第6章 非线性方程(组)和最优化问题的计算方法
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：
数值分析中的非线性方程求解与优化
数值分析中的非线性方程求解与优化在数值分析领域中，非线性方程求解是一个重要的问题。
许多实际问题都可以被建模为非线性方程，而求解这些方程对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍非线性方程求解的基本概念、方法和优化技术。
一、非线性方程求解的概念非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。
与线性方程不同，非线性方程的解不再是一条直线，而是一条曲线或曲面。
非线性方程的求解是寻找方程中满足特定条件的变量值或函数的过程。
二、非线性方程求解的方法1. 迭代法迭代法是解决非线性方程求解问题中常用的方法。
迭代法的基本思想是通过不断逼近方程的解，使得迭代序列逐步收敛于方程的解。
常见的迭代法包括牛顿迭代法、割线法和弦截法等。
以牛顿迭代法为例，假设要求解方程f(x) = 0，首先选择一个初始估计值x0，然后通过迭代公式进行迭代计算直到满足收敛条件。
迭代公式为：xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)，其中f'(xn)表示f(x)在xn处的导数。
2. 区间划分法区间划分法是通过将求解区间划分为若干个子区间，然后在每个子区间内搜索方程的解。
这种方法常用于求解具有多个解的非线性方程。
一般可以使用二分法、割线法和弦截法等算法进行区间划分和求解。
3. 优化技术优化技术常用于求解非线性方程的最优解。
在数值分析中，优化问题可以理解为寻找使得目标函数达到最大或最小值的变量值。
常用的优化算法包括梯度下降法、拟牛顿法和粒子群算法等。
这些算法通过迭代过程不断调整变量值，使得目标函数逐渐趋于最优解。
三、非线性方程求解与优化的应用非线性方程求解和优化技术在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些应用领域的例子：1. 工程领域：在工程设计中，需要求解非线性方程以确定优化的设计参数。
例如，在机械设计中，可以通过求解非线性方程来确定零件的几何尺寸和运动轨迹。
2. 金融领域：在金融衍生品定价和风险管理中，需要求解非线性方程来估计资产价格和风险敞口。
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法一、引言在数学领域中，非线性方程是指未知量与其对自身的各次幂、指数以及任意函数相乘或相加得到的方程。
求解非线性方程是数学中一个重要而又具有挑战性的问题。
本文将介绍几种常见的非线性方程求解方法。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法，它利用方程的切线逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，在初始点x0附近取切线方程y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)，令切线方程的值为0，则可得到切线方程的解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
三、二分法二分法是一种简单而又直观的非线性方程求解方法。
它利用了连续函数的中间值定理，即若f(a)和f(b)异号，则方程f(x)=0在[a, b]之间必有根。
根据中值定理，我们可以取中点c=(a+b)/2，然后比较f(a)和f(c)的符号，若同号，则根必然在右半区间，否则在左半区间。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
四、割线法割线法是一种基于切线逼近的非线性方程求解方法，它与牛顿迭代法相似。
由于牛顿迭代法需要求解导数，而割线法不需要。
设f(x)为非线性方程，在两个初始点x0和x1附近取一条直线，该直线通过点(x0,f(x0))和(x1, f(x1))，它的方程为y=f(x0)+(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)*(x-x0)，令直线方程的值为0，则可得到直线方程的解为x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
五、试位法试位法是一种迭代逼近的非线性方程求解方法。
它利用了函数值的变化率来逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，选取两个初始点x0和x1，然后计算f(x0)和f(x1)的乘积，如果结果为正，则根位于另一侧，否则根位于另一侧。
然后再选取一个新的点作为下一个迭代点，直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
非线性优化问题的求解研究
非线性优化问题的求解研究一、引言非线性优化问题是数学和工程学中一个十分重要的课题，它们在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在工程和物理学中，需要优化设计和控制系统；在金融学中，需要优化投资组合；在医学中，需要优化药物剂量等。
对于这些问题，我们需要建立数学模型，并且寻找最优解。
因此，如何高效地解决非线性优化问题一直是一个热门的研究领域。
二、非线性优化问题非线性优化问题是指在无约束或有约束条件下，目标函数为非线性函数的问题。
通俗的说，就是在一个复杂的系统中，寻找一个能够达到最优状态的方案。
非线性优化问题包括多元函数非线性规划、不等式约束问题、等式约束问题等。
这些问题的特点在于目标函数或约束条件不能表示为简单的线性形式，需要使用非线性方法进行求解。
三、非线性优化问题的求解方法1. 牛顿法牛顿法被广泛用于求解非线性方程组和最优化问题。
在求解非线性优化问题中，其基本思路是将目标函数在当前点进行泰勒展开，然后求解导数为零的点所对应的下降方向，并对这个方向进行步长的控制，进行迭代。
2. 拟牛顿法拟牛顿法是基于牛顿法的一种算法。
它通过逼近目标函数的海森矩阵或该矩阵的逆矩阵来获得下降方向。
由于在牛顿法中，需要求解复杂的海森矩阵的逆矩阵，因此在实际应用中比较困难。
而拟牛顿法则可以通过近似估算来解决这个问题，在保证解精度的基础上，减少计算时间。
3. 共轭梯度法共轭梯度法主要用于解决对称正定线性方程组。
在非线性优化问题中，共轭梯度法通常被用作拟牛顿法的一个变体，用于求解目标函数梯度的方向。
4. 遗传算法遗传算法是一种基于遗传学的算法，其主要思路是模拟自然界中的进化过程来获得最优解，包括基因的突变、遗传操作等。
在非线性优化问题中，遗传算法被广泛用于寻找最优解的搜索和优化。
四、非线性优化问题的应用非线性优化问题有着广泛的应用。
以下是一些应用案例：1. 金融学：非线性优化问题被用于优化投资组合和资产定价等问题。
2. 工程学：非线性优化问题被用于优化设计和控制系统等问题。
非线性方程组的数值解法及最优化方法课件
拟牛顿法是牛顿法的改进，通过构造一个近似于真实Hessian矩阵的对称正定矩阵来逼近， 从而加快了算法的收敛速度。
信赖域方法求解非线性方程组
信赖域方法是一种基于梯度信息的迭代算法，通过在每一步中计算一个小的搜索方向，并 限制步长，以避免算法发散。
最优化方法案例
梯度下降法求解无约束最优化问题
梯度下降法是一种迭代算法，通过不断沿负梯度方向更新变量，最终找到最优化问题的最小值点。该方法适用于求解 无约束最优化问题。
牛顿法求解无约束最优化问题
牛顿法是一种基于二阶导数的迭代算法，通过不断逼近函数的极小值点，最终求解无约束最优化问题。该方法适用于 求解具有多个局部最小值的问题。
遗传算法求解约束最优化问题 遗传算法是一种基于生物进化原理的随机搜索算法，通过模拟生物进化过程中的自然选择和遗传机制， 在解空间中进行高效搜索，最终找到满足约束的最优解。
和稳定性。
约束最优化方法
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日函数，将约束最优化问题转化为无 约束最优化问题求解。
罚函数法
通过引入罚函数，将约束条件转化为无约束条件，通 过迭代更新求解。
序列二次规划法
结合拉格朗日乘数法和牛顿法的思想，通过迭代逼近 最优解。
混合整数最优化方法
01
02
03
分支定界法
将整数约束转化为区间约 束，通过不断分支和剪枝 来逼近最优解。
非线性方程组与最优化方法的结合案例
非线性规划问题
非线性规划是最优化领域中一类重要的数学问题，其目标函数和约束条件都是非线性的。常见的非线性规划问题 包括最小二乘问题、二次规划问题等。求解非线性规划问题的常用方法包括梯度下降法、牛顿法等。
非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法
(3) 用 Newton 法解 (x) = 0
x ( x 2 2) 3 ( x) x x2 2
ex76.m
14
弦截法与抛物线法
弦截法与抛物线法
目的：避免计算 Newton 法中的导数，且具有较 高的收敛性（超线性收敛） 弦截法（割线法）：用差商代替微商 抛物线法：用二次多项式近似 f(x)
2
x
k
C
2
2
xk 1 C xk C xk 1 C xk C 2k xk C x0 C xk C x0 C k q2 xk C 2 C 2k 1 q
q
2k
对任意 x0>0， 总有 |q|<1， 即牛顿法收敛
8
牛顿法
牛顿的优点
至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点 充分靠近精确解时。
牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法 牛顿的缺点
对重根收敛Βιβλιοθήκη 度较慢（线性收敛） 对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解 先用其它算法获取一个近似解，然后使用牛顿法
需要求导数！
9
简化的Newton法
f ( xk ) f '( xk ) 迭代格式： xk 1 xk [ f '( xk )]2 f ( xk ) f ''( xk )
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) x 4x
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) x
简化的 Newton 法
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。
然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。
本文将介绍几种非线性方程的求解方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。
该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。
牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。
牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。
二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。
割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。
三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。
该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。
二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。
二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。
四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。
不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。
高等代数中的非线性方程组 求解方法与案例
高等代数中的非线性方程组求解方法与案例高等代数中的非线性方程组求解方法与案例一、引言非线性方程组在数学和科学工程领域中具有重要的理论和实际应用价值。
本文将介绍一些常用的非线性方程组求解方法，并通过案例来展示这些方法的应用。
二、牛顿法牛顿法是一种经典的非线性方程组求解方法。
该方法利用函数的导数信息进行迭代，通过不断逼近方程组的解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - J_F(x_n)^{-1} * F(x_n)其中，J_F(x_n) 表示 F(x_n) 的雅可比矩阵。
三、割线法割线法是一种迭代求解非线性方程组的方法。
该方法使用方程组中两个初始解点之间的割线来逼近方程组的解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0 和 x_1，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - \frac{F(x_n) * (x_n - x_{n-1})}{F(x_n) - F(x_{n-1})}四、二分法二分法是一种简单且可靠的非线性方程组求解方法。
该方法利用方程组在区间两端点函数值异号的性质，在区间内部寻找解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，在区间 [a, b] 内满足 F(a) * F(b) < 0，迭代公式为：x_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}五、案例分析假设有如下非线性方程组：x^2 + y^2 = 10x + y = 5我们将使用上述介绍的三种方法来求解该方程组。
1. 牛顿法求解：首先，我们需要计算方程组的雅可比矩阵：J_F(x, y) = [[2x, 2y],[1, 1]]给定初始解 x_0 = (1, 4)，按照牛顿法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。
2. 割线法求解：给定初始解 x_0 = (1, 4) 和 x_1 = (2, 3)，按照割线法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。
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,
0
0
fn
(x)
0
则方程(6.1.1)可改为
(6.1.2)
F(x) 0
当n 1时，方程组 (6.1.1)是一个非线性方程式
f (x) 0
(6.1.3)
定义6.1 设x * 使f (x) 0，则称x *为方程 (6.1.3)的根或零点。g(x)
1F (x(k ) k)) F(
) x
(k
1)
)
F
(
x
(
k
)
)
Bk
1
Bk
Bk
(k 0,1, 2, )
用x 表示迭代近似值，用 x表示新的近似值
迭代方程为： x＝x B1F(x) 拟Newton方程为: B(x x) F(x ) F(x) 令 s x x, y F(x) F(x) 则拟Newton方程为 Bs y
2) Newton下山法
为使 f (xk ) 具有单调下降性质：| f (xk1) || f (xk ) |
将Newton迭代法与下山法结合起来应用：
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
xk1 xk1 (1 )xk
即：Newton下山法计算公式为：
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
f1 f1
( (
x) x)
3 x1
cos(x2 x3
)
1 2
0
x12 81(x2 0.1)2 sin
x3
1.06
0
f3(x)
e x1x2
20x3
10
3
3
0
6.3 拟Newton法
拟Newton法----Newton法的修正过程
x(k 1)＝x(k ) -Bk Bk 1(x(k 1) x(
牛顿法
牛顿法的迭代公式
f(x) y
x
x*
x2 x1
x0
原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开
取 x0 x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
f
(
2!
)
(
x
x0
)，2
在
x0
和
x
之间。
将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间： (a, b), (a1, b1), …, (ak, bk), …
4、当 bk1 ak1 时
5、则
xk 1
1 2
(ak
bk
)
即为根的近似
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .
①无法求复根及重根 ② 收敛慢
区间套定理：若一系列闭区间an,bn
k 1, 2,
例: 用割线法求方程 f (x) xex 1 0 于[0.5,0.6]内的根
例：应用Newton法于方程
f (x) xn a 0 和f (x) 1 a 0 (a 0)分别 xn
导出n
a
的迭代公式，求
lim
k
ek 1 ek 2
, ek
n
a
xk
6.2 解非线性方程组的Newton迭代法
y 0 g '(x) 1 p1 p0
y=x y=g(x)
✓
x
x0
x1 x*
y
y=x
y=g(x)
g '(x) 1
p0
p1
x x1 x0 x*
y p0 1 g '(x) 0
y=x
✓
y=g(x) p1
x0
x*
y
y=g(x) p0
x x1
y=x
g '(x) 1
p1
x x0 x* x1
收敛性条件
x (k) i
)的二次以上的项，有
f1(x)
f1( x(k )
)
( x1
x (k) 1
)
f1 ( x(k ) x1
)
( xn
x (k) n
)
f1( x(k ) ) xn
0
,
f
2
(
x
)
f2
(
x(k
)
)
(
x1
x1( k
)
)
f2
( x(k x1
)
)
( xn
x (k) n
)
f2 ( x(k ) ) xn
1 2
(
xk3
3), k
0,1, 2,
求得近似解为： x0=1.900 x1=1.930 x2=2.095 x3=3.098 x4=13.37 得到的近似解是不收敛的，越来越发散。
由此可见迭代函数 g(x) 选取的适当，近似解将会 收敛；选取的不适当，近似解将会发散。
那么选择怎样的g(x)迭代格式才会收敛呢？
x1=1.8945647
x2=1.89352114 …………… x8=1.89328920
x9=1.89328920
由于 x8、x9 相当接近，故可取 x*≈x8=1.89328920。
如果将原方程 x3-2x-3=0 改为得 x 1 ( x3 3)
2
仍取初值 x0=1.9 , 得迭代格式如下：
xk 1
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 )
xk1
xk
f ( xk ) f ( xk )
x*
x0
f ( x0 ) f ( x0 )
(2.3)
只要 f C1，每一步迭代都有 f ’( xk ) 0，而且
lim
k
xk
x *，则
x*就是
f
(x)的根。
2. Newton迭代法的收敛性与收敛阶
1
1
f1 ( x) f２( x)
2 f1(x) n f1(x)
2
f２(
x)
n
f２(
x)
x (k 1) 1
x (k 1) 2
x (k) 1
x (k) 2
0
fn (x)
1 fn (x)
2
fn (x)
n
fn (x) xx(k)
x (k 1) n
x (k) n
矩阵形式为
0
f
n
(
x)
fn
( x(k )
)
( x1
x (k) 1
)
fn
( x(k x1
)
)
( xn
x (k) n
)
fn ( x(k ) xn
)
0
记x *的第k 1次近似值为x(k1) ( x1(k1) , x2(k1) ,
以及
j
fi
(x)
fi (x) x j
, xn(k 1) )T
f1(x(k ) ) f2(x(k) )
点x*，如果迭代误差 k x*满 x足k 渐进关系式
lim
k
k 1 k p
lim k
x* xk1 x* xk p
C 0
则称此迭代格式是p阶收敛的，或称该方法具有p阶敛速。
当p = 1时，称迭代格式为线性（一次）收敛；
当p >1时，称迭代格式为超线性收敛。
当p = 2时，称迭代格式为平方（二次）收敛；
且0 g(x*) ,则称x *为方程 (6.1.3)m重根。当m 1时，x * 单根，
x *满足条件 f (x*) 0，
f '(x*) 0
6.1.1 二分法
定理1：设函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0， 则方程 f (x) = 0 在[a, b]内至少有一实根x*。
F ( x(k ) ) F '( x(k ) )( x(k1) x(k ) ) 0
1 f1(x) 2 f1(x) n f1(x)
其中
F '( x(k ) )
1
f２(
x)
2
f２(
x)
n
f２(
x)
1 fn (x)
2
fn
(
x)
n
fn
(x)
x x( k
)
为F ( x)于点x( k )处的Jacobi矩阵
| (x1)- (x2)|≤L|x1-x2|
例：求方程f (x) xex 1 0 (或x ex )在[1，ln 2]中的解。 2
若要求 x * xk 106 ，迭代次数k至少应为多少？
6.1.3 Newton迭代法
1．迭代过程的收敛速度
定义6.3：设迭代格式xk+1= (xk)收敛于方程x= (x)的不动
定理6.1：假定x = (x) 满足下列条件
(1) (x)在[a, b]上连续
(2) 当x[a, b]时， (x) [a, b]
(3) '(x) 存在，且对任x[a, b]，有
'(x) L 1
(6.1.10)
则方程x = (x)在[a, b]上有唯一的根x*, 且对任意初
值 x0[a, b]时，迭代序列xk+1= (xk) (k = 0, 1, …)所定
第6章 非线性方程(组)和最优化问题 的计算方法
6.1 方程式求根(二分法、迭代法和 Newton迭代法)
给定如下非线性方程组
fi (x1, x2 , , xn ) 0, i 1, 2, , n 引入向量，向量函数记号
(6.1.1)
x1
x
x2
,