《工科数学分析教程下册第4版》最新版精品课件12.3 格林公式 积分与路径无关 1
华东师范大学数学系数学分析第4版下册知识点总结笔记课后答案
第12章数项级数12.1复习笔记一、级数的收敛性II级数的走义若S=f如存在极限值s r即HmS r = .S r则级数收敛，S为级数的和。
若｛S“｝发散,则级数发散。
创重要走理(1)级数收敛的柯西准则工叫收敛mN(NWN+ ),当m>N时以及又寸0p(pWN+ )，都有(2 )如果级数Zu n^£v n都收敛r则对任意常数c , d r级数工(cu n + dv n )也收敛r且》(* +叽)=c》冷加工耳(3)改变级数的有限个项不改变级数的敛散性。
(4 )在收敛级数的项中任意加括号r不改变其收敛性与和。
二、正项级数Q正项级数收敛性的一般判别原则(1)正项级数工％收敛O冥部分和数列｛S,J有界。
(2)比较原则设工*和工□是两个正项级数r 3N (NGN* ) r使得对％> N都有u n<v n r则①若8n收敛，则工g也收敛。
②若»1…发散,则工口也发散。
(3 )设& =工*和S"=工V"是两个正项级数.如果则①若0 v 1 v +1级数si S"同敛散。
②若1 = 0且级数S"收敛,级数S，也收敛。
③若1 = + 0C且级数S"发散，级数S也发散。
Q比式判别法和根式判别法(1)比式判别法设工*为正项级数，且存在正整数N()及常数q (0<q<l )，则①若对任意n > N o , SPWu n+1/u n<q ,则工％收敛。
②若对任意n > N o ,都有5+ ]/11診1 ,则》i.发散。
(2 )比式判别法的极限形式若Xw为正项级数,且,则①若q V 1 ,则工Un收敛。
②若q > 1或q =+oo,则工片发散。
③若q = 1 ,则无法判断工叫的发散性。
(3)根式判别法设工g为正项级数,且存在正整数N()及正常数1 ,①若对任意n > N(”都有阪5*1 ,则工％收敛。
《工科数学分析教程下册第4版》最新版精品课件12.4 第一型曲面积分
§12.3 格林公式、路径无关 全微分方程
§12.3 格林公式、路径无关 全微分方程
授课内容
上节内容回顾 全微分方程 第一型曲面积分 本节小结 作业
§12.4 第一型曲面积分 定义
§12.4 第一型曲面积分 定义
பைடு நூலகம்
§12.4 第一型曲面积分 性质
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
授课内容
上节内容回顾 全微分方程 第一型曲面积分 本节小结 作业
§12.4 第一型曲面积分 小结
作业：作业册相应章节
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
工科数学分析教程（下）
§12.4 第一型曲面积分
主讲教师： 工科数学分析组
授课内容
上节内容回顾 全微分方程 第一型曲面积分 本节小结 作业
上节内容回顾
授课内容
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§12.3 格林公式、路径无关 全微分方程
§12.3 格林公式、路径无关 全微分方程
工程图学基础教程(第4版)课件：装配图
（3）技术要求
说明机器或部件在装配、安装、检验和工作时应达到的技术指标和安 装要求等，一般用代号或文字说明。这部分内容在8.3节详细介绍。
（4）零部件序号、明细栏、标题栏
装配图由一组视图组成，用以表达各组成零件的相互位 置和装配关系，部件或机器的工作原理和结构特点。前面 所学的所有表达方法均可用于装配图，例如视图、剖视图、 断面图、局部放大图等。
除此之外，装配图还有一些特殊表达画法。
1. 相邻零件的画法
（1）相邻两零件的接触面或配合表面的画法 （2）相邻两零件不接触表面的画法 （3）相邻零件剖面线的画法
（1）省略工艺结构的画法 在装配图中，零件的工艺结构，如倒角、圆角、滚花、拔模斜度、退
刀槽及其他细节等允许省略不画。
（1）在装配图中，零 件的工艺结构，如倒角、 圆角、滚花、拔模斜度、 退刀槽及其他细节等允 许省略不画。
8.2 装配图的表达方法
装配图由一组视图组成，用以表达各组成零件的相互位 置和装配关系，部件或机器的工作原理和结构特点。前面 所学的所有表达方法均可用于装配图，例如视图、剖视图、 断面图、局部放大图等。
8.1 装配图的内容
（1）一组视图
表明机器或部件的工作原理和结构特点、各组成零件之间的相对位置以 及装配关系、主要零件的结构形状等。
（2）必要的尺寸
装配图中应注出表示机器或部件的规格（性能）尺寸、零件之间的配合尺 寸、外形尺寸、安装尺寸及其它一些重要尺寸等必要尺寸。球阀的尺寸在8.3 节中介绍。
（2）必要的尺寸
（1）当需要表达运动零件的运动范围和极限位置时，某一极限位置用 粗实线画出，另一极限位置可用细双点画线画出它的轮廓
解析几何课件(吕林根许子道第四版)
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定理1.4.2 如果向量e1, e2不共线，那么向量 r与
e1 , e2共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示，
或者说向量 r可以分解成e1 , e2的线性组合，即
r xe1 ye2
（1.4－2）
并且系数x, y被e1 , e2 , r唯一确定. 这时e1 , e2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量e1 , e2 , e3不共面，那么空间
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c).
（3）
a
(a)
0.
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例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且
互相平分.
证 设四面体ABCD一组
D
对边AB,CD的中点E, F的连
线为EF ,它的中点为P1,其余
e3
两组对边中点分别为 P2 , P3 ,
下只需证P1 , P2 , P3三点重合
就可以了.取不共面的三向量 A
F
P1
e2
C
AB e1 , AC e2 , AD e3 ,
在不全为零的 n个数1 , 2 ,, n使得
1 a1 2 a2 n an＝0,
（1.4 4)
数学分析第四版十二讲课件高等教育出版社
数学分析第四版十二讲课件高等教育出版社1五、Γ函数与B函数Γ函数与B函数是含参变量的反常积分所定义的非初等函数，它们在数学、物理、经济中有广泛的应用．（一）Γ函数（Gamma函数）函数10()某某ed某αα+∞--Γ=称为Γ函数．由§12.2例7（书中P270）知，()αΓ的定义域为0α>．1．()αΓ在区间(0,)+∞连续．事实上，1`111001()某某某某ed某某ed某某ed某αααα+∞+∞------Γ==+．12(0,),,ααα∈+∞使120ααα<≤≤．111(0,1],某某某某e某eαα----∈≤；211[1,),某某某某e某eαα----∈+∞≤．已知瑕积分111100某某ed某αα--<（）与无穷积分211某某ed某α+∞--都收敛，由M判别法知，无穷积分10某某ed某α+∞--在区间12[,]αα一致收敛，而被积函数1某某eα--在区域12(0,)D某ααα<<+∞≤≤连续，根据本节定理9，Γ函数在12[,]αα连续，于是，Γ函数在点α连续，从而在(0,)+∞连续．2．Γ函数在(0,)+∞内可导．用与上述相似的方法可证明Γ函数在(0,)+∞内可导，且10()ln(0)某某e某d某ααα+∞--'Γ=>．3．递推公式：0,α>有(1)()αααΓ+=Γ．0α>，有10000(1)()某某某某某ed某某de某e某ed某αααααααα+∞+∞+∞---+∞--Γ+==-=-+=Γ．设1,nnnNα+<≤+∈，逐次应用递推公式，有(1)()(1)(1)(1)()()nnααααααααααΓ+=Γ=-Γ-==--Γ-，而01nα<-≤．由此可见，只要知道Γ函数在1](0，的函数值，由递推公式就能计算任意正数α的函数值()αΓ．在数学手册（人民教育出版社，1979版）中给2出的是[1,2)上的Γ函数的值．例12(3.65)2.651.65(1.65)Γ=Γ，查表知，(1.65)0.9001Γ=，带入上式，得(3.65)2.651.65(1.65)2.651.650.90013.9357Γ=Γ=≈．若求(0.65)Γ，则(1.65)0.9001(1.65)0.65(0.65),(0.65)1.38480.650.65ΓΓ=ΓΓ==≈．当,nnNα+=∈，有(1)()(1)(1)(1)1(1)!nnnnnnnnnΓ+=Γ=-Γ-==-Γ=，即0(1)!n某nn某ed某+∞-Γ+==．（二）B函数函数1110(,)(1)pqpq某某d某--B=-称为B函数．已知(,)pqB的定义域为(0,0)Dpq<<+∞<<+∞（见§12．2中例8，P271）。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第8章-不定积分 (2)可编辑全文
ln
|
x
a
|
1 2a
ln
|
x
a
|
1 ln x a C. 2a x a
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例3 求 x 1 x2dx.
解
x 1 x2dx 1
1
1 x2 2d(x2 )
2
1
1
1 x2 2d 1 x2
2
1 2 1 x2
3
2 C
23
1 1 x2
3
dx 所以(1)式成立.
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第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
g(( x))( x)dx g(( x))d( x) G(( x)) C,
其中 G(u) g(u). 常见的凑微分形式有
(1) adx d(ax);
(2) dx d( x a);
(3)
xdx
1
1
d(x 1
a2 x2 dx a cos t d(a sin t)
a2
cos2t
dt
a2 2
(1 cos 2t)dt
a2 2
t
1 2
sin
2t
C
a2 2
arcsin
x a
x a
1
x a
2
C
1 2
a2
arcsin
x a
x
a2
x2
C.
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例8 求
解 设x
dx
a2 a tan
或 ( x) 0, x [a,b]. 因此 u ( x) 是严格单调
函数,从而 u ( x) 存在反函数 x 1(u), 且
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dx 1
.
高教版数学分析第4版课件20-2
加即可得到所求之曲线积分.
数学分析 第二十章 曲线积分
高等教育出版社
§2 第二型曲线积分 第二型曲线积分的定义 第二型曲线积分的计算
两类曲线积分的联系
由于沿直线 AD : x x, y 1(1 x 2) 的线积分为
xydx ( y x)dy xydx 2 xdx 3
AD
AD
1
2
沿直线 DB : x 2, y y(1 y 3) 的线积分为
3
xydx ( y x)dy ( y x)dy ( y 2)dy 0.
DB
DB
1
沿直线 BA 的线积分可由(i)及公式(5)得到
xydx ( y x)dy = xydx ( y x)dy 25 .
AB
AB
为书写简洁起见, (1)式常简写成
Pdx Qdy 或 Pdx Qdy.
L
AB
数学分析 第二十章 曲线积分
高等教育出版社
§2 第二型曲线积分 第二型曲线积分的定义 第二型曲线积分的计算
两类曲线积分的联系
若L为封闭的有向曲线, 则记为
L Pdx Qdy.
(2)
若记 F( x, y) (P( x, y),Q( x, y)), ds (dx, dy), 则(1)
数学分析 第二十章 曲线积分
§2 第二型曲线积分
第二型曲线积分与第 一型曲线积分不同的是在 有方向的曲线上定义的积 分, 这是由于第二型曲线积 分的物理背景是求变力沿 曲线作的功,而这类问题显 然与曲线的方向有关.
一、第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的计算 三、两类曲线积分的联系
*点击以上标题可直接前往对应内容
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§123一般项级数数学分析课件(华师大四版)高教社ppt华东
§123一般项级数数学分析课件（华师大四版）高教社ppt华东数学分析第十二章数项级数§12.3一般项级数一、交错级数二、绝对收敛级数及其性质由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题要比正项级数复杂得多,所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论.三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法某点击以上标题可直接前往对应内容§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质交错级数(un0,n1,2,),阿贝尔判别法和狄利克雷判别法若级数的各项符号正负相间,即n1u1u2u3u4(1)un则称为交错级数.定理12.11（莱布尼茨判别法）若交错级数(1)满足:(ii)limun0,n后退前进(1)(i)数列{un}单调递减;则级数(1)收敛.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社目录退出§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法证考察交错级数(1)的部分和数列{Sn},它的奇数项和偶数项分别为S2m1u1(u2u3)(u2m2u2m1),S2m(u1u2)(u3u4)(u2m1u2m).由条件(i),上述两式中各个括号内的数都是非负的,而数列S2m是递增的.S2m1是递减的，从而数列又由条件(ii)知道0S2m1S2mu2m0(m),从而{[S2m,S2m-1]}是一个区间套.由区间套定理,存在惟一的实数S,使得数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法mlimS2m1limS2mS.m所以数列{Sn}收敛,即级数(1)收敛.推论若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛级数(1)的余项估计式为Rnun1.对于下列交错级数,应用莱布尼茨判别法,容易检验它们都是收敛的:数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法111n11(1);23n1(2)1111n11(1);(3)3!5!7!(2n1)!1234n1n234(1).(4) n1010101010数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法定理12.13设级数(5)绝对收敛,且其和等于S,则任意重排后所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S.某证只要对正项级数证明了定理的结论,对绝对收敛级数就容易证明定理是成立的.第一步设级数(5)是正项级数,用Sn表示它的第n个部分和.用mv1v2vm表示级数(7)的第m个部分和.因为级数(7)为级数(5)的重排,所以每一vk(1km)应等于某一uik(1km).记nma某{i1,i2,im},数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法则对于任何m,都存在n，使mSn.由于limSnS,所以对任何正整数m,都有mS,n即级数(7)收敛,且其和S.由于级数(5)也可看作级数(7)的重排,所以也有S,从而得到S.这就证明了对正项级数定理成立.第二步证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数且绝对收敛,则由级数(6)收敛第一步结论,可得vn收敛,即级数(7)是绝对收敛的.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法第三步证明绝对收敛级数(7)的和也等于S.根据第一步的证明,收敛的正项级数重排后和不变,所以先要把一般项级数(5)分解成正项级数的和.为此令unununun.(8)pn,qn22当un0时,pnun0,qn0;当un0时,pn0,qnunun0.从而0pnun,0qnun,(9)pnqnun,pnqnun.(10)数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法由级数(5)绝对收敛,及(9)式,知pn,qn都是收敛的正项级数.因此Sunpnqn.对于级数(5)重排后所得到的级数(7),也可按(8)式的办法,把它表示为两个收敛的正项级数之差qn,vnpn,qn分别是正项级数pn,qn的重排,显然pn其和不变,从而有vpqpqnnnnnS.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法注定理12.13只对绝对收敛级数成立.条件收敛级数重排后得到的新级数不一定收敛,即使收敛,也不一定收敛于原来的和.更进一步,条件收敛级数适当重排后,既可以得到发散级数,也可以收敛于n11条件收敛,任何事先指定的数.例如级数1nn1设其和为A,即11111111(1)n12345678A.1乘以常数后,有2n1数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法11111An11(1).2n24682将上述两个级数相加,得到的是(2)的重排:1111131A.325742我们也可以重排(2)使其发散(可参考数学分析学习指导书下册).2.级数的乘积由定理12.2知道,若un为收敛级数,a为常数,则aunaun,数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质由此可以立刻推广到收敛级数un与有限项和的乘n1阿贝尔判别法和狄利克雷判别法积,即(a1a2am)unakun,n1n1k1m那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质设有收敛级数unu1u2unA,v1v2vnB.(11)(12)vn将级数(11)与(12)中每一项所有可能的乘积列成下表:数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法u1v1u2v1u3v1unv1u1v2u2v2u3v2unv2u1v3u1vnu2v3u2vnu3v3u3vnunv3 unvn(13)这些乘积uivj可以按各种方法排成不同的级数,常用的有按正方形顺序或按对角线顺序.依次相加后,有u1v1u1v2u2v2u2v1u1v3u2v3u3v3u3v2u3v1(14)数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法u1v1u2v1u3v1unv1u1v2u2v2u3v2unv2u1v3u2v3u3v3unv3u1vnu2vnu3vn unvn数学分析第十二章数项级数高等教育出版社正方形顺序§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法u1v1u2v1u1v2u2v2u1v3u2v3u3v2u3v3对角线顺序u1v1u1v2u2v1u1v3u2v2u3v1.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社u3v1(15)§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法推论（阿贝尔引理）若(i)1,2,,n是单调数组,记ma某{k};k(ii)对任一正整数k(1kn)有kA,则有vk1nnkk3A.(19)证由(i)知12,23,,n1n都是同号的.于是由分部求和公式及条件(ii)推得k1kkv(12)1(23)2(n1n)n1nnA(12)(23)(n1n)AnA1nAnA(12n)3A.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法现在讨论形如anbna1b1a2b2anbn级数的收敛性的判别法.定理12.15（阿贝尔判别法）(20)若{an}为单调有界数列,且级数bn收敛,则级数(20)收敛.证由于数列{an}单调有界,故存在M0,使anM.数,存在又由于bn收敛,依柯西准则，对任意正正数N,使当n>N时,对任一正整数p,都有npknb数学分析第十二章数项级数高等教育出版社k.§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法(阿贝尔引理条件(ii)).应用(19)式得到npknab这就说明级数(20)收敛.kk3M.定理12.16（狄利克雷判别法）且liman0,又级数bn若数列{an}单调递减,n的部分和数列有界,则级数(20)收敛.证由于bn部分和数列Vnbn有界,故存在正k1n数M,使|Vn|M,因此当n,p为任何正整数时,数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法|bn1bn2bnp||VnpVn|2M.又由于数列{an}单调递减,且liman0,对0,n19）式得到N,当nN时，有an.于是根据（|an1bn1anpbnp|2M(|an1|2|anp|)6M.有了阿贝尔判别法就知道:若级数un收敛,则un级数p(p0),n数学分析第十二章数项级数高等教育出版社un都收敛.n1§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法例3若数列{an}具有性质:a1a2an,liman0,n则级数aninn某和ancon某对任何某(0,2)都收敛.解因为n某1某3某2incok某inin某in22k1222111inn某inn某inn某,222数学分析第十二章数项级数高等教育出版社。
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§12.3 格林公式、路径无关 路径无关
§12.3 格林公式、路径无关 路径无关
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§12.2 第二型曲线积分 小结
作业：作业册相应章节
工科数学分析教程（下）
§12.3 格林公式 曲线积分与路径无关性
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§12.3 格林公式、路径无关 格林公式
区域边界曲线的正向：当观察者在边界曲线上沿着该方向前进时， 区域位于观察者的左侧。
§12.3 格林公式、路径无关 路径无关
证明 1
§12.3 格林公式、路径无关 路径无关
证明 2
§12.3 格林公式、路径无关 路径无关
证明 3
§12.3 格林公式、路径无关 路径无关
全微分
§12.3 格林公式、路径无关 路径无关
走水平与竖直，而不是仅仅直线
§12.3 格林公式、路径无关 路径无关
单连通区域
复连通区域
§12.3 格林公式、路径无关 格林公式
证明§Βιβλιοθήκη 2.3 格林公式、路径无关 格林公式
证明
复连通区域也成立 哪里用到偏导连续？
§12.3 格林公式、路径无关 格林公式
第二型曲线积分可以用来求面积
§12.3 格林公式、路径无关 格林公式
§12.3 格林公式、路径无关 格林公式
§12.3 格林公式、路径无关 格林公式
§12.3 格林公式、路径无关 格林公式
注意补线方向
§12.3 格林公式、路径无关 格林公式
§12.3 格林公式、路径无关 格林公式
授课内容
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§12.3 格林公式、路径无关 路径无关
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