0011005_最优化方法
最优化方法
Optimization Methods
课程编号：0011005 开课单位：理学院
学时／学分：36／2开课学期：2
课程性质：学位课
适用学科：学术型各学科
大纲撰写人：宋巨龙
一、教学目的及要求：
本课程所讲授的内容是工程应用的基本工具，是一门实用性较强的应用型课程。其主要目的在于讲授现代优化设计中常用的优化计算方法及其应用，使学生初步掌握现代工程优化设计的计算方法，具备用计算机进行工程优化设计、解决工程优化问题的能力。要求学生重点掌握优化计算的基本概念、基本思想和基本计算步骤，能编制优化算法的计算计程序。
二、课程主要内容:
1. 最优化方法的数学基础
2. 最优化方法的基本概念和基本类型
3. 优化设计中常用的一维搜索方法
①黄金分割法；②牛顿切线法；③两分法
4. 求解无约束最优化问题的
①最速下降法；②牛顿法；③共轭梯度法
5 求解约束最优化问题的
①外罚函数法；②内罚函数法
6 求解线性规划问题的
①图解法；②单纯刑法及其转轴运算
三、课程教材及教学参考书：
课程教材：
宋巨龙等，《最优化方法》，西安电子科技大学出版社，2012年9月
主要参考书：
[1]张光澄等，《非线性最优化计算方法》，高等教育出版社，2005年7月，北京，第1版。
[2]何坚勇，《运筹学基础》，清华大学出版社，2000年7月，
[3]张可村，《工程优化的算法与分析》，西安交通大学出版社，1988年1月
常用最优化方法评价准则
常用无约束最优化方法评价准则 方法算法特点适用条件 最速下降法属于间接法之一。方法简便，但要计算一阶偏导 数，可靠性较好，能稳定地使函数下降，但收敛 速度较慢，尤其在极点值附近更为严重 适用于精度要求不高或用于对 复杂函数寻找一个好的初始 点。 Newton法属于间接法之一。需计算一、二阶偏导数和Hesse 矩阵的逆矩阵，准备工作量大，算法复杂，占用 内存量大。此法具有二次收敛性，在一定条件下 其收敛速度快，要求迭代点的Hesse矩阵必须非 奇异且定型（正定或负定）。对初始点要求较高， 可靠性较差。 目标函数存在一阶\二阶偏导 数，且维数不宜太高。 共轭方向法属于间接法之一。具有可靠性好，占用内存少， 收敛速度快的特点。 适用于维数较高的目标函数。 变尺度法属于间接法之一。具有二次收敛性，收敛速度快。 可靠性较好，只需计算一阶偏导数。对初始点要 求不高，优于Newton法。因此，目前认为此法是 最有效的方法之一，但需内存量大。对维数太高 的问题不太适宜。 适用维数较高的目标函数 （n=10～50）且具有一阶偏导 数。 坐标轮换法最简单的直接法之一。只需计算函数值，无需求 导，使用时准备工作量少。占用内存少。但计算 效率低，可靠性差。 用于维数较低（n<5）或目标函 数不易求导的情况。 单纯形法此法简单，直观，属直接法之一。上机计算过程 中占用内存少，规则单纯形法终止条件简单，而 不规则单纯形法终止条件复杂，应注意选择，才 可能保证计算的可靠性。 可用于维数较高的目标函数。
常用约束最优化方法评价标准 方法算法特点适用条件 外点法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题。 初始点可以任选，罚因子应取为单调递增数列。 初始罚因子及递增系数应取适当较大值。 可用于求解含有等式约束或不等 式约束的中等维数的约束最优化 问题。 内点法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题。 初始点应取为严格满足各个不等式约束的内点， 障碍因子应取为单调递减的正数序列。初始障碍 因子选择恰当与否对收敛速度和求解成败有较大 影响。 可用于求解只含有不等式约束的 中等维数约束优化问题。 混合罚函数法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题， 用内点形式的混合罚函数时，初始点及障碍因子 的取法同上；用外点形式的混合罚函数时，初始 点可任选，罚因子取法同外点法相同。 可用于求解既有等式约束又有不 等式约束的中等维数的约束化问 题。 约束坐标轮换法由可行点出发，分别沿各坐标轴方向以加步探索 法进行搜索，使每个搜索点在可行域内，且使目 标函数值下降。 可用于求解只含有不等式约束， 且维数较低（n<5），目标函数的 二次性较强的优化问题。 复合形法在可行域内构造一个具有n个顶点的复合形，然 后对复合形进行映射变化，逐次去掉目标函数值 最大的顶点。 可用于求解含不等式约束和边界 约束的低维优化问题。
无约束优化方法程序
无约束优化方法---鲍威尔方法 本实验用鲍威尔方法求函数f(x)=(x1-5)2+(x2-6)2 的最优解。 一、简述鲍威尔法的基本原理 从任选的初始点x⑴o出发，先按坐标轮换法的搜索方向依次沿e1.e2.e3进行一维搜索，得各自方向的一维极小点x⑴ x⑵ x⑶.连接初始点xo⑴和最末一个一维极小点x3⑴,产生一个新的矢量 S1=x3⑴-xo⑴ 再沿此方向作一维搜索，得该方向上的一维极小点x⑴. 从xo⑴出发知道获得x⑴点的搜索过程称为一环。S1是该环中产生的一个新方向，称为新生方向。 接着，以第一环迭代的终点x⑴作为第二环迭代的起点xo⑵,即 Xo⑵←x⑴ 弃去第一环方向组中的第一个方向e1，将第一环新生方向S1补在最后，构成第二环的基本搜索方向组e2,e3,S1，依次沿这些方向求得一维极小点x1⑵,x2⑵,x3⑵.连接 Xo⑵与x3⑵,又得第二环的新生方向 S2=x3⑵-xo⑵ 沿S2作一维搜索所得的极小点x⑵即为第二环的最终迭代点 二、鲍威尔法的程序 #include "stdafx.h" /* 文件包含*/ #include
#include
常用无约束最优化方法(一)
项目三 常用无约束最优化方法（一） [实验目的] 编写最速下降法、Newton 法（修正Newton 法）的程序。 [实验学时] 2学时 [实验准备] 1．掌握最速下降法的思想及迭代步骤。 2．掌握Newton 法的思想及迭代步骤； 3．掌握修正Newton 法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题：【选作一个】 1．用最速下降法求 22120min ()25[22]0.01T f X x x X ε=+==，，，． 2．用Newton 法求 22121212min ()60104f X x x x x x x =--++-， 初始点 0[00]0.01T X ε==，，． 最速下降法 Matlab 程序： clc;clear; syms x1 x2; X=[x1,x2]; fx=X(1)^2+X(2)^2-4*X(1)-6*X(2)+17; fxd1=[diff(fx,x1) diff(fx,x2)]; x=[2 3]; g=0; e=0.0005; a=1; fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); step=0; while g>e step=step+1; dk=-fan; %点x(k)处的搜索步长
ak=((2*x(1)-4)*dk(1)+(2*x(2)-6)*dk(2))/(dk(1)*dk(2)-2*dk(1)^2-2*dk(2)^2); xu=x+ak*dk; x=xu; %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf(' x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); %计算目标函数点x(k+1)处一阶导数值 fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); end %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf('\n最速下降法\n结果：\n x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); c++程序 #include
最优化计算方法课后习题答案----高等教育出版社。施光燕
习题二包括题目：P36页5（1）（4） 5（4）
习题三 包括题目：P61页1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1) 1(1)(2)的解如下 3题的解如下
5,6题 14题解如下 14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T -处的牛顿方向。 解：已知 (1) (4,6)T x =-，由题意得 121212212121212(6)2(233)(3)()2(6)2(233)(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +++-----?? ?= ?+++-----?? ∴ (1)1344()56g f x -?? =?= ??? 21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------? ??= ? +--------+--?? ∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --?? =?= ?-?? (1)1 1/8007/400()7/4001/200G x --?? = ?--?? ∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -?? =-= ?-?? 15（1）解如下 15. 用DFP 方法求下列问题的极小点 （1）22 121212min 353x x x x x x ++++ 解：取 (0) (1,1)T x =，0H I =时，DFP 法的第一步与最速下降法相同 2112352()156x x f x x x ++???= ?++??， (0)(1,1)T x =，(0) 10()12f x ???= ??? (1)0.07800.2936x -??= ?-??， (1) 1.3760() 1.1516f x ???= ?-?? 以下作第二次迭代 (1)(0) 1 1.07801.2936x x δ-??=-= ?-??， (1)(0) 18.6240()()13.1516f x f x γ-??=?-?= ?-?? 0110 111011101 T T T T H H H H H γγδδδγγγ=+-
《最优化方法》复习题(含答案)
x zD 天津大学《最优化方法》复习题(含答案) 第一章 概述(包括凸规划) 判断与填空题 arg max f(x)二 arg min 以儿 “ max(x): x D 二 R n 』=-min(x): x D 二 R n ； 设f : D 5 R n > R.若x ： R n ，对于一切R n 恒有f(x”)^f(x)，则称x”为 设f : D 5 R n >R.若x ” ? D ,存在x ”的某邻域N ；(x”)，使得对一切 x ?N .(x)恒有f(x”)：：： f (x)，则称x”为最优化问题 min f (x)的严格局部最 优解? 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值 ? V 非空集合D R n 为凸集当且仅当 D 中任意两点连线段上任一点属于 D . V 非空集合D R n 为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于 D . V 任意两个凸集的并集为凸集? 函数f:D R n >R 为凸集D 上的凸函数当且仅当 -f 为D 上的凹函数? V 设f : D R n >R 为凸集D 上的可微凸函数，X ：D ?则对-D ,有 f (x) - f(x )乞 f (x )T (X —X )? 若c(x)是凹函数，则 D={x^R n C(x)启0}是凸集。 V f(x)的算法A 产生的迭代序列，假设算法 A 为下降算法, 则对-k ? 5,1, 2,…匚恒有 ________________ f(x k1)乞 f(x k ) ______________ ? 算法迭代时的终止准则(写出三种) ： ___________________________________________________ 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
最优化方法(试题+答案)
一、 填空题 1 ． 若 ()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ，则 =?)(x f ，=?)(2x f . ２．设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。 3.向量T ) 3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量 有 ． 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算 法: . 6.以下约束优化问题： )(01)(..)(min 212121 ≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f 的K-K-T 条件为： . 7．以下约束优化问题： 1 ..)(min 212 2 21=++=x x t s x x x f 的外点罚函数为(取罚参数为μ) . 二、证明题（７分+8分) 1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h n i ,1,:1+=→都是线性函数,证明下 面的约束问题: } ,,1{, 0)(},1{, 0)(..)(min 1112 m m E j x h m I i x g t s x x f j i n k k +=∈==∈≥=∑= 是凸规划问题。
2.设R R f →2 :连续可微，n i R a ∈,R h i ∈,m i ,2,1=,考察如下的约束条件问题: } ,1{,0} 2,1{,0..) (min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i T i +=∈=-=∈≥- 设d 是问题 1 ||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥?d E i d a I i d a t s d x f T i T i T 的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。 三、计算题（每小题１2分) １.取初始点T x )1,1() 0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题 (迭代２步）: 2 2212)(m in x x x f += 2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题： 212 2212 1)(min x x x x x f -+= 3.用有效集法求解下面的二次规划问题: . 0,001..42)(min 21212 12 221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f 4．用可行方向算法(Zoutend ｉj ｋ算法或Ｆrank Wol ｆｅ算法）求解下面的问题（初值设为)0,0() 0(=x ,计算到)2(x 即可）： . 0,033..22 1)(min 212112 22121≥≥≤+-+-= x x x x t s x x x x x x f
最优化方法(试题+答案)
一、 填空题 1.若()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ， 则=?)(x f ，=?)(2x f . 2.设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。 3.向量T )3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： . 6.以下约束优化问题： )(01)(..)(min 212121 ≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f 的K-K-T 条件为： . 7.以下约束优化问题： 1 ..)(min 212 2 21=++=x x t s x x x f 的外点罚函数为（取罚参数为μ） . 二、证明题（7分+8分） 1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h n i ,1,:1+=→都是线性函数，证明下 面的约束问题： } ,,1{, 0)(},1{, 0)(..)(min 1112 m m E j x h m I i x g t s x x f j i n k k +=∈==∈≥=∑= 是凸规划问题。
2.设R R f →2 :连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题： } ,1{,0} 2,1{,0..) (min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i T i +=∈=-=∈≥- 设d 是问题 1 ||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥?d E i d a I i d a t s d x f T i T i T 的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。 三、计算题（每小题12分） 1.取初始点T x )1,1() 0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题 （迭代2步）： 2 2212)(m in x x x f += 2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题： 212 2212 1)(min x x x x x f -+= 3.用有效集法求解下面的二次规划问题： . 0,001..42)(min 21212 12 221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f 4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0() 0(=x ,计算到)2(x 即可)： . 0,033..22 1)(min 21211222121≥≥≤+-+-= x x x x t s x x x x x x f
《最优化方法》复习题(含答案)
附录5 《最优化方法》复习题 1、设n n A R ?∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2 T T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵． 解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=． 2、设()()t f x td ?=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ?''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+． 3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令 ()()()()() T T T T dd f x f x H I d f x f x f x ??=--???， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-?也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ?<，从而 ()()()T T f x p f x H f x ?=-?? ()()()()()()()() T T T T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ??=-?--???? ()()()0T T f x f x f x d =-??+?<， 所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ?是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ?≥?∈L L 的一切凸组合都属于S ． 证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令1 1k i i i x x λ+==∑， 其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+L ，且1 1 1k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈， 结论成立），记11 1k i i i k y x λλ=+=-∑ ，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+，
天津大学《最优化方法》复习题(含答案)
大学《最优化方法》复习题（含答案） 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{} .:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切 )(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .
最优化方法练习题答案
精心整理 练习题一 1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。 2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。 min () f x D ∈，对于则有(f ?1例2.1解：*2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。 答：略。 3、用单纯形法求解下列线性规划问题：
（1）???????≥≤+-≤++≤-++-=0 ,,4322 2..min 32131 3213213 21x x x x x x x x x x x t s x x x z ；（2）?????? ?=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min 53243232132Λi x x x x x x x x x x t s x x z i 解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6 因检验数σj >0，表明已求得最优解：*(0,8/3,1/3,0,0,11/3)X =，去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：*(0,8/3,1/3)X =。 （2）根据题意选取x 1，x 4，x 5，为基变量：
因检验数σ2<0最小，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。 4根据题意约束条件1和2可以合并为1，引入松弛变量x 3，x 4，构造新问题。
因检验数σj>0，表明已求得最优解：*(3/5,6/5) X 。Matlab调用代码： Matlab调用代码： f=[-10;-15;-12]; A=[5,3,1;-5,6,15;-2,-1,-1]; b=[9;15;-5]; lb=[0;0;0]; x=linprog(f,A,b,[],[],lb) 输出结果：
最优化方法练习题(答案)
练习题一 1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。 2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。 答：针对一般优化模型()()min () .. 0,1,2, 0,1, ,i j f x s t g x i m h x j p ≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ?∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)() ,, ,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤， 则迭代法收敛；收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<， (1)() () k k k x x x ε+-<， ()()(1)()k k f x f x ε+-<， ()()() (1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε?<等等。 练习题二 1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R 2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。 解：确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。 确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。 确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。 因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++ 123123123 5210 ..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥??++≥??≥? *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。 答：略。
第三章 无约束最优化方法
第三章无约束最优化方法 本章内容及教学安排 第一节概述 第二节迭代终止原则 第三节常用的一维搜索方法 第四节梯度法 第五节牛顿法 第六节共轭方向法 第七节变尺度法 第八节坐标轮换法 第九节鲍威尔方法 第一节概述 优化问题可分为 无约束优化问题 有约束优化问题 无约束最优化问题求解基于古典极值理论的一种数值迭代方法，主要用来求解非线性规划问题 迭代法的基本思想：
所以迭代法要解决三个问题 1、如何选择搜索方向 2、如何确定步长
3、如何确定最优点（终止迭代） 第二节 迭代终止准则 1）1K K X X ε+-≤ 111/2 21K K K K n i i i X X X X ε++=??-=-≤???? ∑（） 2） 11()()()() () K K K K K f X f X f X f X or f X ε ε ++-≤-≤ 3）(1)()K f X ε+?≤ 第三节 常用的一维搜索方法 本节主要解决的是如何确定最优步长的问题。 从初始点(0)X 出发，以一定的步长沿某一个方向，可以找到一个新的迭代点，其公式如下： (1)(0)00(2)(1)11(1)() K K k k X X S X X S X X S ααα+=+=+= + 现在假设K S 已经确定，需要确定的是步长k α，就把求多维目标函数的极小值这个多维算过程中，当起步点和方向问题，变成求一个变量即步长的最优值的一维问题了。即 (1)()min ()min ()min ()K K K k k f X f X S f αα+=+= 由此可见，最佳步长*K α由一维搜索方法来确定 求*k α，使得()()()()()()min K K K K f f X S αα=+→ 一、一维搜索区间的确定 区间[,]a b 应满足 ()(*)()f a f f b α><
最优化计算方法课后习题答案----高等教育出版社。施光燕
习题二 包括题目： P36页 5（1）（4） 5（4） 习题三 包括题目：P61页 1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1) 1(1)(2)的解如下 3题的解如下 5,6题 14题解如下 14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T -处的牛顿方向。 解：已知 (1) (4,6)T x =-，由题意得 ∴ (1)1344()56g f x -?? =?= ??? 21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------? ??= ? +--------+--?? ∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --?? =?= ?-?? ∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -?? =-= ?-?? 15（1）解如下 15. 用DFP 方法求下列问题的极小点 （1）22 121212min 353x x x x x x ++++ 解：取 (0) (1,1)T x =，0H I =时，DFP 法的第一步与最速下降法相同 2112352()156x x f x x x ++???= ? ++??， (0)(1,1)T x =，(0) 10()12f x ???= ??? (1)0.07800.2936x -??= ?-??， (1) 1.3760() 1.1516f x ???= ?-?? 以下作第二次迭代 (1)(0)1 1.07801.2936x x δ-??=-= ?-??， (1)(0) 18.6240()()13.1516f x f x γ-?? =?-?= ?-?? 其中，111011126.3096,247.3380T T T H δγγγγγ===
无约束最优化直接方法和间接方
无约束最优化直接方法和间接方法的异同
无约束最优化直接方法和间接方法的异同一、什么是无约束最优化 最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。其的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。 最优化问题分为无约束最优化和约束最优化问题，约束最优化问题是具有辅助函数和形态约束条件的优化问题，而无约束优化问题则没有任何限制条件。无约束最优化问题实际上是一个多元函数无条件极值问题。 虽然在工程实践中，大多数问题都是具有约束的优化问题，但是优化问题的处理上可以将有约束的优化问题转化为无约束最优化问题，然后按无约束方法进行处理。或者是将约束优化问题部分转化为无约束优化问题，在远离极值点和约束边界处按无优化约束来处理，在接近极值点或者约束边界时按照约束最优化问题处理。所以无约束优化问题的解法不仅是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 无约束最优化方法大致分为两类：一类是使用导数的间接方法，即在计算过程中要用到目标函数的导数；另一类是直接方法，即只要用到目标函数值，不需要计算导数。这里我们比较这两类方法的异同。 二、无约束最优化方法 1. 使用导数的间接方法 1.1 最速下降法 函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称
无约束最优化直接方法和间接方法的异同
无约束最优化直接方法和间接方法的异同一、什么是无约束最优化 最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。其的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。 最优化问题分为无约束最优化和约束最优化问题，约束最优化问题是具有辅助函数和形态约束条件的优化问题，而无约束优化问题则没有任何限制条件。无约束最优化问题实际上是一个多元函数无条件极值问题。 虽然在工程实践中，大多数问题都是具有约束的优化问题，但是优化问题的处理上可以将有约束的优化问题转化为无约束最优化问题，然后按无约束方法进行处理。或者是将约束优化问题部分转化为无约束优化问题，在远离极值点和约束边界处按无优化约束来处理，在接近极值点或者约束边界时按照约束最优化问题处理。所以无约束优化问题的解法不仅是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 无约束最优化方法大致分为两类：一类是使用导数的间接方法，即在计算过程中要用到目标函数的导数；另一类是直接方法，即只要用到目标函数值，不需要计算导数。这里我们比较这两类方法的异同。 二、无约束最优化方法 1. 使用导数的间接方法 1.1 最速下降法 函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最
天津大学《最优化方法》复习题(含答案)
天津大学《最优化方法》复习题（含答案） 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{} .:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切 )(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{}Λ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .
无约束最优化方法可变单纯形算法(simplex)Nelder-Mead
无约束最优化方法可变单纯形法（simplex）Nelder-Mead 可爱的馒头 本程序是用Ｃ＋＋编写的，从编写的算例来看，应该是没有问题的。所采用的原理和步骤是参考华南理工大学出版社蒋金山等编写的最 优化计算方法第８章第三节可变单纯形法。欢迎各位批评指正。 #include 练习题三 1、用0.618法求解问题 12)(min 30 +-=≥t t t t ? 的近似最优解，已知)(t ?的单谷区间为]3,0[，要求最后区间精度0.5ε=。 答：t=0.8115；最小值-0.0886.（调用golds.m 函数）（见例题讲解5） 2、求无约束非线性规划问题 min ),,(321x x x f =12 322 2124x x x x -++ 的最优解 解一：由极值存在的必要条件求出稳定点： 1122f x x ?=-?，228f x x ?=?，33 2f x x ?=?，则由()0f x ?=得11x =，20x =，30x = 再用充分条件进行检验： 22 12f x ?=?，2228f x ?=?，2232f x ?=?，2120f x x ?=??，2130f x x ?=??，223 0f x x ?=?? 即2200080002f ?? ? ?= ? ??? 为正定矩阵得极小点为T *(1,0,0)x =，最优值为-1。 解二：目标函数改写成 min ),,(321x x x f =222 12 3(1)41x x x -++- 易知最优解为（1,0,0），最优值为-1。 3、用最速下降法求解无约束非线性规划问题。 2 221212122)(m in x x x x x x X f +++-= 其中T x x X ),(21=，给定初始点T X )0,0(0=。 解一：目标函数()f x 的梯度112 122()()142()122()()f x x x x f x x x f x x ??? ???++?? ???==??-++?????????? 第四章 无约束优化方法 ——最速下降法，牛顿型方法 概述 在求解目标函数的极小值的过程中，若对设计变量的取值范围不加限制，则称这 种最优化问题为无约束优化问题。尽管对于机械的优化设计问题，多数是有约束的， 无约束最优化方法仍然是最优化设计的基本组成部分。因为约束最优化问题可以通过 对约束条件的处理，转化为无约束最优化问题来求解。 为什么要研究无约束优化问题? （1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。 （2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。 （3）约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。 所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 根据构成搜索方向所使用的信息性质的不同，无约束优化方法可以分为两类。 一：间接法——要使用导数的无约束优化方法，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度 法、共轭梯度法等。 二：直接法——只利用目标函数值的无约束优化问题，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯 形法等。 无约束优化问题的一般形式可描述为： 求n 维设计变量 []12T n n X x x x R =∈L 使目标函数 ()min f X ? 目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。 无约束优化问题的求解： 1、解析法 可以利用无约束优化问题的极值条件求得。即将求目标函数的极值问题变成求方 程 0)(min *=X f 的解。也就是求Ｘ＊使其满足 解上述方程组，求得驻点后，再根据极值点所需满足的充分条件来判定是否为极小值 点。但上式是一个含有ｎ个未知量，ｎ个方程的方程组，在实际问题中一般是非线性 的，很难用解析法求解，要用数值计算的方法。由第二章的讲述我们知道，优化问题 的一般解法是数值迭代的方法。因此，与其用数值方法求解非线性方程组，还不如用 数值迭代的方法直接求解无约束极值问题。 2、数值方法 数值迭代法的基本思想是从一个初始点) 0(X 出发，按照一个可行的搜索方向)0(d ρ搜索，确定最佳的步长0α使函数值沿)0(d ρ方向下降最大，得到)1(X 点。依此一步一步地重复数值计算，最终达到最优点。优化计算所采用的基本迭代公式为 ),2,1,0()()()1(Λρ=+=+k d X X K K K K α （4.2） 在上式中， ()K d r 是第是 k+1 次搜索或迭代方向，称为搜索方向（迭代方向）。 由上面的迭代公式可以看出，采用数值法进行迭代求优时，需要确定初始点)(k X 、搜索方向)(k d ρ和迭代步长K α，称为优化方法迭代算法的三要素。第三章我们已经讨论了如何在搜索方向)(k d ρ上确定最优步长K α的方法，本章我们将讨论如何确定搜索方向)(k d ρ。 最常用的数值方法是搜索方法，其基本思想如下图所示： 0)(0)(0)(*2*1*=??=??=??n x X f x X f x X f M 《最优化方法》（研究生）期末考试练习题答案 二.简答题 1．; 0, ,843 ,2 2- ,3 34 s.t. ,95- min 2121212121≤=--≥+≥++y y y y y y y y y y 2．,06 5 61 43≥+x x （以1x 为源行生成的割平面方程） 注意：在1x 为整数的情况下，因为3x ,04≥x ，该方程自然满足，这是割平面的退化情形 ,2 1 41 41 43≥+x x （以2x 为源行生成的割平面方程） 3． 6648 .31854.1*2)854.1()(2131.01146.1*2)146.1()(854.13*618.00)(618.0146 .13*382.00)(382.03 ,031311111111111=+-==+-==+=-+==+=-+===μ?λ?μλa b a a b a b a 0.927.2 1.854 0]1.8540[854.1,0)()(,*2211=+= ==≤x b a 近似的最优解：。，初始的保留区间为即：。 所以，不经计算也可以看出 事实上μ?λ? 4．令 1 .01.0)(4 .04.0)(11)(7 .27.2)(222 222221)2(*111) 1(*111)0(*121)1(*11-=-=-=-=-=-=-=-=-------x x x x x x x e x e x x f e x e x x f x e x x f e x e x x f 拟合问题等价于求解下列最小二乘问题：∑=4 1 2 )) ((min i i x f 三.计算题 1．分别用最速下降方法和修正的牛顿法求解无约束问题 2 22 14)(min x x x f +=。 取初始点() ()T x 2,21=，.1.0=ε最优化-刘志斌-课后习题3-5参考答案
无约束优化方法(最速下降法_牛顿法)
最优化方法习题1答案