计算方法 12 牛顿迭代法-非线性方程资料
非线性方程求根—牛顿迭代法(新)
非线性方程求根——牛顿迭代法一、牛顿迭代法的基本思想基本思想：将非线性方程逐步归结为某种线性方程求解。
设方程f (x )=0有近似根x k （f `(x k )≠0），将f (x )在x k 展开：（ξ在x 和x k 之间）2()()()()()()2!k k k k f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-可设记该线性方程的根为x k +1，则()()()0k k k f x f x x x '+-=1()()k k k k f x x x f x +=-'故f (x )=0可近似表示为即为Newton 法迭代格式。
（k =0,1,……）例：用Newton 迭代法求方程310x x --=在x 0=1.5附近的近似实根。
解：32()1,()31f x x x f x x '=--=-迭代公式为312131kk k k k x x x x x +--=--计算步骤如下:（1）取初值x 0=1.5;（2）按照迭代公式计算x 1；（3）若|x 1-x 0|<=0.00001，终止迭代；否则，x 0=x 1；转(2)；（4）输出迭代次数和近似根.二、牛顿迭代法的实现MATLAB求解程序设计：方程及一阶导数函数：function[fun,dfun]=fun0(x)fun=x^3-x-1;%求原函数的值dfun=3*x^2-1;%求一阶导数的值计算主程序：clearx0=1.5;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=1;while abs(x1-x0)>1e-5x0=x1;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=i+1;enddisp('the solution is x1=')x1disp('the iter time is ')i计算结果为：the solution is x1=x1 =1.3247the iter time isi =4可见经过4次迭代即到达要求的精度，原方程的一个近似实数根为1.3247.三、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的迭代函数：)()()(x f x f x x '-=ϕ222)]([)()()]([)()()]([1)(x f x f x f x f x f x f x f x '''='''-'-='ϕ设f (x *)=0，f `(x *)≠0，则ϕ`(x *)=0，故Newton 迭代法在x *附近至少平方收敛。
非线性方程的数值求法牛顿迭代法和弦截法PPT课件
26
Newton下山法
原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之 间找一个更好的点 xk1，使得 f ( xk1) f ( xk ) 。
xk
xk+1
xk1 (1 )xk , [0, 1]
xk 1
[xk
)g( xn
)
n1
n
mng(xn ) mg( xn ) n g(
xn
)
n2 g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
n1
2 n
g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
若 xn 收敛，即
n 0 (n ),
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可 能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
又 f ( ) 0
( ) 0 1,
牛顿迭代法局部收敛于
又 ( ) 0
即有：牛顿迭代法具有二阶（平方）收敛速度。
注. 定理要求 x0 充分接近 (局部收敛)，充分的程度
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可 能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
定理 设 f x 在区间 a,b 上的二阶导数存在，且满足： ① f (a) f (b) 0; （保证 a, b中至少存在一个根）
若 xn 收敛，即 n 0 (n )
lim n1 lim[1
牛顿迭代法(Newton‘s Method)
牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。
考虑无约束最优化问题：其中 \theta^{\ast} 为目标函数的极小点，假设 f\left( \theta \right) 具有二阶连续偏导数，若第 k 次迭代值为 \theta^{k} ，则可将f\left( \theta \right)在\theta^{k}近进行二阶泰勒展开：这里，g_{k}=x^{\left( \theta^{k} \right)}=∇f\left( \theta^{k} \right)是f\left( \theta \right) 的梯度向量在点 \theta^{k}的值， H\left( \theta^{k} \right) 是 f\left( \theta \right) 的Hessian矩阵：在点 \theta^{\left( k \right)}的值。
函数 f\left( \theta \right) 有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H\left( \theta\right) 是正定矩阵时，函数 f\left( \theta \right) 的极值为极小值。
牛顿法利用极小点的必要条件：这就是牛顿迭代法。
迭代过程可参考下图：在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。
因此使用牛顿法是有问题的。
如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的，例如，靠近鞍点处，牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。
这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。
常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数α 。
正则化更新变为：这个正则化策略用于牛顿法的近似，例如Levenberg-Marquardt算，只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零，效果就会很好。
newton迭代法11-12
若f(a)f(x0)<0 成立,则根必在区间(a, x0)内,取a1=a,b1= x0;否则 必在区间(x0,b)内,取a1= x0,b1=b,
这样,得到新区间(a1,b1),其长度为[a,b]的一半,如此继续下去,进 行k次等分后,得到一组不断缩小的区间,[a,b],[a1,b1],......[ak,bk].
( x*)
2!
( x x*) 2
( p1) ( x*)
( p 1)!
( x x*)p1
( p ) ( x*)
p!
( x x*)p
如果( x*) ( x*) ( p1) ( x*) 0
而 ( p ) ( x*) 0
解三：迭代格式 xk+1=(xk3-5)/2 令x0=2.5,得迭代序列: x1=5.3125, x2=72.46643066, X3=190272.0118, x4=3.444250536 1016， x5=2.042933398 1046, 计算x6时溢出
同样的方程不同的迭代格式有不同的结果 迭代函数的构造有关
L Lk xk x * xk xk 1 x1 x0 1 L 1 L
xk x * x * xk 1 xk xk 1 g'( ) xk x * xk xk＋1
因此： 1 xk x * xk xk＋1 1 L
证毕.
定理1指出,
例1 用简单迭代法求区间(2,3)内方程x3-2x-5=0的根 lim x 解一 将方程两边同加2x+5,再开三次方，得式同解方程 x= 3 2 x 5 作迭代格式 xk+1= 3 2 xk 5 , k=0,1,
非线性方程求解
非线性方程求解在数学中，非线性方程是一种函数关系，其表达式不能通过一次函数处理得到。
与线性方程不同，非线性方程的解决方案往往更具挑战性，因为它涉及到更复杂的计算过程。
尤其在实际应用中，非线性方程的求解是一个非常重要的问题。
本文将讨论几种常用的非线性方程求解方法。
二分法二分法，也称为折半法，是一种基本的求解非线性方程的方法之一。
它的核心思想是将区间一分为二并判断方程在哪一半具有根。
不断这样做直到最终解得精度足够高为止。
下面是利用二分法求解非线性方程的流程：1. 设定精度值和区间范围2. 取区间的中点并计算函数值3. 如果函数值为0或函数值在给定精度范围内，返回中点值作为精确解4. 如果函数值不为0，则判断函数值的正负性并缩小区间范围5. 重复步骤2-4直到满足给定精度为止当然，这种方法并不总是能够找到方程的解。
在方程存在多个解或者区间范围不合适的情况下，二分法可能会导致求解失败。
但它是一种很好的起点，同时也是更复杂的求解方法中的一个重要组成部分。
牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更复杂的求解非线性方程的方法。
它利用泰勒级数和牛顿迭代公式，通过不断迭代来逼近根的位置。
下面是利用牛顿迭代法求解非线性方程的流程：1. 先取一个近似值并计算函数值2. 求出函数的导数3. 利用牛顿迭代公式，计算下一个近似根4. 检查下一个近似根的精度是否满足条件，如果满足，返回当前近似根5. 如果精度不满足，则将新的近似根带入公式，重复步骤2-5当然，牛顿迭代法的收敛性并不总是保证的。
如果迭代过程太过温和，它可能无法收敛到精确解。
如果迭代过程过于暴力，则会出现发散现象，使得求解变得不可能。
其他方法此外，还有一些其他的求解非线性方程的方法，例如黄金分割法、逆二次插值法、牛顿切线法等等。
其中每一种方法都有其优缺点，不同的情况下，不同的方法都可能比其他方法更加适合。
结论总体来说，求解非线性方程的方法非常复杂。
无论是哪种方法，都需要一定的数学基础和计算机知识。
第二节_牛顿迭代法
2 3 xk
2 f ( x) 3 x
k 0,1, 2,
4、牛顿迭代法的局部收敛性定理 设 x* 为方程 f (x) = 0的根，在包含x*的某个开区间内 f ( x) 连 B ( x *) [ x , x ]， f ( x ) 0 续，且 ，则存在 x* 的邻域 使得任取初值 x0 B ( x*)，由牛顿迭代法产生的序列xk 以不 低于二阶的收敛速度收敛于x*.
标即为 xk 1 。 y
( x0 , f ( x0 ))
x* x2 x x0 1
x
例2.5：写出求 a (a 0) 的牛顿迭代格式；写出求 a (a 0) 的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算，又无除法运算。
2 f ( x ) x a 0 (a 0) 的正根 f ( x) 2x 解： 等价于求方程
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( ) ( x x 0 ) 2 ， 2!
在 x0 和 x 之间
* 取 x x ，可将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 )
lim x n 注意到ξn 在xn 及x*之间,及 n
x n1 x* x n x*
2
x*
,故
f" ( n ) f " ( x* ) * 2 f ' ( xn ) 2 f' ( x )
0(二阶收敛)若 f "( x* ) 0 0(大于二阶收敛)若 f "( x* ) 0
Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其 迭代函数为: f ( x) ( x) x f '( x )
牛顿迭代法解非线性方程（组）
⽜顿迭代法解⾮线性⽅程（组）在辨识⼯作中，常常需要对辨识准则或者判据进⾏求极值，这往往涉及到求⾮线性⽅程（组）的解问题。
⽜顿迭代法是⼀种常⽤⽅法。
下⾯把⾃⼰对⽜顿迭代法的学习和理解做个总结。
1.⼀元⾮线性⽅程的⽜顿迭代公式和原理以⼀元⾮线性⽅程 f(x)=0 为例，对函数 f(x)进⾏Taylor级数展开（只展开⾄线性项）得f(x) = f(x0)+f'(x0)(x-x0)所以⽅程可写成f(x0)+f'(x0)(x-x0) = 0其中x0是给定的已知值，则不难推导出⽅程的解（当然，只是近似解，毕竟Taylor展开过程中只取了线性项）x = x0 - f(x0) / f'(x0)其中x不是真实解，但是相⽐之前的x0更靠近真实解了，因此可以多重复⼏次上述过程，从⽽使得到的解⾮常接近准确值。
所以，对于⼀元⾮线性⽅程，⽜顿拉夫逊迭代公式为：x(k+1) = x(k) - f(x(k)) / f'(x(k))根据Taylor级数的⼏何意义我们可以从⼏何上形象的看⽜顿迭代法的求解f(x)=0的过程。
第⼀次迭代x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)，其中f(x0) / f'(x0)的⼏何意义很明显，就是x0到x1的线段长度（这可以从直⾓三⾓形的知识得到）。
第⼆次迭代x2 = x1 - f(x1) / f'(x1)，其中f(x1) / f'(x1)的⼏何意义很明显，就是x1到x2的线段长度。
同理可以进⾏第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x的取值在不断逼近真实解x*。
可能有⼈问，迭代求得的结果会不会不收敛，也就是x会不会偏离x*。
由于x0是在x*附近区域取值的，因此x0到x1这段曲线应该认为是平滑的没有转折的，因此切线与x轴的交点只会越来越接近真实解x*。
但是如果x0的取值离x*⽐较远的话，那么x0到x1这段曲线上可能有“转折”，这样就可能引起迭代的不收敛。
牛顿法
牛顿法牛顿迭代法牛顿迭代法(Newton's method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphson method),它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式,因此求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
设r是f(x) = 0的根,选取x0作为r初始近似值,过点(x0,f(x0))做曲线y = f(x)的切线L,L的方程为y = f(x0) f'(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标x1 = x0-f(x0)/f'(x0),称x1为r的一次近似值。
过点(x1,f(x1))做曲线y = f(x)的切线,并求该切线与x轴的横坐标x2 = x1-f(x1)/f'(x1),称x2为r的二次近似值。
重复以上过程,得r的近似值序列,其中x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n)),称为r 的n+1次近似值,上式称为牛顿迭代公式。
解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。
把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数f(x) = f(x0)+(x-x0)f'(x0)+(x-x0)^2*f''(x0)/2! +…取其线性部分,作为非线性方程f(x) = 0的近似方程,即泰勒展开的前两项,则有f(x0)+f'(x0)(x-x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0-f(x0)/f'(x0) 这样,得到牛顿法的一个迭代序列:x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n))。
牛顿法和拟牛顿法是求解无约束最优化的常用方法，有收敛速度快的优点. 牛顿法属于迭代算法，每一步需要求解目标函数的海赛矩阵的逆矩阵，计算复杂. 拟牛顿法通过正定矩阵近似海赛矩阵的逆矩阵，简化了这个过程。
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f ( x) f ( x)
f ( x)2 ,
( x) 0
( x)
f ( x)2
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)
f ( x)3
2 f ( x) f ( x)2 f ( x* ) f ( x)3 f ( x* )
当 f ( x*) 0 时，由迭代定理可知，牛顿迭代 法以 2 阶速度收敛于 x* 。
计算方法（2016/2017 第一学期） 西南科技大学 制造科学与工程学院
4
牛顿迭代法
定义：对于给定正数 a，应用牛顿迭代法解二次 方程 x2 a 0，可求 a 的计算公式
1 a
xk 1
2
xk
xk
例：证明以上公式，对于初值 x0 (0, ) 整体收 收敛于 a ，且收敛速度是 2 阶的。
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1
牛顿迭代法几何含义
y=g(x)
x* xk x2
x1
x0
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
令
y 0 x1 x0
f ( x0 ) f ( x0 )
y f ( x1 ) f ( x1 )( x x1 )
令
y 0 x2 x1
f ( x1 ) f ( x1 )
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2
牛顿迭代法
定义：从几何上看，x1, x2 越来越接近 x*。由此， 不难归纳出一般迭代公式
xk1
xk
f ( xk ) f ( xk )
( x0为初值)
以上方法称作牛顿迭代法（也称切线法）
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12
例题
例：用牛顿迭代法计算 1/1.2345。
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13
例题
解：将 x 1 转化为 f ( x) 1 a 0 ，a 1.2345
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9
例题
解：设方程 f ( x) x2 a 0 ，则 f ( x) 2x ，
代入牛顿迭代公式可得
xk 1
xkk 0
f ( xk ) f ( xk )
1.x50k000x00kx020k20x00k0a0
1
2
xk
xka1 xk
取 x0 51.5 ，代入1牛.732顿0508迭075代6888公式，计0 算结果如表
所示。
3 1.73205080756888
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10
例题
例：设 a>0 ，推导用牛顿迭代法计算 1/a 的 公式，要求在迭代公式中不用除法进行运算，并 计算 1/6。
0.015
当 a=62 时，牛顿迭0代.166公650式为
3
0.166817
xk1 x4 k (2 6 xk ),
(k 0,1, )
0.166667
0.00165 0.000167 0.00075
取 x0 5 0.15 ，代入牛0.1顿6666迭7 代公式，计0 算结果如表
所示。
1 1.66667 6
1 a xk1 2xk
2
a xk
2
a xk
a a
xk 1 xk 1
a a
xk xk
2
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6
牛顿迭代法
证明：反复递推可得
2
22
a a
xk 1 xk 1
a a
xk xk
a a
xk 1 xk 1
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5
牛顿迭代法
证明：从牛顿迭代法可得
xk 1
xk
f ( xk ) f ( xk )
f ( xk ) 2xk
xk 1
xk
xk2 a 2 xk
xk2 a 2 xk
1 2 xk
xk2 a
1 a xk1 2xk
2k 1
=
=
a a
x0 x0
若记：q
a a
x0 x0
(q
1)
xk 1
1 q2k1 a 1 q2k1
lim
k
xk 1
a
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7
牛顿迭代法
证明：设 ek1
a xk1
ek 1 ek2
=-
a xk1
2
a xk
定理： 设 x*是方程 f ( x) 0 的一个单根，且 f ( x) 0 ， 则，牛顿迭代法以 2 阶速度收敛于方程根 x* 。
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3
牛顿迭代法
证明：事实上，迭代函数 ( x)
x
f ( x) ，且
f ( x)
( x)
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11
例题
解：设方程
f (x)
1 x
a
0
，则
f ( x)
1 x2
，
代入牛k顿迭代公式可x得k
xk 1
x0 k
1
f ( xk ) f ( xk )
x0k.1(520000 axk ),
0.165000
xk1 xk
(k 0,1, )
2016/2017 学年 第一学期（16周）
牛顿迭代法 – 非线性方程
牛顿迭代法几何含义
y=g(x)
x* xk x2
x1
x0
设方程 f ( x) 0 有根 x*，且 f ( x) 0 ，如图所示 牛顿给出一种求解方法：在根附近任取一个点，
曲线与在该点处的切线，该切线与轴线交点取作
第二点，依次循环
lim
k
ek 1 ek2
=-
1 2a
从迭代法则得知：lim k
ek 1 ekp
0时，该迭代式在
x*
的
附近 p 阶收敛的。
因此，xk 1
1
2
xk
a xk
在
(0, ) 上以 2 阶速度整
体收敛于 a。
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8
例题
例：给出计算 a 的牛顿迭代公式，并计算 3 。
xk
当 a=3 1时，迭代公1.75式000为000000000
0.25
2
1 3
xk 1
2
3 4
xk
xk
1.73214285714286 1.73205081001473 1.73205080756888
0.01785714285714 0.00009204712813 0.00000000244585