第12章 离散控制系统的经典法设计
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求系统的脉冲传递函数。
s
1
a
G2 (s)
s
1
b
图（a）G(z)Z[G1(s)G2(s)]Z[s1as1b]
b1a[zzeaT zzebT](ba)z((zeaeTaTe)(bzT)ebT)
图（b）
1
1
G(z)
G1(z)G2(z)
Z[ ]•Z[ ] sa sb
z•z
z2
zeaT zebT (zeaT)(zebT)
当炉温出现误差时，误差信号只有在开关闭合时 才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样开关 断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定，炉温 自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温误差大 小再进行调节。
由于电动机时转时停，超调现象受到控制，即使 采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。
由图可见，相临两部分频谱彼此不能重叠的条 件是： 采样频率ωs 必须大于或等于采样开关输 入连续信号e（t）频谱中最高频率ωmax的2倍，即：
F(s) 1 1(1 1 ) s(sa) a s sa
其对应的时间函数为 由例7-1和7-2可得
f (t) 1[1eat ] a
F (z) 1 a [zz 1 z z e a T] a [z2 ( z 1 ( 1 e e a T a ) T z ) e a T ]
三、z反变换
由F（z）求 f*（t）的过程称为 z 反变换，表示为
j
2j
T
2
幅频特性
sin(T )
Gh ( j ) T
2
T
2
相频特性
Gh(
j)
T
2
幅频特性的幅值随频率ω的增大而衰减，具有明 显低通滤波特性。
s
1
a
G2 (s)
s
1
b
图（a）G(z)Z[G1(s)G2(s)]Z[s1as1b]
b1a[zzeaT zzebT](ba)z((zeaeTaTe)(bzT)ebT)
图（b）
1
1
G(z)
G1(z)G2(z)
Z[ ]•Z[ ] sa sb
z•z
z2
zeaT zebT (zeaT)(zebT)
当炉温出现误差时，误差信号只有在开关闭合时 才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样开关 断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定，炉温 自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温误差大 小再进行调节。
由于电动机时转时停，超调现象受到控制，即使 采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。
由图可见，相临两部分频谱彼此不能重叠的条 件是： 采样频率ωs 必须大于或等于采样开关输 入连续信号e（t）频谱中最高频率ωmax的2倍，即：
F(s) 1 1(1 1 ) s(sa) a s sa
其对应的时间函数为 由例7-1和7-2可得
f (t) 1[1eat ] a
F (z) 1 a [zz 1 z z e a T] a [z2 ( z 1 ( 1 e e a T a ) T z ) e a T ]
三、z反变换
由F（z）求 f*（t）的过程称为 z 反变换，表示为
j
2j
T
2
幅频特性
sin(T )
Gh ( j ) T
2
T
2
相频特性
Gh(
j)
T
2
幅频特性的幅值随频率ω的增大而衰减，具有明 显低通滤波特性。
计算机控制系统经典设计法——离散设计法
(1)
闭环脉冲传递函数的确定
典型输入的z变换表达式
R( z )
A( z ) (1 z 1 ) q
误差E ( z )的脉冲传递函数
系统的静态误差为
E ( z ) R( z ) Y ( z ) Φe ( z ) 1 Φ( z ) R( z ) R( z )
A( z )(1 Φ( z )) (1 z 1 )－(1 z 1 ) 2 z 1－z 2
1 Φ( z ) 0.5434 z 1 1 0.5 z 1 1 0.3679 z 1 D( z ) G ( z ) 1 Φ( z ) (1 z 1 )(1 0.718 z 1 ) z 1 1 2 1 E ( z ) (1 Φ( z )) R( z ) (1 z ) z (1 z 1 ) 2
二拍以后，系统输出等于输入信号
(3) 对单位加速度输入信号
Φ( z ) 1 (1 z 1 )3 3z 1－3z 2＋z 3
1 0.8154 （ 1－z 1＋ z 2） 1 0.3679 z 1 1 Φ( z ) 3 D( z ) G( z ) 1 Φ( z ) (1 z 1 ) 2 (1 0.718 z 1 )
R( z )
E( z)
D( z )
G( z )
Y ( z)
1 Φ( z ) D( z ) G ( z ) 1 Φ( z )
要点：如何把系统的性能指标转换为闭环特性Φ( z )，解出的D( z )能否 物理实现以及系统能否保证稳定。
5
R( z )
E( z)
D( z )
G( z )
Y ( z)
离散控制系统的设计：探讨离散控制系统的设计原则、方法和实践
离散控制系统的设计：探讨离散控制系统的设计原则、方法和实践介绍离散控制系统是一种用于实现自动化控制的系统，它使用离散事件和离散时间来描述和控制系统的行为。
设计一个好的离散控制系统对于确保系统的稳定性和性能至关重要。
本文将探讨离散控制系统的设计原则、方法和实践，以帮助读者了解如何设计一个高效可靠的离散控制系统。
离散控制系统的设计原则原则1：明确系统需求在设计离散控制系统之前，首先要明确系统的需求。
这包括定义系统的输入、输出以及期望的性能要求。
通过明确系统需求，可以为系统的设计和实现提供清晰的目标和指导。
原则2：选择适当的控制策略选择适当的控制策略是离散控制系统设计的关键。
根据系统的性质和需求，可以选择不同的控制策略，如比例控制、积分控制、微分控制等。
在选择控制策略时，需要考虑系统的稳定性、响应速度和鲁棒性等方面。
原则3：进行系统建模和仿真在进行离散控制系统设计之前，通常需要对系统进行建模和仿真。
系统建模可以帮助设计者深入理解系统的行为和特性，从而更好地进行系统设计和参数调整。
通过仿真可以在实际系统之前验证控制算法的性能和稳定性。
原则4：考虑系统的鲁棒性离散控制系统往往面临各种不确定性和干扰。
为了确保系统的稳定性和鲁棒性，设计者需要考虑系统的鲁棒性。
这包括选择合适的控制策略、调整控制器的参数以及设计鲁棒性控制器等。
原则5：进行系统的优化和参数调整在进行离散控制系统设计之后，通常需要对系统进行优化和参数调整。
通过优化可以进一步改善系统的性能和稳定性。
参数调整可以帮助设计者找到最佳的参数组合，以满足系统的性能要求。
离散控制系统的设计方法方法1：PID控制器设计PID控制是离散控制系统设计中常用的方法之一。
PID控制器由比例、积分和微分三个部分组成，可以根据系统的反馈信号调整系统的输出。
PID控制器设计的关键是选择合适的控制参数，可以通过试错法、Ziegler-Nichols方法等进行参数调整。
方法2：状态空间法设计状态空间法是离散控制系统设计中的另一种常用方法。
3.3 离散系统控制系统设计与校正
恢复到 e( t )。这就是香农采样定理。
18
§3.3.2
3．采样定理：
信号的采样与保持
， w max
w s 2w max或 T 如果采样周期满足下列条件：
*
则采样信号 e ( t ) 可以完满的复现原输入信号 e( t )。
★要完全复现 e( t ) 需经过理想滤波器，但实际中没有。 工程上最常用的、最简单的是零阶保持器。
§3.3.3 Z变换
二.Z变换的求法: E ( z ) e(nT ) z n , 1．级数求和法：
n 0
求单位阶跃1(t)的Z变换。 例 1： 解： 1(t)在任何采样点的值均为1， 1(nT ) 1
等等，这也是一种离散
e(T ) (t T ) e(2T ) (t 2T )
T 2T 3T
A D
t
系统，称为数字控制系统。如：计算机、单片机、PLC等控制 的系统均为数字控制系统。
14
§3.3.2
一、采样过程
T (t )
e(t )
信号的采样与保持
e (t )
调制器
e (t )
0
t
11
§3.3.1
离散控制系统概述
3)控制方式：也是按偏差进行调节的负反馈系统。 4)解决问题的关键: T 所以,系统大部分时间处于开环状态，改变了系统的工 作状态： ①使系统容易稳定； ②可以允许系统在闭环期间有较大的 K e ss 。
12
§3.3.1
离散控制系统概述
三．数字控制系统：
6
§3.3.1
离散控制系统概述
炉温的误差信号经放大后驱动电动机去调整燃料阀 门的开度以控制炉温。若系统的开环放大倍数很大， 系统对误差信号将非常敏感，当炉温较低时，电动 机将迅速旋转，开大阀门，给炉子供应更多的燃料。 由于炉子本身的时间常数较大，炉温上升很慢，当 炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的
自动控制原理 离散控制系统PPT课件
香农采样定理：如果被采样的连续信号 e(t) 的频谱具有有限带宽，且频谱的 最高角频率为 max ，则只要采样角频率s 满足：s 2max 或采样频率 fs 满足：fs 2 fmax 则通过理想滤波器，由采样得到 的离散信号能够可以不失真地恢复为原连续信号。
采样定理给出了采样频率下限的选取规则，对于采样频率的上限，要依据易 实现性和抗干扰性来统一确定。
利用拉氏反变换求出 1 的原时间函数为e( j)t，利用已知的指数函
s j
数z变换公式可求得相应的z变换，即
Z[sin t ]
2
j(z
z e
jT
)
2
j(z
z
e jT
)
z2
z sinT (2cosT )z
1
第23页/共79页
3.留数计算法
若已知连续时间函数e(t)的拉氏变换 E(s) 及其全部极点，则e(t)的z变换E(z)可通过
1 1 z1
z
z 1
第20页/共79页
例7-2 试求衰减指数函数 e(t) eat (a 0) 的z变换。
解：将 eat 在各采样时刻上的采样值代入展开式，得
E(z) eakT zk 1 eaT z1 e2aT z2 k 0
ekaT zk
若 | eaT z1 |1，即| eaT z |1，则可写成闭合形式：
第8页/共79页
2.D/A转换器
D/A转换器是把离散的数字信号转换为连续模拟信号的装置。包括解码过程 和复现过程。 解码过程就是把离散数字信号转换为离散的模拟信号。 复现过程就是通过保持器，将离散模拟信号复现为连续模拟信号。
第9页/共79页
7.2 信号的采样与保持 采样过程及其数学描述
采样定理给出了采样频率下限的选取规则，对于采样频率的上限，要依据易 实现性和抗干扰性来统一确定。
利用拉氏反变换求出 1 的原时间函数为e( j)t，利用已知的指数函
s j
数z变换公式可求得相应的z变换，即
Z[sin t ]
2
j(z
z e
jT
)
2
j(z
z
e jT
)
z2
z sinT (2cosT )z
1
第23页/共79页
3.留数计算法
若已知连续时间函数e(t)的拉氏变换 E(s) 及其全部极点，则e(t)的z变换E(z)可通过
1 1 z1
z
z 1
第20页/共79页
例7-2 试求衰减指数函数 e(t) eat (a 0) 的z变换。
解：将 eat 在各采样时刻上的采样值代入展开式，得
E(z) eakT zk 1 eaT z1 e2aT z2 k 0
ekaT zk
若 | eaT z1 |1，即| eaT z |1，则可写成闭合形式：
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2.D/A转换器
D/A转换器是把离散的数字信号转换为连续模拟信号的装置。包括解码过程 和复现过程。 解码过程就是把离散数字信号转换为离散的模拟信号。 复现过程就是通过保持器，将离散模拟信号复现为连续模拟信号。
第9页/共79页
7.2 信号的采样与保持 采样过程及其数学描述
12离散参数马氏链上
例1 Bernoulli序列是离散参数齐次马尔可夫
链. 验证 在Bernoulli序列{Xn,n=1,2,3,}中, 对任
意正整数 m, t1 t2 tm tm1
X t1 , X t2 , , X tm , X tm1 相互独立, 故对
jk 0,1, (k 1, 2,, m 1)
P{X (tm ) i}
四. 离散参数齐次马尔可夫链
定义3 设离散参数马尔可夫链
{X (t),t t0 ,t1,t2 ,,tn ,}
如果一步转移概率pij(tm)不依赖于参数tm 即对任意两个不等的参数tm和tk, mk,有
pij (tm ) pij (tk ) pij
则称此马尔可夫链具有齐次性或时齐性,称 X(t)为离散参数齐次马尔可夫链.
对于状态空间S内的任意两个状态 i 和j , 恒有
(1)
p(n) ij
(tm
)
0
(2)
p(n) ij
(tm
)
1,
n
1,
2,
jS
p(n) ij
(tm
)
P{X (tmn ) j | X (tm ) i}
jS
jS
P{X (tmn )
jS
j, X (tm ) i}
P{X (tm )
i}
1
P{X (tm ) i}
二．马尔可夫链的分类
状态空间S是离散的(有限集或可列集),参数 集T可为离散或连续的两类.
本课程主要介绍离散参数马尔可夫链.
三．离散参数马尔可夫链
1. 转移概率
定义2 设离散参数马尔可夫链 {X (t),t t0 ,t1,t2 ,,tn ,}
条件概率 P{X (tm1) j | X (tm ) i} pij (tm ) 称为X(t)在时刻(参数)tm由状态 i 一步转
离散控制系统设计
若j>q,
2.φ (z)零点必须包括 零点必须包括G(z)的单位圆上或圆外的零点。 的单位圆上或圆外的零点。 零点必须包括 的单位圆上或圆外的零点
b i为不稳定零点 ， F2(z) 为： 3. F1(z)和 F2(z)的阶数选取。 的阶数选取。 和 的阶数选取 个极点在单位圆上z=1， －若G(z)有j个极点在单位圆上 有 个极点在单位圆上 ， 当j<=q ， 当j>q
个零点b1,b2,…,bu和v个极点 个极点a1,a2,…,av在单位圆上或圆外， 在单位圆上或圆外， 设 G(z)有u个零点 有 个零点 和 个极点 在单位圆上或圆外 则广义对象的传递函数可表示为： 则广义对象的传递函数可表示为：
若GC(z)不含纯滞后， 则d=0；
否则 d>=1。
设 G(z)有u个零点 个零点b1,b2,…,bu和v个极点 个极点a1,a2,…,av在单位圆上或圆外， 在单位圆上或圆外， 有 个零点 和 个极点 在单位圆上或圆外 则广义对象的传递函数可表示为： 则广义对象的传递函数可表示为： G’(z)表示不含单位圆上及圆外零极点部分。
控制对象传函如下， 控制对象传函如下，τ 是滞后时间 采样周期为T,则令 采样周期为 则令 则广义对象的(零阶保持器与被控过程 的脉冲传递函数为 则广义对象的 零阶保持器与被控过程)的脉冲传递函数为： 零阶保持器与被控过程 的脉冲传递函数为：
上式中若GC(z)不含纯滞后， 则d=0； 若GC(z) 含纯滞后， 则d>=1。
闭环系统的脉冲传递函数
因为有： 因为有： degP(z)－degQ(z) >=0，则： － ，
上式确定了D(z) 可实现时 (z)应满足的条件： 可实现时φ 应满足的条件 应满足的条件： 上式确定了 的分母比分子高N阶 则确定φ 时必须至 若G(z)的分母比分子高 阶，则确定 (z)时必须至 的分母比分子高 少分母比分子高N阶 少分母比分子高 阶。
离散控制系统PPT课件
[e(i) 2e(i
e(i 1)] 1) e(i
2)]
中心
e(t
e(t )
)
1 T2
1 [e(i 2T [e(i 1)
1) e(i 1)] 2e(i) e(i
1)]
例7-3 试将PID控制器离散化
u(t
)
K
p
e(t
)
1 Ti
展开式
或② 或③
n
n
y(k) ai y(k i) bi x(k i)
i 1
i 1
n
n
y(k) bi x(k i) ai y(k i)
i0
i0
级数和式 计算机算式
2、与脉冲传递函数的关系
对②两边Z变换：
Y (z)(1 a1z1 a2 z2 an zn ) X (z)(b0 b1z1 b2 z2 bn zn )
1 0.2s
1
解：代入 s 2 z 1
T z 1
G(z)
2
z
12
1 0.2
2
z
1
1
T z 1
u(k)
u(k
1)
K
p e(k)
e(k
1)
T Ti
e(k )
Td e(k) 2e(k 1) e(k 2)
T
或整理为
u(k) u(k 1) b0e(k) b1e(k 1) b2e(k 2)
b0
K
p
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12.2控制系统的离散化方法
• 前向差分法； • 后向差分法； • 双线性变换法； • 脉冲响应不变法； • 阶跃响应不变法； • 零、极点匹配法等六种方法。
前向差分法
已知控制器的传递函数为 U (s) D(s) b
E(s)
sb
传递函数转化成微分方程
U (s)(s b) E(s)b u '(t) bu(t) be(t)
1
]
(s 1)(s 2)
TZ [ 1 s 1
s
1
2
]
T[
z
z eT
z
z e 2T
]
零极点匹配等效法
通过映射保证连续和离散控制器的零极点匹配。
映射规则如下：
(1) D(s)的全部有限零点和极点按照 z eTs 映
射到Z平面。
(2) D(s)的全部无限远的零点映射到Z平面为
z=-1。(这是近似映射关系)
连续与离散控制系统
第12章 离散控制系统 的经典法设计
吉林大学仪器科学与电气工程学院 随阳轶
主要内容
• 概述 • 控制系统的离散化方法 • PID控制器及其算法
12.1概述
• 数字控制器的设计大体上分成两大类：经 典法设计和状态空间法。经典法设计可分 两种方法：离散化法和直接法。离散化法 则是先设计连续系统的控制器，然后通过 某种离散化方法转化成数字控制器，这种 方法仅能逼近连续系统的性能，不会优于 连续系统的性能。直接法为Z平面的根轨迹 法、W平面的伯德图法等等。
T
必须强调用前向差分关系将连续控制器离散 化成数字控制器时稳定性不能保证。因此很 少应用。
后向差分法
推导过程同前向差分法，
只是变为后向矩形积分。
ub (kT) ub (kT T )
kT-T kT
脉冲传递函数
[bub (kT) be(kT)]T
Ub (z) z1Ub (z) TbUb (z)
字控制器。
解：(1) 将连续系统的有限零极点映射到Z平面
① 有限零点 s 2, z e2T，即z－e2T＝0
② 有限极点
D(s)
D(z)
s 1, s 3 z eT , z e3T (s+2)
(s+1)(s+3)
(z-e-2T) (z-e-3T)(z-e-T)
零极点匹配等效法举例（续1）
离散近似后数字控制器的脉冲响应序列，与连 续控制器的脉冲响应采样值相等。
D(z) TZ[D(s)]
T是补偿采样引进的1/T因子。
例12.2已知连续控制器的传递函数D(s)
(s
1 1)(s
2)
试用阶跃响应不变法和脉冲响应不变法将连续
控制器离散成数字控制器。
解：(1) 阶跃响应不变法
阶跃脉冲响应不变法举例
=0 z=-1
零极点匹配等效法举例（续2）
(3)匹配增益因子
D(s) 0, D(s) 2 3,可见D(s)有低通特性，因此增益因子为
s
s0
K (z 1)(z e2T )
s2
D(z) z 1
D(s) s0
(z e3T )(z eT )
z
Байду номын сангаас
1
(s 1)(s 3)
s
0
K 2(1 e2T ) 2 K (1 e3T )(1 eT )
0.26T
2(z
1)2
T (z 1)
T (z 1)
(z 1)2
(z 1)2 4.66 ，（设T 1s）
4(z2 2z 1) 0.4(z2 1) 0.26(z2 2z 1) z2 1.605z 0.8283
三种变换法的运用举例（续2）
通过 z esT 转换成脉冲传递函数对应的极点
三种变换法的运用举例（续4）
③双线性变换法
(z 1)2 4.66
(z 1)2 4.66
Gt (z) z2 1.605z 0.8283 (z 0.8025 j0.4293)(z 0.8025 j0.4293)
z1,2 0.9101 0.4912
极点在单位圆内，系统是稳定的。
通过这三种方法得到的离散化结果与通过
12.3PID控制器的基本原理
e(t) r(t)
y(t)
z1,2 1.029 0.5071
系统不稳定。
三种变换法的运用举例（续3）
②后向差分法
Gb (z)
z2
z2 1.5068z
0.68493
z2 /1.46
(z 0.7534 j0.34253)(z 0.7534 j0.34253)
z1,2 0.8276 0.4267 极点在单位圆内，系统是稳定的。
对上式取Z变换
Ut
(
z)
z 1U
(
z)
T 2
[z
1bUt
(z)
z 1bE ( z )
bU
t
(
z)
bE(z)]
脉冲传递函数
U t (z) bT (z 1)
bT (z 1)
b
E(z) 2z 2 Tb Tbz 2(z 1) Tb(z 1) 2 (z 1) b
T (z 1)
双线性变换法（续1）
比较s与z的关系得：s
TbE(z)
z 1
Ub (z) E(z)
(z
b 1) / Tz
b
Tz
连续系统时是稳定的，通过后向差分离散化
后，离散系统一定稳定。
双线性变换法
推导过程同前向差分法， 只是变为梯形积分。
ut
(kT)
ut
(k
T
T
)
T 2
[but
(kT
T
)
kT-T kT
be(kT T ) but (kT) be(kT)]
1s
六种离散化方法的特点
设计者应该交替使用几种等效技术，通常零极 点匹配映射法和双线性变换法较好。
1. 前向差分法：稳定性不能保证，很少使用。
2. 后向差分法：无稳定性问题，并维持稳态增 益不变。但是得到的离散控制器暂态特性和频 率响应特性与连续控制器特性有相当大的差别， 采用高采样率可减少这种差别。 3. 脉冲响应不变法：无稳定性问题，但存在频 率混叠问题 ，只适用于连续控制器具有陡峭的 衰减特性，且为带限信号的场合。
② 若D(s)具有高通特性则令 D(s) s D(z) z1
③ 若D(s)既不具有高通特性也不具有低通特性 则在一个特殊频率处令
D(s) s j0
D(z) ze jT0
零极点匹配等效法举例
例12.3已知连续控制器的传递函数
D(s)
s2 (s 1)(s 3)
试用零极点匹配等效法将连续控制器离散成数
(2)将连续系统的s→∞零点映射到Z平面，对应
于D(z)分子上的(z+1)因子。
D(s) s 2
0 (可见s 为D(s)的零点)
s (s 1)(s 3)
s
D(s) 的零点对应D(z)分子上的(z 1)因子 s
(s+2) =0
(s+1)(s+3) s=∞
(z+1) (z-e-2T)
(z-e-3T)(z-e-T)
D(z) (1 z1)Z[1
1
] (1 z1)Z[1/ 2 1 1/ 2 ]
s (s 1)(s 2)
s s 1 s 2
z 1[1 z2
z z 1
z z eT
1 2
z z e2T
]
1 2
z 1 z eT
1 2
z 1 z e2T
(2) 脉冲响应不变法
D(z) TZ [D(s)] TZ[
3.双线性变换z与s的关系
z 1 Ts/ 2 1 Ts/ 2
z 1 Tj / 2 1 Tj / 2
z平面
z的模为1，可见为单位圆
三种变换法的运用举例
例12.1分别用前向差分法、后向差分法和双线
性变换法将传递函数 G(s)
1
离散化成脉冲传递函数。 (s 0.1 j0.5)(s 0.1 j0.5)
(1 e3T )(1 eT ) 3
3(1 e2T )
通过零极点匹配等效法，得到的总的脉冲传递 函数为：
D(z)
(1 e3T )(1 eT )(z 1)(z e2T 3(1 e2T )(z e3T )(z eT )
)
D(z)
0.231551(z 1)(z 0.13534) ,T (z 0.049787)(z 0.36788)
再将微分方程改写成积分形式
t
u(t) [bu( ) be( )]d
0
kT T
kT
u(kT ) [bu( ) be( )]d [bu( ) be( )]d
0
kT T
=u(kT-T)+从(kT-T)到kT的面积
前向差分法（续1）
u f (kT) u f (kT T )
[buf (kT T ) be(kT T )]T
因此将s→∞的零点映射到Z平面，相当于与D(z) 的z=-1的零点对应，也就是说在的D(s)上有一 个s →∞的零点时，则在D(z)的分子上补一个 (z+1)因子，有两个s →∞的零点，在D(z)的分子 上补一个(z+1)2 ，以此类推。
零极点匹配等效法（续2）
(3) 让数字控制器的增益在某一主频处与模拟 控制器的增益匹配，即 ① 若D(s)具有低通特性则令 D(s) s0 D(z) z1
kT-T kT 由差分方程求其Z变换
U f (z) z1U f (z) Tbz1U f (z) Tbz1E(z)
脉冲传递函数
Gf
(z)
bTz 1 1 (1 bT )z1