必修4-三角函数导学案
人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式导学案
3.1.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习目标.1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点一.二倍角公式的推导思考1.二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案.sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α. 思考2.根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答案.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二.二倍角公式的变形1.公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α， cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. 2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.类型一.给角求值例1.求下列各式的值：(1)cos 72°cos 36°；(2)13－23cos 215°； (3)1－tan 275°tan 75°；(4)1sin 10°－3cos 10°. 解.(1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36° ＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36. (3)1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3. (4)1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10° ＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10° cos 10° ＝4sin 20°sin 20°＝4. 反思与感悟.对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1.求下列各式的值：(1)cos 2π7cos 4π7cos 6π7； (2)1sin 50°＋3cos 50°.解.(1)原式＝2sin 2π7cos 2π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝sin 4π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝sin 8π7cos 6π74sin 2π7＝sin π7cos π74sin 2π7＝sin 2π78sin 2π7＝18. (2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2(12cos 50°＋32sin 50°)12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.类型二.给值求值例2.(1)若sin α－cos α＝13，则sin 2α＝ . 答案.89解析.(sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α ＝1－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132⇒sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89. (2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于(..) A.6425B.4825C.1D.1625答案.A解析.cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α. 把tan α＝34代入，得 cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝42516＝6425.故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin 2α. 解.由题意，得(sin α＋cos α)2＝19， ∴1＋2sin αcos α＝19， 即1＋sin 2α＝19， ∴sin 2α＝－89. 反思与感悟.(1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2.已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值. 解.(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 类型三.利用倍角公式化简例3.化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解.方法一.原式＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 方法二.原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2 ＝cos 2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝1. 反思与感悟.(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角. ②降幂或升幂.③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练3.化简下列各式：(1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝ ； (2)α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝ . 答案.(1)sin α－cos α.(2)0解析.(1)∵α∈(π4，π2)，∴sin α＞cos α， ∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝(sin α－cos α)2＝sin α－cos α.(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0， ∴1＋cos 2αcos α－ 1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.1.12sin π12cos π12的值等于(..) A.14B.18C.116D.12 答案.B解析.原式＝14sin π6＝18. 2.sin 4π12－cos 4π12等于(..) A.－12 B.－32 C.12 D.32答案.B解析.原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.tan 7.5°1－tan 27.5°＝ . 答案.1－32 解析.tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12tan 15°＝1－32. 4.设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是 . 答案. 3解析.∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α≠0，2cos α＋1＝0即cos α＝－12， sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 5.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值. 解.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213， ∴原式＝2×1213＝2413.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N *). 2.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos 2α2；③1－cos 2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos 2α2. 课时作业一、选择题1.已知α是第三象限角，cos α＝－513，则sin 2α等于(..) A.－1213B.1213C.－120169D.120169答案.D解析.由α是第三象限角，且cos α＝－513， 得sin α＝－1213，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝120169，故选D. 2.若tan θ＝－13，则cos 2θ等于(..) A.－45 B.－15 C.15 D.45答案.D解析.tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45. 3.已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于(..) A.724 B.－724 C.247 D.－247答案.D解析.由cos x ＝45，x ∈(－π2，0)，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34， 所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×(－34)1－(－34)2＝－247，故选D.4.已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于(..) A.16B.13C.12D.23 答案.A解析.因为cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2， 所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A. 5.如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是(..) A.－105B.105C.－155D.155 答案.C解析.∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15， ∴cos θ<0，cos θ＝－15. 又∵5π4<θ2<3π2，∴sin θ2<0. ∴sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， sin θ2＝－155. 6.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于(..) A.－53 B.－59 C.59 D.53答案.A解析.由题意得(sin α＋cos α)2＝13， ∴1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23. ∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0. 又∵sin α＋cos α>0，∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0，∴cos 2α＝－ 1－sin 22α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝－ 1－49＝－53，故选A. 7.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α等于(..) A.725B.15C.－15D.－725 答案.D解析.因为sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1， 又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35， 所以sin 2α＝2×925－1＝－725，故选D. 二、填空题8.2sin 222.5°－1＝ .答案.－22 解析.原式＝－cos 45°＝－22. 9.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .答案.116解析.原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6° ＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 10.设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝ . 答案.247解析.cos α＝x x 2＋42＝x 5， ∴x 2＝9，x ＝±3.又∵α是第二象限角，∴x ＝－3，∴cos α＝－35，sin α＝45， ∴tan α＝－43，tan 2α＝2×(－43)1－(－43)2＝－831－169＝－83－79＝7221＝247. 11.已知tan x ＝2，则tan 2(x －π4)＝ . 答案.34 12.若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝ . 答案.0 解析.由tan α＋1tan α＝103， 得tan α＝13或tan α＝3. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α＝3. ∴sin α＝310，cos α＝110. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α ＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋2cos π4cos 2α＝22×2sin αcos α＋22(2cos 2α－1)＋2cos 2α ＝2sin αcos α＋22cos 2α－22 ＝2×310×110＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102－22 ＝5210－22＝0. 三、解答题13.已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值. 解.∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， ∴原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 四、探究与拓展14.等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为 . 答案.459解析.设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23， sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(23)2＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 15.已知π<α<32π，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α. 解.∵π<α<32π，∴π2<α2<34π， ∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2， 1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2. ∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α ＝1＋sin α－2(cos α2＋sin α2)＋1－sin α2(sin α2－cos α2) ＝(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2) ＝－2cos α2.。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)导学案 新人教A版必修4-新人
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一 函数的周期性思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？答案 不一定.必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期.思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案 不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3 周期函数都有最小正周期吗？答案 周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期. 梳理 函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期.知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数.答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)是周期函数. 答案 由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期. 同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)也是周期函数.梳理 由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性思考 对于x ∈R ，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案 奇偶性.梳理 (1)对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称.类型一 三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R ).解 (1)方法一 令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R . 函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得.而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟 对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解. 跟踪训练1 求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|cos 2x |. 解 (1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 类型二 三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }. ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12. ∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z . ∴f (x )既是奇函数又是偶函数.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 解 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 反思与感悟 解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值. 解 因为f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.类型四 函数周期性的综合应用例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)的值. 解 ∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos 2π＝1， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0.同理，可得每连续六项的和均为0.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＋cos 2 020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12)＝－32. 反思与感悟 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝ .解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝335⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＋f (335×6＋4)＋f (335×6＋5)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＝0.1.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B.πC.2πD.4π 答案 D2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )A.y ＝sin x 2B.y ＝cos x2 C.y ＝cos xD.y ＝cos 2x 答案 D3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为 . 答案 ±π解析 ∵T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝ . 答案 22 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为π2的是( ) A.y ＝sin x 2B.y ＝sin 2xC.y ＝cos x 4D.y ＝cos(－4x ) 答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2. 2.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20答案 B3.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( )A.0B.1C.－1D.±1答案 A解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A.y ＝cos|2x |B.y ＝|sin x |C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x 答案 D 解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π. 5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A.10 B.11 C.12 D.13答案 D解析 ∵T ＝2πk 4≤2，即k ≥4π， ∴正整数k 的最小值是13.6.函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x的奇偶性为( ) A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案 D解析 由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x＝|sin x |， 所以函数的定义域为{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }， 由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数f (x )＝3sin(23x ＋15π2)是( ) A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为3π的奇函数D.周期为4π3的偶函数 答案 A二、填空题8.若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为 . 答案 π4解析 要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数， 则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，∴α＝k π＋π4，k ∈Z . ∵0<α<π2，∴α＝π4. 9.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1的图象关于 对称.(填“原点”或“y 轴”) 答案 y 轴解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1＝2cos 2x ＋1， ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数.∵偶函数的图象关于y 轴对称，∴f (x )的图象关于y 轴对称.10.关于x 的函数f (x )＝sin (x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是 .(填序号)答案 ①④解析 当φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.当φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数. 三、解答题11.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin x e sin x －e－sin x . 解 (1)∵x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数.(2)∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0，1－sin x ≥0，∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R .又∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )， ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴y ＝f (x )是偶函数.(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称.又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x)e sin (－x )－e－sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin x e －sin x －esin x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数. 12.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 13.已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明 ∵f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 .答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π. ∴ω的最大值是6.15.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值.解 函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0，1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2，所以ω的最小值为199π2.。
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》三角函数小结导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》三角函数小结导学案 北师大版必修4【学习目标】1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.3.能画出函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像.会利用单位圆或三角函数图像 推导出诱导公式，并能借助图像理解正弦函数、余弦函数在]2,0[π，正切函数 在)2,2(ππ-上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴交点等）.4.了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义；会画)sin(ϕω+=x A y 的图像，体会参数ϕω,,A 对函数图像的影响.2.弧度制（1）1弧度的角： （2）弧度与角度的互化： （3）弧长公式和扇形面积公式： 3.任意角的三角函数 （1）定义：（2）三角函数值的符号：（3）诱导公式的口诀：4.正弦、余弦、正切函数的图像及性质 函数x y sin =x y cos =x y tan =图像定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性【合作探究】 1. 已知角α的终边在函数x y 21-=的图像上，求ααcos ,sin 和.tan α2. )sin()cos()23sin()2cos()3sin()(απαππααππαα----+---=f .（1）化简)(αf ； （2）若331πα-=，求)(αf 的值. 3. 函数)||,0,0()sin(πϕωϕω≤>>++=A b x A y 在一个周期内，当6π=x 时，y 取最小值1；当65π=x 时，y 取最大值3.请求出此函数的解析式.4. 求下列函数的值域： （1）)34cos(32π--=x y ； （2）2sin 1sin 3-+=x x y .【课堂检测】 1. 求函数)343sin(51π-=x y 的最小正周期、单调递增区间、最大值及对应的x 值 的集合.2. 判断下列函数的奇偶性： （1）x x y cos 2+=；（2）x y sin 21=；（3）x x y sin 2=；（4）x x y tan cos -=.3. 一个扇形的弧长和面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数.4. 比较下列各组函数值的大小：（1）532sin π和427sin π； （2）)2037cos(-和 852cos ； （3）)718tan(π-和)843tan(π-.【课后训练】。
人教B版必修4三角函数诱导公式教案文登一中王芳
课题：《三角函数的诱导公式》授课教师：文登一中 王芳学习目标：1、通过合作学习，能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式.并能总结出公式的作用及适用条件。
2、通过自主探究，能总结出任意角三角函数诱导为锐角三角函数的一般步骤。
3、在识记诱导公式的基础上，能熟练运用公式求任意角的正弦、余弦、正切值。
4、在诱导公式的推理与运用过程中领悟化归、数形结合等思想方法。
一、创设情境，引入课题前面已经学习过任意角的三角函数，那么给定一个角，如何求出它的三角函数值呢？先看一个具体的问题.在单位圆中画出300 、3900 、-3300的正弦线，观察它们之间有什么关系？（学生回答的同时，教师在屏幕上展示）追问1：这三个角的终边有什么特点呢？（集体回答）追问2、终边相同的角的正弦值一定相等吗？（集体回答）为什么？（思考后点名回答）追问3、它们的余弦值又怎样呢？（思考后点名回答）正切值呢？追问4、你能把刚才的探究结果提炼成一般性的公式吗（ 思考后点名回答 ）不断完善，得出第一组公式 ()()()()()()sin 2sin cos 2cos tan 2tan k k Z k k Z k k Z απααπααπα+=∈+=∈+=∈ (诱导公式一) 追问5、公式中α的范围是什么？（ 思考后点名回答 ）根据刚才的公式你能求出下列各式的值吗？（1）313sin π （2）319cos π （3）417sin π （4）)415tan(π- 追问6：通过上述练习，你能发现这组公式有什么作用呢？（思考后点学生回答） （通过这组公式，我们可以把绝对值大于2 π的任意角的三角函数问题转化为研究绝对值小于2 π 的角的三角函数问题。
)教师活动：这就是这节课我们需要探究的三角函数的诱导公式”（板书）二、合作探究，构建公式提出问题：由诱导公式1可得，终边相同的角余弦值一定相等；反之，若两角余弦值相等，终边一定相同吗？你能举例说明吗?（思考后学生举手发言） 追问1、这些角的终边有什么特点呢？（思考后点名发言）追问2、很明显，角α、-α的终边关于x 轴对称，那么他们的同名三角函数之间有什么关系呢？（小组合作探究，展示探究结果，教师加以点评）()sin sin αα-=-()()cos cos tan tan αααα-=-=- (诱导公式二)（展示时要说明理由）追问3、我们把这组公式叫做诱导公式二，这组公式有什么作用呢？追问4、你能类比得出α与απ+的同名三角函数之间的关系吗？(同桌合作探究，展示探究结果）（展示时要说明理由）()()()sin sin cos cos tan tan πααπααπαα+=-+=-+= （*）追问5、以a -替换a ，又能得到什么？()()()sin sin cos cos tan tan πααπααπαα-=-=--=-追问6：以上两组公式有什么作用呢？（在0～ π2 内，第二象限角可表示为 π减掉一个锐角，而第三象限角可表示为π加上一个锐角）追问7、在（*）中，将π 的系数推广到奇数12+k z k ∈，结论是否依然成立呢？（学生独立完成）[]απαcos )12(cos -=++k[]απαsin )12(sin -=++k （诱导公式三）[]απαtan )12(tan =++k教师点评：1、这几组公式有一个很好的记忆方法：“函数名不变，符号看象限”。
苏教版必修4高中数学第1章《三角函数》三角函数图象和性质(3)教学案
高中数学 第1章《三角函数》三角函数图象和性质(3)教学案
苏教版必修4
教学目标：能借助正切线画出正切函数的图象，并能通过图象理解正切函数的性质。
注重渗透
数形结合的数学思想。
教学重点：正切函数的图象和性质 教学难点：正切函数的性质的应用
教学过程：
一、问题情境： 前面我们研究了正、余弦函数的图象，正切函数的图象又是怎样的呢？你能用类似的方法进行研究吗？
二、学生活动：
探究：（1）单位圆中，tan α=________；你能在单位圆中作出
8π，4π，38π的正切线吗？
（2）y=tanx 是以________为周期的周期函数，所以我们可以先研究正切函数在[2π-，2
π]上的图象。
三、知识建构：
1、图象：
2、性质：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期性：
（4）奇偶性：
（5）单调性：
四、知识运用： x y O
例1、求函数y=tan (2x )4π
-的定义域
小结：
例2、求f(x)=tan2x 的周期
小结：
例3、不求值，比较下列各组值大小。
（1）tan138°， tan143° （2）tan(134π-)， tan(175π-)。
必修4_ch1 三角函数教学案(16课时)
二、师生互动：
三、建构数学：
1、角的概念：
（1）0到360之间的角：
（2）0的角：
（3）90、180、360的角：
2、角的概念的推广：
定义：（1）正角：
（2）负角：
（3）零角：
3、象限角、轴线角、终边相同的角的概念：
（1）象限角的概念：
（2）轴线角的概念：
（3）终边相同的角的概念：
（3）终边落在阴影部分（不包含边界），且在0到360的角的集合
（4）终边落在阴影部分（不包含边界），且在-360到0的角的集合．
二、解答题：
9、在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
（1） （2） （3） （4）
10、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 的元素 写出来：
六、课堂小结：
七、教学反思：
江苏省泰兴中学高一数学同步课时训练2）
【弧度制（1）】
班级姓名
一、填空题：
1、若 rad，则 的终边所在的象限是．
2、若半径为1m的扇形面积为 m2，则词形的圆心角为．
3、将分钟拨慢10min，则分针转过的弧度数为．
4、设集合 ， ，则 ．
5、半径为 的圆中，弧长为 的弧所对的圆心角的弧度数是．
引申：已知 是第二象限角，问 是第几象限角？
五、课堂练习：
1、在 与 终边相同的角是.
2、已知 与240角终边相同，判断 是第几象限角．
六、课堂小结：
七、教学反思：
江苏省泰兴中学高一数学同步课时训练（1）
【任意角】
班级姓名
一、填空题：
1、下列命题中正确的是．
①第一象限角一定不是负角②小于90°的角一定是锐角
1.3.4三角函数应用(2015年人教A版数学必修四导学案)
y A sin x b
1.这一天 6～14 时的最大温差是多少？ 2.函数式中 A、b 的值分别是多少？ 3.写出这段曲线的函数解析式.
y
30 20
课题：
1.3.4 三角函数应用
班级：
姓名： 备 注
一：学习目标
1. 会用三角函数解决一些简单的问题， 体会三角函数是描述周期变化现象 的重要函数模型。 2. 观察函数图像，学会用待定系数法求解析式，能够将所发现的规律抽象 为恰当的三角函数模型。
二：课前预习
1．如果某种变化着的现象具有 角函数来描述。 2 ． y A sin(x ) 是 ，初相是 （性质） ，那么它就可以借助三
y A sin x b
1.这一天 6～14 时的最大温差是多少？ 2.函数式中 A、b 的值分别是多少？ 3.写出这段曲线的函数解析式.
y
30 20
10
O
6
10
14
x
例 2. 1、如图，点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物 体位移的正方向，若已知振幅为 3cm ，周期为 3s ，且物体向右运动到距平 衡位置最远处时开始计时。 （1）求物体对平衡位置的位移 x(cm) 和时间 t ( s ) 的函数关系； （2）求该物体在 t 5s 时的位置。 O
2、一根长 lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，
离 开 平 衡 位 置 的 位 移 s(cm) 和 时 间 t ( s ) 的 函 数 关 系 式 是
g t ),t [0,) 。 l 3 （1）求小球摆动的周期； （2）已知 g 980cm / s 2 ，要使小球摆动的周期是 1s ，线的长度应 当是多少？ （精确到 0.1cm ， 取 3.14 ） s 3 cos(
高三一轮复习苏教版必修4三角函数及三角恒等变换、正余弦定理导学案
总课题高三一轮复习---第四章三角函数总课时第1、2课时课题 4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数课型复习课教学目标1.了解任意角的概念及角的集合表示.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学重点1.象限角与终边相同的角的形式表示的应用.2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学难点同上学法指导讲练结合教学准备导学案导学《步步高》一轮复习资料自主学习高考要求三角函数的概念 B教学过程师生互动个案补充第1课时：一、基础知识梳理1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的；②分类：角按旋转方向分为、和 .(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝ .(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是________________角．第一象限角的集合是S＝；第二象限角的集合是S＝；第三象限角的集合是S＝；第四象限角的集合是S＝ .(4)轴线角终边在x轴的正半轴上的角的集合是S＝；终边在x轴上的角的集合是S＝；终边在y轴上的角的集合是S＝；终边落在坐标轴上的角的集合是S＝.2.弧度制(1)定义：把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__________，它的单位符号是________，读作________，通常略去不写．正角的弧度数是，负角的弧度数是，零角的弧度数是 .(2)角度制和弧度制的互化：360°＝______ rad；180°＝______ rad；1°＝________ rad；1 rad＝____________≈57.30°.(3) 弧长公式与扇形面积公式：l＝__________，即弧长等于____________________．3.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上任意一点P 的坐标为(x ，y )，|OP |＝r >0， 我们规定：①比值 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ ；②比值 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ ；③比值______(x ≠0)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ .(1)三角函数值在各象限的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示：口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．*(2)三角函数线(了解)下图中有向线段MP ，OM ，AT 分别表示____________，__________和__________．二、基础练习训练1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.( ) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等.( ) (4)点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限.( )*(5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1. ( )2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是________.(填序号)①2k π＋45° (k ∈Z );②k ·360°＋94π (k ∈Z )；③k ·360°－315°(k ∈Z );④k π＋5π4 (k ∈Z ).3.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________.4.已知sin α<0且tan α>0，则角α是第________象限角．5.已知角α的终边经过点)12,5(--P ，则sin ____,cos ___,tan ____ααα===．6．“α＝π6”是“sin α＝12”的________条件．三、典型例题分析题型一: 角及其表示例1：(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是______________. (2)如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在______________.变式训练：(1)终边在直线y x =-上的角的集合是______________. (2)如果α是第一象限角，那么角2α的终边落在______________.(3)已知角α＝45°，在区间[－720°，180°]内与角α有相同终边的角β＝________.(4)与2010°终边相同的最小正角为________，最大负角为________．(5)已知角x 的终边落在图示阴影部分区域，写出角x 组成的集合．(a )(b )题型二: 三角函数的概念例2：已知角α终边上一点),3(y P -，且y 42sin =α，求αcos 和αtan 的值．变式训练：(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ等于___________________.(2)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________.(3) 已知角α的终边经过点P (－4a,3a ) (a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．第2课时：题型三 扇形的弧长、面积公式的应用例3：已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？变式训练：已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________.题型四 三角函数值的符号例4：若sin cos 0,tan cos 0θθθθ⋅>⋅<且，则角θ的终边落在第_______象限变式训练：1.若sin 0tan 0θθ<>且，则θ是第_______象限。
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1.1.1角的概念的推广一、教学目标：1、正角、负角和零角的概念，象限角的概念。
2、学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“象限角”和“区间角”； 二、学习重点、难点重点：任意角的概念，用集合表示终边相同的角 难点：终边相同的角的关系 三、自主学习1、以前学习的角的概念：2、现在新的角的概念：3、和︒60角终边相同的角的集合={}=αα 四、例题讲解例1、在 360~0范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角：(1)120(2)640(3)95012'-︒︒-︒引申练习、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在︒︒-720~360间的角写出来：（1）︒60 （2）︒-21 （3）'︒14363。
例2、写出终边在正y 轴、负y 轴及y 轴上的角的集合（用 360~0的角表示）。
引申：写出终边在x轴上的角的集合。
写出终边落在坐标轴上的角的集合。
例3、写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式︒-720︒360β≤<的元素写出来五、随堂练习：教材P5:1,2,3,4,5六、课后作业1、判断对错（1）锐角是第1象限的角（2）第一象限的角都是锐角（3）小于90°的角是锐角 （4）0°～90°的角是锐角吗 2、已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，做出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420°， (2)-75°， (3)855°， (4)-510°．3、 写出终边在第一象限、第二象限、第三象限、第四象限的角的集合。
七、引申思考1、α与α-的终边关于 对称： α与180α-的终边关于 对称； α与180α+的终边关于 对称；α与360α-的终边关于 对称。
2、、若α为第一象限角，则2α在 象限,2α在 象限； 若α为第二象限角，则2α在 象限,2α在 象限；若α为第三象限角，则2α在 象限,2α在 象限；若α为第四象限角，则2α在 象限,2α在 象限。
八、课堂小结1．角的概念的推广：2．角的范围：3．象限角与轴上角：4．终边相同的角：九、课后反思： .1.1.2 弧度制一、学习目标：掌握弧度制的定义与用途 二、学习重点、难点重点：弧度制的定义，弧度制与角度制的互化 难点：弧度制与角度制的互化，弧度制定义在计算扇形面积和弧长的应用。
三、自主学习：1、弧度的定义：2、角度制与弧度制的换算： 1︒=rad rad 01745.0180≈π； '185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad 。
3、弧长公式：α⋅=r l ， 扇形面积公式：lR S 21=，其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。
4、一些特殊角的度数与弧度数的对应关系应该记住：（请老师和同学随机互相提问）角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度注意几点：1、今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略，如：3表示3rad ， sin π表示πrad 角的正弦；四、 例题讲解例1、把'3067 化成弧度。
例2、把rad π53化成度。
(1)引申练习：用弧度制表示 1、终边在x 轴上的角的集合2、终边在y 轴上的角的集合3、终边在坐标轴上的角的集合。
(2)课堂练习：教材练习P9 1、 23、将下列各角化成π2~0的角加上()Z k k ∈π2的形式： （1）193π；﹙2﹚ –315°。
例3、利用弧度制证明下列关于扇形的公式： (1) aR l = (2) 221aR S = (3)lR S 21=课堂练习1、已知扇形周长为10cm ，面积为6cm 2，求扇形中心角的弧度数．2、已知半径为R 的扇形，其周长为4R ，求扇形中所含弓形的面积。
五、课后作业1、下列各对角中，终边相同的角是( )A. πππk 222+-和（ｋ∈Ｚ）B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9122320ππ和2、若3-=α，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、若α是第四象限角，则απ-一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ；第一或第三象限角的集合为 。
5、7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 。
6、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )A.扇形的面积不变B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的2倍D.扇形的圆心角增大到原来的2倍 7、经过一小时，时钟的时针转过了( ) A. 6π rad B.－6π rad C.12πrad D.－12πrad 8、圆的半径变为原来的21，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。
9、若α＝－216°，l ＝7π，则ｒ＝ (其中扇形圆心角为α，弧长为l ，半径为r )。
10、在半径为π30的圆中，圆心角为周角的32的角所对圆弧的长为 。
11、已知集合{}Z k k k A ∈+≤≤=,22|ππαπα，{}44|≤≤-=ααB ，求A ∩B 。
12、已知扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？六、课堂小结：角度制与弧度制的换算： 七、课后反思：1. 2. 1任意角的三角函数（1）一、学习目标1、理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，2、会用定义求任意角的三角函数值。
3、能运用三角函数的定义和公式一进行一点简单的计算。
二、学习重点难点：重点：任意角的三角函数的定义，任意角的三角函数的符号 难点：用角的终边上的点的坐标刻画角的三角函数。
三、自主学习1、定义一：设α是一个任意角，它的终边上的任意一点),(y x P （非坐标原点O ）且r OP =，则=αsin ,=αcos ,=αtan2、定义二：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(y x P ，那么=αsin ,=αcos ,=αtan3、三角函数在各象限内的符号规律：一全正、二正弦，三正（余）切四余弦。
4、诱导公式一（其中Z ∈k ）：ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k 四、例题讲解：例1、已知角α的终边经过下列各点，求α的六个三角函数值： (1)()2,3P -； (2)()0,3Q -。
例2、求下列各角的六个三角函数值：(1) 0 (2) π (3)23π(4)2π例3、填表：αsinαcosαtan例4、⑴ 已知角α的终边经过P(4,-3),求2sin α+cos α的值；⑵已知角α的终边经过P(4a,-3a),(a ≠0)求2sin α+cos α的值。
例5、确定下列三角函数值的符号：(1)cos250° （2）)4sin(π- （3）tan （－672°） (4))311tan(π例6、求下列三角函数的值： (1) 1485sin (2)49cosπ（3）)611tan(π-.例7、求值：sin(-1380°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan4860°．例8、设α是第二象限的角，且|cos |cos ,222ααα=-求的范围。
三、针对训练：教材P20，习题1.2A3,41、若角θ的终边经过P(a,0)，a ≠0，那么下列各式中不存在的是( )A.sin θB.cos θC.tan θ2、如果角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在函数y ＝-5x(x＜0)的图像上，那么cos α的值为( )A.±2626B. 2626C. - 2626D.- 513、若点P (－3，ｙ)是角α终边上一点，且32sin -=α，则ｙ的值是4、角α的终边上一个点P 的坐标为(5a , -12a ) (a ≠0)，求sin α+2cos α的值。
5、已知角α的终边上一点P 与点A(-3，2)关于y 轴对称，角β的终边上一点Q与点A 关于原点对称，求2sin α+3sin β的值.6、角θ的终边上一点P 的坐标是（x ，–2）(x ≠0)，且3cos x =θ，求sin θ和tan θ的值。
7、若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 以上三种情况都可能8、已知1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？四、课堂小结：1、任意角的三角函数的定义：2、任意角的三角函数值的正负1. 2. 1任意角的三角函数—任意角的三角函数线一、知识归纳：1、有向线段：2、正弦线、余弦线、正切线：二、例题选讲：例1、做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：⑴56π ⑵136π-例2、在单位圆中画出适合下列条件的角的终边：⑴ 1sin 2α= ⑵cos 2α=- ⑶tan 1α=三、针对训练：1、利用三角函数线比较下列数的大小：（1）cos1,cos 2,cos3,cos 4,cos5（2）x x x tan ,sin ,1.2.2同角三角函数的基本关系一、学习目标：1、掌握同角三角函数的基本关系式的推导方法2、会用同角三角函数的基本关系式进行化简和运算。
二、学习重点难点重点：同角三角函数的基本关系式的推导与应用难点：同角三角函数的基本关系式的几何推导三、自主学习1、同角三角函数基本关系式：平方关系是： ；倒数关系是： ；2、两种常见应用：一、知一求二；二、化简与证明二、例题讲解：例1、已知54sin =α，并且α是第二象限角，求α的其他三角函数值．引申练习：（1）已知178cos -=α，求sin α、tan α的值． （2）已知tan α=2，求sin α，cos α．例 3、已知21cos sin =+αα，求下列各式的值①ααcos sin -； ②ααcos sin •三、针对训练：1、教材P20，1,22、已知135sin =α，求ααtan ,cos .例4、化简： 440sin 12-。
针对训练:教材P20,练习：4,5例5、已知αααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简。