2020年山东省济宁一中高考数学考前冲刺试卷(一)
2020年高考模拟山东省济宁市嘉祥一中高考数学第一次模拟试卷 含解析
2020年高考数学第一次模拟测试试卷一、选择题1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4}B．{x|1＜x＜4}C．{1，2，3}D．{2，3}2．复数z满足，则|z|＝（）A．2i B．2C．i D．13．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．C．﹣3D．﹣4．函数f（x）＝的部分图象是（）A．B．C．D．5．“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．若，则a+2b的最小值为（）A．6B．C．3D．7．已知圆C：x2+y2﹣10y+21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．8．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A．16πB．20πC．32πD．64π二、多项选择题9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cD．若a＞b，c＞d＞0，则10．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2三、填空题13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b2+c2﹣a2＝bc，则tan B＝．14．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为尺．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（4，0），过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝，的最小值为．16．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值18．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB ＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校比例等级学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H优秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%（Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）21．已知椭圆C：3x2+4y2＝12．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上，直线AP，BP分别与直线x＝4相交于点M，N．当点P运动时，以M，N为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你的结论．22．已知函数f（x）＝m sin（1﹣x）+lnx．（1）当m＝1时，求函数f（x）在（0，1）的单调性；（2）当m＝0且时，，求函数g（x）在（0，e]上的最小值；（3）当m＝0时，有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4}B．{x|1＜x＜4}C．{1，2，3}D．{2，3}【分析】可以求出集合A，B，然后进行补集和交集的运算即可．解：A＝{x∈Z|﹣4＜x＜4}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x≤1}，∴∁U B＝{x|x＞1}，A∩（∁U B）＝{2，3}．故选：D．2．复数z满足，则|z|＝（）A．2i B．2C．i D．1【分析】根据已知条件，先求出复数z的代数形式，代入模长公式即可．解：依题意，因为复数z满足，所以z＝＝＝i，所以|z|＝1，故选：D．3．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．C．﹣3D．﹣【分析】先求得得＝＝（3，1），再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值，可得结论．解：由题意可得＝＝（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m＝﹣3，故选：C．4．函数f（x）＝的部分图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析：分析可得f（x）为奇函数，排除B，结合函数的解析式可得当0＜x＜1时，f（x）＜0，排除C，当x＞1时，f（x）＞0，排除D；据此即可得答案．解：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，又由f（﹣x）＝＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B，当0＜x＜1时，ln|x|＝lnx＜0，x3＞0，则有f（x）＜0，排除C，当x＞1时，ln|x|＝lnx＞0，x3＞0，则有f（x）＞0，排除D，故选：A．5．“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】设f（x）＝a sin x+1，分类求得函数的值域，由∃x0∈R，a sin x0+1＜0求得a的范围，可知“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的不必要条件；取，当a＜﹣1时，a sin x0+1＜0成立，说明“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的充分条件．解：必要性：设f（x）＝a sin x+1，当a＞0时，f（x）∈[1﹣a，1+a]，∴1﹣a＜0，即a ＞1；当a＜0时，f（x）∈[1+a，1﹣a]，∴1+a＜0，即a＜﹣1．故a＞1或a＜﹣1；充分性：取，当a＜﹣1时，a sin x0+1＜0成立．∴“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的充分不必要条件．故选：A．6．若，则a+2b的最小值为（）A．6B．C．3D．【分析】，变形log3（2a+b）＝1+log3ab，可得a，b＞0，+＝3，可得a+2b＝（a+2b）（+）＝（5++），利用基本不等式的性质即可得出．解：，∴log3（2a+b）＝1+log3ab，∴2a+b＝3ab，a，b＞0．化为：+＝3．则a+2b＝（a+2b）（+）＝（5++）≥（5+2×2）＝3，当且仅当a＝b＝1时取等号．故选：C．7．已知圆C：x2+y2﹣10y+21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离d＝r，列方程求出离心率e＝的值．解：双曲线﹣＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，圆C：x2+y2﹣10y+21＝0化为标准方程是：x2+（y﹣5）2＝4，则圆心C（0，5）到直线bx﹣ay＝0的距离为d＝r；即＝＝2，解得＝，即双曲线的离心率是e＝．故选：C．8．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A．16πB．20πC．32πD．64π【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积．解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O'，接圆的半径r，正三棱锥的外接球的球心在高SO'所在的直线上，设为O，连接OA得，：r＝，∴r＝2，即O'A＝2，所以三棱锥的高h＝＝＝6，由勾股定理得，R2＝r2+（R﹣h）2，解得：R＝4，所以外接球的表面积S＝4πR2＝64π．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cD．若a＞b，c＞d＞0，则【分析】利用不等式的基本性质，或者反例判断选项的正误即可．解：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，所以A不正确；若ab＞0，bc﹣ad＞0，可得，即﹣＞0，所以B正确；若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，即a﹣d＞b﹣c，所以C正确；若a＞b，c＞d＞0，则．不正确，反例a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，d＝﹣3，显然，，所以D不正确．故选：BC．10．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β【分析】利用空间线面、面面位置关系的判定即可得出结论．解：A．由m∥n，m⊥α，则n⊥α，正确；B．由m∥α，α∩β＝n，则m与n的位置关系不确定；C．由m⊥α，m⊥β，则α∥β正确D．由m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β，因此不正确．故选：AC．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．【分析】利用向量的加法法则，先用，进而表示出．解：由AB＝2AD＝2DC知：∵，∴＝＝，故A选项正确．又∵，∴＝＝＝，故B选项正确．∵，∴＝，故C正确．∵＝＝，D不正确．故选：ABC．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2【分析】函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，进而判断出结论．解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝．可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b2+c2﹣a2＝bc，则tan B＝4．【分析】先由余弦定理求出cos A的值，结合正弦定理进行化简即可．解：由b2+c2﹣a2＝bc得cos A＝＝＝，则sin A＝，若，则+＝＝1，即+＝1，得＝，得tan B＝4，故答案为：4．14．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为1.5尺．【分析】根据题意列等式，再用等差数列的通项公式和求和公式去求解，即得．解：由题意知为单调递增的等差数列，设为a1，a2，…，a12，公差为d，，代入得，联立方程解得a1＝1.5，故答案为：1.5．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（4，0），过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝8，的最小值为．【分析】先有焦点坐标求出p，再讨论当直线l的斜率不存在时，求出答案，当直线l的斜率存在时，根据韦达定理和抛物线的定义即可求出+＝，代入，根据基本不等式即可求最小值解：抛物线y2＝2px的焦点F，因为F（4，0），∴＝4⇒p＝8⇒y2＝16x；当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4，由，可得M（4，8），N（4，﹣8），∴|MF|＝|NF|＝8，∴＝﹣＝；当直线l的斜率存在时，设过点F作直线l的方程为y＝k（x﹣4），不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消y可得k2x﹣（16+8k2）x+16k2＝0，∴x1+x2＝8+，x1x2＝16，∴|MF|＝x1+＝x1+4，|NF|＝x2+＝x2+4，∴+＝+＝＝＝．∴＝﹣4（﹣）＝+﹣1≥2﹣1＝．（当且仅当|NF|＝6时等号成立）．故答案为：8，．16．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是{a|a ≤2e﹣1}．【分析】由已知可得f（x）＝e x﹣x+t，且f（t）＝e t，进而可求t及f（x），然后代入已知不等式，结合恒成立与最值求解的相互转化可求．解：令t＝f（x）﹣e x+x，所以f（x）＝e x﹣x+t，因为f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，故t为常数且f（t）＝e t＝e，所以，t＝1，f（x）＝e x﹣x+1，f′（x）＝e x﹣1因为f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，所以2e x≥（a+1）x对x∈（0，+∞）恒成立，即a+1对x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，x＞0，则g′（x）＝，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x＝1时，函数取得最小值g（1）＝2e，故a+1≤2e即a≤2e﹣1．故答案为：{a|a≤2e﹣1}．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值【分析】（Ⅰ）由正弦定理得a sin B＝b sin A，结合a sin A＝4b sin B，得a＝2b．再由，得，代入余弦定理的推论可求cos A的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入a sin A＝4b sin B，得sin B，进一步求得cos B．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：，∴a＝2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A＝4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．18．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）S n＝3n2+8n，∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝6n+5，n＝1时，a1＝S1＝11，∴a n＝6n+5；∵a n＝b n+b n+1，∴a n﹣1＝b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1＝b n+1﹣b n﹣1．∴2d＝6，∴d＝3，∵a1＝b1+b2，∴11＝2b1+3，∴b1＝4，∴b n＝4+3（n﹣1）＝3n+1；（Ⅱ）c n＝＝＝＝＝＝＝＝6（n+1）•2n，∴T n＝6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n＝6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n＝6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]＝12+6×﹣6（n+1）•2n+1＝（﹣6n）•2n+1＝﹣3n•2n+2，∴T n＝3n•2n+2．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB ＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）推导出BC1⊥BC，AB⊥BC1，由此证明C1B⊥平面ABC；（2）以B为原点，BC，BC1，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设在棱CA 上存在点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，由＝λ，λ∈[0，1]，求出的坐标及平面A1B1E的法向量，利用法向量求出EM与平面A1B1E所成角的正弦值，列方程求出λ的值即可．【解答】（1）证明：∵BC＝1，CC1＝2，∠BCC1＝，∴BC1＝，∴BC2+BC12＝CC12，得BC1⊥BC，又AB⊥侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1，又AB∩BC＝B，∴C1B⊥平面ABC；（2）以B为原点，BC，BC1，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，0，2），B1（﹣1，，0），A1（﹣1，，2），E（，，0），C（1，0，0）．则＝（﹣，，0），＝（0，0，2）．设平面A1EB1的法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，求得＝（1，，0）．假设在棱CA上存在一点M（a，b，c），使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，不妨设＝λ，λ∈[0，1]．又＝（a﹣1，b，c），＝（﹣1，0，2），∴，∴M（1﹣λ，0，2λ），∴＝（﹣λ，﹣，2λ），又平面A1B1E的法向量为＝（1，，0），则EM与平面A1B1E所成角的正弦值为：|cos＜，＞|＝＝＝，化简得69λ2﹣38λ+5＝0，解得λ＝或λ＝．∴在棱CA上存在点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为．此时＝或．20．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校学校学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H比例A等级优秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%（Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）【分析】（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，即可得出从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．利用超几何分布列即可得出随机变量X的分布列．（Ⅲ）经过计算即可得出S12与S22的关系．解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．，所以随机变量X的分布列为：X012P（Ⅲ）S12＝S22．21．已知椭圆C：3x2+4y2＝12．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上，直线AP，BP分别与直线x＝4相交于点M，N．当点P运动时，以M，N为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你的结论．【分析】（Ⅰ）将方程化成标准方程，可得a，b，c进而求出离心率；（Ⅱ）分两种方法解题，由题意求出A，B的坐标，设直线AP，BP与x＝4联立求出M，N的坐标，设x轴一点Q，使得＝0，求出Q的坐标，即为定点．解：（Ⅰ）由得，那么a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2﹣b2＝1，解得a＝2，c＝1所以离心率；（Ⅱ）解法一：A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0），则，直线AP的方程：，令x＝4，得，从而M点坐标为，直线BP的方程：，令x＝4，得，从而N点坐标为，设以MN为直径的圆经过x轴上的定点Q（x1，0），则MQ⊥NQ，由得，由①式得，代入②得，解得x1＝1或x1＝7，所以以MN为直径的圆是否经过x轴上的定点（1，0）和（7，0），解法二：A（﹣2，0），B（2，0）设P（x0，y0），则，，设直线AP的方程：y＝k（x+2），令x＝4，得y M＝6k，从而M点坐标为（4，6k），则直线BP的方程：，令x＝4，得，从而N点坐标为，设以MN为直径的圆经过x轴上的定点Q（x1，0），则MQ⊥NQ，由得，可得，解得x1＝1或x1＝7，所以以MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0）和（7，0）．22．已知函数f（x）＝m sin（1﹣x）+lnx．（1）当m＝1时，求函数f（x）在（0，1）的单调性；（2）当m＝0且时，，求函数g（x）在（0，e]上的最小值；（3）当m＝0时，有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．【分析】（1）将m＝1代入f（x）中，然后求导判断f（x）在（0，1）上的单调性；（2）由条件求出g（x）的解析式，然后求导判断g（x）在（0，e]上的单调性，再求出其最小值；（3）求出个零点x1，x2，得到，构造函数，根据函数的单调性证明即可．解：（1）当m＝1时，f（x）＝sin（1﹣x）+lnx，则f'（x）＝﹣cos（1﹣x）+，当x∈（0，1），f'（x）在（0，1）上单调递减，∴f'（x）＞f（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，f（x）在（0，1）上单调递增．（2）当m＝0时，（，0＜x≤e），则＝，∵，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，e]上单调递减，∴．（3）当m＝0时，，∵x1，x2是函数的两个零点，∴，，．两式相减，可得，即，∴，∴，．令（0＜t＜1），则．记，则．∵0＜t＜1，∴F'（t）＞0恒成立，∴F（t）＜F（1），即．∴，故x1+x2＞1．。
【精品】2020年全国高考数学考前冲刺模拟试卷含答案(理)
【精品】2020年全国高考数学考前冲刺模拟试卷含答案（理 科 ）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2020·桂林一模]已知集合()0,2A =，{}e 1,x B y y x ==+∈R ，则A B I （ ） A ．()0,2B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()1,22．[2020·南宁适应]已知复数12i 1iz =-+-，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()1,3--B ．()1,3-C ．()1,3D ．()1,3-3．[2020·云师附中]根据如图给出的2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，以下结论不正确的是（ ）A ．自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势B ．自2005年以来，我国人口增长率维持在0.5%上下波动C ．从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大D ．可以肯定，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变大4．[2020·邯郸一模]位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A ．25m 12B ．25m 6C ．9m 5D ．18m 55．[2020·安阳一模]已知向量()2,1=a ，4+=a b ，1⋅=a b ，则=b （ ） A ．2B ．3C ．6D ．126．[2020·张家界期末]如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出 两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．π8B ．18C ．12D ．147．[2020·福州期中]某个团队计划租用A ，B 两种型号的小车安排40名队员（其中多数队员会开车且有驾驶证，租用的车辆全部由队员驾驶）外出开展活动，若A ，B 两种型号的小车均为5座车（含驾驶员），且日租金分别是200元/辆和120元/辆．要求租用A 型车至少1辆，租用B 型车辆数不少于A 型车辆数且不超过A 型车辆数的3倍，则这个团队租用这两种小车所需日租金之和的 最小值是（ ） A ．1280元B ．1120元C ．1040元D ．560元8．[2020·山西适应]正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4， 则{}n a 的公比是（ ）A ．1B ．2C 2D 29．[2020·玉溪一中]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．43B ．83C ．23D ．410．[2020·海口调研]已知函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，且()3f x +是偶函数，则()1.10.3a f =，()0.53b f =，()0c f =的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>11．[2020·泸州期末]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，A ，B 是圆()2224x c y c ++=与双曲线C 位于x 轴上方的两个交点，且190AF B ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．21+B ．21+C ．221+D ．221+12．[2020·福建三模]设函数()()32,,,0f x ax bx cx a b c a =++∈≠R ．若不等式()()3xf x af x '-≤对一切x ∈R 恒成立，则3b ca -的取值范围为（ ） A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2020·白银联考]已知函数()()24log 1,14,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩．若()1f a =，则()f a =_____．14．[2020·六盘山一模]函数()()13cos sin 022f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则函数在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的值域为______． 15．[2020·福建模拟]我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图，在空间直角坐标系中的xOy 平面内，若函数()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩的图象与x 轴围成一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移8个单位长度，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为________．16．[2020·雅礼中学]等差数列{}n a 的公差0d ≠，3a 是2a ，5a 的等比中项，已知数列2a ，4a ，1k a ，2k a ，L ，n k a ，L 为等比数列，数列{}n k 的前n 项和记为n T ，则29n T +=_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2020·四川诊断]如图，在ABC △中，已知点D 在BC 边上，且AD AC ⊥，27sin BAC ∠=，1AD =，7AB =． （1）求BD 的长； （2）求ABC △的面积．18．（12分）[2020·齐齐哈尔二模]某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示．（1）试估计该校学生在校月消费的平均数；（2）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式10,20040030,40080050,8001200xy xx≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≤≤⎩，根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（ii）若校服务部计划每月预留月利润的14，用于资助在校月消费低于400元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？19．（12分）[2020·衡水二中]如图所示，在四面体ABCD中，AD AB⊥，平面ABD⊥平面ABC，2AB BC AC==，且4AD BC+=．（1）证明：BC⊥平面ABD；（2）设E为棱AC的中点，当四面体ABCD的体积取得最大值时，求二面角C BD E--的余弦值．20．（12分）[2020·保山统测]已知点)2,0Q，点P是圆(22:212C x y+=上的任意一点，线段PQ的垂直平分线与直线CP交于点M．（1）求点M的轨迹方程；（2）过点()3,0A-作直线与点M的轨迹交于点E，过点()0,1B作直线与点M的轨迹交于点(),F E F不重合，且直线AE和直线BF的斜率互为相反数，直线EF的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF的斜率；若不是定值，请说明理由．21．（12分）[2020·聊城一模]已知函数()()2ln 2f x a x x a x =+++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设0a <，若不相等的两个正数1x ，2x 满足()()12f x f x =，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2020·衡阳二模]在直角坐标系xOy 中，设P 为22:9O x y +=e 上的动点，点D 为P 在x 轴上的投影，动点M 满足2DM MP =u u u u r u u u r，点M 的轨迹为曲线C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()1,0A ρ，2π2,B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭为直线l 上两点．（1）求C 的参数方程；（2）是否存在M ，使得M AB △的面积为8？若存在，有几个这样的点？若不存在，请说明理由．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2020·潍坊一模]已知函数()121f x x x =--+的最大值为t ． （1）求实数t 的值；（2）若()()21g x f x x =++，设0m >，0n >，且满足112t m n+=，求证：()()222g m g n ++≥．绝密 ★ 启用前数学答案一、选择题． 1．【答案】D【解析】因为e 11x y =+>，所以{}{}e 1,1x B y y x y y ==+∈=>R ， 又()0,2A =，所以()1,2A B =I ，故选D ． 2．【答案】A【解析】因为12i i i113z =-+-=-+，所以13i z =--，对应点的坐标为()1,3--，故选A ． 3．【答案】D【解析】解：由2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，知： 在A 中，自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势，故A 正确； 在B 中，自2005年以来，我国人口增长率维持在0.5%上下波动，故B 正确； 在C 中，从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大，故C 正确； 在D 中，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变小，故D 错误． 故选D ． 4．【答案】D【解析】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线()220x py p =->经过点()6,5-，则3610p =，解得185p =，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185p =．故选D ． 5．【答案】B【解析】∵4+=a b ，∴22216++⋅=a b a b ，∴2716+=b ，∴3=b ，故选B ． 6．【答案】D【解析】由题意知，大圆的面积为2π24πS =⋅=，阴影部分的面积为221π2ππ21S '⋅-⋅==， 则所求的概率为π14π4S P S '===．故选D ． 7．【答案】B【解析】设租用A 型车辆x 辆，租用B 型车辆y 辆，租金之和为z ，则135540x x y x x y ≥≤≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，200120z x y =+，作出可行域：求出区域顶点为()4,4，()2,6，将它们代入200120z x y =+，可得min 200212061120z =⨯+⨯=， 故选B ． 8．【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，可得()222337737216a a a a a a ++=+=，即374a a +=，5a 与9a 的等差中项为4，即598a a +=，设公比为q ，则()223748q a a q +==，则2q =（负的舍去），故选D ． 9．【答案】C【解析】画出三视图对应的原图如下图所示三棱锥1A BDE -．故体积为112122323⨯⨯⨯⨯=，故选C ．10．【答案】D【解析】由()3f x +是偶函数可得其图象的对称轴为0x =，所以函数()f x 的图象关于直线3x =对称．又函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，所以函数()f x 在(],3-∞上单调递增． 因为 1.10.500.333<<<，所以()()()1.10.500.33f f f <<，即b a c >>． 故选D ． 11．【答案】A【解析】解：圆()2224x c y c ++=的圆心为(),0c -，半径为2c ，且12AF c =，12BF c =，由双曲线的定义可得222AF a c =+，222BF c a =-，设12BF F α∠=，在三角形12BF F 中，()()()()22222222222cos 2222c c c a c c a c cc α+----==⋅⋅，在三角形12AF F 中，()()()22222244222cos 90sin 2222c c c a c c a c cc αα+-+-+︒+===-⋅⋅，由22sin cos 1αα+=，化简可得()22242c a c +=，即为2222c a c +，即有)2221a c =，可得21ce a==+A ．12．【答案】D【解析】因为()32f x ax bx cx =++，所以()232f x ax bx c '=++， 不等式()()3xf x af x '-≤，即()()()2323230a a x b ab x c ac x -+-+--≤．因为()()()2323230a a x b ab x c ac x -+-+--≤对一切x ∈R 恒成立，而三次函数的图象不可能恒在x 轴的下方， 所以230a a -=，解得3a =或0a =（舍去）． 所以2230bx cx ---≤对一切x ∈R 恒成立， 则00b c ==⎧⎨⎩或204120b Δc b >=-≤⎧⎨⎩，所以23c b ≥， 则223311999399244b c b c c c c a --⎛⎫=≥-=--≥- ⎪⎝⎭． 3b c a -的取值范围为9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选D ．二、填空题． 13．【答案】72【解析】因为()411log 22a f ===，所以()1174222f a f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，本题正确结果为72．14．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】函数()()13cos cos 02π3f x x x x ωωωω⎛⎫==+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2ππω=，∴2ω=，()cos 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内，2π2,π33π3x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1cos 2,132πx ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故答案为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．15．【答案】2π4+【解析】021d x x --⎰表示的是四分之一的圆的面积，且圆的半径是1，所以区域A 的面积为1π21424π1++⨯⨯=，所以圆柱的体积π282π44V +=⨯=+．16．【答案】232n n ++【解析】因为数列{}n a 是等差数列，且3a 是2a ，5a 的等比中项，所以()2325a a a =⋅，()()()211124a d a d a d +=+⋅+， 因为公差0d ≠，解得10a =， 公比4233a d q a d===，所以+1+1233n n n k a a d =⋅=⋅， 由{}n a 是等差数列可知()()111n k n n a a k d k d =+-=-， 所以()+131n n d k d ⋅=-，所以+131n n k =+， 所以231+1333331n n n n T n -=++⋅⋅⋅+++⨯ ()2+23131931322n n n n -=+=-⨯+-， 所以2219292393222n n n T n n ++⎛⎫+=⨯⨯++=+ ⎪⎝⎭-．三、解答题．17．【答案】（1）2BD =；（23【解析】（1）因为AD AC ⊥，所以π2BAD BAC ∠=∠-，所以π27cos cos sin 2BAD BAC BAC ⎛⎫∠=∠-=∠= ⎪⎝⎭．在BAD △中，由余弦定理得：()22222272cos 712714BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 所以2BD =．（2）在BAD △中，由（1）知，2221471cos 22122AD BD AB ADB AD BD +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以2π3ADB ∠=，则π3ADC ∠=．在ADC Rt △中，易得3AC =． 1127sin 73322ABCS AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△． 所以ABC △的面积为3．18．【答案】（1）680；（2）（i ）见解析；（ii ）160． 【解析】（1）学生月消费的平均数11311300500700900110020068040001000100020004000x ⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭．（2）（i ）月消费值落入区间[)200,400、[)400,800、[]800,1200的频率分别为0.05、0.80、0.15， 因此()100.05P ξ==，()300.80P ξ==，()500.15P ξ==， 即ξ的分布列为ξ 10 30 50 P0.050.800.15ξ的数学期望值()100.05300.80500.1532E ξ=⨯+⨯+⨯=．（ii ）服务部的月利润为32200064000⨯=（元）， 受资助学生人数为20000.05100⨯=，每个受资助学生每月可获得1640001001604⨯÷=（元）．19．【答案】（1）见证明；（2）30． 【解析】（1）证明：因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD I 平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥． 因为2AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥， 因为AD AB A =I ，所以BC ⊥平面ABD ．（2）解：设()04AD x x =<<，则4AB BC x ==-，四面体ABCD 的体积()()()2321114816326V f x x x x x x ==⨯-=-+()04x <<．()()()()2113161643466f x x x x x =-+=--'， 当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增； 当443x <<时，()0f x '<，()V f x =单调递减． 故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值． 以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，80,,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8,0,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，840,,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，44,,033E ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面BCD 的法向量为(),,x y z =n ，则00BC BD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u r u u u rn n ，即80384033x y z ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩， 令2z =-，得()0,1,2=-n ，同理可得平面BDE 的一个法向量为()1,1,2=-m ，则3056==⨯． 由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --30． 20．【答案】（1）2213x y +=；（2）定值，3．【解析】（1）如下图所示，连接MQ ，则3MC MQ MC MP CP +=+== 又22CQ =M 的轨迹是以C ，Q 为焦点的椭圆，因为2a =2c =a =c =1b =，故点M 的轨迹方程是2213x y +=．（2）设直线AE的方程为(y k x =+，则直线BF 的方程为1y kx =-+，由(2233y k x x y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 整理得()222231930k x x k +++-=．设交点()11,E x y 、()22,F x y ，则1x =，1x(11y k x =+ 由22133y kx x y =-++=⎧⎨⎩，消去y 整理得()223160k x kx +-=， 则22613kx k=+，222213113k y kx k -=-+=+．所以1212EFy y k x x -===-． 故直线EF的斜率为定值，其斜率为． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x+++++'=+++==，0x >， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在()0,+∞单调递增；当0a <时，02a x <<-当时，()0f x '<，当2ax >-时，()0f x '>，()f x ∴在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）()()12f x f x =Q ，()()22111222ln 2ln 2a x x a x a x x a x =∴++++++， ()()()()()221221212121ln ln 22a x x x x a x x x x x x a ∴-=-++=-+++-，()122121ln ln 2a x x x x a x x -∴+++=-，()()22af x x a x'=+++Q ，()121221121221ln ln 2222a x x x x a a f x x a x x x x x x -+⎛⎫'∴=++++=+ ⎪++-⎝⎭()222111222122121211211121ln 22ln ln 1x x x x x x x x a a a x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪=-=-=-⎪ ⎪+--+- ⎪⎝⎭+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 不妨设210x x >>，则211x x >，所以只要证21221121ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+， 令211x t x =>，()224ln 2ln 11t g t t t t t -∴=-=--++， ()()()()()()22222411410111t t t g t t t t t t t -+-'∴=-==-<+++， ()g t ∴在()1,+∞上单调递减，()()221ln1011g t g -∴<=-=+，21221121ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴-<+，1202x x f +⎛⎫'∴> ⎪⎝⎭． 22．【答案】（1）3cos sin x y αα==⎧⎨⎩；（2）见解析．【解析】（1）设()3cos ,3sin P αα，(),M x y ，则()3cos ,0D α． 由2DM MP =u u u u r u u u r ，得3cos sin x y αα==⎧⎨⎩．（2）依题，直线:0l x -，设点()3cos ,sin M αα，设点M 到直线l 的距离为d，()d αβ==+-≥将0θ=，π2代入sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1ρ=，24ρ=，8AB ==．12MAB S AB d =≥△∵8>M ，且存在两个这样的点． 23．【答案】（1）2t =；（2）见解析．【解析】（1）由()121f x x x =--+，得()3,131,113,1x x f x x x x x --≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩， 所以()()max 12f x f =-=，即2t =．（2）因为()1g x x =-，由1122m n+=， 知()()221211212g m g n m n m n m n ++=++-≥++-=+ ()1111212222222222n m m n m n m n⎛⎫=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当22n mm n=，即224m n =时取等号． 所以()()222g m g n ++≥．【精品】2020年全国高考数学考前冲刺模拟试卷（理 科 ）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
山东省济宁市第一中学2020届高三考前冲刺测试(一)化学试题
1济宁一中2020届高三考前冲刺测试一
化
学试题可能用到的相对原子质量：O 16Na 23P 31S 32C135.5Cu 64
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、单项选择题(本题包括10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意)1.化学与生活密切相关，下列说法错误的是
A.推广使用新能源汽车可以减少尾气的排放
B.红葡萄酒中充入的少量SO 2具有抗氧化的作用
C.消毒液长时间敞开保存会增强其消毒效果
D.作为医用呼吸机原材料之一的ABS 树脂属于有机高分子材料
2.
以二氧化锰为原料制取高锰酸钾晶体的实验流程如图所示，下列有关说法正确的是
A.“灼烧”时，可在玻璃坩埚中进行
B.“浸取”时，可用无水乙醇代替水
C.“转化”反应中，通入CO 2的目的是提供还原剂
D.“浓缩结晶”的目的是分离提纯KMnO 4
3.现有常用实验仪器：试管、烧杯、锥形瓶、导管、尾接管、酒精灯、表面皿、胶头滴管。
非玻璃仪器任选，补充下列仪器后仍不能完成对应实验或操作的是
A.蒸馏烧瓶------分离酒精和水
B.分液漏斗-----分离用CC14萃取溴水中的溴单质后的水层与油层
C.玻璃棒-----用pH 试纸测定酸雨的pH
D .
酸(碱)式滴定管-----酸碱中和滴定。
山东省济宁市第一中学2020届高三考前冲刺测试(一)数学试题含答案
济宁一中2020届高三考前冲刺测试一数学试题一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数()ln 1xf x x =-的定义域为（） A ．()0,+∞ B ．()()0,11,⋃+∞ C ．[)0,+∞D ．[)()0,11,⋃+∞2．已知向量a ，b 方满足()2,1a =，()1,b y =，且a b ⊥，则2a b +=（）AB ．C ．5D ．43．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是( ) A ．522B ．324C ．535D ．5784．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为θ，且2tan 3θ=，则该正四棱柱的外接球表面积为（）．A ．26πB ．28πC ．30πD ．32π5．已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1b =，c = 且()2sin cos 12cos sin B C C A C +=-，则ABC △的面积是（）A ．4B ．12C ．4或12D ．4或26．设等差数列{}n a 的公差为d ，若2n an b =，则“0d <”是“{}n b 为递减数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．将三枚骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“至少出现一个6点”， 则概率()A B P 的值为（）A ．6091B ．12C ．518D ．912168．在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的最大值为（） A ．2B ．4C ．5D ．6二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的． 9．若集合{}sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则正确的结论有（） A ．A B B ⋃= B ．RRB A ⊆C ．A B ⋂=∅D ．R RA B ⊆10．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕϕω⎛⎫=+<⎪⎝⎭>的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．ωπ=B ．3πϕ=C ．34x =是函数的一条对称轴．D ．()1,04k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭是函数的对称中心． 11．以下结论中错误．．的有（） A ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上被截距都相等的直线方程为20x y +-=． B ．设,a b R ∈，且0ab ≠，1ab >，则1a b>C ．．若m α⊂，n α⊄，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交．D ．以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =， 将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程是1x a y ba b--+=(0a b >>)，则下列结论正确的是（）A ．曲线C 关于(),a b 对称B ．22x y +的最小值为2222a b a b+ C ．曲线C 的周长为()2a b +D ．曲线C 围成的图形面积为2ab三、填空题：13．已知等比数列{}n a 满足563a a =，且21a =，则4a =______． 14．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x+++⋅⋅⋅+=______． 15．已知双曲线C 的焦点为()10,2F ，()20,2F -，实轴长为2，则双曲线C 的离心率是______； 若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12F Q F Q ⊥，则12QF F △的面积为______． 16．已知函数()21,2152,2x x x f x x +≤⎧=⎨->⎩，若()()07f f f a +=⎡⎤⎣⎦，则a =______． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
山东省高考数学模拟考试试题及答案.pdf
的通项 an = 3n −16 ， k = 4 ，同理②不存在，③ m.cksdu 牛逼 k = 4
18. （1）根据三角形面积很容易得出两边之比，再用正弦定理即可，60° （2）设 AC=4x（想想为什么不直接设为 x？），将三角形 CFB 三边表示出来，再用余
弦定理， 5 17 51
19. （1）取 SB 中点 M，易知 AM//EF，且 MAB=45°，可得 AS=AB，易证 AM⊥面 SBC， 进一步得证
C 6. 画个图，一目了然，A 7. 关键是把“所有”翻译成“任取”，C 8. 用 6、4、2 特值即可（更高级的，可以用极限特值 8-、4、2，绝招班里有讲），B 二、多项选择题 9. 这个，主要考语文，AD
10.
注意相同渐近线的双曲线设法，
x2 a2
−
y2 b2
=
，D
选项可用头哥口诀（直线平方……）
AC 11. B 选项构造二面平行，C 选项注意把面补全为 AEFD1（也可通过排除法选出），D 选项
CG 中点明显不在面上，BC 12. 利用函数平移的思想找对称中心，ABC 三、填空题 13. 确定不是小学题？36
14. 竟然考和差化积，头哥告诉过你们记不住公式怎么办，不过这题直接展开也可以， − 4 5
4
4
（2）单一关参模型，条件转化为 AB=CD=1（绝招班里有讲），剩下就是计算了，无解， 所以不存在 22. （1）送分的（求导可用头哥口诀），7
（2）考求导，没啥意思，注意定义域，单增 (0, +)
（3）有点意思，详细点写
由递推公式易知 an 1
( )( ) 由 an+1 −
7 = an + 7 − an +1
【附20套高考模拟试题】2020届山东济宁一中高考数学模拟试卷含答案
2020届山东济宁一中高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知||()2x f x x =g ，3(log 5)a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>2．在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知双曲线221:14x C y -=，双曲线22222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2,O 为坐标原点，若216OMF S =△，且双曲线C 1,C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是 （ ） A ．32B ．4C ．8D ．164．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n +=()*n N ∈，则7a =（ ）A ．73 B ．12764 C ．32132 D ．385645．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（ ）A ．83πB ．8πC ．6πD ．43π6．已知平面向量()2,a x =-v，(3b =r ，且()a b b -⊥r r r ，则实数x 的值为（ ） A ．3- B ．23C ．43D ．37．已知定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，有2()()0f x xf x '+>，且(1)0f -=，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A ．(1,0)(0,1)-UB ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(1,0)(1,)-??D ．(,1)(0,1)-∞-U8．已知椭圆22221(0) x ya ba b+=>>的一条弦所在的直线方程是50,x y-+=弦的中点坐标是()4,1,M-则椭圆的离心率是( )A．12B．22C．3D．59．在区间[]0π，上随机取一个数x，则事件2“sin cos?2x x+≥发生的概率为( )A．12B．13C．23D．71210．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．2(1)i i+B．()21i i-C．2(1)i+D．()1i i+11．已知函数()37sinf x x x x=--+，若()()220f a f a+->，则实数a的取值范围是A．(),1-∞B．(),3-∞C．()1,2-D．()2,1-12．下列说法错误的是（）A．命题“若2320x x-+=，则1x=”的逆否命题为：“若1x≠，则2320x x-+≠”B．“1x>”是“||1x>”的充分而不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题:p“存在x∈R，使得210x x++<”，则非:p“任意x∈R，均有210x x++≥”二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷(一)(含答案解析)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 ， ，则
A． B． C． 或 D．
2．已知 为虚数单位，则复数 的虚部为
A． B． C． D．
3．设 ，则“ ”是“直线 与直线 平行”的
13．已知 ，且 ，则 __________．
14．一组数据的平均数是8，方差是16，若将这组数据中的每一个数据都减去4，得到一组新数据，则所得新数据的平均数与方差的和是________．
15．已知A，B，C为球O的球面上的三个定点． ， ，P为球O的球面上的动点，记三棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ．若 的最大值为3．则球O的表面积为________．
考点：充分必要性．
4．B
【分析】
由题意结合向量的运算法则，以及向量的模的运算公式，即可求解.
【详解】
由题意结合向量的运算法则，可知： .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．C
【详解】
因为 ,可得 时， 的系数为 ，C正确.
6．D
20．如图，设点A，B的坐标分别为（- ，0），( )，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为- ．
（1）求P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．
21．某工厂的某种产品成箱包装，每箱 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立．
山东省济宁市第一中学2020届高三考前冲刺测试(一)数学试题(解析版)
济宁一中2020届高三考前冲刺测试一数学试题一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数()1lnxf x x =-的定义域为（ ） A. [)()0,11,⋃+∞ B. ()()0,11,⋃+∞ C. [)0,+∞ D. ()0,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据函数f （x ）的解析式，求出使解析式有意义的自变量取值范围即可． 【详解】函数ln ()1xf x x =-， ∴010x x >⎧⎨-≠⎩，解得x ＞0且x≠1，∴f（x ）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）． 故选B ．【点睛】本题考查了根据解析式求函数定义域的应用问题，是基础题． 2. 已知向量,a b 满足a =（2，1），b =（1，y ），且a b ⊥，则2a b +＝（ ）B. C. 5D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得y ，根据向量模的坐标表示求得正确答案. 【详解】根据题意，a =（2，1），b =（1，y ），且a b ⊥，则有a b ⋅=2+y ＝0，解可得y ＝﹣2，即b =（1，﹣2），则2a b +=（4，﹣3），故2a b +==5； 故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直和模的坐标表示，属于基础题.3. 某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是（ ） A. 522 B. 324 C. 535 D. 578【答案】A 【解析】 【分析】按照随机数表取数，不大于600的留下，大于600的去掉即可得． 【详解】所得样本编号依次为436，535，577，348，522， 第5个是522． 故选：A ．【点睛】本题考查随机数表抽样法，属于简单题．4. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为θ，且2tan 3θ=，则该正四棱柱的外接球表面积为（ ）A. 26πB. 28πC. 30πD. 32π【答案】A 【解析】 【分析】长方体外接球的直径为长方体的对角线，1BD 与底面所成的角为1DBD ∠，从而有12tan ,323DBD BD ∠==1BD 即可.【详解】连,BD 正四棱柱1111ABCD A B C D -，1D D ⊥平面1,ABCD DBD ∴∠为1BD 与底面所成角，12tan tan ,323DBD BD θ∴∠===，在1Rt BDD ∆中，12223DD BD ==， 221126BD BD DD ∴=+=， 正四棱柱的外接球半径为262， 其表面积为264264ππ⨯=. 故选:A.【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，注意直线与平面所成角的几何求法，属于基础题.5. 已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1,3b c ==2sin()cos 12cos sin B C C A C +=-，则ABC 的面积是（ ）3 B.12333或12 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形内角和与两角和与差的正弦公式求得sin B ，再由同角三角函数关系求得cos B ，进而由余弦定理求得a ，最后由三角形面积公式求得答案.【详解】因为2sin()cos 12cos sin B C C A C +=-，即2sin cos 12cos sin A C A C =-，即2sin cos 2sin()1A C A C ++=，则2sin()1A C +=，所以2sin 1B =，故1sin 2B =. 因为b c <，所以B C <，所以角B 为锐角，故23cos 1sin 2B B =-=， 由余弦定理可知，222313)23a a =+-⨯，解得1a =或2a =.当1a =时，ABC的面积111sin 12224S ac B ==⨯=； 当2a =时，ABC的面积111sin 2222S ac B ==⨯=. 故选：C【点睛】本题考查由余弦定理解三角形，并利用任意三角形面积公式求面积，属于简单题.6. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若2n an b =，则“0d <”是“{}n b 为递减数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可.【详解】充分性：若0d <，则10n n a a d +-=<，即1n n a a +<，122n n a a +∴<，即1n n b b +<， 所以，数列{}n b 为递减数列，充分性成立；必要性：若{}n b 为递减数列，则1n n b b +<，即122n n a a +<，1n n a a +∴<，则10n n a a d +-=<， 必要性成立.因此，“0d <”是“{}n b 为递减数列”的充要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充要条件的判断，同时也考查了数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于中等题.7. 将三枚骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“至少出现一个6点”，则概率(A |B)P 的值为（ ） A.6091B.12C.518D.91216【答案】A 【解析】考点：条件概率与独立事件．分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P （AB ）÷P（B ），需要先求出AB 同时发生的概率，除以B 发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．解：∵P（A|B ）=P （AB ）÷P（B ）， P （AB ）=3606=60216P （B ）=1-P （B ）=1-3356=1-125216=91216 ∴P（A/B ）=P （AB ）÷P（B ）=6021691216=6091故选A ．8. 在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的最大值为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】 设BM CN x BCCD==，01x ≤≤，然后选取,AB AD 为基底，把其他向量用基底表示后计算数量积，表示为x 的函数，由函数知识得最大值． 【详解】设BM CN x BCCD==，01x ≤≤，则AM AB BM AB xBC AB xAD =+=+=+，(1)(1)AN AD DN AD x DC x AB AD =+=+-=-+，∴()(1)AM AN AB xAD x AB AD ⎡⎤⋅=+⋅-+⎣⎦()222(1)1x AB x x AB AD xAD =-++-⋅+ 222(1)2(1)21cos13x x x x π=-⨯++-⨯⨯⨯+⨯2225(1)6x x x =--+=-++，∵01x ≤≤，∴0x =时，AM AN ⋅取得最大值5． 故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取基底，用基底表示平面上的其他向量，然后进行运算求解．二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．9. 若集合{}sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则正确的结论有（ ） A. A B B ⋃= B. R RB A ⊆ C. A B =∅ D. R RA B ⊆【答案】AB 【解析】 【分析】根据正弦函数可得集合A ，由集合间的关系和运算，对选项进行逐一判断.【详解】由{}4sin 21,,44k A x x x x k k Z x x k Z ππππ+⎧⎫⎧⎫====+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 又2,,424k k B y y k Z y y k Z ππππ+⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 显然集合{}{}4,2,x x k k Z x x k k Z ππππ=+∈⊆=+∈ 所以A B ⊆，则A B B ⋃=成立，所以选项A 正确.RRB A ⊆成立，所以选项B 正确，选项D 不正确.A B A =，所以选项C 不正确. 故选：AB【点睛】本题考查解三角方程，集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.10. 函数()cos()f x x =+ωϕ0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. ωπ=B. 3πϕ=C. 34x =是函数的一条对称轴 D. 1,0,4k k Z ⎛⎫+∈⎪⎝⎭是函数的对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象先求出()cos()f x x =+ωϕ的表达式，再对选项进行逐一判断，即可得到答案.【详解】由函数的图象有112T =,则2T =，即22T πω==，所以ωπ=，则A 正确.由图象可得，11()cos()=044f πϕ=+，所以12.42k k Z ππϕπ+=+∈，即2.4k k Z πϕπ=+∈,由2πϕ<，所以4πϕ=，即()cos()4f x x ππ=+,所以B 不正确. 所以函数()f x 的对称轴为：.4x k k Z ππππ+=+∈，即3.4x k k Z =+∈ 当时，34x =是函数()f x 的一条对称轴，所以C 正确. 所以函数()f x 的对称中心满足：.42x k k Z ππππ+=+∈，即1.4x k k Z =+∈ 所以函数()f x 的对称轴心为1(,0)4+k ，k Z ∈，所以D 正确.故选：ACD【点睛】本题考查根据图象求余弦型函数的解析式，考查余弦型函数的对称性等，属于中档题.11. 以下结论中错误．．的有（ ） A. 经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=． B. 设,a b ∈R ，且0ab ≠，1ab >，则1a b>C. 若m α⊂，n α⊄，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交．D. 以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3． 【答案】ABC【解析】 【分析】对各个选项进行逐个判断，A ．直线的截距相等包括截距均为0的情况；B.举反例即可判断；C.根据空间线面关系的定义及判定方法可知；D.对模型两边取对数进行计算可得.【详解】A.经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=或y x =,故A 不正确；B.举反例，如当a=-2,b=-1时，由1ab >不能得到1a b>，故B 不正确；C. 若m α⊂，n α⊄，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交或//n α，故C 不正确； D ．模型kx y ce =，两边取对数，可得()ln ln ln ln ln kxkxy cec ec kx ==+=+，令ln z y =，可得ln z c kx =+，∵0.34z x =+，∴44,0.3,lnc k c e ==∴=,故D 正确. 故选：ABC【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查学生对基本概念、基本定理的理解与掌握，属于基础题.12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程是||||1(0)x a y b a b a b--+=>>，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C 关于(,)a b 对称 B. 22x y +的最小值为2222a b a b +C. 曲线C的周长为2()a b +D. 曲线C 围成的图形面积为2ab【答案】ABD 【解析】 【分析】确定方程表示的曲线，根据对称性判断A ，利用22x y +的几何意义判断B ，计算曲线的周长与所围图形面积判断C ，D ．【详解】设00(,)x y 是曲线上的任一点，则00||||1x a y b a b--+=，所以00(2)(2)1a x a b y ba b ----+=，所以点00(2,2)a x b y --也在曲线上，而点00(,)x y 与00(2,2)a x b y --是关于(,)a b 对称的，由00(,)x y 的任意性知A 正确，如,x a y b ≤≤时方程||||1x a y b a b --+=化为1a x b y a b --+=，即1x ya b+=，其中0,0x a y b ≤≤≤≤，表示一条线段，同理当2,0a x a y b ≤≤≤≤时，方程为1x ya b -=，当0,2x a b y b ≤≤≤≤时，方程为1x y a b -+=，当2,2a x a b y b ≤≤≤≤时，方程为3x ya b+=． 所以方程||||1(0)x a y b a b a b --+=>>表示的曲线是以(,0),(0,),(,2),(2,)A a B b C a b D a b 为顶点的菱形M ，如图，22x y +表示菱形M 上点到原点距离的平方，原点到AB 的距离为为OAB 斜边AB 上的高22h a b =+，所以22x y +的最小值为2222a b a b+，B 正确； 菱形M 的周长为224a b +C 错误；菱形M 的面积为12222a b ab ⨯⨯=，D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查曲线的对称性，考查用方程研究曲线的性质，考查方程的曲线，解题关键是确定方程表示的曲线，注意掌握绝对值的定义，按绝对值分类讨论即可． 三、填空题13. 已知等比数列{}n a 满足562431a a a a ===，且，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】利用563a a =求出q ，然后利用等比数列通项公式求得4a . 【详解】因为563a a =，故653a q a ==，由等比数列的通项公式得42242139a a q -==⨯=． 【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 14. 设复数21ix i=-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=______．【答案】0 【解析】 【分析】利用二项式定理变形后再计算． 【详解】1122332020202020202020202020202020(1)1Cx Cx Cx Cxx +++⋅⋅⋅+=+-20202111i i ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭2020111i i +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭10102101010101211(1)1012i i i i ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-=-=--=⎢⎥⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．故答案为：0．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查复数的综合运算，解题关键是利用二项式定理把求值式变成乘方，然后再由复数运算法则计算．15. 已知双曲线C 的焦点为()10,2F ，()20,2F -，实轴长为2，则双曲线C 的离心率是______；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12FQ F Q ⊥，则12QF F 的面积为______． 【答案】 (1). 2(2). 【解析】 【分析】易得2c =，1a =，再结合222b c a =-，可知b =ce a=求出离心率；可求出经过一、三象限的渐近线方程为y x =，设点()Q x ，分别求出1FQ 和2F Q ，根据120FQ F Q ⋅=列出方程，求出x 的值，然后可得点Q 到y 轴的距离，124F F =，最后计算12QF F 的面积.【详解】易知2c =，22a =，所以1a =，又222413b c a =-=-=，b =2ce a==；所以双曲线的方程为：2213x y -=，其中经过一、三象限的渐近线方程为y x =，故可设点()3Q x x ，所以1(,2)3F Q x x =-，2(,2)3F Q x x =+，因为12FQ F Q ⊥，所以120FQ F Q ⋅=，即222033x x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解之得：x =，所以点Q 到y ，又124F F =，所以：121211422QF F S F F ===△.故答案为：2；【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查向量垂直的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于常考题.16. 已知函数()21,2152,2xx x f x x +≤⎧=⎨->⎩，若()()07f f f a +=⎡⎤⎣⎦，则a =______． 【答案】12或2log 13 【解析】 【分析】先求出(0)1f =，分1()2f a +≤，1()2f a +>两种情况讨论，求出()2f a =，再分类讨论求出a 的取值.【详解】因为()21,2152,2xx x f x x +≤⎧=⎨->⎩， 所以(0)1f =，当1()2f a +≤时，由()()07f f f a +=⎡⎤⎣⎦可得：1()3f a +=， 即()2f a =， 不满足1()2f a +≤，当1()2f a +>时，()()07f f f a +=⎡⎤⎣⎦可得1()3f a +=， 即()2f a =，当2a ≤时，()212f a a =+=，解得12a =，当2a >时，()1522a f a =-=，解得2log 13a =， 综上，a 的取值为12或2log 13 故答案为：12或2log 13 【点睛】本题主要考查由函数值求自变量，考查分段函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知ABC ∆内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2A B ++=， （1）求角C（2）求ABC 面积的最大值．【答案】（1）34C π=；（2）12. 【解析】 【分析】（1）变形已知条件可得tan tan 1tan tan A B A B +=-，代入可得tan tan tan tan()11tan tan A BC A B A B+=-+=-=--，可得C 值；（2）由正弦定理可得c ，由余弦定理和基本不等式可得ab 的取值范围，进而可得面积的最值．【详解】解：（1）(1tan )(1tan )2A B ++=tan tan 1tan tan A B A B ∴+=-，tan tan tan tan()11tan tan A BC A B A B+∴=-+=-=--，34C π∴=（2）ABC 得外接圆为单位圆，∴其半径1R =由正弦定理可得2sin c R C == 由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，代入数据可得222a b =+22(2ab ab +=+，22ab∴+，当且仅当a b =时取等号， ABC ∴得面积122sin 222S abC -==+，ABC ∴ 【点睛】本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用，熟记定理，准确计算是关键，属于中档题． 18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，且1212n n n a a a ++=+， （1）求证：数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为等比数列；（2）求[]100S （[]x 表示不超过x 的最大整数）． 【答案】（1）证明见解析；（2）[]10099S =． 【解析】 【分析】（1）只要找到1111n n a a ++-+与11n n a a -+的关系即可，即把1212n n n a a a ++=+代入1111n n a a ++-+可得．（2）由（1）求得n a ，对n a 适当放缩，31221131313n n nn n a -==->-++，计算100S ，可得出10099100S <<，从而得解． 【详解】（1）1212n n n a a a ++=+． 所以1121112112113112n n n nn n n n a a a a a a a a +++--+-==⋅+++++．故数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为等比数列，首项与公比都为13． （2）由（1）可知：1113n n n a a -=+，即31213131n n n n a -==-++． 1002100210010011111111002100299993131313333S ⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+>-++⋅⋅⋅+=+> ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．因此：10099100S <<， 故[]10099S =．【点睛】本题考查等比数列的证明，考查用放缩法估计数列的和，掌握等比数列的定义是证明等比数列的关键，估计数列和的大小时，注意放缩要恰当．19. 如图，三棱台111.ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面12A C CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A AC ⊥⊥，且11124AB AB A A ==.（Ⅰ）若12CD DA =，2AE EB =，证明：∥平面11BCC B ；（Ⅱ）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) 14. 【解析】【详解】试题分析：(Ⅰ) 连接11,AC BC ，由比例可得DE ∥1BC ，进而得线面平行； （Ⅱ）过点A 作AC 的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==求得平面11A B BA 的法向量为m ，设平面11C B BC 的法向量为n ，由cos ,m n m n m n⋅=求二面角余弦即可. 试题解析：（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11AC CA ，112AC AC=, 易知：111,2AC AC D AD DC ⋂==；又2AE EB=，则DE∥1BC；1BC⊂平面11BCC B，DE⊄平面11BCC B，可得：DE∥平面11BCC B；（Ⅱ）侧面11AC CA是梯形，111A A A C⊥，1AA AC⇒⊥,1A A AB⊥,则BAC∠为二面角11C AA B--的平面角，BAC∠=3π；111,ABC A B C⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA=，则11112,A B AC==4AC AC==,故点()10,0,1A，()0,4,0,C())123,2,0,3,1,1B B；设平面11A B BA的法向量为()111,,m x y z=，则有：()111111301,3,0030x ym ABmm AB x y z⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⋅=⎪++=⎩；设平面11C B BC的法向量为()222,,n x y z=，则有：(221222301,3,230330x ym CBnm CB x y z⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=⎪-+=⎩；1cos ,4m nm n m n⋅==-，故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14. 20. 已知点P(2,2),圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A,B 两点,线段AB 的中点为M,O 为坐标原点. (1)求点M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积.【答案】(1)()()22132x y -+-= ；(2)直线l 的方程为380x y +-=，POM ∆的面积为165. 【解析】 【分析】求得圆C 的圆心和半径.（1）当,,C M P 三点均不重合时，根据圆的几何性质可知CM MP ⊥，,C P 是定点，所以M 的轨迹是以PC 为直径的圆（除,P C 两点），根据圆M 的圆心和半径求得M 的轨迹方程.当,,C M P 三点有重合的情形时，M 的坐标满足上述求得的M 的轨迹方程.综上可得M 的轨迹方程.（2）根据圆的几何性质（垂径定理），求得直线l 的斜率，进而求得直线l 的方程.根据等腰三角形的几何性质求得POM ∆的面积.【详解】圆:C ()22244x y +-=，故圆心为()0,4C ，半径为4.(1)当C,M,P 三点均不重合时,∠CMP =90°,所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点P,C),线段PC 中点为()1,3，12PC ==M 的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2(x ≠2,且y ≠2或x ≠0,且y ≠4).当C,M,P 三点中有重合的情形时,易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4). 综上可知,点M 的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N(1,3)为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上.又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l 的斜率为13-，故l 的方程为1833y x =-+，即380x y +-=.又易得|OM|=|OP|=O 到l=，||PM ==所以△POM的面积为11625=.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查圆的几何性质，考查等腰三角形面积的计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 21. 为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[70,100)内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“=Y 频率组距”)时，发现Y 满足*8109,16300,N ,55(1)11,161520n n Y n n X n k n n -⎧⎪⎪=∈<+⎨⎪-⋅>⎪-⎩. （1）试确定n 的所有取值，并求k ；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[)95,100的参赛者评为一等奖；分数在[90,95)的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[85,90)的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生A 和B 均参加了本次比赛，且学生A 在第一阶段评为二等奖.（i ）求学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率；（ii ）已知学生A 和B 都获奖，记A B ，两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）314,15,16,17,18,19,50k =；（2）（i ）51220；（ii ）分布列见解析，2099. 【解析】 【分析】（1）X 在[)70,100内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70,75),[)75,80,[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100).由70100X ≤<，()551n X n ≤<+*n ∈N ，能求出n 的所有取值和k ；（2）（i ）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.学生B 的分数属于区间[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[)95,100的概率分别是360，1160，1960，1460，1160，260.用符号ij A 或（ij B ）表示学生A （或B ）在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ，其中(),1,2,3j i j ≤=，记“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”为事件W ，由此能求出学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率；（ii ）学生A 最终获得一等奖的概率是()21111P A =，学生B 最终获得一等奖的概率是()121211112727119P B B ''+=+⋅=，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，求出ξ的分布列和E ξ.【详解】（1）根据题意，X 在[70,100)内，按组距为5可分成6个小区间， 分别是[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100)，70100X ≤<，由*55(1),n X n n ≤<+∈N ，14,15,16,17,18,19n ∴=.每个小区间的频率值分别是8109,14,15,16605115,17,18,19320n n P Y k n n -⎧=⎪⎪==⎨⎪-⋅=⎪-⎩.由3111911151160606032k ⎛⎫+++-++= ⎪⎝⎭，解得350k =. n ∴的所有取值为14,15,16,17,18,19，350k =.（2）（i ）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.由（1）知，学生B 的分数属于区间[)[)[)[)[)[)70,75,75,80,80,85,85,90,90,95,95,100的概率分别是：360，1160，1960，1460，1160，260. 我们用符号ij A （或ij B )表示学生A （或B ）在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ，其中(,1,2,3)j i i j =.记“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”为事件W ， 则()12122223222()P W P B B B A B A =+++()()()()()()12122223222P B P B P B P A P B P A =+++ 2111111010141105160601160111160711220=+⋅+⋅⋅+⋅⋅=. （ii ）学生A 最终获得一等奖的概率是()21111P A =， 学生B 最终获得一等奖的概率是()12121112116060272711272796060P B B ''+=+⋅=+=， 1180(0)1111999P ξ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，111118(1)1111911999P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅-+-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111(2)11999P ξ==⋅=， ξ∴的分布列为：ξ0 12 P80991899199801812001299999999E ξ=⋅+⋅+⋅=. 【点睛】本题考查频率分布直方图、条件概率、离散型随机变量的分布列、数学期望，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属于难题. 22. 已知函数()ln g x a x =，32()f x x x bx =++.（1）若()f x 在区间[1,2]上不是单调函数，求实数b 的范围；（2）若对任意[1,e]x ∈，都有2()(2)g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0b =时，设(),1()(),1f x x F x g x x -<⎧=⎨≥⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由. 【答案】（1）165b -<<-；（2）;（3）详见解析.【解析】 【详解】（1）由得，因在区间上不上单调函数所以在上最大值大于0，最小值小于0，（2）由，得，且等号不能同时取，，即恒成立，即令，求导得当时，，从而在上是增函数，（3）由条件，假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧不妨设，则，且是以为直角顶点的直角三角形，是否存在等价于方程在且是否有解①当时，方程为，化简，此方程无解；②当时，方程为，即设，则显然，当时，，即在上为增函数的值域为，即，当时，方程总有解对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点，使得POQ ∆是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上2021届高三数学复习专练坚持就是胜利！。
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2020年山东省济宁一中高考数学考前冲刺试卷（一）
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数的定义域为（）
A B C D
2. 已知向量，满足，，且，则＝（）
A B C D
3. 某工厂利用随机数表对生产的个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号，编号分别为，，…，，，从中抽取个样本，下面提供随机数表的第行到第行：
若从表中第行第列开始向右依次读取个数据，则得到的第个样本编号是（）
A B C D
4. 如图，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，且，则该正四棱柱的外接球表面积为（）
A B C D
5. 已知在中，角，，的对边分别为，，，若，且
＝，则的面积是（）
A B C 或 D 或
6. 设等差数列的公差为，若＝，则“”是“为递减数列”的（）
A 充分而不必要条件
B 必要而不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件
7. 将三颗骰子各掷一次，设事件＝“三个点数都不相同”，＝“至少出现一个点”，则
＝（）
A B C D
8. 在平行四边形中，，＝，＝，若，分别是边，上的点，且满足，则的最大值为（）
A B C D
二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．
9. 若集合＝，，则正确的结论有（）
A ＝
B
C ＝ D
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A ＝
B
C 是函数的一条对称轴
D 是函数的对称中
心
11. 以下结论中错误的有（）
A 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为＝
B 设，，且，，则
C 若，，，是异面直线，那么与相
交 D 以模型＝去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设＝，将其变换后得到线性方程＝，则，的值分别是和
12. 在平面直角坐标系中，已知曲线的方程是，则下列结论正确的是（）
A 曲线关于对称
B 的最小值为
C 曲线的周长为
D 曲线围成的图形面积为
三、填空题：
13. 已知等比数列满足＝，且＝，则＝________．
14. 设复数（是虚数单位），则
________．
15. 已知双曲线的焦点为，，实轴长为，则双曲线的离心率是
________；若点是双曲线的渐近线上一点，且，则的面积为
________．
16. 已知函数，若＝，则＝________．
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知内接于单位圆，且.
求角；
求面积的最大值．
18. 已知数列的前项和为，，且，
Ⅰ求证：数列为等比数列；
Ⅱ求（表示不超过的最大整数）．
19. 如图，三棱台中，侧面与侧面是全等的梯形，若
，，且＝＝．
Ⅰ若，，证明：平面；
Ⅱ若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20. 已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段
的中点为，为坐标原点．
求的轨迹方程；
当时，求的方程及的面积．
21. 为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会
按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数都在
内，在以组距为画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现满足
，，．
（1）试确定的所有取值，并求；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分
数在的参赛者评为一等奖；分数在的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）．已知学生和均参加了本次比赛，且学生在第一阶段评为二等奖．
求学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率；
已知学生和都获奖，记，两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望．
22. 已知函数＝，＝．
（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）当＝时，设，对任意给定的正实数，曲线＝上是否存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．
2020年山东省济宁一中高考数学考前冲刺试卷（一）答案
1. B
2. C
3. A
4. A
5. C
6. C
7. A
8. C
9. A,B
10. A,C,D
11. A,B,C
12. A,B,D
13.
14.
15. ,
16. 或
17. 解：∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ 的外接圆为单位圆，
∴ 其半径.
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
代入数据可得
，
当且仅当时，“”成立.
∴ ，
∴ 的面积，∴ 面积的最大值为：.
18. （I）证明：∵ ，且，
∴ ，
∴ 数列为等比数列，公比与首项都为．
由可得：．
解得：．
数列单调递减，
＝时，，
＝时，，
时，．
∴ ，∴ ＝．
19. （1）证明：连接，，
在梯形中，＝，
∵＝，，
∴ ，
又，∴ ，
∵ 平面，平面，
∴ 平面；
（2）侧面是梯形，∵ ，∴ ，
又，∴ 为二面角的平面角，则，∴ ，均为正三角形，
在平面内，过点作的垂线，如图建立空间直角坐标系，
不妨设＝，则＝＝，＝＝，
故点，，．
设平面的法向量为，
则有，取，得；设平面的法向量为，
则有，取，得．∴ ，
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
20. 解：由圆，
得，
∴ 圆的圆心坐标为，半径为．
设，则，
．
由题意可得：．
即．
整理得：．
∴ 的轨迹方程是．
由知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，由于，
故在线段的垂直平分线上，
又在圆上，
从而．
∵ ，
∴ 直线的斜率为．
∴ 直线的方程为，
即．
则到直线的距离为．
又到的距离为，
∴ ．
∴ ．
21. 根据题意，在内，按组距为可分成个小区间，
分别是，，，，，，
∵ ，由，，
∴ ＝，，，，，，
每个小区间对应的频率值分别是＝．
，解得，
∴ 的对值是，，，，，，．
由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，
由（1）知，学生的分数属于区间，，，，，的概率分别是：
，
我们用符号（或）表示学生（或）在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，
其中＝，
记＝“学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”，
则＝
＝
．
学生最终获得一等奖的概率是，
学生最终获得一等奖的概率是，
＝＝，
＝，
＝，
∴ 的分布列为：
．
22. 由＝
得＝因在区间上不是单调函数
所以＝在上最大值大于，最小值小于，
∴
由，得．
∵ ，∴ ，且等号不能同时取，∴ ，即∴ 恒成立，即
令，求导得，，
当时，，，从而，∴ 在上为增函数，∴ ＝，
∴ ．
由条件，，
假设曲线＝上存在两点，满足题意，
则，只能在轴两侧，
不妨设（），则，且．
∵ 是以为直角顶点的直角三角形，
∴ ，
∴ ＝，
是否存在，等价于方程在且时是否有解．
①若时，方程为＝，
化简得＝，此方程无解；
②若时，方程为＝，
即，
设＝，，则＝，
显然，当时，，即在上为增函数，
∴ 的值域为，，即，
∴ 当时，方程总有解．
∴ 对任意给定的正实数，曲线＝上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．。