第12章 离散控制系统的经典法设计

连续系统的性能。直接法为Z平面的根轨迹 法、W平面的伯德图法等等。
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12.2控制系统的离散化方法
• 前向差分法； • 后向差分法； • 双线性变换法； • 脉冲响应不变法； • 阶跃响应不变法； • 零、极点匹配法等六种方法。
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前向差分法
已知控制器的传递函数为
U(s) D(s) b
E(s)
为半径的极点映射到Z平面单位圆内。
T12 (T 1)2(0)2
z平面
对于整个S左半平面映射Z平
面是1为边缘的整个Z平面。
Re
z 1 T
0
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前三种方式的稳定性讨论（续1）
2.后向差分z与s的关系
z
1
1 sT
z 1 ( 1 1)
z平面
2 1 sT 2
1 ( 1 1 Ts ) 2 2 1 sT
z1 1 22
可见s的虚轴映射为以点(1/2，0)为圆心， 1/2为半径的圆，s左半平面映射到圆内。
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前三种方式的稳定性讨论（续2）
3.双线性变换z与s的关系
z
1Ts/ 1Ts/
2 2
z 1Tj/ 2
z平面
1Tj/ 2
z的模为1，可见为单位圆
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三种变换法的运用举例
例12.1分别用前向差分法、后向差分法和双线
性变换法将传递函数 G (s)
离1散化成脉
冲传递函数。
(s0.1j0.5)(s0.1j0.5)
解：(1) 三种变换法的离散化
①前向差分法
G f(z) (z 1 )2 0 .1 2z 1 0 .2 6 (z 1 )2 0 .2 (T z 21 )T 0 .2T 2 6
T
T
1
1
,设 T ＝ 1 s
Tz
连续系统时是稳定的，通过后向差分离散化后，
离散系统一定稳定。
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双线性变换法
推导过程同前向差分法， 只是变为梯形积分。
ut(kT)ut(kTT)T2[but(kTT)
kT-T kT
b(ekTT)but(kT)b(ekT)]
对上式取Z变换
U t( z ) z 1 U ( z ) T 2 [ z 1 b U t( z ) z 1 b E ( z ) b U t( z ) b E ( z ) ]
0
k T T
=u(kT-T)+从(kT-T)到kT的面
积
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前向差分法（续1）
uf(kT )uf(kTT) [bu f(kTT)b(ekTT)T ]
kT-T kT 由差分方程求其Z变换
U f( z ) z 1 U f( z ) T b z 1 U f( z ) T b z 1 E ( z )
脉冲传递函数
G f(z)1(1 b Tzb T 1)z1(z1)b/Tb
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前向差分法（续2）
比较s与z的关系得：s z 1 T
故前向差分法就是将模拟控制器的传递函数 D(s)中的s用z 1 代替即可。
T
必须强调用前向差分关系将连续控制器离散 化成数字控制器时稳定性不能保证。因此很 少应用。
sb
传递函数转化成微分方程
U ( s ) ( s b ) E ( s ) b u '( t ) b u ( t ) b e ( t )
再将微分方程改写成积分形式
t
u(t)[bu()be()]d
0
k T T
k T
u (k T )[ b u () b e ()]d [ b u () b e ()]d
T z
T z
z21.50 z6 281z.4 60.68493,设 T＝ 1s
③双线性变换法
1
T2(z1)2
G t(z)(2(z1))20.22(z1)0.26[2(z1)]20.4(z1)T(z1)0.26T2(z1)2
T(z1) T(z1)
4(z22z1)0.4((z z2 11 )2 )0.26(z22z1)z2 (1 z.6 0 1 5 )2 z 4.0 6 .6 8283， （ 设 T1s）
连续与离wk.baidu.com控制系统
第12章 离散控制系统 的经典法设计
吉林大学仪器科学与电气工程学院 随阳轶
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主要内容
• 概述 • 控制系统的离散化方法 • PID控制器及其算法
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12.1概述
• 数字控制器的设计大体上分成两大类：经 典法设计和状态空间法。经典法设计可分 两种方法：离散化法和直接法。离散化法 则是先设计连续系统的控制器，然后通过 某种离散化方法转化成数字控制器，这种 方法仅能逼近连续系统的性能，不会优于
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三种变换法的运用举例（续2）
通过 z esT 转换成脉冲传递函数对应的极点
z1e(0.1j0.5)Te0.1ej0.50.9048 0.5, z2e(0.1j0.5)Te0.1ej0.50.9048 0.5
(2) 三种变换法的稳定性
脉冲传递函数
U t(z) b(z T 1 ) b(z T 1 ) b E (z) 2 z2 T b Tb2 (zz 1 ) T(zb 1 ) 2(z 1 ) b
T(z 1 )
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双线性变换法（续1）
比较s与z的关系得：s
2 T
(z (z
1) 1)
该变换保证系统的稳定性不改变。
三种变换关系总结如下：
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后向差分法
推导过程同前向差分法，
只是变为后向矩形积分。
ub(kT)ub(kTT)
kT-T kT
脉冲传递函数
[bub(kT)be(kT)T]
比U b ( 较z ) s 与z 1 zU 的b ( z 关) 系T b 得U b ：( z s) T zb E 1( z ) U E b ( ( z z ) ) ( z 1 ) b /T z b
变换方法 前向差分 后向差分 双线性变换
s与z的变换关系
z-1 s= T
z-1 s= Tz
2(z-1) s= T(z+1)
z与s的变换关系
z= sT+1
z=
1 1-sT
z=
1+Ts/2 1-Ts/2
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前三种方式的稳定性讨论
1.前向差分z与s的关系 zsT1
z1TjT z2(1T)2(T)2
令︱z ︱为1，对应s平面为一个圆，则以1/T
z 2 1 .8 z 1 .0 6( z 0 .9 j0 .5 ) ( z 0 .9 j0 .5 )
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三种变换法的运用举例（续1）
②后向差分法
G b (z) (z 1 )2 0 .1 2 z 1 0 .2 6 (z 1 )2 0 .2 T z T (2 z z 2 1 ) 0 .2 6 (T z)2