线性代数方程组的解法
线性方程组的几种求解方法
甘肃政法学院本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法学号：姓名：指导教师：成绩：__________________完成时间： 2012 年 11 月目录第一章引言 (1)第二章线性方程组的几种解法 (1)2.1 斯消元法 (1)2.1.1 消元过程 (1)2.1.2 回代过程 (2)2.1.3 解的判断 (2)2.2 克莱姆法则 (3)2.3 LU分解法 (4)2.4 追赶法 (6)第三章结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (9)摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。
关键词:线性方程组;解法;应用Several methods of solving linear equation groupAbstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.Key word: Linear equations; Solution ; Example第一章 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。
现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1） 将某行同乘或同除一个非零实数（2） 将某行加入到另一行 （3） 将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。
计算方法(3)第三章 线性代数方程组的解法
“回代”解得
xn
bn ann
xk
1 akk
[bk
n
akj x j ]
j k 1
其中aii 0 (i 1,2,......, n)
(k n 1, n 2, ,1)
返回变量
函数名
function X=backsub(A,b) 参数表
%Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix
x1
xi
b1 / a11
i 1
(bi aik
k 1
xk ) / aii
(i
2,3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
二. 高斯消元法(Gaussian Elimination)
高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先, 把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过 程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的 等价方程组)的解,称之为“回代”过程.
符号约定:
1. (λEi )(Ei ): 第i个方程乘以非零常数λ。 2. (Ei +λEj )(Ei ): 第j个方程乘以非零常数λ
加到第i个方程。
3.（Ei )(Ej )： 交换第i个方程与第j个方程。
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21
x1 4 x4 x2 4 1 2 1
故解为（x1，x2 ，x3 ，x4 )T (1，2，0，1)T
A=[1 1 0 1;0 -1 -1 -5;0 0 3 13;0 0 0 -13] b=[4;-7;13;-13] X=backsub(A,b)
线性代数方程组的解法
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
end
LU分解
求A的LU分解（L是下三角矩阵，U是上三角矩阵）
1 1 1 1 3 4 3 4
LU分解
性质1 设向量
, xn ) 且 xk 0 T 则存在唯一的下三角阵 Lk I lk ek ,满足 x ( x1 , x2 ,
T
Lk x ( x1 ,
第三章 线性方程组的直接解法
/*Direct Method for Solving Linear Systems*/
求解 A x b, A R
Cramer法则:
nn
det( A) 0
Di xi D
i 1, 2,
,n
所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n
n=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！
Gauss消去法的消元过程算法
for for
j 1: n 1
i j 1: n
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
方程组可化为下面两个易求解的三角方程组
Ly b Ux y
二、 高斯消去法
07线性代数方程组的解法
总计∑ n (k2k) n(n21)
k1
3
除法
n1
k
n(n1)
k1
2
回 代 总 计 算 量 n(n1) 2
总 乘 除 法 共 n 3 3 n 2 1 3 n (n 3 0 ,为 9 8 9 0 )
21
三、Gauss消去法的矩阵表示
每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
a x a x a x a b 得
到
(1)
同
解 (1)
方
程 (1)A(3组 )x=b(1() 3)
(1)
11 1
12 2
13 3
1n
1
a x a x (2) (2)
22 2
23 3
a x(3) 33 3
a b (2) (2)
2n
2
a b (3) (3)
11 1
12 2
1n n
1
b x 22 2
b2nxn g 2
称 消 元 过 程 。 逐 次 计 算 b出 nn x xn n, x gn 1 n,, x 1 称 回 代 过 1程 0 。
一、Gauss 消去法计算过程
a a b b 统一记 → 号 (1) ： , →(1)
(2) ,
2
(3)
(2)
2
1
0
1
L m 0 2
32
1
0 mn2 0
m a a
(2) (2)
i2
i2
22
i 3,4, ,n
线性代数方程组的解法
说明：线性方程组的初等变换是可逆的。 即，方程组（1）经初等变换化为一个新方 程组，那么新方程组也可以经过初等变换还 原为原方程组（1）。因而，方程组（1）与 它经过若干此初等变换之后得到的新方程组 是同解的。
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x + L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm ⎩
L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ L L⎟ ⎟ L amn ⎟ ⎠
矩阵A的 (m , n)元
这m × n个数称为 A的元素 , 简称为元素 (元 ).
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
⎛ 1 0 3 5⎞ ⎟ 是一个 2 × 4 实矩阵, ⎜ ⎝ − 9 6 4 3⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠
问题：是否每个矩阵都可以经过初等行变换化 为梯矩阵呢？ 定理1 任意m × n矩阵A总可以经初等行变换化为梯
矩阵及最简形。
证明 Step1 若A的元全为0, A已经是一个阶梯矩阵。
Step2 设非零矩阵A的第 j1 列是自左而右的第 一个非零列，设 a1 j ≠ 0 (否则，若 a ij1 非零，作 行变换 r1 ↔ ri ，总可使第j1列的第一个元非零)， 矩阵A的各行分别作行变换：
解
同理可得
−2 −2 1 1 −2 1 0 1 − 3 = −10, −1
D1 = 1 0
1
1 1
− 3 = −5, D2 = 2 −1 −1 1 = −5, 0
线性代数方程组的解法
(2) 迭代解法：所谓迭代方法，就是构造某种 极限过程去逐步逼近方程组的解.
经典迭代法有： Jacobi 迭代法、Gauss Seidel 迭代法、 逐次超松弛（SOR）迭代法等；
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5.1.1 向量空间及相关概念和记号
1 向量的范数
设 是n维实向量空间Rn上的范数，最常用的向量
a21 x1 a22 x2 a23 x3 a24 x4 b2 ,
(1)
a31 x1 a32 x2 a33 x3 a34 x4 b3 ,
a41 x1 a42 x2 a43 x3 a44 x4 b4 .
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若 a11 0 ，则以第 i(i 2, 3,4) 个方程减去
证明 我们只证按行严格对角占优的情形，这时有
n
aij | aii |, i 1, 2,L , n
j 1 ji
假设 Ax 0有非零解x (x1, x2,L , xn ),
则存在下标1 i n，使得 xi
max 1 jn
xj
0,
考虑 Ax 0的第i 行 ai1x1 ai2x2 L ain xn 0
j 1 ji
且至少有一 i 个使不等式严格成立，则称矩阵 A 为按行对角占优矩阵。若 i 1, 2,L , n 严格不等 式均成立，则称 A 为按行严格对角占优矩阵. 类似地，可以给出矩阵 A 为按列（严格）对角
占优矩阵的定义.
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定理 5.8 若 A为严格对角占优矩阵，则 A非奇异.
此时 A ( AT A) 2
若 A Rnn 为对称阵， A ( A) 2 （ 因为 ( AT A) ( A2 ) ）
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线性方程组的解法与矩阵的特征值与特征向量
线性方程组的解法与矩阵的特征值与特征向量线性方程组是数学中的重要概念，它描述了线性关系的一种形式。
解决线性方程组可以帮助我们理解和解决各种实际问题，并且在数学和工程等领域有着广泛的应用。
而矩阵的特征值与特征向量则是矩阵理论中的重要内容，它们与线性方程组之间有着密切的联系。
本文将介绍线性方程组的解法以及矩阵的特征值与特征向量的相关知识。
一、线性方程组的解法1.1. 高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的基本方法之一。
它通过消元操作将线性方程组化为最简形式，从而求出方程组的解。
具体步骤如下：步骤一：写出线性方程组的增广矩阵。
步骤二：利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形式。
步骤三：从最后一个非零行开始，利用回代法求解方程组的解。
1.2. 矩阵的逆另一种解决线性方程组的方法是使用矩阵的逆。
如果矩阵A可逆，那么我们可以通过左乘矩阵A的逆来求解线性方程组Ax=b，即x=A^(-1)b。
1.3. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的另一种方法。
它利用矩阵的行列式来求解方程组的解。
具体步骤如下：步骤一：计算系数矩阵A的行列式D。
步骤二：计算替换掉系数矩阵A的第i列为常数向量b后的行列式D_i。
步骤三：方程组的解为x_i=D_i/D。
二、矩阵的特征值与特征向量2.1. 特征值与特征向量的定义给定n阶矩阵A，如果存在非零向量x使得Ax=λx，其中λ为常数，那么向量x称为矩阵A的特征向量，常数λ称为矩阵A的特征值。
2.2. 特征值与特征向量的计算要计算矩阵A的特征值与特征向量，可以通过以下步骤进行：步骤一：求解矩阵A-λI的零空间，其中I为单位矩阵。
步骤二：将零空间中的向量标准化，得到单位特征向量。
步骤三：通过将特征向量代入矩阵A-λI的定义式，计算对应的特征值。
2.3. 特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在矩阵理论中有着广泛的应用。
例如，它们可以用于矩阵的对角化，从而简化矩阵的计算；它们还可以用于解决微分方程和差分方程等应用问题。
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A = 0.00001000000000 2.00000000000000
2.00000000000000 3.00000000000000
>> b=[1;2] b= 1
2
精确解：0.2500018… 0.2500 0.4999987… 0.5000
>> Gauss4(A,b,5)
ans =
高斯消元法
xn1
bn1
ann xn bn
则容易求得解为：
xn bn / ann
A为上三角矩阵
xk (bk
n jk
1
akj
x
j
)
/
akk
,
k n 1, ,1 4
下三角形方程组，下三角矩阵：
a11 0
a21
a22
an11
an1
则解为：
0 an1n2 ann2
an1n1 ann1
/
a(1) 11
1.14615
对于 n 阶方程，用增广矩阵 [A b] 推导高斯消 元法的求解过程：
（1）消元计算 （2）回代求解
13
1 0 0 0 2 1 3 1 1
1
1
0 0 2 2 1 1 2
0.5 1 1 0 1 1.5 1 1 3
15.5 25.5 23 1 3 1 2 1 4
0 0 0.5 2.5
0 0 0 65
15
2 1 3 1 或则： A 2 2 1 1 L U
1 1.5 1 1 3 1 2 1
1 0 0 0 2 1 3 1
1
1
0.5 1
0 0 0 1 2
2
1 0 0 0 0.5 2.5
1.5 2.5 23 1 0 0 0 65
A = 2.0 1.0 -3.0 1.0
2.0 1.0 -1.0 -1.0
1.0 1.5 1.0 1.0
3.0 -1.0 2.0 -1.0
>> b=[1;2;3;4];
>> vpGauss4(A,b,5) 列主元消元法
ans = 1.14130000000000
0 x1 b1
0
x2
b2
0
xn1
bn1
ann xn bn
x1 b1 / a11
xk (bk
a k1
j1 kj
x
j
)
/
akk
,
k 2, , n
5
1.2 高斯消元法
➢ 主要思想：把一般的线性代数方程组转化 为等价的（上）三角形方程组。
➢ 方程组的向量形式：
F4(3)
11.5 0.5
F3(3)
F4( 4 )
10
2x1 x2 3x3 x4 1
F1(1)
x2 2 x3 2 x4 1
F2(2)
0.5x3 2.5x4 1.5
F3(3)
65x4 29.5
F4(4)
F2(1) F3(1)
F1(1) 0.5F1(1)
F2(2) F3(2)
ik1, ,n jk1, ,n,n1
(7) 若
a(n) n,n
为 0，停机；
(8) 回代：
ak,n1 (ak,n1
a a ) / a , n
jk 1 kj j,n1
kk
k n, ,1
27
➢举例4： vpGauss4(A,b,5)
>> A=[2,1,-3,1;2,1,-1,-1;1,1.5,1,1;3,-1,2,-1]
a (3) 换行：
(k) ik j
a(k ) k, j
jk,k1, ,n,n1
(4) 计算消元乘数：ai(,kk)
a(k) i ,k
/
a(k) k,k
ik1, ,n
(5) 消元：
a( k 1) i, j
a(k ) i, j
a a (k) (k) i,k k, j
(6) k=k+1; if k<n 转(1);
F4(3)
11.5 0.5
F3(3)
F4( 4 )
8
2x1 x2 3x3 x4 1
F1(1)
x2 2 x3 2 x4 1
F2(2)
x2 2.5 x3 0.5 x4 2.5
F3(2)
2.5x2 6.5 x3 2.5 x4 2.5 F4(2)
F2(1) F3(1)
a1n x1 b1
a2n
x
2
b2
ann
xn
bn
n 阶非奇异的矩阵 A = [ aij ]nxn 称为系数矩阵， n 维向量 b = （b1, b2, …, bn )T 称为右端常数项。
2
➢ 当 |A|0 时，解存在唯一。 克拉默法则给出解的 公式是：
A的第 j 列
a11 b1 a1n
a(4) 44
29.5 / 65
0.453846
x3
x2
( b3( 3 ) ( b2( 2 )
a(3) 34
x4
)
/
a(3) 33
0.730769
a(2) 24
x4
a(2) 23
x3
)
/
a(2) 22
0.446154
x1
(b1(1)
a(1) 14
x4
a(1) 13
x3
a(1) 12
x2
)
第3章 线性代数方程组的解法
➢ n 阶线性代数方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
1
➢ 矩阵形式： A X = b
a11 a12
a21
a22
an1 an2
bb12((12))
0 0
0 0
a(3) 33 0
a(3) 34
a(4) 44
x3 x4
bb43((43
) )
2 1 3 1 x1 1
0 1 2
2
x2
1
0 0 0.5 2.5 x3 1.5
0 0
0
65
x4
29.5
12
解为：
x4
b(4) 4
/
de
t
a21
b2
a2
n
xj
an1
bn
ann
de t ( A)
j 1,2, , n
3
§1、高斯消元法与选主元技巧
1.1 三角形方程组及其解法
a11 a12
0
a22
0
0
0 0
a1n1 a2n1
an1n1 0
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
an1n
0
0.50000000000000 24
列主元消元法
0.00001
交
2
换
行
2
0.00001
2 x1
3
x2
1 2
3 x1 2 x2
2 1
>> vpGauss4(A, b, 5) 列主元消元法 ans =
0.25000000000000 0.50000000000000
25
列主元消去法（前面的例子2）
F2(2)
0.5x3 2.5x4 1.5
F3(3)
11.5x3 7.5x4 5
F4(3)
F2(1) F3(1)
F1(1) 0.5F1(1)
F2(2) F3(2)
F4(1)
1.5 F1(1)
F4( 2 )
F3(2) F2(2) F3(3) F4(2) 2.5F2(2) F4(3)
F4(1)
1.5 F1(1)
F4( 2 )
F3(2) F2(2) F3(3) F4(2) 2.5F2(2) F4(3)
F4(3)
11.5 0.5
F3(3)
F4( 4 )
11
a01(11)
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 13
a(2) 23
a(1) 14
a(2) 24
x1 x2
16
1 0 0 0 2 1 3 1
1
1
0.5 1
0 0 0 1 2
2
1 0 0 0 0.5 2.5
1.5 2.5 23 1 0 0 0 65
F2(1) F3(1)
1.0 F1(1) 0.5F1(1)
F2( 2 ) F3( 2 )
F4(1)
1.5 F1(1)
F4( 2 )
0
0
u22
u2n
ln1 ln2
lnn
0
0
unn
18
a11 a12 a21 a22 an1 an2
a1n
a2n
ann
n
aij lik ukj k 1
1 0 0 a11 a12 a1n
l21
1
0
0
u22
u2n
ln1
ln2
1
0
0
unn
0
0
a(2) 32
a(2) 42
a(2) 33
a(2) 43
a(2) 34
a(2) 44
x3 x4
bb43(( 22 ))
26
列主元消元法(用增广矩阵)
(0) k=1
(1) 选主元：选择 ik 使得
|
a(k) ik k