牛顿法求非线性方程的根
牛顿法拟牛顿法
牛顿法拟牛顿法牛顿法是一种求解非线性方程的方法，其原理是在迭代中使用方程的导数来近似方程的根。
虽然牛顿法非常有效，但它往往需要非常精准的初始猜测才能保证收敛性。
另一种类似于牛顿法的方法是拟牛顿法，它可以通过逐步调整矩阵B来近似牛顿法的矩阵Hessian。
本文将介绍牛顿法和拟牛顿法的原理和应用。
一、牛顿法假设有一个n维非线性方程系统f(x)=0，其中x是一个n维向量。
牛顿法中的每个迭代都是通过以下公式来更新当前估计xk的：xk+1=xk-Hk^(-1)fk其中Hk是f(x)的Hessian矩阵在xk处的值，假设Hk是可逆的。
牛顿法的优点是它快速收敛，并且可以通过适当选择初始估计来实现收敛。
另一个好处是它可以直接用于求解大型系统，因为它只涉及二次导数的计算。
然而，牛顿法的缺点是它需要计算Hessian矩阵，这通常是一个费时且复杂的任务。
另一个问题是当Hessian矩阵的条件数（即最大特征值与最小特征值之比）很大时，牛顿法的收敛可能会变得很慢。
二、拟牛顿法拟牛顿法的思想是利用一个矩阵Bk来代替牛顿法中的Hk矩阵。
Bk是一个正定对称的矩阵，其初值通常为单位矩阵In。
在每个迭代中，Bk被更新为一个近似的Hessian逆矩阵。
最常用的拟牛顿法算法之一是BFGS算法，其更新规则如下：Bk+1=Bk+(yk^Tyk)/(yk^Ts)+(BkSkS^TBk)/(sk^TBksk)其中sk=xk+1-xk，yk=g(xk+1)-g(xk)，g表示f的梯度，^T表示矩阵转置。
该公式是基于以下观察得出的：Bk+1应该满足以下性质：Bk+1是正定对称的。
Bk+1应该近似于Hk+1的逆，其应该满足以下方程：Bk+1sk=yk另外，BFGS算法的收敛速度也相对比牛顿法要慢，因为BFGS算法需要逐步修正矩阵Bk，直到其逼近Hessian矩阵的逆。
三、应用牛顿法和拟牛顿法在许多实际问题中应用广泛，特别是在数学、物理、金融和工程领域。
非线性方程求根—牛顿迭代法(新)
非线性方程求根——牛顿迭代法一、牛顿迭代法的基本思想基本思想：将非线性方程逐步归结为某种线性方程求解。
设方程f (x )=0有近似根x k （f `(x k )≠0），将f (x )在x k 展开：（ξ在x 和x k 之间）2()()()()()()2!k k k k f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-可设记该线性方程的根为x k +1，则()()()0k k k f x f x x x '+-=1()()k k k k f x x x f x +=-'故f (x )=0可近似表示为即为Newton 法迭代格式。
（k =0,1,……）例：用Newton 迭代法求方程310x x --=在x 0=1.5附近的近似实根。
解：32()1,()31f x x x f x x '=--=-迭代公式为312131kk k k k x x x x x +--=--计算步骤如下:（1）取初值x 0=1.5;（2）按照迭代公式计算x 1；（3）若|x 1-x 0|<=0.00001，终止迭代；否则，x 0=x 1；转(2)；（4）输出迭代次数和近似根.二、牛顿迭代法的实现MATLAB求解程序设计：方程及一阶导数函数：function[fun,dfun]=fun0(x)fun=x^3-x-1;%求原函数的值dfun=3*x^2-1;%求一阶导数的值计算主程序：clearx0=1.5;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=1;while abs(x1-x0)>1e-5x0=x1;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=i+1;enddisp('the solution is x1=')x1disp('the iter time is ')i计算结果为：the solution is x1=x1 =1.3247the iter time isi =4可见经过4次迭代即到达要求的精度，原方程的一个近似实数根为1.3247.三、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的迭代函数：)()()(x f x f x x '-=ϕ222)]([)()()]([)()()]([1)(x f x f x f x f x f x f x f x '''='''-'-='ϕ设f (x *)=0，f `(x *)≠0，则ϕ`(x *)=0，故Newton 迭代法在x *附近至少平方收敛。
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
用牛顿法求解非线性方程教学内容
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从上述的运算结果可以看出，迭代公式1、2、4不收敛，3虽然收敛，但与其他迭代法的结果差异太大，对5和6分别用埃特金加速和斯特芬森迭代得到结果如下：
对于5埃特金加速结果：
B =
2.0000
2.2804
2.2791
(a) , (b) , (c) ,
(d) (e) , (f) .
2.对每一种迭代格式，编制一个程序进行运算，观察每种格式的敛散情况；用事后误差估计 来控制迭代次数，并且输出迭代的次数；观察不同初值的结果.
3.从理论上分析各种格式的收敛性及收敛阶.
4.将收敛较慢的一种格式分别用Atken方法及Steffsen方法加速，通过输出结果了解加速效果.
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0
斯特芬森迭代结果：
x =
2.0000
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2.埃特金加速收敛方法
设 是根 的某个近似值，用迭代一次得 ，
而由微分中值定理，有
其中 介于 和 之间。
假设 改变不大，近似地取某个近似值L，则有
若将校正值 再迭代一次，又得 由于
将它与前面的式子联立，消去未知的L，有
非线性方程求解算法比较
非线性方程求解算法比较在数学和计算机科学领域中，非线性方程是一种无法简单地通过代数方法求解的方程。
因此，研究和开发高效的非线性方程求解算法是至关重要的。
本文将比较几种常见的非线性方程求解算法，包括牛顿迭代法、割线法和二分法。
通过对比它们的优缺点和适用范围，可以帮助人们选择最适合的算法来解决特定的非线性方程问题。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解算法。
它基于泰勒级数展开，使用函数的导数信息来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$。
2. 计算函数$f(x_0)$和导数$f'(x_0)$。
3. 根据牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
牛顿迭代法的收敛速度很快，通常二次收敛。
然而，它对于初始值的选择非常敏感，可能会陷入局部极值点，导致找到错误的根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要根据具体问题选择合适的初始近似值。
二、割线法割线法是另一种常见的非线性方程求解算法。
它是对牛顿迭代法的改进，使用两个近似解来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$和$x_1$。
2. 计算函数$f(x_0)$和$f(x_1)$。
3. 根据割线公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
与牛顿迭代法相比，割线法不需要计算导数，因此更加灵活。
然而，割线法的收敛速度比牛顿迭代法慢，通常是超线性收敛。
与牛顿迭代法一样，割线法也对初始近似值的选择敏感。
三、二分法二分法是一种简单直观的非线性方程求解算法。
它利用函数在根附近的特性，通过不断缩小区间范围来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始区间$[a,b]$，其中$f(a)$和$f(b)$异号。
牛顿法求平方根
牛顿法求平方根牛顿法是一种数学的迭代求根方法，其可以用来求解非线性方程的根以及平方根。
在计算机科学和数值计算中，牛顿法也有着重要的应用。
一、牛顿法的数学原理牛顿法求解非线性方程的根，是以函数f(x)的定义域内一个初值x0为基础，假设函数f(x)在x0处具有可微分性，那么函数在x0处的一阶导数f’(x0)可以构建一个泰勒展开式：f(x)＝f(x0)＋f’(x0)×(x-x0)泰勒展开式也即是牛顿法采用的近似计算函数，它假定根所在区域内函数近似为一阶函数，这样可以忽略其他更高阶的项，而得到近似的函数值。
假定牛顿法误差小于某一限度，牛顿法的求根公式，也称为牛顿迭代公式，有：xn＝xn-1-f(xn-1)/f’(xn-1)该公式可以用来求解方程f(x)=0的解，牛顿法的求根原理是以上的迭代公式，即以初始点x0开始，用恒等式右边的值来代替当前的函数值f(xn-1)，即可获得新的xn，新的x值也就是接近根的点，将这样迭代，直到所求函数的根。
二、牛顿法求平方根牛顿法求解非线性方程的根，也可以用来求取某个数的平方根，具体的做法为，首先令f(x)=x2-a=0，其中a是需要求解的数的平方，计算函数f(x)的导数f’(x)=2x，以x0=a/2为初始值，求解f(x)=0，使用牛顿法可以得到x(n+1)=xn-f(xn) / f’(xn)=xn-(xn2-a)/2xn=1/2 (xn+a/xn) (n=0,1,2...)根据牛顿法的收敛性质，可以认为当n→∞时，xn→x（即a的平方根），根据上述求解步骤，可以实现一个求平方根的数值算法。
三、牛顿法求平方根的数值算法1.定一个解的初始值x0，令x0=a/2；2.算f(x0)和f’(x0)；3.用牛顿法迭代公式得到新的xn；4.算f(xn)和f’(xn)，再重复步骤3；5.复上述步骤，直到收敛条件满足，得出所求的解。
四、牛顿法求平方根的优缺点1.顿法求解非线性方程的根以及平方根的的优点：（1）牛顿法是一种快速收敛的数值求根方法，迭代次数小，计算简单；（2）它可以用来求解实数的根，复数的根，和多元函数的根，只要改变初值x0；（3）它可以求解一般不存在解析解的非线性方程组和非欧几里得函数的根；2.顿法求解非线性方程的根以及平方根的缺点：（1）当确定初始值x0时要慎重，因为当初值x0距所求解的距离太近时，方程的迭代精度将会受到影响；（2）牛顿法对函数f(x)的可微分性有一定的要求；（3）当f(x)的导数在某一点上不存在时，牛顿法不能收敛到有限精度解上。
数学方法解决非线性方程组
数学方法解决非线性方程组非线性方程组在科学、工程和数学领域中具有重要的应用价值。
解决非线性方程组是一个复杂的任务，而数学方法为我们提供了一种有效的途径。
本文将介绍一些常用的数学方法，以解决非线性方程组的问题。
1. 牛顿法牛顿法是一种常用的数值解法，用于求解非线性方程组。
它基于泰勒级数的思想，通过迭代逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始点作为近似解。
然后，根据函数的导数来计算方程组在该点的切线，找到切线与坐标轴的交点。
将该交点作为新的近似解，继续迭代，直到满足收敛条件。
牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会陷入局部极小值点。
2. 雅可比迭代法雅可比迭代法也是一种常见的数值解法。
它将非线性方程组转化为线性方程组的形式，然后通过迭代来逼近解。
具体步骤如下：首先，将非线性方程组表示为矩阵形式，其中包含未知数的系数矩阵和常数向量。
然后，将方程组进行变换，使得未知数的系数矩阵变为对角矩阵。
接下来，选择一个初始解向量，并通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
雅可比迭代法适用于大规模的非线性方程组求解，但收敛速度较慢。
3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。
它在每次迭代中使用新的解向量来更新未知数的值，从而加快收敛速度。
具体步骤如下：首先，选择一个初始解向量。
然后，通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
高斯-赛德尔迭代法相对于雅可比迭代法而言，可以更快地收敛到解。
它在求解非线性方程组时具有较好的效果。
4. 弦截法弦截法是一种近似求解非线性方程组的方法。
它通过线段的截断来逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始的线段，其中包含方程组的两个近似解。
然后，通过截取线段上的新点，构造新的线段。
重复这个过程，直到满足收敛条件。
弦截法是一种迭代方法，它可以在不需要计算导数的情况下逼近方程组的根。
但是，它的收敛速度比牛顿法和雅可比迭代法要慢。
总结：数学方法提供了一种有效的途径来解决非线性方程组的问题。
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法一、引言在数学领域中，非线性方程是指未知量与其对自身的各次幂、指数以及任意函数相乘或相加得到的方程。
求解非线性方程是数学中一个重要而又具有挑战性的问题。
本文将介绍几种常见的非线性方程求解方法。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法，它利用方程的切线逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，在初始点x0附近取切线方程y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)，令切线方程的值为0，则可得到切线方程的解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
三、二分法二分法是一种简单而又直观的非线性方程求解方法。
它利用了连续函数的中间值定理，即若f(a)和f(b)异号，则方程f(x)=0在[a, b]之间必有根。
根据中值定理，我们可以取中点c=(a+b)/2，然后比较f(a)和f(c)的符号，若同号，则根必然在右半区间，否则在左半区间。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
四、割线法割线法是一种基于切线逼近的非线性方程求解方法，它与牛顿迭代法相似。
由于牛顿迭代法需要求解导数，而割线法不需要。
设f(x)为非线性方程，在两个初始点x0和x1附近取一条直线，该直线通过点(x0,f(x0))和(x1, f(x1))，它的方程为y=f(x0)+(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)*(x-x0)，令直线方程的值为0，则可得到直线方程的解为x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
五、试位法试位法是一种迭代逼近的非线性方程求解方法。
它利用了函数值的变化率来逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，选取两个初始点x0和x1，然后计算f(x0)和f(x1)的乘积，如果结果为正，则根位于另一侧，否则根位于另一侧。
然后再选取一个新的点作为下一个迭代点，直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
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学科前沿讲座论文
班级：工程力学13-1班姓名：陆树飞
学号：02130827
牛顿法求非线性方程的根
一 实验目的
（1）用牛顿迭代法求解方程的根
（2）了解迭代法的原理，了解迭代速度跟什么有关
题目：用Newton 法计算下列方程
（1） 013=--x x ， 初值分别为10=x ，7.00=x ，5.00=x ；
（2） 32943892940x x x +-+= 其三个根分别为1,3,98-。
当选择初值02x =时
给出结果并分析现象,当6510ε-=⨯，迭代停止。
二 数学原理
对于方程f(x)=0，如果f(x)是线性函数，则它的求根是很容易的。
牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f(x)=0逐步归结为某种线性方程来求解。
设已知方程f(x)=0有近似根x k (假定k f'(x )0≠) ，将函数f(x)在点x k 进行泰勒展开，有
k k k f(x)f(x )+f'(x )(x-x )+≈⋅⋅⋅
于是方程f(x)=0可近似的表示为
k k k f(x )+f'(x )(x-x )=0
这是个线性方程，记其根为x k+1，则x k+1的计算公式为
k+1k ()x =x -'()
k k f x f x ，k=0,1,2,… 这就是牛顿迭代法。
三 程序设计
（1）对于310x x --=，按照上述数学原理，编制的程序如下
program newton
implicit none
real :: x(0:50),fx(0:50),f1x(0:50)!分别为自变量x ，函数f(x)和一阶导数f1(x)
integer :: k
write(*,*) "x(0)="
read(*,*) x(0) !输入变量：初始值x(0)
open(10,file='1.txt')
do k=1,50,1
fx(k)=x(k-1)**3-x(k-1)-1
f1x(k)=3*x(k-1)**2-1
x(k)=x(k-1)-fx(k)/f1x(k) !牛顿法
write(*,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) !输出变量：迭代次数k 及x 的值 write(10,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k)
if(abs(x(k)-x(k-1))<1e-6) exit !终止迭代条件
end do
stop
end
（2）对于32943892940x x x +-+=，按照上述数学原理，编制的程序如下
program newton
implicit none
real :: x(0:50),fx(0:50),f1x(0:50)!分别为自变量x ，函数f(x)和一阶导数f1(x)
integer :: k
write(*,*) "x(0)="
read(*,*) x(0) !输入变量：初始值x(0)
open(10,file='1.txt')
do k=1,50,1
fx(k)=x(k-1)**3+94*x(k-1)**2-389*x(k-1)+294
f1x(k)=3*x(k-1)**2+188*x(k-1)-389
x(k)=x(k-1)-fx(k)/f1x(k) !牛顿法
write(*,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) !输出变量：迭代次数k 及x 的值 write(10,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k)
if(abs(x(k)-x(k-1))<5e-6) exit !终止迭代条件
end do
stop
end
四 结果分析和讨论
（1）对于方程 013=--x x ， 当初始值初值分别为10=x ，7.00=x ，5
.00=x 时；所得结果如下
分析与讨论：从计算结果可以看出，当取的初始值不同时，虽然均得到了近似解x*=1.324718，但收敛速度明显不同。
当初始值x 0充分接近于方程的单根时，可
保证迭代序列快速收敛。
在本例中，初始值1、0.7和0.5距方程的单根越来越远，故收敛速度越来越慢。
（2）对于方程32943892940x x x +-+=，当初始值x 0=2时计算结果如下
分析与讨论：牛顿法有明显的几何解释，方程f(x)=0的根x*可解释为曲线y=f(x)与x 轴的交点的横坐标。
设x k 是根x*的某个近似值，过曲线y=f(x)上横坐标为
x k 的点P k 引曲线y=f(x)的切线，并将该切线与x 轴的交点坐标x k+1作为x*的新
的近似值。
本题中，当初始值x 0=2时，在这个点的切线方程与x 轴的交点恰为
方程的一个根x=-98,因此迭代了两次就得到了结果。
五 完成题目的体会与收获
（1）用牛顿法求解方程时，初始值x 0越接近于方程的单根，迭代序列收敛
速度越快。
（2）当方程有不止一个根时，所得结果与初始值的选取有关 。