换引申出来的一种变换方法，是研究线性离散系统的 重要数学工具，因此又称为离散拉氏变换。
7.3.1 z变换的定义
连续时间函数
e(t )
* 经采样周期为T 的采样开关后，得到采样信号 e (t )，即
k 0
式中， ( z ) 称为离散信号e* (t ) 的z变换，记为 E( z) Z[e* (t )] E
7.3.2 z变换的方法
常用的求取离散函数的z变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法。
1.级数求和法
根据z变换的定义，将连续信号 e(t ) 按周期 T 进行采样，级数展开可得
7.1 离散控制系统的基本概念
1.连续系统：如果控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数，也就 是说，这些信号在全部时间上都是已知的，则这样的系统称为 连续时间系统，简称连续系统。
2.离散系统：如果控制系统中有一处或几处信号是脉冲序列或数码，则这样 的系统称为离散时间系统，简称离散系统。 包括 采样控制系统：系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统， 称为采样控制系统或脉冲控制系统。 数字控制系统：把数字序列形式的离散系统，称为数字控制系 统或计算机控制系统。 注：在理想采样及忽略量化误差情况下，数字控制系统近似于采样控制 系统，将它们统称为离散系统。 这使得采样控制系统与数字控制系统的分析与校正在理论上统一。
图7-10 零阶保持器的幅频特性与相频特性
2.一阶保持器
其外推关系式为
e(kT t ) e(kT ) e(kT ) e[(k 1)T ] t T
一阶保持器的输出波形如图7-11所示。
图7-11 一阶保持器的输出波形
一阶保持器的脉冲响应如图7-12所示。
图7-12 一阶保持器的脉冲响应
7.2.3 信号恢复 1.零阶保持器
零阶保持器是工程实践上最常用的一种保持器，它把采样时刻 kT 的采样 值恒定不变地保持到下一个采样时刻 (k 1)T
。 如图7-8所示。
图7-8 零阶保持器的输出波形
保持器的输出 eh (t ) 与连续输入信号 e(t ) 之间的关系为
eh (kT ) e(kT ){1(t kT ) 1[t (k 1)T ]}
教学难点
离散时间函数的数学表达式及采样定理， 线性常系数差分方程与脉冲传递函数，采 样控制系统的时域分析，采样控制系统的 频域分析。
概述：
近年来，随着脉冲技术、数字式元器件、数字计算机，特别是微处理器
的迅速发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器，比如微型数字 计算机在控制系统中得到了广泛的应用。离散系统理论的发展是非常迅 速的。 因此，深入研究离散系统理论，掌握分析与综合数字控制系统的基 础理论与基本方法，从控制工程特别是从计算机控制工程角度来看，是 迫切需要的。
2
| Gh ( j ) | T
sin
2 T T 0 2
T
( 0) ( ks )
Gh ( j )
T
0 2 k
( 0) ( ks )
绘制幅频特性
| Gh ( j) | 和相频特性Gh ( j)
曲线，如图7-10所示。
图7-3 信号复现过程
7.1.2 数字控制系统
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的 被控对象的闭环控制系统。 其原理方框图如图7-4所示。
图7-4 数字控制系统方框图
过程分析：A/D转换器将连续信号转换成数字序列，经数字控制器处理后生 成离散控制信号，再通过D/A转换器转换成连续控制信号作用于 被控对象。
信号，此过程称为量化过程。
2.D/A转换器
D/A转换器是把离散的数字信号转换为连续模拟信号的装置。包括解码过程 和复现过程。 解码过程就是把离散数字信号转换为离散的模拟信号。
复现过程就是通过保持器，将离散模拟信号复现为连续模拟信号。
7.2 信号的采样与保持 7.2.1 采样过程及其数学描述
由图7-2可写出脉冲序列 e (t ) 的表达式为
e( j ) e(t )e jt dt
，该信号的频谱 | E ( j ) |
图7-5 连续信号频谱
离散信号
e (t )
1 E ( s) E ( s jks ) T k 1 e (t ) 的傅立叶变换为 E ( j ) E ( j jks ) T k
k 0
若|e
aT
z 1 | 1 ，即 | eaT z | 1，则可写成闭合形式：
E( z) 1 1 e aT z 1 z z e aT
例7-3 试求函数 e(t ) a k 的z变换。 解： 将 a k在各采样时刻上的采样值代入展开式，得
E ( z ) a k z k 1 az 1 a 2 z 2 a k z k
若 | z | 1 ，则可写成闭合形式：
E( z) 1 z 1 az 1 z a
a
2.部分分式法
将连续时间函数 e(t ) 的拉氏变换 E ( s) 展开成部分分式之和的形式，即
n An A A1 A2 E ( s) i s p1 s p2 s pn i 1 s pi
| z 1 | 1 ，则级数收敛，可写成如下闭合形式：
1 z 1 z 1 z 1
e(t ) eat (a 0) 的z变换。 例7-2 试求衰减指数函数
解：将 e at 在各采样时刻上的采样值代入展开式，得
E ( z ) e akT z k 1 e aT z 1 e2aT z 2 e kaT z k
第7章 离散控制系统
教学重点
了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握 线性连续系统与线性离散系统的区别与联系； 熟练掌握Z变换的方法、Z变换的性质和Z反变换； 了解差分方程的定义，掌握差分方程的解法； 了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环 系统脉冲传递函数的计算方法； 与线性连续系统相对应，掌握线性离散系统的时 域和频域分析方法和原则。
则
e (t ) 1(kT ) (t kT ) (t kT )
* k 0 k 0
为一理想单位脉冲序列，因此
E ( z ) 1(kT ) z k 1 z 1 z 2 z k
k 0
上式为一个等比级数，若满足
E( z)
例7-5 利用部分分式法求取正弦函数 sin t 的z变换。 解：已知正弦函数 sin t 的拉氏变换为 2 2 ，将其分解成部分分式之和的 s 形式，得 1 1 L[sin t ] 2 s 2 2 j ( s j ) 2 j ( s j ) 利用拉氏反变换求出
k 0
式（7-2）也可写作
。
e (t ) e(t ) (t kT )
k 0
因此，采样过程从物理意义上可以看作是脉冲调制过程。此时，采样开关 相当于理想单位脉冲发生器的作用，通过它将连续信号
e(t ) 调制成脉冲序列。
从频率特性的角度看：
假设连续信号e(t ) 的频率特性为 如图7-5所示。
最高角频率为 max ，则只要采样角频率 s 满足： s 2max
f 或采样频率 f s 满足： s 2 fmax 则通过理想滤波器，由采样得到
的离散信号能够可以不失真地恢复为原连续信号。 采样定理给出了采样频率下限的选取规则，对于采样频率的上限，要依据易 实现性和抗干扰性来统一确定。
在采样控制系统中，把连续信号 e(t ) 转化为脉冲序列 e (t ) 的过程称为采样。 如图7-2所示。
T —采样周期
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f s 1/ T —采样频率
s 2 f s 2 / T
—采样角频率 图7-2 采样过程
2.信号复现
在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现。实 现复现过程的装置称为保持器。 最简单的保持器是零阶保持器，它将脉冲序列 e (t ) 复现为阶梯信号 eh (t ) 如图7-3所示。
E (s) a 1 1 s( s a) s s a
然后对上式逐项求取拉氏反变换，得
e(t ) 1(t ) eat
根据求得的时间函数再逐项写出相应的z变换，得
z z z (1 e aT ) E( z) 2 aT z 1 z e z (1 e aT ) z e aT
k 0
对于零阶保持器，在任意时刻kT 输入单位脉冲信号 (t kT ) ,其单位脉冲响应 为一个幅值为1的矩形方波。如图7-9所示。
零阶保持器的频率特性为
图7-9 零阶保持器的时域特性 T
1 e jT Gh ( j ) T j sin 2 e j T 2
T
e* (t ) e(kT ) (t kT )
k 0
进行拉氏变换可得 E (s) L[e (t )] e(kT )e 得到以 z 为变量的函数 E ( z )，即
* * k 0
kTs
，引入一个新变量 z ，即
e* (t )
z eTs
E ( z ) E* ( s) e( kT ) z k
e (t ) e(0)[1(t ) 1(t )] e(T )[1(t T ) 1(t T )] e(kT )[1(t kT ) 1(t kT )] e(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]
的拉氏变换为
1 即 | E ( j ) | | E ( j jks ) | T k
如图7-6所示
图7-6 采样信号频谱（s 2max 时）
图7-7 采样信号频谱（s 2max 时）
7.2.2 采样定理
如果被采样的连续信号 e(t ) 的频谱具有有限带宽，且频谱的 香农采样定理：
7.1.1 采样控制系统
一般来说，采样控制系统是对传感器所采集的连续信号在某些规定的时间 上取值，然后通过对这些值的比较、计算和输出，来达到控制目标的系统。 采样控制系统结构构成：主要由采样器、数字控制器、保持器、执行器、 被控对象和测量变送器构成，如图7-1所示。
图7-1 采样控制系统方框图
1.信号采样
E( z) e(0) e(T ) z 1 e(2T ) z 2 e(nT ) z n
例7-1 试求单位阶跃函数 e(t ) 1(t ) 的z变换。
解：因为单位阶跃函数 e(t ) 1(t ) 在所有采样时刻上的采样值均为1，即
e(kT ) 1, k 0,1, 2,
1.A/D转换器
A/D转换器是把连续的模拟信号转换为离散数字信号的装置。A/D转换包括 采样过程和量化过程。
采样过程 是每隔 T 秒对连续信号 e(t ) 进行一次采样，得到采样信号e (t )。 量化过程 是计算机中任何数值都用二进制表示，因此，幅值上连续的离散 信号e (t ) 须经过编码表示成最小二进制数的整数倍，成为离散数字
由拉氏反变换可得原时间函数： 直接对上式进行z变换，得
e(t ) Ai e pit
i 1
n
E( z)
i 1
n
Ai z z e piT
a
例7-4 已知连续时间函数 e(t ) 的拉氏变换为E (s) s(s a) ，试求其z变换。 解：首先将 E ( s) 展开成部分分式的形式：
似性。利用z变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和方 法，推广应用于离散系统。
离散系统与连续系统相比，既有本质上的不同，又有分析研究方法的相
本章内容：主要介绍线性离散系统的分析方法。
首先给出信号采样和保持的数学描述。 然后介绍z变换理论与性质以及脉冲传递函数。 接着研究线性离散系统稳定性、稳态误差、动态性能的分析方法， 并介绍最少拍系统的设计方法。 最后介绍如何利用MATLAB进行线性离散系统的分析。
一阶保持器的幅频特性和相频特性曲线， 如图7-13所示。
图7-13 一阶保持器的幅频特性与相频特性
7.3 z变换理论
Z变换是从拉氏变换引申出来的一种变换方法，是研究线性离散系统的 重要数学工具，因此又称为离散拉氏变换。
7.3.1 z变换的定义
连续时间函数
e(t )
* 经采样周期为T 的采样开关后，得到采样信号 e (t )，即
k 0
式中， ( z ) 称为离散信号e* (t ) 的z变换，记为 E( z) Z[e* (t )] E
7.3.2 z变换的方法
常用的求取离散函数的z变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法。
1.级数求和法
根据z变换的定义，将连续信号 e(t ) 按周期 T 进行采样，级数展开可得
7.1 离散控制系统的基本概念
1.连续系统：如果控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数，也就 是说，这些信号在全部时间上都是已知的，则这样的系统称为 连续时间系统，简称连续系统。
2.离散系统：如果控制系统中有一处或几处信号是脉冲序列或数码，则这样 的系统称为离散时间系统，简称离散系统。 包括 采样控制系统：系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统， 称为采样控制系统或脉冲控制系统。 数字控制系统：把数字序列形式的离散系统，称为数字控制系 统或计算机控制系统。 注：在理想采样及忽略量化误差情况下，数字控制系统近似于采样控制 系统，将它们统称为离散系统。 这使得采样控制系统与数字控制系统的分析与校正在理论上统一。
图7-10 零阶保持器的幅频特性与相频特性
2.一阶保持器
其外推关系式为
e(kT t ) e(kT ) e(kT ) e[(k 1)T ] t T
一阶保持器的输出波形如图7-11所示。
图7-11 一阶保持器的输出波形
一阶保持器的脉冲响应如图7-12所示。
图7-12 一阶保持器的脉冲响应
7.2.3 信号恢复 1.零阶保持器
零阶保持器是工程实践上最常用的一种保持器，它把采样时刻 kT 的采样 值恒定不变地保持到下一个采样时刻 (k 1)T
。 如图7-8所示。
图7-8 零阶保持器的输出波形
保持器的输出 eh (t ) 与连续输入信号 e(t ) 之间的关系为
eh (kT ) e(kT ){1(t kT ) 1[t (k 1)T ]}
教学难点
离散时间函数的数学表达式及采样定理， 线性常系数差分方程与脉冲传递函数，采 样控制系统的时域分析，采样控制系统的 频域分析。
概述：
近年来，随着脉冲技术、数字式元器件、数字计算机，特别是微处理器
的迅速发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器，比如微型数字 计算机在控制系统中得到了广泛的应用。离散系统理论的发展是非常迅 速的。 因此，深入研究离散系统理论，掌握分析与综合数字控制系统的基 础理论与基本方法，从控制工程特别是从计算机控制工程角度来看，是 迫切需要的。
2
| Gh ( j ) | T
sin
2 T T 0 2
T
( 0) ( ks )
Gh ( j )
T
0 2 k
( 0) ( ks )
绘制幅频特性
| Gh ( j) | 和相频特性Gh ( j)
曲线，如图7-10所示。
图7-3 信号复现过程
7.1.2 数字控制系统
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的 被控对象的闭环控制系统。 其原理方框图如图7-4所示。
图7-4 数字控制系统方框图
过程分析：A/D转换器将连续信号转换成数字序列，经数字控制器处理后生 成离散控制信号，再通过D/A转换器转换成连续控制信号作用于 被控对象。
信号，此过程称为量化过程。
2.D/A转换器
D/A转换器是把离散的数字信号转换为连续模拟信号的装置。包括解码过程 和复现过程。 解码过程就是把离散数字信号转换为离散的模拟信号。
复现过程就是通过保持器，将离散模拟信号复现为连续模拟信号。
7.2 信号的采样与保持 7.2.1 采样过程及其数学描述
由图7-2可写出脉冲序列 e (t ) 的表达式为
e( j ) e(t )e jt dt
，该信号的频谱 | E ( j ) |
图7-5 连续信号频谱
离散信号
e (t )
1 E ( s) E ( s jks ) T k 1 e (t ) 的傅立叶变换为 E ( j ) E ( j jks ) T k
k 0
若|e
aT
z 1 | 1 ，即 | eaT z | 1，则可写成闭合形式：
E( z) 1 1 e aT z 1 z z e aT
例7-3 试求函数 e(t ) a k 的z变换。 解： 将 a k在各采样时刻上的采样值代入展开式，得
E ( z ) a k z k 1 az 1 a 2 z 2 a k z k