CFD控制方程离散方法：有限容积法
cfd控制方程的离散方法
cfd控制方程的离散方法
CFD（Computational Fluid Dynamics，计算流体力学）是一种利用数值方法解决流体力学问题的技术。
在CFD中，控制方程是描述流体运动的基本方程，包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
离散方法是将连续的物理方程转化为离散的代数方程，以便通过计算机进行求解。
离散方法常用的有有限差分法（Finite Difference Method）、有限体积法（Finite Volume Method）和有限元法（Finite Element Method）。
对于CFD中的控制方程，离散方法的选择取决于问题的性质和所需的精度。
以下是几种常用的离散方法：
1. 有限差分法：将微分算子近似为差分形式，通过在网格上进行逐点近似来离散化方程。
有限差分法简单易用，适用于规则网格和简单几何形状的问题。
2. 有限体积法：将控制方程应用到一个控制体积（Control Volume）上，使用积分形式得到离散化的方程。
有限体积法适用于复杂几何形状和非结构网格，能够保持物理量的守恒性。
3. 有限元法：将求解域划分为离散的有限元，使用基函数对方程进行近似。
有限元法适用于复杂几何形状和非结构网格，能够处理不规则网格以及局部自适应网格细化。
这些离散方法各有优缺点，需要根据具体问题的性质和要求选择合适的方法。
同时，为了保证数值解的准确性和稳定性，还
需要考虑网格的划分方式、边界条件的处理以及迭代求解算法等因素。
CFD控制方程离散方法_有限容积法
有限容积法
离散与数值解
方程非线性
各个变量通过系数等相互影响：内耦合
把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场，用一系列有限个离散点上 的值的集合来代替，建立起离散方程，求解所建立起来的代数方程以获得所求 解变量的近似值。 分离式求解：在一个方程中认为系数（包括速度）为常数，采用上一次迭代 算出来的值。 迭代求解线性方程组，从一个初始的（猜测的）变量分布开始，不断更新直至 收敛。
数值传热学基本思想
有限差分法
一维稳态有源项的对流-扩散方程 泰勒展开
得到线性方程组
有限容积法
在一个控制体内做积分
积分之后对方程进行离散
有限容积法
扩散项线性化处理（中心差分） 源项认为在整个控制体内不变，局部线性化处理 两种型线假设
有限容积法
求解线性方程组
有限容积法
有限容积法
有限容积法
迎风算法 扰动不向上游传递 一阶迎风的数值误差较大，在调试阶段可采用。
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3、输运性Transportiveness
邻点W和E有两个恒定源，画出等值线
纯扩散
对流扩散
纯扩散使源的影响向各个方向同等地传播；纯对流时，P点只受上游影响不受下游影响。
无源时场随时间变化
3、输运性Transportiveness
n时刻 n+1时刻
扰动被均匀向两侧传递
中心差分
对流项的中心差分不合理，因为aE为负，使得下游增大会使上游 减小
在均分网格情况下与Taylor展开法的结果一致。 在FVM中所谓不同的格式就是指不同的型线。
分离式求解过程
有限元素法有限体积法有限差分法有限容积法的区别
1.1 概念有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
1.2 差分格式（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
1.3 构造差分的方法构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2. FEM2.1 概述有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
2.2 原理有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
cfd离散的四项法则
CFD离散的四项法则1.离散化方法离散化是计算流体动力学（CFD）中的核心步骤，它涉及到将连续的物理空间和时间转化为离散的数值网格。
离散化的目的是将偏微分方程转换为数值求解的差分方程，以便在计算机上进行数值模拟和分析。
常见的离散化方法包括有限差分法、有限元法和有限体积法等。
这些方法各有优缺点，适用于不同的流动和几何形状。
2.离散格式在离散化过程中，需要对偏微分方程中的各个导数项进行离散化。
不同的离散格式会导致不同的数值精度和稳定性。
常见的离散格式包括中心差分格式、前向差分格式、后向差分格式和混合差分格式等。
选择合适的离散格式对于保证数值模拟的精度和稳定性至关重要。
3.时间积分方案时间积分方案决定了如何推进求解的进程，即在离散的时间步长上逐步求解离散的差分方程。
常见的时间积分方案包括隐式方案、显式方案和半隐式方案等。
隐式方案具有较高的稳定性和精度，但计算量较大；显式方案稳定性和精度较低，但计算量较小；半隐式方案则结合了隐式和显式的优点，具有较好的稳定性和精度，同时计算量也相对较小。
4.离散方程的求解方法在CFD中，离散方程的求解方法通常包括迭代法和直接法。
迭代法是通过不断迭代来逼近方程的解，常见的迭代法包括Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法等。
直接法则是通过一定的算法直接求解方程的解，常见的直接法包括高斯消去法和LU分解法等。
选择合适的求解方法可以提高计算效率，并保证数值模拟的准确性。
以上是CFD离散的四项法则中各重要元素的简单概述。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的离散化方法、离散格式、时间积分方案和离散方程的求解方法。
在保证数值模拟的精度和稳定性的同时，提高计算效率是CFD模拟的关键。
随着计算机技术的不断发展，CFD的应用范围越来越广泛，CFD技术也面临着新的挑战和机遇。
未来，CFD技术将不断发展和完善，为流体动力学、气象学、环境科学等领域提供更加精确和可靠的数值模拟和分析工具。
cfd控制方程理解
CFD控制方程是指流体力学中的基本方程，用于描述流体运动的规律。
这些方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
质量守恒方程，也称为连续性方程，表示单位时间内流体质量的增加等于该时间间隔内流入该控制体的净质量。
动量守恒方程，也称为动量方程或N-S方程，描述了流体动量的变化规律。
能量守恒方程则描述了流体能量的变化规律，包括机械能、内能和热能等。
这些控制方程可以用来描述各种复杂的流体流动现象，例如湍流、分离流、波动等。
通过求解这些控制方程，可以得到流场内各点的速度、压力、温度等参数的分布情况，从而对流体运动进行预测和分析。
在实际应用中，CFD控制方程通常需要使用数值方法进行求解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和有限体积法等。
通过这些数值方法，可以将控制方程离散化，将其转化为一系列代数方程组，然后使用计算机进行求解。
总之，CFD控制方程是流体力学中的基本方程，用于描述流体运动的规律。
通过求解这些方程，可以对流体运动进行预测和分析，为工程设计和优化提供重要的依据。
03_控制方程的离散化方法
7xxxxΔΔΔCartesian 坐标系下输运方程的表达式•有限差分的概念是从导数的定义中得到的：•几种常用的差分格式812有限元法的插值函数•第一类：只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；•第二类：不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
有限元法的单元坐标•单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。
•常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状。
13有限元法的求解步骤•建立积分方程•区域单元剖分•确定单元基函数•单元分析•总体合成•边界条件的处理•解有限元方程14有限元法在很多地方与FV 非常类似，有限元法也将空间分成连续的控制体，但是通常采用非结构网格。
FE 法的最明显特点是方程在整个域内积分之前被乘上了一个权函数，在最简单的FE 法中，每个控制体内的函数被假设成线性的，并且保证解在边界上的连续性。
有限元法的求解速度比有限差分法和有限体积法，因此，商用CFD 软件中应用并不普遍。
而有限元法目前在固体力学分析中占绝对比例，几乎所有软件都采用有限元法。
15有限体积法(Finite Volume Method)——控制体内的平均近似有限体积法是近年发展非常迅速的一种离散化方法，在CFD 领域广泛应用。
大多数商用CFD 软件都采用这种方法。
特点是计算效率高，不紧表现在对控制方程的离散结果上，还表现在所使用的网格上。
163.3 有限体积法基本思想有限体积法又称控制体积法(Control Volume Method)，基本思路是：将计算区域划分一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解微分方程(控制方程)对每一个控制体积积分，得到一组离散方程。
从积分区域的选取方法来看，有限体积法属于加权余量法中的子域法。
从未知解的近似方法来看，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。
有限差分,有限元,有限体积等离散方法的区别介绍
有限差分，有限元，有限体积等等离散方法的区别介绍一、区域离散化所谓区域离散化，实质上就是用一组有限个离散的点来代替原来连续的空间。
实施过程是；把所计算的区域划分成许多互不重迭的子区域，确定每个子区域的节点位置及该节点所代表的控制容积。
节点：需要求解的未知物理量的几何位置；控制容积：应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。
一般把节点看成是控制容积的代表。
控制容积和子区域并不总是重合的。
在区域离散化过程开始时，由一系列与坐标轴相应的直线或曲线簇所划分出来的小区域称为子区域。
网格是离散的基础，网格节点是离散化物理量的存储位置。
大家都知道，常用的离散化方法有：有限差分法，有限元法，有限体积法。
1. 有限差分法是数值解法中最经典的方法。
它是将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程（控制方程）的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。
这种方法发展比较早，比较成熟，较多用于求解双曲线和抛物线型问题。
用它求解边界条件复杂、尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。
2. 有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理（变分或加权余量法），将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。
对椭圆型问题有更好的适应性。
有限元法求解的速度较有限差分法和有限体积法慢，在商用CFD软件中应用并不广泛。
目前的商用CFD软件中，FIDAP采用的是有限元法。
3. 有限体积法又称为控制体积法，是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解的微分方程对每个控制体积积分，从而得到一组离散方程。
其中的未知数十网格节点上的因变量。
子域法加离散，就是有限体积法的基本方法。
就离散方法而言，有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间产物。
计算流体力学常用的五大类数值方法简介
计算流体力学常用的五大类数值方法简介流体力学数值方法有很多种，其数学原理各不相同，但有二点是所有方法都具备的，即离散化和代数化。
总的来说其基本思想是：将原来连续的求解区域划分成网格或单元子区域，在其中设置有限个离散点(称为节点)，将求解区域中的连续函数离散为这些节点上的函数值；通过某种数学原理，将作为控制方程的偏微分方程转化为联系节点上待求函数值之间关系的代数方程(离散方程)，求解所建立起来的代表方程以获得求解函数的节点值。
不同的数值方法，其主要区别在于求解区域的离散方式和控制方程的离散方式上。
在流体力学数值方法中，应用比较广泛的是有限差分法、有限元法、边界元法、有限体积法和有限分析法，现简述如下。
一、有限差分法这是最早采用的数值方法，它是将求解区域划分为矩形或正交曲线网格，在网格线交点(即节点)上，将控制方程中的每一个微商用差商来代替，从而将连续函数的微分方程离散为网格节点上定义的差分方程，每个方程中包含了本节点及其附近一些节点上的待求函数值，通过求解这些代数方程就可获得所需的数值解。
有限差分法的优点是它建立在经典的数学逼近理论的基础上，容易为人们理解和接受；有限差分法的主要缺点是对于复杂流体区域的边界形状处理不方便，处理得不好将影响计算精度。
二、有限元法有限元法的基本原理是把适定的微分问题的解域进行离散化，将其剖分成相连结又互不重叠的具有一定规则几何形状的有限个子区域(如：在二维问题中可以划分为三角形或四边形；在三维问题中可以划分为四面体或六面体等)，这些子区域称之为单元，单元之间以节点相联结。
函数值被定义在节点上，在单元中选择基函数(又称插值函数)，以节点函数值与基函数的乘积的线性组合成单元的近似解来逼近单元中的真解。
利用古典变分方法(里兹法或伽辽金法)由单元分析建立单元的有限元方程，然后组合成总体有限元方程，考虑边界条件后进而求解。
由于单元的几何形状是规则的，因此在单元上构造基函数可以遵循相同的法则，每个单元的有限元方程都具有相同的形式，可以用标准化的格式表示，其求解步骤也就变得很规范，即使是求解域剖分各单元的尺寸大小不一样，其求解步骤也不用改变，这就为利用计算机编制通用程序进行求解带来了方便。
试采用有限容积法推导出关于内节点p的显式离散化方程 题目
试采用有限容积法推导出关于内节点p的显式离散化方程题目采用有限容积法推导内节点p的显式离散化方程，首先需要明确几个关键概念和步骤。
1. 内节点定义：在计算区域内，位于边界之内的节点称为内节点。
2. 控制容积：对于内节点p，其控制容积是指围绕该节点的封闭几何区域。
3. 质量守恒方程：对于控制容积，质量守恒方程为：流入控制容积的质量 - 流出控制容积的质量 = 控制容积内原有质量的变化。
4. 离散化：将连续的质量守恒方程转化为离散的形式，以便于数值计算。
基于以上概念，推导过程如下：假设内节点p的控制容积为V，其周围有m个网格单元。
对于每个网格单元，假设其体积为ΔV，质量为Δm。
根据质量守恒方程，我们有：流入控制容积的总质量 = 流出控制容积的总质量 + 控制容积内原有质量的变化即：m1ΔV + m2ΔV + ... + mkΔV = mk+1ΔV + mk+2ΔV + ... + mnΔV + Δm其中，mk+1到mn表示从其他网格单元流入控制容积p的网格单元，m1到mk表示从控制容积p流出的网格单元。
由于我们只关心内节点p，所以可以简化为：m1ΔV + m2ΔV +... + mkΔV = Δm进一步简化，得到：(m1 + m2 + ... + mk)ΔV = Δm由于Δm = ΔV (ρ1Δx,t + ρ2Δx,t + ... + ρkΔx,t)，其中ρi表示第i个网格单元的密度，Δx表示网格大小。
代入上式，得到：(m1 + m2 + ... + mk) ΔV = ΔV (ρ1Δx,t + ρ2Δx,t + ... + ρkΔx,t)进一步整理，得到：(m1 + m2 + ... + mk) = (ρ1Δx,t + ρ2Δx,t + ...+ ρkΔx,t)这就是关于内节点p的显式离散化方程。
有限容积法和有限体积法
有限容积法和有限体积法有限容积法和有限体积法是计算流体力学中常用的两种数值方法，它们在流体动力学的数值计算中占有非常重要的地位。
本文将从概念、原理、特点、应用等方面，对这两种方法进行详细介绍。
一、有限容积法1.概念有限容积法（Finite Volume Method，FVM）是一种离散化的数值方法，它将连续的物理量离散化为有限个体积元，在每个体积元内计算其平均值，进而求解整个流体系统的物理量。
FVM方法的核心是质量守恒原理，即物质的进出必须平衡，这种保证了物理量在每个体积元内的守恒关系，从而保证了数值计算的准确性。
2.原理FVM方法的数值计算是基于网格的，它将流体动力学问题离散化为一个由有限体积元组成的系统，将原问题转化为流量守恒方程的求解，即$$\frac{\Delta m}{\Delta t}=\Sigma_{faces}\rho uA$$其中，$\Delta m$是在$\Delta t$时间内通过一个表面的质量变化量，$\rho$是介质的密度，$u$是速度，$A$是面积。
对于每个有限体积元，上式可以写为其中，$F_{ij}^p$和$F_{ij}^n$分别是流向有限体积元内部和外部的通量，$i,j$是有限体积元的编号。
3.特点（1）FVM方法基于质量守恒原理，具有非常强的数值稳定性和保真性；（2）FVM方法的计算结果具有局部守恒性，能够准确反映流场内部的物理现象；（3）FVM方法可以处理非结构化网格，适用范围广泛；（4）FVM方法求解的是面积分，所需的时间和空间存储相对较少。
4.应用（1）流体力学领域，如空气动力学、水力学、燃烧问题等；（2）材料科学领域，如薄膜生长、材料变形等。
有限体积法（Finite Element Method，FEM）是一种离散化的数值方法，它将求解的物理场离散化为有限个单元，然后在每个单元内进行近似计算。
相比于FVM方法，FEM方法更加精确，适用于需要高精度计算的问题。
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数值传热学基本思想
有限差分法
一维稳态有源项的对流-扩散方程
泰勒展开
得到线性方程组
有限容积法
在一个控制体内做积分
积分之后对方程进行离散
有限容积法
扩散项线性化处理（中心差分）
源项认为在整个控制体内不变，局部线性化处理
两种型线假设
有限容积法
求解线性方程组
有限容积法
有限容积法
有限容积法
在均分网格情况下与Taylor展开法的结果一致。 在FVM中所谓不同的格式就是指不同的型线。
求 扩 散 通 量
二次插值：有问题
二次插值格式QUICK 守恒
2、有界性Boundedness
没有源项时内部节点的参数值应该位于边界节点的范围限制内
迭代收敛的充分条件：
系数矩阵对角占优
1、源项的线性化系数应该为负 若源项的线性化系数为负：T增大→S增大→T增大→S增大：不稳定 2、离散方程里的所有系数应该有相同的符号（通常为正）。一个节点参数的增加 应该导致相邻节点参数的增加。 中心节点的参数值为相邻节点的加权平均。 如果离散格式不满足局限性，那么解可能不收敛，或者有“摆动” 3、没有源项时，中心点系数为相邻点系数之和。 当控制方程只包含微分项时，T和T+C都满足微分方程。故参 数加上常数时离散方程仍然成立。
CFD控制方程离散方法：有限容积法
控制方程
连续性方程
质量流动
动量方程
动量流动 表面力
能量方程
热流通量
RANS动量方程
湍流动能k 方程
是k的扩散系数, G 是湍流动能的产生速率， 是耗散速率 , 是方程的净源项。
一般形式
守恒形式与非守恒形式
守恒形式
随体导数
连续性方程
非守恒形式 CFD有限容积法计算中用守恒形式，只有守恒型的方程才能 保证有限大小体积内守恒定律的成立
举例
节点1： 节点5：
小于1在边界处达到，因为ap包含所有边界点（包括值 已知）的边界点，已知值的边界点作为源项出现，使ap 更大。
3、输运性Transportiveness
邻点W和E有两个恒定源，画出等值线
纯扩散
对流扩散
纯扩散使源的影响向各个方向同等地传播；纯对流时，P点只受上游影响不受下游影响。
有限容积法
离散与数值解
方程非线性
各个变量通过系数等相互影响：内耦合 把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场，用一系列有限个离散点上 的值的集合来代替，建立起离散方程，求解所建立起来的代数方程以获得所求 解变量的近似值。 分离式求解：在一个方程中认为系数（包括速度）为常数，采用上一次迭代 算出来的值。 迭代求解线性方程组，从一个初始的（猜测的）变量分布开始，不断更新直至 收敛。
无源时场随时间变化
3、输运性Transportiveness
n时刻 n+1时刻 扰动被均匀向两侧传递 中心差分
对流项的中心差分不合理，因为aE为负，使得下游增大会使上游 减小
迎风算法
扰动不向上游传递
一阶迎风的数值误差较大，在调试阶段可采用。
分离式求解过程
初始
系数
解方程
系数
解方程 ……
总结
离散格式的要求
不合理的解
控制方程离散后求解能够收敛但是得到物理上不合理的解。
1、守恒性Conservativeness
跨过同一个界面离开一个控制体和进入相邻控制体的通量必须相等。相邻控制 体计算跨过界面的通量的式子必须相同（为同一个式子）。
中心差分：没问题