第4章 计算机控制系统离散化设计

系统的W(z)或We(z)应具有的形式。
根据终值定理得
e * () lim (1 z 1)E(z) Z 1
lim (1
Z 1
z
1
)We
(
z
)
R(
z)
第4章 计算机控制系统离散化设计
对于以上三种典型输入信号R(z)分别为
单位阶跃：
R(z) 1 1 z 1
单位速度：
Tz 1 R(z)
(1 z 1 )2
第4章 计算机控制系统离散化设计
4.1 最少拍计算机控制系统的设计
最少拍设计，是指系统在典型输入信号(如阶跃信号， 速度信号，加速度信号等)作用下，经过最少拍（有限拍） 使系统输出的稳态误差为零。图4.1所示是最少拍控制系 统结构图。
G(z)
r(t) e(t) e*(t)
D(z)
R(z)
T E(z)
单位加速度：
T 2 (1 z 1 )z 1 R(z)
2(1 z 1 )3
可统一表达为： R(z) A(z) (1 z 1 )m
式A(z)中为不含 (1 z 1 ) 因子的z-1的多项式。
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对于
单位阶跃： m=1， A(z) 1
单位速度： m=2， A(z) Tz 1
第4章 计算机控制系统离散化设计
利用直接数字设计法设计最少拍控制系统，要考虑以下 几点。 (1)对于特定的参考输入信号，到达稳态后，系统在采样 时刻精确实现对输入的跟踪。 (2)系统以最快速度达到稳态。 (3)D(z)应是物理可实现的。 (4)闭环系统应是稳定的。 1．假设条件 为了使设计简明起见，提出如下三个假设条件。 (1)G(z)在单位圆上和圆外无极点，（1，j0）点除外； (2)G(z)在单位圆上和圆外无零点； (3)G0(s)中不含纯滞后。
闭环Z传递函数为 W (z) D(z)G(z)
1 D(z)G(z)
闭环误差Z传递函数为
We
(
z)
1
1 D( z )G ( z )
其中，G(z)是已知的，D(z)是待求的，而W(z)、We(z)是
由性能指标确定的。
第4章 计算机控制系统离散化设计
为了确定W(z)或We(z)，讨论在单位阶跃、单位速度、 单位加速度三种典型输入信号作用下无稳态误差最少拍
单位加速度：m 3 , We (z) (1 z1)3 , W (z) 3z1 3z2 z3
由上式可知，使误差衰减到零或输出完全跟踪输入所需
的调整时间，即为最少拍数对应于m=1，2，3分别为1拍，
2拍，3拍。
3．D(z)的确定 根据给定的G(z)，可由满足性能指标要求的希望开环Z传 递函数直接求解出对应于m=1，2，3时的数字控制器D(z)。
m
3, D(z)G(z)
z1(3 3z1 (1 z1)3
z2 )
, D(z)
z1(3 3z1 z2 ) (1 z1)3G(z)
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4．最少拍系统分析
(1)单位阶跃输入时
Y (z)
W (z) R(z)
z 1 1 z 1
z 1
z 2
z 3
单位加速度： m=3，
T 2 (1 z 1 )z 1 A(Z )
则有
2
e
*
()
lim (1
Z 1
z
1 )We
(z)
(1
A( z ) z 1 ) m
若要求稳态误差为零的条件是We(z)应具有如下形式
We ( z) (1 z 1 ) m F ( z)
则 e *() lim(1 z1) A(z)F (z) 0 Z 1
We (z) (1 z 1 )m
希望闭环Z传递函数应为
W (z) 1 We (z) 1 (1 z 1 )m
第4章 计算机控制系统离散化设计
对于不同输入We(z)、W(z)形式如下： 单位阶跃： m 1 , We (z) 1 z1 , W (z) z1 单位速度： m 2 , We (z) (1 z1)2 , W (z) 2z1 z 2
第4章 计算机控制系统离散化设计
2．希望Z传递函数
为了选择适当的数字控制器D(z)，可以先将性能指
标要求表达成希望闭环Z传递函数W(z)或者闭环误差Z传
递函数We(z) 或者开环Z传递函数D(z)G(z)，然后再根据
G(z)反求出D(z)。这样，求得的D(z)只要满足物理可实现
的条件，那么D(z)就是所要求的数字控制器。
其中F(z)是待定的不含因子(1-z-1)的关于z-1的有理分式或
的有限项多项式，m是R(z)的分母(1- z-1)的阶数。
第4章 计算机控制系统离散化设计
为使稳态误差最快衰减到零，即为最少拍系统，就 应使We(z)最简单，即阶数n最小，即完全可以想象若取 F(z)=1，则We(z)最简单，则得到无稳态误差最少拍系统 的希望闭环误差Z传递函数就应为
第4章 计算机控制系统离散化设计
第4章 计算机控制系统的离散化设计
第4章 计算机控制系统离散化设计
离散化设计法则首先将系统中被控对象加上保持器 一起构成的广义对象离散化，得到相应的以Z传递函数， 差分方程或离散系统状态方程表示的离散系统模型。然 后利用离散控制系统理论，直接设计数字控制器。由于 离散化设计法直接在离散系统的范畴内进行，避免了由 模拟控制系统向数字控制器转化的过程，也绕过了采样 周期对系统动态性能产生严重影响的问题。是目前采用 较为广泛的计算机控制系统设计方法。
第4章 计算机控制系统离散化设计
由于
D(z)G(z) 1 We (z) W (z)
则
We (z) 1 W (z)
Baidu Nhomakorabea
m
1,
D( z )G ( z )
z 1 1 z1
,
D(z)
(1
z 1 z 1 )G ( z )
m
2,
D(z)G(z)
2z1(1 0.5z1) (1 z1)2
,
D(z)
2z1(1 0.5z1) (1 z1)2 G(z)
u*(t) ZOH
T U(z)
y(t) G0(s)
Y(z)
图4.1 最少拍系统结构图
第4章 计算机控制系统离散化设计
4.1.1 最少拍系统设计的基本原则
最少拍控制系统是在最少的几个采样周期内达到在 采样时刻输入输出无误差的系统。显然，这种系统对闭 环Z传递函数W(z)的性能要求是快速性和准确性。
对系统提出性能指标要求是，在单位阶跃函数或等 速函数、等加速度函数等典型输入信号作用下，系统在 采样点上无稳态误差，并且调整时间为最少拍。