信号与系统 拉普拉斯变换分析法(一).
信号与系统 拉普拉斯变换分析法一.ppt
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电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6.2 电路的复频域求解(1)
分析思路（与相量法类似）
将时域电路模型改画成复频域电路模型 对复频域电路模型求解，得复频域解 将复频域解作拉普拉斯反变换得时域解
电路元件的复频域模型
电阻元件
iR (t ) R
°
°
+
uR (t )
I R (s) R
°
4.7.1 系统函数与单位冲激响应 4.7.2 系统函数与微分方程 4.7.3 具体电路中系统函数的确定 4.7.4 系统的复频域特性 4.7.5 拉普拉斯变换分析法的物理意义 4.7.6 系统框图
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2004年12月7日11时20分
4.7.1 系统函数与单位冲激响应
系统函数与单位冲激响应是拉普拉斯变换对
K 1( q 1) + L +
K 12 +
K 11
( s j 0 )q ( s j 0 )q 1 ( s j 0 )2 s j 0
式中Fa (s) 的极点均位于 s 左半平面
FF (
)
=
FL (
s)
s = j+
q i =1
K (i
1i j 1)!
i
1 ( i
1) (
0)
4
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2004年12月7日11时20分
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(4)
例：FL
(
s)
= s
2
s +
2 0
FF ( ) = ?
解： 0 = 0
s
1/2 1/2
FL ( s) = 2 s +
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号和系统分析中广泛应用的数学工具。
它将一个函数从时域转换到频率域，可以用于解决微分方程、计算系统的冲激响应和频率响应等问题。
拉普拉斯变换公式是拉普拉斯变换的基本公式之一，用于将函数从时域表示转换为频域表示。
F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt其中，F(s)表示拉普拉斯变换后的函数，s是一个复数，而f(t)是原始函数。
在上述公式中，∫[0,∞]表示对t从0到正无穷之间的所有值进行积分。
e^(-st)是指数函数，s是一个复数参数，t是自变量。
f(t)是原始函数，也被称为拉普拉斯变换的原函数。
通过拉普拉斯变换公式，我们可以将一个函数从时域转换到频域。
这意味着我们将原始函数用复指数函数（e^(-st)）的积分来表示。
在复平面上，s可以表示为s = a + jb，其中a和b都是实数，a是实部，b是虚部。
拉普拉斯变换公式可以用于解决许多信号和系统分析的问题。
例如，我们可以使用拉普拉斯变换来解决线性微分方程。
通过将微分方程转换为拉普拉斯域，我们可以将微分方程转换为代数方程，从而更容易地解决。
此外，利用拉普拉斯变换可以方便地计算系统的冲激响应和频率响应。
在应用拉普拉斯变换时，有几点需要注意。
首先，原始函数f(t)必须满足一定的条件，如函数在一个有界的时间段内存在或函数在正向无穷大时的极限存在。
其次，拉普拉斯变换是线性的，即对于给定的常数a和b，拉普拉斯变换遵循以下性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)。
此外，拉普拉斯变换公式还有许多相关的性质和定理，如初始值定理、最终值定理、微分定理和频移定理等。
这些性质和定理为我们在实际应用中提供了方便和灵活性。
总结起来，拉普拉斯变换公式是将一个函数从时域表示转换到频域表示的基本公式之一、它在信号和系统分析中广泛应用，用于解决微分方程、计算系统的冲激响应和频率响应等问题。
信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
信号与系统(第四版)第四章课后答案
第5-10页
■
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信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0
1 s s0
s0t
(t 2)
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
例1：e (t 2) e
-t
2
e
(t 2)
e
2
1 s 1
e
2s
-1 0
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1
t
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4.2 拉普拉斯变换性质
1 1e sT
例2： 单边冲激 T(t ) 1 e sT e s 2T 例3： 单边周期信号 fT(t ) (t ) f1(t ) f1(t T ) f1(t 2T ) F1(s )(1 e sT e s 2T )
8 e 2 s
s
f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t
二、尺度变换
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
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t
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拉氏逆变换的物理意义
f (t )
2 j 1
j
j
F (s)est ds
信号与系统-矩母函数与拉普拉斯变换
结题报告 矩母函数与拉普拉斯变换一 实验原理1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是分析连续时间信号的重要手段。
对于当t ∞时信号的幅值不衰减的时间信号，即在f(t)不满足绝对可积的条件时，其傅里叶变换可能不存在，但此时可以用拉氏变换法来分析它们。
连续时间信号f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)的定义为：0()()st F s f t e dt ∞-=⎰ 拉氏反变换的定义为： 1()()2j st j f t F s e ds j σωσωπ+-=⎰显然，上式中F(s)是复变量s 的复变函数，为了便于理解和分析F(s)随s 的变化规律，我们将F(s)写成模及相位的形式：()()()j s F s F s e ϕ=。
其中，|F(s)|为复信号F(s)的模，而()s ϕ为F(s)的相位。
由于复变量s=σ+jω，如果以σ为横坐标（实轴），jω为纵坐标（虚轴），这样，复变量s 就成为一个复平面，我们称之为s 平面。
从三维几何空间的角度来看，|()|F s 和()s ϕ分别对应着复平面上的两个曲面，如果绘出它们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信号的拉氏变换F(s)随复变量s 的变化情况2.矩母函数一个与随机变量X 相关的矩母函数是一个参数s 的函数MX(s)，定义如下：MX(s)=E[exp(sX)]更具体地，当X 是一个离散型随机变量时，相关矩母函数为M(s)=+exp(sx)pX(x)当X 是连续型时，有M(s)=+exp(sx)fX(x)dx不难发现，概率密度函数的矩母函数与概率密度函数的拉普拉斯变换是基本相同的，只是拉普拉斯变换使用exp(-sx)而非exp(sx)。
考虑一个连续型随机变量X ，根据定义M(s)=+exp(sx)fX(x)dx在M(s)定义式两边取s 的导数d/ds M(s) = d/ds + exp(sx)fX(x)dx=+d/ds exp(sx)fX(x)dx = +xexp(sx)fX(x)dx上述等式对s 任何取值都成立。
信号与系统第4章拉氏变换
为“象函数”。
拉普拉斯变换是t域函数f(t)与s域函数F(s)之间的变换。 f(t)与F(s)的拉普拉斯变换关系常用以下符号表示：
f (t) F(s)
机械工业出版社
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三、定义说明
1、为什么正、反变换的原函数相差一个u(t)？ 在单边拉普拉斯正变换中，原函数可以是非因
果信号，所以在拉氏正变换中用 f(t) 表示。由于正 变换是对原函数从 t = 0−开始的积分，丢掉了原函 数中t < 0的信息，反变换只能还原t > 0的函数值， 所以在拉氏反变换式中原函数用因果函数f(t)u(t)表 示。 推论：两个t ≥0的波形相同，t < 0波形不同的原函 数，它们单边拉普拉斯变换的象函数完全相同。
0
0
令s = j，代入上式得
F1( j)
∞ -∞
f1 (t )
e- jt dt
∞ f (t) e-stdt F (s)
0
含义：求e- tf(t)u(t)的谱函数等于求f(t)u(t)的复变函数。
F1(j)的傅里叶反变换为
f1 (t )
e- t
f
(t )u(t )
1 2π
∞
-∞ F1(
j )e j t d
等式两边同乘e t，把F1(j) =F(s)，s = j，ds =jd
代入式中，得
et
f1(t)
f (t)u(t)
1 2π
∞ -∞
F1
(
j
)e(
j)t d
1 2πj
j∞ - j∞
F
(
s)est
面上的一个点。
机械工业出版社
信号与系统讲义第四章3拉氏变换分析法
∑V (s) =0
k
电路中的元件用S域模型，电压、 电路中的元件用S域模型，电压、电流变量用象 函数表示，电路模型就转化为S 函数表示，电路模型就转化为S域模型 以电路的S域模型为分析对象， 以电路的S域模型为分析对象，依据元件伏安关 系的S域形式，以及基尔霍夫定律的S域形式， 系的S域形式，以及基尔霍夫定律的S域形式，就可以 列写出象函数的代数方程。 列写出象函数的代数方程。
2010-9-30 信号与系统
例：上面例题
2010-9-30
信号与系统
E E 1 ( R + ) I (s) = + sc s s
∴ I ( s) = 2E 1 s( R + ) sc
2E Rc
1 E E E 2E ∴Vc ( s ) = I ( s ) = = sc s s(s + 1 ) s s s + 1 Rc Rc
2010-9-30
信号与系统
拉普拉斯变换法分析电路、 拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型
求解微 分方程
LTI系统 LTI系统 电路模型
LTI系统 LTI系统数学模型 系统数学模型 系统响应 线性常系数微分方程 拉 逆 氏 拉氏变换法求 变 变 解微分方程 换 换 LTI系统 LTI系统 S域电路模型 象函数 代数方程 系统响应象函数 系统响应象函数
R2 R1 + R2
E + E(
C1 C1 + C 2
R2 R1 + R2
)e
α t
t≥0
(1)R1C1 = R2C2时 v2 (t) =
(2)R C1 > R2C2时 v2 (t) > 1
R2 R1 +R2 R2 R Ư < R2C2时 v2 (t) < R1R2R2 E 1 +
信号与系统-第9章拉普拉斯变换
X (s) eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
在 Re[s] 时，a 积分收敛。
当 a 时0 ， 的x(傅t) 里叶变换存在
X ( j ) eate jtdt 1
0
a j
(a 0)
显然，在 a 0时，拉氏变换收敛的区域为 Re[s] ，a包括了 （ 即 0 轴）。j
[x(t)et ]
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， x(的t)
拉氏变换就是 x(t)e的傅t 里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的
信号在引入 后满e足该t 条件。即有些信号的傅氏
变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变
换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
6
例1. x(t) eatu(t)
2
x(t) 1 X ( j)ete jtd 1 X (s)estd
2
2
22
由 s j 得 ds jd
当 从 时, 从 s j j
x(t) 1 j X (s)est ds
2 j j
X (s)的反变换
拉氏反变换表明:
可x(t以) 被分解成复振幅为
的复指数信号 e的st 线性组合。
1 X (s)ds
2 j
23
二.拉氏反变换的求法: 对有理函数形式的 X求(s反) 变换一般有两种方法, 即部分分式展开法和留数法。
❖ 部分分式展开法： 1. 将 X (s)展开为部分分式。 2. 根据X (s)的ROC，确定每一项的ROC 。 3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质, 对每一项进行反变换。
3
9.1 拉普拉斯变换
The Laplace Transform
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y(t ) = 3e t + 7e 2 t 7e 3 t t > 0
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电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6.1 微分方程的复频域求解(4)
（2）将微分方程两端作LT [ s 2Y ( s) sy(0 ) y (0 )] + 5[ sY ( s) = 2sX ( s ) + 8 X ( s)
信号与系统 (Signal & system)
教师：徐昌彪 xucb@
2004-12-7
电路基础教学部
1
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(1)
FL (s) 的收敛域横坐标 0 > 0 时
没有频谱密度函数，即傅里叶变换不存在。
例：FL
(
s)
=(
s
2s + + 1)(
1 s
Ai ( s) y( i ) (0 )
i =0
an s n + an 1 s n 1 + L+ a1 s + a0
an s n + an 1 s n 1 + L+ a1 s + a0
Y ( s) = Yzs ( s) + Yzi ( s)
y(t ) = yzs (t ) + yzi (t )
系统函数 H ( s) =bm s m + bm 1 s m 1 + L+ b1 s + b0Yzs ( s) = H ( s) X ( s
an s n + an 1 s n 1 + L+ a1 s + a0
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电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6.1 微分方程的复频域求解(3)
例：y (t ) + 5 y(t ) + 6 y(t ) = 2 x(t ) + 8 x(t ) x(t ) = e t U (t ) y(0 ) = 3 y (0 ) = 2
（1）求 y(t ) （2）求yzs (t ) 和 yzi (t ) ，并由此求 y(t ) 解：（1）将微分方程两端作LT
[ s 2Y ( s) sy(0 ) y (0 )] + 5[ sY ( s) y(0 )] + 6Y ( s) = 2sX ( s ) + 8 X ( s) Y ( s) = 3s 2 + 22s + 25 = 3 + 7 + 7
n
FF ( ) = FL ( s) s = j + K i ( i )
i =1
3
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2004年12月7日11时20分
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(3)
虚轴上有重极点，设 FL (s) 有 q 重极点 j 0
FL ( s) = Fa ( s) + K 1q +
K 1( q 1) + L +
K 12 +
K 11
( s j 0 )q ( s j 0 )q 1 ( s j 0 )2 s j 0
式中Fa (s) 的极点均位于 s 左半平面
FF (
)
=
FL (
s)
s = j+
q i =1
K (i
1i j 1)!
i
1 ( i
1) (
0)
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2004年12月7日11时20分
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(4)
例：FL
(
s)
= s
2
s +
2 0
FF ( ) = ?
解： 0 = 0
s
1/2 1/2
FL ( s) = 2 s +
2=
0
s + j
+
0
s
j 0
FF ( ) = FL ( s) s = j+
(
+
1 0) +
(
1 0)
2
2
=
j 2 + [( + 0 ) + ( 0 )
2+ 0 2
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电路基础教学部
设 Ak ( s) an s n 1 k + an 1 s n 1 ( k 1) + L + ak s + ak +1 (k = 0,1,2,L, n 1)
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电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6.1 微分方程的复频域求解(2)
n1
Y ( s) =bm s m + bm 1 s m 1 + L+ b1 s + bX0 ( s) +
j 2 + 1 + 3)( 2 + j4
+ 5)
2
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(2)
FL (s)的收敛域横坐标 0 = 0 时
虚轴上为单极点
n
FL ( s) = Fa ( s) +
Ki
i =1 s j k
式中Fa (s) 的极点均位于 s 左半平面
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电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6 拉普拉斯变换分析法(复频域分析法)
4.6.1 微分方程的复频域求解 4.6.2 电路的复频域求解
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2004年12月7日11时20分
4.6.1 微分方程的复频域求解(1)
an y ( n ) (t ) + an 1 y ( n 1) (t ) + L + a1 y (t ) + a0 y(t ) = bm x ( m ) (t ) + bm 1 x ( m 1) (t ) + L + b1 x (t ) + b0 x(t ) 对上式两端作LT，假定x(t )为因果信号 ai y ( i ) (t ) ai [ s iY ( s) s i 1 y(0 ) L sy ( i 2 ) (0 ) y ( i 1) (0 )] (i = 0,1,2,L, n) b j x ( j ) (t ) b j s j X ( s) ( j = 0,1,2,L, m )
y(0 )] + 6Y ( s)
Y
(
s)
=
s
2s + 2+ 5s
8 +
6
X
(
s)
+(
s
+
5) y(0 ) s 2 + 5s
2004年12月7日11时20分
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(5)
例：FL
(
s)
=
s
2(
1 s+
1)
FF ( ) = ?
解： 0 = 0
1
11
FL
(
s)
=
s
2
(
s
+
1)=
Fa
(
s)
+ s
2
+
s
FF ( ) = FL ( s) s = j + j ( ) ( )
=
1
+ j( ) ( )
2 ( j + 1)
2) FF ( ) = ?
解： 0 = 2 > 0 故 FF ( ) 不存在
FL ( s) 的收敛域横坐标 0 < 0 时
FF ( ) = FL ( s) s = j
例：
L
(
s)
=
(
s
+
2s + 1 3)( s2 +
4s
Байду номын сангаас
+
5)
FF
(
)=?
解： 0 =
2<0故
FF (
)
=
FL
(
s) s=
j
=
( j