高中数学选修测试题精选
(精选试题附答案)高中数学选修一专项训练
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一专项训练单选题1、已知F1，F2是椭圆x236+y29=1的两个焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．3D．2答案：C分析：由|PM|＝|PF1|可知|MF2|＝|PM|+|PF2|，又已知OQ是△F1F2M的中位线，点Q与y轴重合时，Q与短轴端点距离最近.解：设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，则由题意知|PM|＝|PF1|∵|PF1|+|PF2|＝2a＝12∴|MF2|＝|PM|+|PF2|＝2a＝12由题意知OQ是△F1F2M的中位线∴|OQ|＝a＝6∴Q点的轨迹是以O为圆心，以6为半径的圆∴当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离d＝a−b＝6−3＝32、若ab≠0，则ax−y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的（）A．B．C．D．答案：C分析：根据椭圆、双曲线的性质判断参数a,b的符号，结合直线的位置判断a,b与曲线参数是否矛盾，即可知正确选项.方程可化为y=ax+b和x 2a +y2b=1.A：双曲线的位置：a<0，b>0，由直线的位置：a>0，b>0，矛盾，排除；B：椭圆知a，b∈(0,+∞)，但B中直线的位置：a<0，b<0，矛盾，排除；C：双曲线的位置：a>0，b<0，直线中a，b的符号一致.D：椭圆知a，b∈(0,+∞)，直线的位置：a<0，b>0，矛盾，排除；故选：C.3、若平面内两条平行线l1：x+(a−1)y+2=0，l2：ax+2y+1=0间的距离为3√55，则实数a=（）A．−2B．−2或1C．−1D．−1或2分析：根据平行关系得出a =2或a =−1，再由距离公式得出a =−1满足条件. ∵l 1//l 2，∴a ⋅(a −1)=2，解得a =2或a =−1当a =2时d =|2−12|√2=3√24，当a =−1时d =√5=3√55故选：C 4、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点和上顶点分别为点F (c,0)(b >c )和点A ，直线l:6x −5y −28=0交椭圆于P,Q 两点，若F 恰好为△APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）A ．√22B ．√33C ．√55D ．2√55答案：C分析：由题设F (c,0),A (0,b )，利用F 为△APQ 的重心，求出线段PQ 的中点为B (3c 2,−b2)，将B 代入直线方程得9c +5b 2−28=0，再利用点差法可得2a 2=5bc ，结合a 2=b 2+c 2，可求出a, b, c ，进而求出离心率.由题设F (c,0),A (0,b ),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，则线段PQ 的中点为B (x 0,y 0)，由三角形重心的性质知AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即(c,−b)=2(x 0−c,y 0)，解得：x 0=3c 2,y 0=−b 2即B (3c 2,−b 2)代入直线l:6x −5y −28=0，得9c +5b 2−28=0①.又B 为线段PQ 的中点，则x 1+x 2=3c,y 1+y 2=−b ， 又P,Q 为椭圆上两点，∴x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1，以上两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，所以k PQ =y 1−y2x 1−x 2=−b 2a 2⋅x 1+x2y 1+y 2=−b 2a 2×3c−b =65，化简得2a 2=5bc ②由①②及a 2=b 2+c 2，解得：{a =2√5b =4c =2，即离心率e =√55.小提示：方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a,c ，从而求出e ；②构造a,c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．5、已知圆C ：x 2+y 2=4，直线L ：y =kx +m ，则当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，则m 的取值为（ ）A ．±2B ．±√2C ．±√3D ．±3 答案：C分析：由直线L 过定点M(0,m)，结合圆的对称性以及勾股定理得出m 的取值.直线L ：y =kx +m 恒过点M(0,m)，由于直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，即当直线L 与直线OM 垂直时（O 为原点），弦长取得最小值，于是22=(12×2)2+|OM|2=1+m 2，解得m =±√3. 故选：C6、已知F 1､F 2是椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ .若△PF 1F 2的面积为9，则b =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：B分析：根据△PF 1F 2的面积以及该三角形为直角三角形可得|PF 1|⋅|PF 2|=18，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，然后结合|PF 1|+|PF 2|=2a ，简单计算即可.依题意有|PF 1|+|PF 2|=2a ，所以|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2又PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，S △PF 1F 2=12|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=9，所以|PF 1|⋅|PF 2|=18，又|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，可得4c 2+36=4a 2， 即a 2−c 2=9，则b =3， 故选：B.7、若直线l 的斜率k =−2，又过一点(3，2)，则直线l 经过点（ ） A ．(0，4)B ．(4，0) C ．(0，−4)D ．(−2，1) 答案：B分析：利用斜率公式逐个验证即可对于A ，k =4−20−3=−23≠−2，不符合题意； 对于B ，k =2−03−4=−2，所以B 正确； 对于C ，k =2−(−4)3−0=2≠−2，不符合题意；对于D ，k =2−13−(−2)=15≠−2，不符合题意， 故选：B8、已知F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2=60°,|PF 1|=3|PF 2|，则C 的离心率为（ ） A ．√72B ．√132C ．√7D ．√13 答案：A分析：根据双曲线的定义及条件，表示出|PF 1|,|PF 2|，结合余弦定理可得答案. 因为|PF 1|=3|PF 2|，由双曲线的定义可得|PF 1|−|PF 2|=2|PF 2|=2a ， 所以|PF 2|=a ，|PF 1|=3a ；因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理可得4c 2=9a 2+a 2−2×3a ⋅a ⋅cos60°， 整理可得4c 2=7a 2，所以e 2=c 2a 2=74，即e =√72. 故选：A小提示：关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c 间的等量关系是求解的关键.9、已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为12a ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y =±12x B ．y =±2xC ．y =±4xD ．y =±14x 答案：A分析：首先根据题意得到d =√b 2+a 2=b =12a ，从而得到b a =12，即可得到答案.由题知：设F (−c,0)，一条渐近线方程为y =ba x ，即bx −ay =0. 因为d =√b 2+a2=b =12a ，所以b a=12， 故渐近线方程为y =±12x . 故选：A10、已知两圆分别为圆C 1:x 2+y 2=49和圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +9=0，这两圆的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解. 由题意得，圆C 1圆心(0,0)，半径为7；圆C 2:(x −3)2+(y −4)2=16，圆心(3,4)，半径为4， 两圆心之间的距离为√32+42=5，因为7−4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交. 故选：B. 填空题11、已知F 1，F 2是椭圆x 24+y 2=1的两个焦点，点P 在椭圆上，PF 2⊥x 轴，则△PF 1F 2的面积为_________． 答案：√32##12√3分析：PF 2⊥x 轴可得P 点横坐标，再根据点P 在椭圆上，求出P 的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解. 由题意不妨设F 1(﹣√3，0)，F 2( √3，0)， ∵P F 2⊥x 轴，∴P (√3，±12)，∵△P F 1F 2的面积＝12|P F 2||F 1F 2|＝12× 12×2√3＝√32，所以答案是：√32．12、写出一个焦点在x 轴上，且离心率为√63的椭圆的标准方程：___________.答案：x 23+y 2=1（答案不唯一）分析：由离心率及a 、b 、c 之间的关系，给a 取一个值求出b 即可.解析设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则e =√1−b 2a 2=√63， 所以a 2=3b 2，令b =1，则a 2=3，所以满足题意的一个椭圆的标准方程为x 23+y 2=1 所以答案是：x 23+y 2=113、直线l:x +my −m −1=0被圆O ；x 2+y 2=3截得的弦长最短，则实数m =___________. 答案：1分析：求出直线MN 过定点A （1,1），进而判断点A 在圆内，当OA ⊥MN 时，|MN |取最小值，利用两直线斜率之积为-1计算即可.直线MN 的方程可化为x +my −m −1=0， 由{y −1=1x −1=0，得{x =1y =1 ，所以直线MN过定点A（1，1），因为12+12<3，即点A在圆x2+y2=3内.当OA⊥MN时，|MN|取最小值，)=−1，∴m=1，由k OA k MN=−1，得1×(−1m所以答案是：1.14、在平面内，一只蚂蚁从点A(−2,−3)出发，爬到y轴后又爬到圆C:(x+3)2+(y−2)2=2上，则它爬到的最短路程是______．答案：4√2分析：求得点A(−2,−3)关于y轴的对称点为A′(2,−3)，结合圆的性质，即可求解.由圆C:(x+3)2+(y−2)2=2，得圆心坐标C(−3,2)，半径为√2，求得点A(−2,−3)关于y轴的对称点为A′(2,−3)，可得|A′P|=|A′C|−r=√(−3−2)2+(2+3)2−√2=4√2.如图所示，可得爬到的最短路程为4√2.所以答案是：4√215、已知圆x2+y2+2x−4y−5=0与x2+y2+2x−1=0相交于A､B两点，则公共弦AB的长是___________. 答案：2分析：两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.解：由题意AB 所在的直线方程为：(x 2+y 2+2x −4y −5)−(x 2+y 2+2x −1)=0，即y =−1， 因为圆x 2+y 2+2x −1=0的圆心O (−1,0)，半径为r =√2， 所以，圆心O (−1,0)到直线y =−1的距离为1， 所以|AB |=2√2−12=2. 所以答案是：2 解答题 16、已知椭圆C:x 26+y 2=1，经过原点的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PM 与直线PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为M .（1）当点M 为椭圆C 的右顶点时，求证：△PQM 为等腰三角形； （2）当点P 不是椭圆C 的顶点时，求直线PQ 和直线QM 的斜率之比. 答案：（1）证明见解析；（2）6.分析：（1）设点P (x 0,y 0)，则点Q (−x 0,−y 0)，由已知得出QP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，可求得x 0、y 02的值，利用两点间的距离公式得出|MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|QP ⃑⃑⃑⃑⃑ |，进而可证得结论成立； （2）设点M (x 1,y 1)，利用点差法计算得出k PM ⋅k QM =−16，由PM ⊥PQ 得出k PM ⋅k PQ =−1，由此可得出kPQ k QM=k PQ ⋅k PM k QM ⋅k PM，即可得解.（1）设点P (x 0,y 0)，则点Q (−x 0,−y 0)，x 026+y 02=1，可得y 02=1−x 026，当点M 为椭圆C 的右顶点时，M(√6,0)，MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 0−√6,y 0)，QP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2x 0,2y 0)， MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅QP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2x 0(x 0−√6)+2y 02=0，即x 02−√6x 0+1−x 026=0， 整理可得5x 02−6√6x 0+6=0，即(5x 0−√6)(x 0−√6)=0，由题意可知，点P 不与点M 重合，则x 0=√65，可得y 02=2425，|QP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√x 02+y 02=2√305，|MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(x 0−√6)2+y 02=2√305，即|MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|QP ⃑⃑⃑⃑⃑ |， 因此，△PMQ 为等腰三角形；（2）设点M (x 1,y 1)，则k PM =y 1−y 0x 1−x 0，k QM =y 1+y0x 1+x 0，则k PM ⋅k QM =y 12−y 02x 12−x 02，由已知得{x 126+y 12=1x 026+y 02=1，两式相减得x 12−x 026+y 12−y 02=0，可得k PM ⋅k QM =y 12−y 02x 12−x 02=−16， ∵PM ⊥PQ ，∴k PM ⋅k PQ =−1，所以，k PQ k QM=k PQ ⋅k PM k QM⋅k PM=−1−16=6.小提示：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 17、在平面直角坐标系xOy 中，已知四点A(0,1)，B(3,0)，C(1,4)，D(0,3).（1）这四点是否在同一个圆上?如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由； （2）求出到点A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点P 的坐标.答案：（1）四点A(0,1)，B(3,0)，C(1,4)，D(0,3)都在圆(x −2)2+(y −2)2=5上；（2）(12,52).分析：（1）设经过A ，B ，C 三点的圆的方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2，代入点A ，B ，C 的坐标可解得圆的方程，再判断点D 是否在圆上即可；（2）由|PA|+|PC|≥|AC|，当且仅当点P 在线段AC 上时取等号，同理|PB|+|PD|≥|BD|，当且仅当点P 在线段BD 上时取等号，进而可得当点P 为AC ，BD 交点时距离之和最小，故求AC ，BD 交点坐标即可. （1）设经过A ，B ，C 三点的圆的方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2， {(0−a)2+(1−b)2=r 2(3−a)2+(0−b)2=r 2,(1−a)2+(4−b)2=r 2解得a =2，b =2，r 2=5 因此，经过A ，B ，C 三点的圆的方程为(x −2)2+(y −2)2=5. 由于(0−2)2+(3−2)2=5，故点D 也在这个圆上.因此，四点A(0,1)，B(3,0)，C(1,4)，D(0,3)都在圆(x −2)2+(y −2)2=5上.（2）因为|PA|+|PC|≥|AC|，当且仅当点P 在线段AC 上时取等号. 同理，|PB|+|PD|≥|BD|，当且仅当点P 在线段BD 上时取等号.因此，当点P 是AC 和BD 的交点时，它到A ，B ，C ，D 的距离之和最小. 因为直线AC 的方程为y =3x +1，直线BD 的方程为y =−x +3，联立{y =3x +1y =−x +3,解得点P 的坐标为(12,52).18、已知抛物线C ：y 2=4x ，坐标原点为O ，焦点为F ，直线l ：y =kx +1．（1）若l 与C 只有一个公共点，求k 的值；（2）过点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点，求△OAB 的面积． 答案：（1）1或0；（2）2√2.分析：（1）将直线方程与抛物线方程联立，由k =0或Δ=0即可求解；（2）求出抛物线的焦点坐标，即可得直线方程，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与抛物线方程，根据S △OAB =12|OF|⋅|y 1−y 2|及韦达定理即可求解；解：（1）依题意{y =kx +1y 2=4x消去x 得y =14ky 2+1，即ky 2−4y +4=0， ①当k =0时，显然方程只有一个解，满足条件；②当k ≠0时，Δ=(−4)2−4×4k =0，解得k =1；综上，当k =1或k =0时直线与抛物线只有一个交点；（2）抛物线C ：y 2=4x ，所以焦点F(1,0)，所以直线方程为y =x −1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{y =x −1y 2=4x，消去x 得y 2−4y −4=0，所以y 1+y 2=4，y 1y 2=−4， 所以|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√42−4×(−4)=4√2， 所以S △OAB =12|OF|⋅|y 1−y 2|=12×1×4√2=2√2.19、已知圆心C 在第一象限，半径为54的圆与y 轴相切，且与x 轴正半轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），|OA | ⋅|OB | =1（O 为坐标原点）．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 任作一条直线与圆O:x 2+y 2=1相交于P ，Q 两点．①证明：|PA | |PB | +|QB | |QA | 为定值；②求|PB | +2|PC | 的最小值．答案：（1）(x −54)2+(y −1)2=2516；（2）①|PA ||PB |+|QB ||QA |=52，证明见解析，②52分析：（1）首先C (54,b)(b >0)，得到|AB |=2√2516−b 2，|OA |=54−12|AB |，|OB |=54+12|AB |，再根据|OA | ⋅|OB | =1即可得到答案.（2）①首先根据（1）得到A (12,0)，B (2,0)，设P (x 0,y 0)，再分别计算|PA | |PB | +|QB | |QA | 即可；②根据|PB |=2|PA |得到|PB | +2|PC | =2(|PA |+|PC |)≥2|AC |，即可得到答案.（1）设C (54,b)(b >0)，由题知： |AB |=2√(54)2−b 2=2√2516−b 2，|OA |=54−12|AB |，|OB |=54+12|AB |， 所以|OA | ⋅|OB | =(54−12|AB |)(54−12|AB |)=2516−14×4(2516−b 2)=1， 解得b =1，所以圆C:(x −54)2+(y −1)2=2516.（2）由（1）知：|AB |=2√(54)2−1=32，|OA |=54−12|AB |=12， |OB |=54+12|AB |=2.所以A (12,0)，B (2,0)，设P(x0,y0)，|PA| |PB|=√(x0−12)2+y02√(x0−2)2+y02=√(x0−12)2+1−x02√(x0−2)2+1−x02=√54−x0√5−4x=12，同理|QB||QA|=2，所以|PA||PB|+|QB||QA|=52.②因为|PB|=2|PA|，所以|PB|+2|PC|=2(|PA|+|PC|)≥2|AC|=2√(54−12)2+(1−0)2=52.所以|PB|+2|PC|的最小值为52.。
高中数学选修一综合测试题必须掌握的典型题(带答案)
高中数学选修一综合测试题必须掌握的典型题单选题1、椭圆x 2m 2+1+y 2m 2=1(m >0)的焦点为F 1，F 2，与y 轴的一个交点为A ，若∠F 1AF 2=π3，则m =（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2 答案：C分析：由椭圆的定义结合已知得|AF 1|=|F 1F 2|，进而求出m 即可.在椭圆x 2m 2+1+y 2m 2=1(m >0)中，a =√m 2+1，b =m ，c =1.易知|AF 1|=|AF 2|=a . 又∠F 1AF 2=π3，所以△F 1AF 2为等边三角形，即|AF 1|=|F 1F 2|，所以√m 2+1=2，即m =√3.故选：C.2、在矩形ABCD 中，O 为BD 中点且AD =2AB ，将平面ABD 沿对角线BD 翻折至二面角A −BD −C 为90°，则直线AO 与CD 所成角余弦值为（ ）A ．√55B ．√54C ．3√525D ．4√225分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO 与CD 所成角余弦值. 在平面ABD 中过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ； 在平面CBD 中过C 作CF ⊥BD ，垂足为F . 由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ， 所以AE ⊥平面BCD ，CF ⊥平面ABD ， 设AB =1,AD =2，12×BD ×AE =12×AB ×AD ⇒AE =√5OE =√OA 2−AE 2=2√5， 同理可得CF =√5OF =2√5，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则A(2√5√5),√52√50),D(−√52,0,0)， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√510,2√50)， 设AO 与CD 所成角为θ， 则cosθ=|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=320√52×12=3√525.故选：C3、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形， AA 1＝AB ，M 是A 1C 1的中点，则AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为（ ） A ．710B ．√1510C ．√8510D ．−√1510分析：取AC 的中点D ，以D 为原点，BD,DC,DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．如图所示，取AC 的中点D ，以D 为原点，BD,DC,DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC =2，则A (0,−1,0),M (0,0,2),B(−√3,0,0),N (−√32,−12,2)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，平面BCC 1B 1的一个法向量为n ⃗ =(√32,−32,0)设AM 与平面BCC 1B 1所成角为α，向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与n ⃗ 所成的角为θ， 所以sinα=|cosθ|=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=32√5×√3=√1510， 即AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为√1510． 故选：B ．4、如果AB >0且BC <0，那么直线Ax +By +C =0不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C分析：通过直线经过的点来判断象限.由AB >0且BC <0，可得A,B 同号，B,C 异号，所以A,C 也是异号； 令x =0，得y =−CB >0；令y =0，得x =−CA >0； 所以直线Ax +By +C =0不经过第三象限. 故选：C.5、在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 在棱AA 1上，AE =3A 1E ，点G 是棱CD 的中点，点F 满足BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<12)，当平面EFG 与平面ABCD 所成（锐）二面角的余弦值为√63时，经过E,F,G 三点的截面的面积为（ ） A ．2√6B ．7√64C ．√17D ．7√66答案：B分析：以D 为坐标原点，分别以DA,DC,DD 1所在的直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面EFG 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为√63求出λ的值，画出截面图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA,DC,DD 1所在的直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，则G(0,1,0),E(2,0,32),F(2,2,2λ)，所以GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,32),GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2λ)， 设平面EFG 的一个法向量为m ⃗⃗ =(x,y,z)，则 {m ⃗⃗ ⋅GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −y +32z =0m ⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y +2λz =0，取z =1，则m ⃗⃗ =(−38−λ2,−λ+34,1)，平面ABCD 的一个法向量为n ⃗ =(0,0,1)， 由题意得|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗ ||=√(38+λ2)2+(−λ+34)2+1=√63，解得λ=14或λ=1320（舍去），延长EF,AB ，设EF ∩AB =I ，连接IG ，交BC 于K ，延长IG ，交AD 的延长线于L ，连接EL ，交DD 1于H ，则五边形EFKGH 为截面图形，由题意求得EF =√5，FK =√12+(12)2=√52，GK =√2，HG =√52，EH =√5，FH =2√2，截面五边形EFKGH 如图所示，则等腰三角形EFH 底边FH 上的高为√3，等腰梯形HGKF 的高为√32， 则截面面积为S =12×2√2×√3+12(√2+2√2)×√32=7√64故选：B小提示：关键点点睛：此题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查运算能力，解题的关键是建立空间直角坐标系，由平面EFG 与平面ABCD 所成（锐）二面角的余弦值为√63求出λ=14，属于中档题6、点P(2,0)关于直线l:x +y +1=0的对称点Q 的坐标为（ ） A ．(−1,−3)B ．(−1,−4)C ．(4,1)D ．(2,3) 答案：A分析：根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解. 设点P(2,0)关于直线x +y +1=0的对称点的坐标为(a,b)，则{b−0a−2×(−1)=−1a+22+b 2+1=0，解得{a =−1b =−3.所以点Q 的坐标为(−1,−3) 故选：A.7、在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则a ⋅(b ⃗ +c )的值为（ ） A ．1B ．0C ．-1D ．-2 答案：B分析：由正方体的性质可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 两两垂直，从而对a ⋅(b ⃗ +c )化简可得答案 由题意可得AB ⊥AD,AB ⊥AA 1,所以a ⊥b ⃗ ,a ⊥c ，所以a ⋅b ⃗ =0,a ⋅c =0，所以a⋅(b⃗+c)=a⋅b⃗+a⋅c=0，故选：B8、如果复数z满足|z+1−i|=2，那么|z−2+i|的最大值是（）A．√13+2B．2+√3C．√13+√2D．√13+4答案：A分析：复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z−2+i|的最大值是√13+2．故选：A．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z+1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．多选题9、以下四个命题表述正确的是（）A．直线(3+m)x+4y−3+3m=0(m∈R)恒过定点(−3,−3)B．圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x−y+√2=0的距离都等于1C．曲线C1:x2+y2+2x=0与曲线C2:x2+y2−4x−8y+m=0恰有三条公切线，则m=4D．已知圆C:x2+y2=1，点P为直线x+2y=4上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，其中A、B为切点，则直线AB经过定点(14,1 2 )答案：BCD分析：利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径和列式求得m判断C；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D．由(3+m)x +4y −3+3m =0，得3x +4y −3+m(x +3)=0， 联立{x +3=03x +4y −3=0 ，解得{x =−3y =3，∴直线(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)恒过定点(−3,3)，故A 错误；∵圆心(0,0)到直线l:x −y +√2=0的距离等于1，∴直线与圆相交，而圆的半径为2， 故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有三个点到直线l:x −y +√2=0的距离等于1，故B 正确；两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线C 1:x 2+y 2+2x =0化为标准式(x +1)2+y 2=1， 曲线C 2:x 2+y 2−4x −8y +m =0化为标准式(x −2)2+(y −4)2=20−m >0， 圆心距为√(2+1)2+42=5=1+√20−m ，解得m =4，故C 正确；设点P 的坐标为(m,n)，∴ m4+n2=1，以OP 为直径的圆的方程为x 2+y 2−mx −ny =0， 两圆的方程作差得直线AB 的方程为：mx +ny =1，消去n 得，m(x −y2)+2y −1=0， 令x −y2=0，2y −1=0，解得x =14，y =12，故直线AB 经过定点(14，12)，故D 正确．故选：BCD10、下列命题中，不正确的命题有（ ） A ．|a →|+|b →|=|a →−b →|是a →,b →共线的充要条件 B ．若a →//b →，则存在唯一的实数λ，使得a →=λb →C ．若A ，B ，C 不共线，且OP →=2OA →−4OB →+3OC →，则P ，A ，B 、C 四点共面 D ．若{a →,b →,c →}为空间的一个基底，则{a →+b →,b →+2c →,c →+3a →}构成空间的另一个基底 答案：AB分析：利用向量的模相等关系，结合充要条件判断A 的正误；利用平面向量的基本定理判断B ；利用共线向量定理判断C ；利用空间向量的基底的概念和反证法判断D 的正误即可．对于A ，当|a |+|b ⃗ |=|a −b ⃗ |时，a ，b ⃗ 共线成立，但当a ，b ⃗ 同向共线时，|a |+|b ⃗ |≠|a −b ⃗ |， 所以|a |+|b ⃗ |=|a −b ⃗ |是a ，b ⃗ 共线的充分不必要条件，故A 不正确; 对于B ，当b ⃗ =0⃗ 时，a //b ⃗ ，不存在唯一的实数λ，使得a =λb⃗ ，故B 不正确;对于C ，由于OP →=2OA →−4OB →+3OC →，而2−4+3=1，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确;对于D ，若{a ，b ⃗ ，c }为空间的一个基底，则a ，b ⃗ ，c 不共面，利用反证法证明a +b ⃗ ，b ⃗ +2c ，c +3a 不共面，假设a +b ⃗ ，b ⃗ +2c ，c +3a 共面，则a →+b →=x(b →+2c →)+y(c →+3a →),所以a →=x−11−3y b →+2x+y 1−3y c →，所以a ，b ⃗ ，c 共面，与已知矛盾.所以a +b ⃗ ，b ⃗ +2c ，c +3a 不共面，则{a +b ⃗ ，b ⃗ +2c ，c +3a }构成空间的另一个基底，故D 正确． 故选：AB11、已知直线l 1：kx −y +2−3k =0与直线l 2：2x +y +1=0的交点在第三象限，则实数k 的值可能为（ ） A ．65B ．45C ．67D ．2答案：BC分析：联立直线方程求出交点坐标，根据象限列出不等式，求出k 的范围即可得出. 联立方程组{kx −y +2−3k =02x +y +1=0，解得交点为(3k−3k+2,−7k+4k+2)， 因为交点在第三象限，所以{3k−3k+2<0−7k+4k+2<0，解得47<k <1，所以实数k 的值可能为45和67. 故选：BC. 填空题12、如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，M ，N 分别是棱AB ，CC 1的中点，E 是BD 的中点，则异面直线D 1M ，EN 间的距离为______.答案：√24分析：建立空间直角坐标系，表示出D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出同时垂直于D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的n ⃗ ，再通过公式|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗ ||n ⃗ |求距离即可.以D 为原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，易知D 1(0,0,1),M(1,12,0),E(12,12,0),N(0,1,12)，D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12,−1),EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,12)，设n ⃗ =(x,y,z)同时垂直于D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由{n ⃗ ⋅D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +12y −z =0n ⃗ ⋅EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +12y +12z =0 ，令x =1，得n ⃗ =(1,0,1)，又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,12)，则异面直线D 1M ，EN 间的距离为|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n ⃗ |=|−1+12|√2=√24. 所以答案是：√24. 13、已知F 1,F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |=|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________． 答案：8分析：根据已知可得PF 1⊥PF 2，设|PF 1|=m,|PF 2|=n ，利用勾股定理结合m +n =8，求出mn ，四边形PF 1QF 2面积等于mn ，即可求解.因为P,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点， 且|PQ|=|F 1F 2|，所以四边形PF 1QF 2为矩形， 设|PF 1|=m,|PF 2|=n ，则m +n =8,m 2+n 2=48， 所以64=(m +n)2=m 2+2mn +n 2=48+2mn ， mn =8，即四边形PF 1QF 2面积等于8. 所以答案是：8.14、若三点A(2,2),B(a,0),C(0,6)共线，则a的值为_________．答案：3分析：由三点共线得k AB=k BC，即可求出答案.由三点A(2,2),B(a,0),C(0,6)共线故k AB=k BC2−0 2−a =6−20−2⇒a=3所以答案是：3.解答题15、疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，l1、l2分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向，以点O为坐标原点，l1、l2为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点M(100,400)）和平安检查点（即点N(400,700)）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线l:x−y+1000=0）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.答案：（1）k=300，x2+y2=2002，(x−400)2+(y−400)2=3002；（2）(−300,700)解析：（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径.（2）可先求圆心O关于l:x−y+1000=0的对称点P,找到直线PC与l的交点，即为所求.（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：x2+y2=2002李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向，设李叔叔家所在的位置为C(c,c)，离M(100,400)和N(400,700)距离相等故(c−100)2+(c−400)2=(c−400)2+(c−700)2故(c−100)2=(c−700)2即c−100=700−c故c=400k=√(400−400)2+(400−700)2=300故李叔叔负责区域边界的曲线方程为(x−400)2+(y−400)2=3002（2）圆心O关于l:x−y+1000=0的对称点为P(a,b)则有a2−b2+1000=0，ba=−1解得a=−1000,b=1000k PC=1000−400−1000−400=−37PC:y=−37x+40007联立l:x−y+1000=0与PC:y=−37x+40007，可得交点为(−300,700)王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点(−300,700)碰面，距离之和最近.小提示：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．。
高中数学选修一综合测试题考点精题训练(带答案)
高中数学选修一综合测试题考点精题训练单选题1、已知双曲线x 2a 2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的离心率e 为（ ）A ．2√33B ．2√63C ．√3D ．2 答案：A分析：根据题意渐近线的斜率为tan π6=√33，所以该渐近线的方程为y =√33x ，所以2a2=(√33)2，求得a=√6，利用c =√a 2+b 2，求得c 即可得解. ∵双曲线x 2a2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，tan π6=√33， ∴该渐近线的方程为y =√33x ，∴2a 2=(√33)2，解得a =√6或−√6（舍去），∴c =√a 2+b 2=2√2， ∴双曲线的离心率为e =c a=√2√6=2√33． 故选：A ．2、若直线y =3x −1与双曲线C:x 2−my 2=1的一条渐近线平行，则实数m 的值为（ ） A ．19B ．9C ．13D ．3 答案：A分析：根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.C:x 2−my 2=1的渐近线方程满足x =±√my ，所以渐进线与y =3x −1平行，所以渐近线方程为y =±3x ，故m =19故选：A3、已知F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2=60°,|PF 1|=3|PF 2|，则C 的离心率为（ ） A ．√72B ．√132C ．√7D ．√13 答案：A分析：根据双曲线的定义及条件，表示出|PF 1|,|PF 2|，结合余弦定理可得答案.因为|PF1|=3|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2|PF2|=2a，所以|PF2|=a，|PF1|=3a；因为∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2−2×3a⋅a⋅cos60°，整理可得4c2=7a2，所以e2=c2a2=74，即e=√72.故选：A小提示：关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键.4、若椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（）A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为√3C．存在点P，使PF1⊥PF2D．|PF1|的取值范围是[1,3]答案：C分析：根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点P位于上下顶点时，△PF1F2面积的最大即可判断选项B；当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大与90∘比较即可判断选项C；当点P为椭圆C的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.由椭圆方程可知a=2，b=√3，从而c=√a2−b2=1．对于选项A；根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a=4，又|F1F2|=2c=2，所以△PF1F2的周长是2a+2c=6，故选项A正确；对于选项B：设点P(x1,y0)(y0≠0)，因为|F1F2|=2，则S△PF1F2=12|F1F2|⋅|y0|=|y0|．因为0<|y0|≤b=√3，则△PF1F2面积的最大值为√3，故选项B正确；对于选项C：由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大．此时，|PF1|=|PF2|=a=2，又|F1F2|=2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2=60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，故选项C错误；对于选项D：由椭圆的性质可知，当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，此时|PF1|=a+c=3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，此时|PF1|=a−c=1，所以|PF1|∈[1,3]，故选项D正确．故选：C.小提示：名师点评椭圆中焦点三角形的有关结论以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(−c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2=θ，则（1）焦点三角形的周长为2a+2c；（2）当点P为椭圆短轴的一个端点时，∠F1PF2=θ为最大；（3）S△PF1F2=12PF1×PF2×sinθ，当|y0|=b时，即点P为椭圆短轴的一个端点时S△PF1F2取最大值，为bc；（4）S△PF1F2=b2tanθ2.5、已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12a，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±12x B．y=±2xC．y=±4x D．y=±14x 答案：A分析：首先根据题意得到d=√b2+a2=b=12a，从而得到ba=12，即可得到答案.由题知：设F(−c,0)，一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0.因为d=√b2+a2=b=12a，所以ba=12，故渐近线方程为y=±12x.故选：A6、下列直线方程纵截距为2的选项为（）A．y=x−2B．x−y+2=0C．x2+y4=1D．x+y+2=0答案：B分析：纵截距就是令x=0是y的值，令每一个选项中的x为0，解出y，最后选出符合题意的.直线x+y+2=0的纵截距为−2，直线x2+y4=1的纵截距为4，直线x−y+2=0的纵截距为2，直线y=x−2的纵截距为−2. 故选：B. 7、设F 1,F 2是椭圆x 212+y 224=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且cos∠F 1PF 2=13.则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．6B ．6√2C ．8D ．8√2 答案：B分析：利用椭圆的几何性质，得到|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3，进而利用cos∠F 1PF 2=13得出|PF 1|⋅|PF 2|=18，进而可求出S △PF 1F 2 解：由椭圆x 212+y 224=1的方程可得a 2=24,b 2=12，所以c 2=a 2−b 2=12，得a =2√6,c =2√3 且|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3， 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−2|PF 1||PF 2|−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=4a 2−4c 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4b 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4×12−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|，而cos∠F 1PF 2=13，所以，|PF 1|⋅|PF 2|=18， 又因为，cos∠F 1PF 2=13，所以sin∠F 1PF 2=2√23， 所以，S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|⋅sin∠F 1PF 2=12×18×2√23=6√2故选：B8、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，其中F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．(0,14]B ．(14,1)C ．(12,1)D ．[12,1)答案：D分析：先由椭圆的定义结合已知求得|PF 1|,|PF 2|，再由|PF 1|−|PF 2|≤|F 1F 2|求得a,c 的不等关系，即可求得离心率的取值范围.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=32a，|PF2|=12a，而|PF1|−|PF2|≤|F1F2|=2c，当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立，即32a−12a≤2c，即a≤2c，则e=ca≥12，即12≤e<1.故选：D．多选题9、已知抛物线C：y=14x2的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（）A．C的准线方程为y=−116B．直线y=x−1与C相切C．若M(0,4)，则|PM|的最小值为2√3D．若M(3,5)，则△PMF的周长的最小值为11答案：BCD分析：将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由Δ=0判断B，设点P(x,y)，表示出|PM|2，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出△PMF的周长的最小值，即可判断D.解：抛物线C：y=14x2，即x2=4y，所以焦点坐标为F(0,1)，准线方程为y=−1，故A错误；由{y=14x2y=x−1，即x2−4x+4=0，解得Δ=(−4)2−4×4=0，所以直线y=x−1与C相切，故B正确；设点P(x,y)，所以|PM|2=x2+(y−4)2=y2−4y+16=(y−2)2+12≥12，所以|PM|min=2√3，故C正确；如图过点P作PN⊥准线，交于点N，|NP|=|PF|，|MF|=√32+(5−1)2=5，所以C△PFM=|MF|+|MP|+|PF|=|MF|+|MP|+|PN|≥|MF|+|MN|=5+6=11，当且仅当M、P、N三点共线时取等号，故D正确；故选：BCD10、已知a⃑=(1,0,1)，b⃑⃑=(−1,2,−3)，c⃑=(2,−4,6)，则下列结论正确的是（）A．a⃑⊥b⃑⃑B．b⃑⃑∥c⃑C．⟨a⃑,c⃑⟩为钝角D．c⃑在a⃑方向上的投影向量为(4,0,4)答案：BD分析：利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.因为1×(−1)+0×2+1×(−3)=−4≠0，所以a⃑，b⃑⃑不垂直，A错，因为c⃑=−2b⃑⃑，所以b⃑⃑∥c⃑，B对，因为a⃑⋅c⃑=1×2+0×(−4)+1×6=8，所以cos⟨a⃑,c⃑⟩>0，所以⟨a⃑,c⃑⟩不是钝角，C错，因为c⃑在a⃑方向上的投影向量|c⃑|⋅cos⟨a⃑,c⃑⟩⋅a⃑⃑|a⃑⃑|=a⃑⃑⋅c⃑|a⃑⃑|2a⃑=82(1,0,1)=(4,0,4)，D对，故选：BD.11、（多选）已知直线l:x −my +m −1=0，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =√33或m =−√33C ．直线l 恒过点(2,1)D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则m =1或m =−1 答案：BD分析：讨论m =0和m ≠0时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为(x −1)−m (y −1)=0判断直线过定点，判断C 的正误. 当m =0时，直线l:x =1，斜率不存在，当m ≠0时，直线l 的斜率为1m ，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m ，∴1m=tan60°=√3或1m=tan120°=−√3，∴m =√33或m =−√33，故B 选项正确；直线l 的方程可化为(x −1)−m (y −1)=0，所以直线l 过定点(1,1)，故C 选项错误； 当m =0时，直线l:x =1，在y 轴上的截距不存在， 当m ≠0时，令x =0，得y =m−1m，令y =0，得x =1−m ，令m−1m=1−m ，得m =±1，故D 选项正确．故选：BD ． 填空题12、已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a >0，b >0），矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |=6，则双曲线E 的标准方程是______． 答案：x 214−y 234=1分析：如图所示，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则可得|MN |=2c =2，|BN |=52，再利用双曲线的定义可得a 2=14，即求.由题意得|AB |=3，|BC |=2．如图所示，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，在Rt △BMN 中，|MN |=2c =2，故|BN |=√|BM|2+|MN |2=√(32)2+22=52．由双曲线的定义可得2a =|BN |−|BM |=52−32=1， 则a 2=14，又2c =2，所以c =1，b 2=34．所以双曲线E 的标准方程是x 214−y 234=1．所以答案是：x 214−y 234=1.13、若直线l 1：2x +ay −2=0与直线l 2：x −y +a =0平行，则直线l 1与l 2之间的距离为______． 答案：√22分析：先根据直线l 1与l 2平行求出参数a ，再由两平行直线间的距离公式可得答案. ∵直线l 1与l 2平行，∴21=a−1≠−2a，解得a =−2，∴直线l 1：x −y −1=0，直线l 2：x −y −2=0， ∴直线l 1与l 2之间的距离d =√1+1=√22． 所以答案是：√2214、直线y =kx +2(k >0)被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为________． 答案：60∘分析：由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．∵直线y =kx +2(k >0)被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3，所以，圆心O (0,0)到直线kx −y +2=0的距离d =√22−(√3)2=1， 即√k 2+1=1，解得k =√3(k >0)．设直线的倾斜角为θ(0∘≤θ<180∘)，则tanθ=√3，则θ=60∘． 因此，直线y =kx +2(k >0)的倾斜角为60∘． 所以答案是：60∘． 解答题15、如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面 ABC,AC ⊥BC,AC =BC =2，CC 1=3，点D, E 分别在棱AA 1和棱 CC 1上，且AD =1 CE =2, M 为棱A 1B 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B −B 1E −D 的正弦值； （Ⅲ）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值． 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）√306；（Ⅲ）√33. 分析：以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 和B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，得出C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即可证明出C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）可知平面BB 1E 的一个法向量为CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，计算出平面B 1ED 的一个法向量为n ⃑ ，利用空间向量法计算出二面角B −B 1E −D 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值.依题意，以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C 1(0,0,3)、 A 1(2,0,3)、B 1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,1,3). （Ⅰ）依题意，C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,0)，B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−2,−2)， 从而C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2−2+0=0，所以C 1M ⊥B 1D ； （Ⅱ）依题意，CA⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,1)，ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,−1)． 设n ⃑ =(x,y,z)为平面DB 1E 的法向量， 则{n ⃑ ⋅EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⃑ ⋅ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即{2y +z =02x −z =0， 不妨设x =1，可得n ⃑ =(1,−1,2)．cos <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=CA ⃑⃑⃑⃑⃑⋅n ⃑ |CA ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2×√6=√66， ∴sin <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√1−cos 2<CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√306．所以，二面角B −B 1E −D 的正弦值为√306； （Ⅲ）依题意，AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,2,0)．由（Ⅱ）知n ⃑ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量，于是cos <AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2√2×√6=−√33． 所以，直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33.小提示：本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.。
高中选修三数学试题及答案
高中选修三数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 0B. 2C. 4D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆的方程。
A. \( x^2 + y^2 = 25 \)B. \( (x-5)^2 + (y-5)^2 = 25 \)C. \( x^2 + y^2 - 5x - 5y = 0 \)D. 以上都不对3. 直线\( y = 3x + 2 \)与直线\( y = -x + 6 \)的交点坐标是：A. (1, 5)B. (2, 8)C. (4, 10)D. (3, 11)4. 已知\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)为锐角，求\( \cos \theta \)的值。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C.\( \frac{3}{4} \) D. \( -\frac{3}{4} \)5. 函数\( g(x) = \ln(x) \)的定义域是：A. \( x > 0 \)B. \( x < 0 \)C. \( x \geq 0 \)D. \( x\leq 0 \)6. 已知等差数列\( a_n \)的首项为2，公差为3，求第5项的值。
A. 17B. 14C. 11D. 87. 已知矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵\( A \)的行列式。
A. 0B. 1C. 7D. 88. 已知圆锥曲线\( x^2 - 4xy + 4y^2 = 0 \)，求其类型。
A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆9. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形的三边，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，求三角形的类型。
高中数学选修二综合测试题典型例题(带答案)
高中数学选修二综合测试题典型例题单选题1、函数y=f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)−f(2)B．0<f′(2)<f(3)−f(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2)D．0<f(3)−f(2)<f′(2)<f′(3)答案：C分析：根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.如图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1斜率k1>0，f′(3)表示切线l3斜率k3>0，=f(3)−f(2)，表示割线l2的斜率k2，又由平均变化率的定义，可得f(3)−f(2)3−2结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2).故选：C.，则f(x)（）2、已知f(x)=3xe xA ．在(−∞,+∞)上单调递增B ．在(−∞,1)上单调递减C ．有极大值3e ，无极小值D ．有极小值3，无极大值 答案：C分析：根据导数判断单调性与极值 f ′(x)=3−3x e x，则x <1时f ′(x)>0，x >1时f ′(x)<0f(x)在区间(−∞,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减 有极大值f(1)=3e故选：C3、若数列{a n }满足a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n =n 2(n ≥2)，则a 3=（ ） A ．9B ．3C ．94D ．49 答案：C分析：利用前n 项积与通项的关系可求得结果. 由已知可得a 3=a 1a 2a 3a 1a 2=3222=94.故选：C.4、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 和为T n ，已知a 5=11,S 10=120,b n =1a n ⋅a n+1，若T k =17，则正整数k 的值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6 答案：A分析：设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 5=11,S 10=120求得公差d ，即可求得数列{a n }的通项，从而求得数列{b n }的通项，再根据裂项相消法求得数列{b n }的前n 和为T n ，从而可得出答案. 解：设等差数列{a n }的公差为d ， S 10=10(a 1+a 10)2=5(a 5+a 6)=5(11+a 6)=120，所以a 6=13，则d =a 6−a 5=2，所以a n =a 5+2(n −5)=2n +1，所以b n =1a n ⋅a n+1=12(12n+1−12n+3)， 所以T n =12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)， 因为T k =17，所以k 3(2k+3)=17，解得k =9. 故选：A.5、设a ≠0，若x =a 为函数f (x )=a (x −a )2(x −b )的极大值点，则（ ） A ．a <b B ．a >b C ．ab <a 2D ．ab >a 2 答案：D分析：先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到a,b 所满足的关系，由此确定正确选项.若a =b ，则f (x )=a (x −a )3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a ≠b .∴f(x)有x =a 和x =b 两个不同零点，且在x =a 左右附近是不变号，在x =b 左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x =a 左右附近都是小于零的.当a <0时，由x >b ，f (x )≤0，画出f (x )的图象如下图所示：由图可知b <a ，a <0，故ab >a 2.当a >0时，由x >b 时，f (x )>0，画出f (x )的图象如下图所示：由图可知b >a ，a >0，故ab >a 2. 综上所述，ab >a 2成立. 故选：D小提示：本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 6、若直线l 与曲线y =√x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12 答案：D分析：根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 设直线l 在曲线y =√x 上的切点为(x 0,√x 0)，则x 0>0， 函数y =√x 的导数为y ′=2√x ，则直线l 的斜率k =2√x 0，设直线l 的方程为y −√x 0=2√x 0−x 0)，即x −2√x 0y +x 0=0，由于直线l 与圆x 2+y 2=15相切，则√1+4x 0=√5，两边平方并整理得5x 02−4x 0−1=0，解得x 0=1，x 0=−15（舍），则直线l 的方程为x −2y +1=0，即y =12x +12.故选：D.小提示：本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 7、已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若−5，S 3，S 6成等差数列，则S 9−S 6的最小值为( ) A ．25B ．20C ．15D ．10答案：B分析：利用等比数列前n 项和的性质表示出S 9−S 6，再表示成同一变量S 3，然后利用基本不等式求出其最小值即可.因为{a n }是正项等比数列，所以S 3，S 6−S 3，S 9−S 6仍然构成等比数列， 所以(S 6−S 3)2=S 3(S 9−S 6). 又−5，S 3，S 6成等差数列，所以S 6−5=2S 3，S 6−S 3=S 3+5， 所以S 9−S 6=(S 6−S 3)2S 3=(S 3+5)2S 3=S 3+25S 3+10.又{a n }是正项等比数列，所以S 3>0，S 3+25S 3+10≥2√S 3⋅25S 3+10=20，当且仅当S 3=5时取等号.故选：B.8、已知等比数列{a n }中，a 1=2a 2，则这个数列的公比为（ ） A ．2B ．√2C ．12D ．√22答案：C分析：结合等比数列的知识求得正确答案. 数列{a n }是等比数列， 所以公比q =a 2a 1=12.故选：C 多选题9、已知数列{a n }满足a 1=−12，a n+1=11−a n，则下列各数是{a n }的项的有（ ）A ．−2B ．23C ．32D ．3 答案：BD分析：根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．因为数列{a n }满足a 1=−12，a n+1=11−a n，∴a 2=11−(−12)=23；a 3=11−a 2=3；a 4=11−a 3=−12=a 1；∴数列{a n }是周期为3的数列，且前3项为−12，23，3； 故选：BD ．小提示：本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．10、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1+3a 5=S 7，则以下结论一定正确的是（ ） A ．a 4=0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 6=S 1D ．|a 3|<|a 5| 答案：AC分析：根据等差数列的定义及前n 项和公式可求得公差d 与a 1的关系，再对各项进行逐一判断即可. 设等差数列的公差为d ，因为a 1+3a 5=S 7，可得a 1+3(a 1+4d )=7a 1+21d ，解得a 1=−3d ， 又由a n =a 1+(n −1)d =(n −4)d ，所以a 4=0，所以A 正确； 因为公差d 的正负不能确定，所以S 3可能为最大值最小值，故B 不正确； 由S 6−S 1=a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=5a 4=0，所以S 6=S 1，所以C 正确； 因为a 3+a 5=2a 4=0，所以a 3=−a 5，即|a 3|=|a 5|，所以D 错误. 故选:AC.11、已知函数f(x)=xlnx ，若0<x 1<x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f(x 1)<x 1f(x 2)B ．x 1+f(x 1)<x 2+f(x 2) C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0D ．当lnx >−1时，x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>2x 2f(x 1)答案：AD 分析：设g(x)=f(x)x=lnx ，函数g(x)单调递增，可判断A ；设ℎ(x)=f(x)+x ，则ℎ′(x)=lnx +2不是恒大于零，可判断B ；f(x)=xlnx ，f ′(x)=lnx +1不是恒小于零，可判断C ；当x >1e时，lnx >−1，故f ′(x)=lnx +1>0，函数f(x)=xlnx 单调递增，故(x 2−x 1)[f(x 2)−f(x 1)]=x 1f(x 1)+x 2f(x 2)−x 2f(x 1)−x 1f(x 2)>0，即x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 2f(x 1)+x 1f(x 2)，由此可判断D.得选项. 解： 对于A 选项，因为令g(x)=f(x)x=lnx ，在(0,+∞)上是增函数，所以当0<x 1<x 2时，g(x 1)<g(x 2)，所以f(x 1)x 1<f(x 2)x 2，即x 2f(x 1)<x 1f(x 2)．故A 选项正确；对于B 选项，因为令g(x)=f(x)+x =xlnx +x ，所以g′(x)=lnx +2，所以x ∈(e −2,+∞)时，g′(x)>0,g(x)单调递增，x ∈(0,e −2)时，g′(x)<0,g(x)单调递减．所以x 1+f(x 1)与x 2+f(x 2)无法比较大小．故B 选项错误；对于C 选项，令f′(x)=lnx +1，所以x ∈(0,1e )时，f′(x)<0,f(x)在(0,1e )单调递减，x ∈(1e ,+∞)时，f′(x)>0,f(x)在(1e,+∞)单调递增，所以当0<x 1<x 2<1e时，f(x 1)>f(x 2)，故f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，当1e<x 1<x 2时，f(x 1)<f(x 2)，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0．故C 选项错误；对于D 选项，由C 选项知，当lnx >−1时，f(x)单调递增，又因为A 正确，x 2f(x 1)<x 1f(x 2)成立， 所以x 1⋅f(x 1)+x 2⋅f(x 2)−2x 2f(x 1)>x 1⋅f(x 1)+x 2⋅f(x 2)−x 2f(x 1)−x 1f(x 2) =x 1[f(x 1)−f(x 2)]+x 2[f(x 2)−f(x 1)] =(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0,故D 选项正确. 故选：AD ．小提示：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 填空题12、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 19>0，S 20<0，则使S n 取得最大值的n 为______． 答案：10分析：由S19>0，S20<0，结合等差数列的前n项和公式得到第10项大于0，第10项和第11项的和小于0，得到第10项大于0，这样前10项的和最大．由S19>0，S20<0，可知{a n}为递减的等差数列，设其公差为d，则d<0，由S19=19(a1+a19)2>0，S20=10(a1+a20)<0，得a1+a19=2a10>0，a1+a20=a10+a11<0，所以a10>0，a11<0，所以使S n取得最大值的n为10，所以答案是：10．小提示：一般地，如果{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则有性质：（1）若m,n,p,q∈N∗,m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；（2）S n=n(a k+a n+1−k)2,k=1,2,⋯,n且S2n−1=(2n−1)a n；（3）S n=An2+Bn且{S nn}为等差数列；（4）S n,S2n−S n,S3n−S2n,⋯为等差数列.13、若直线y=2x+a是函数f(x)=x+lnx的图象在某点处的切线，则实数a=____________.答案：−1分析：利用f′(x)=2求得切点坐标，代入切线方程，从而求得a.令f′(x)=1+1x=2，解得x=1，所以切点为(1,1)，将(1,1)代入切线y=2x+a得1=2+a,a=−1.所以答案是：−114、若对任意的x1，x2∈(m,+∞)，且当x1<x2时，都有lnx1−lnx2x1−x2>2x1x2，则m的最小值是________.答案：2分析：将lnx1−lnx2x1−x2>2x1x2变形为x1lnx1+2x1<x2lnx2+2x2，令f(x)=xlnx+2x，利用f(x)在(m,+∞)上是递增函数求解.由题意得：0<x1<x2，所以x 1−x 2<0， 则lnx 1−lnx 2x 1−x 2>2x 1x 2等价于x 1x 2(lnx 1−lnx 2)>2(x 2−x 1)， 即x 1lnx 1+2x 1<x 2lnx 2+2x 2，令f (x )=xlnx+2x，则f (x 1)<f (x 2)，又x 2>x 1>m ，所以f (x )在(m,+∞)上是递增函数， 所以f ′(x )=x−2x 2>0成立，解得x >2所以m ≥2， 故m 的最小值是2， 所以答案是：2 解答题15、在①a 3=5，S 9=63；②3a 2=a 10，S 2=7；③a 1=3，S 8−S 6=19这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答（若选择两个或三个按照第一个计分）.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，___________，数列{b n }是公比为2的等比数列，且b 2=a 2.求数列{a n }，{b n }的通项公式. 答案：a n =n +2；b n =2n分析：设等差数列{a n }的公差为d ，根据等差数列的基本量方法，结合等差数列的性质可得{a n }，进而根据b 2=a 2求得{b n }的通项公式即可 设等差数列{a n }的公差为d .若选①：根据等差数列的性质，由S 9=63有9a 5=63，故a 5=7，所以{a 1+2d =5a 1+4d =7 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n若选②：由题意{3(a 1+d )=a 1+9d 2a 1+d =7 ，即{a 1=3d 2a 1+d =7 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n若选③：由S 8−S 6=19可得a 7+a 8=19，即{a 1+2d =52a 1+13d =19 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n。
高中数学选修1-1综合测试题及答案
高中数学选修1-1综合测试题及答案选修1-1模拟测试题一、选择题1.若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有（）A。
p真q真B。
p假q假C。
p真q假D。
p假q真2.“cos2α=－35π/21”是“α=kπ+π/2,k∈Z”的（）A。
必要不充分条件B。
充分不必要条件C。
充分必要条件D。
既不充分又不必要条件3.设f(x)=sinx+cosx，那么(。
)A。
f'(x)=cosx-sinxB。
f'(x)=cosx+sinxC。
f'(x)=-cosx+sinxD。
f'(x)=-cosx-sinx4.曲线f(x)=x^3+x－2在点P处的切线平行于直线y=4x－1，则点P的坐标为（）A。
(1,0)B。
(2,8)C。
(1,0)和(-1,-4)D。
(2,8)和(-1,-4)5.平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=6，则|PA|的取值范围是A。
[1,4]B。
[1,6]C。
[2,6]D。
[2,4]6.已知2x+y=0是双曲线x^2－λy^2=1的一条渐近线，则双曲线的离心率为（）A。
2B。
3C。
5D。
无法确定7.抛物线y^2=2px的准线与对称轴相交于点S，PQ为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦，则∠PSQ的大小是（）A。
π/3B。
2π/3C。
3π/2D。
与p的大小有关8.已知命题p：“|x－2|≥2”，命题“q:x∈Z”，如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A。
{x|x≥3或x≤－1,x∈Z}B。
{x|－1≤x≤3,x∈Z}C。
{-1,0,1,2,3}D。
{1,2,3}9.函数f(x)=x^3+ax－2在区间(1,+∞)内是增函数，则实数a的取值范围是（）A。
[3,+∞]B。
[-3,+∞]C。
(-3,+∞)D。
(-∞,-3)10.若△ABC中A为动点，B、C为定点，B(-a1,0)，C(a2,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA，则动点A的轨迹方程是（）A。
高中数学选修试题及答案
高中数学选修试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)答案：C2. 函数f(x) = 2x + 1的反函数是：A. f^(-1)(x) = (x - 1) / 2B. f^(-1)(x) = (x + 1) / 2C. f^(-1)(x) = x / 2 + 1D. f^(-1)(x) = x / 2 - 1答案：A3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B的元素个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 若直线y = 2x + 1与直线y = -x + 4相交，则交点的横坐标是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 3答案：A6. 已知等差数列{an}的前三项依次为1，4，7，则该数列的第五项是：A. 10B. 11C. 12D. 13答案：C7. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25，则圆心坐标为：A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)答案：A8. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标是：A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (0, 0)答案：A9. 函数f(x) = x / (x^2 + 1)的值域是：A. (-1, 1)B. (0, 1)C. (-∞, 0)D. (0, +∞)答案：B10. 已知向量a = (3, -4)，b = (-2, 6)，则向量a与向量b的夹角θ满足：A. cosθ = 1/5B. cosθ = 1/3C. cosθ = -1/5D. c osθ = -1/3答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = __________。
(精选试题附答案)高中数学选修一真题
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一真题单选题1、点(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是（）A．(1,0)B．(0,1)C．(0,−1)D．(2,1)答案：B分析：设出对称点，根据对称关系列出式子即可求解.解：设点A(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是B(a,b)，则有{b−2a−1=1a+1 2+b+22−2=0，解得a=0，b=1，故点(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是(0,1). 故选：B.小提示：方法点睛：关于轴对称问题：（1）点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0的对称点A′(m,n)，则有{n−bm−a×(−AB)=−1A⋅a+m2+B⋅b+n2+C=0；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.2、直线y=x−1过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A、B两点，则|AB|=（）A．6B．8C．2D．4答案：B分析：联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点坐标为F(p2,0)，又直线y =x −1过抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点F ，所以p =2，抛物线C 的方程为y 2=4x ，由{y =x −1y 2=4x，得x 2−6x +1=0，所以x A +x B =6，所以|AB |=x A +x B +p =6+2=8． 故选：B3、如果AB >0且BC <0，那么直线Ax +By +C =0不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C分析：通过直线经过的点来判断象限.由AB >0且BC <0，可得A,B 同号，B,C 异号，所以A,C 也是异号； 令x =0，得y =−CB >0；令y =0，得x =−CA >0； 所以直线Ax +By +C =0不经过第三象限. 故选：C.4、已知正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为（ ） A ．16B ．23C ．√2121D ．4√2121答案：B分析：利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可. 设该正面体的棱长为1，因为M 为BC 中点，N 为AD 中点， 所以|BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√12−(12×1)2=√32， 因为M 为BC 中点，N 为AD 中点， 所以有BN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ， DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ , BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )(−AD⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =1×1×12−12×12−12×1×1×12−12×12+14×1×1×12+14×1×1×12=−12,cos〈BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 〉=BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=−12√32×√32=−23，根据异面直线所成角的定义可知直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为23， 故选：B5、若圆C 1:x 2+y 2−2ay =0(a >0)与圆C 2:x 2+y 2−4x +3=0相外切，则a 的值为（ ） A ．12B ．23C ．1D ．32 答案：D分析：确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.由x 2+y 2−2ay =0(a >0)可得x 2+(y −a )2=a 2，所以圆C 1的圆心为(0,a )，半径为a ， 由x 2+y 2−4x +3=0可得(x −2)2+y 2=1，所以圆C 2的圆心为(2,0)，半径为1， 因为两圆相外切，所以√4+a 2=a +1，解得a =32， 故选：D6、在直角坐标平面内，与点A(0,3)距离为2，且与点B(4,0)距离为3的直线共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：C分析：根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可. 当直线不存在斜率时，设为x =a ，由题意可知：|a −0|=2且|a −4|=3， 没有实数a 使得两个式子同时成立；当直线存在斜率时，设直线方程为：y =kx +b ⇒kx −y +b =0，点A(0,3)到该直线的距离为2，所以有√k 2+(−1)2=2(1)，点B(4,0)到该直线的距离为3，所以有√k 2+(−1)2=3(2)，由(1)(2)得：b =8k +9或b =9−8k 5，当b =8k +9时，代入(1)中，得15k 2+24k +8=0，该方程的判别式Δ=242−4×15×8=96>0，该方程有两个不相等的实数根， 当b =9−8k 5时，代入(1)中，得9k 2−24k +16=0，该方程的判别式Δ=(−24)2−4×9×16=0，该方程有两个相等的实数根， 所以这样的直线共有三条， 故选：C.小提示：关键点睛：本题的关键是解方程组.7、已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A(72，4)，则|PA |+|PM |的最小值是（ ） A ．5B ．92C ．4D ．32答案：B分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM 交准线于H 点推断出|PA |＝|PH |，进而表示出|PM |，问题转化为求|PF |+|PA |的最小值，由三角形两边长大于第三边得到|PF |+|PA |的最小值，则|PA |+|PM |的最小值可得．依题意可知焦点F (12,0)，准线 x =−12，延长PM 交准线于H 点．则|PF |＝|PH |，∴|PM |＝|PH |−12=|PF |−12∴|PM |+|PA |＝|PF |+|PA |−12，∴要使|PM |+|PA |当且仅当|PF |+|PA |最小． 由三角形两边长大于第三边可知，|PF |+|PA |≥|FA |，① 当P 与线段AF 与抛物线的交点P 0重合时取到最小值，．由A(72,4),可得|FA|=√(72−12)2+42=5．则所求为(|PM|+|PA|)min=5−12=92．故选：B．8、已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1（a1>b1>0）与双曲线C2:x2a22−y2b22=1（a2>0，b2>0）有公共焦点F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P．若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，曲线C1，C2的离心率分别为e1和e2，则1 e1−1e2=（）A．1B．2C．3D．4答案：B分析：设曲线C1，C2的焦距为2c，则可得|PF2|=|F1F2|=2c，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出a1,a2,c的关系，变形后可得结果.设曲线C1，C2的焦距为2c．△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，则|PF2|=|F1F2|=2c．由点P在第一象限，知|PF1|=2a1−|PF2|=2a2+|PF2|，即2a1−2c=2a2+2c，即a1−a2=2c，即1e1−1e2=2．故选：B9、已知直线斜率为k，且−1≤k≤√3，那么倾斜角α的取值范围是（）A．[0,π3]∪[π2,3π4)B．[0,π3]∪[3π4,π)C．[0,π6]∪[π2,3π4)D．[0,π6]∪[3π4,π)答案：B分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围. 解：直线l的斜率为k，且−1≤k≤√3，∴−1≤tanα≤√3，α∈[0,π).∴α∈[0,π3]∪[3π4,π).故选：B.10、已知圆O1:x2+y2=4，圆O2:x2+y2−2mx−2my−4=0(m≠0)，则同时与圆O1和圆O2相切的直线有（）A．4条B．2条C．1条D．0条答案：B分析：利用已知条件判断圆O1与圆O2的关系，进而可以求解.由O1:x2+y2=4，得圆O1(0,0)，半径为r1=2，由O2:x2+y2−2mx−2my−4=0(m≠0)，得O2(m,m)，半径为r2=12√(−2m)2+(−2m)2−4×(−4)=√2m2+4所以|O1O2|=√(m−0)2+(m−0)2=√2m2>0，|r2−r1|=√2m2+4−2>0，r1+r2=2+√2m2+4，所以|r2−r1|<|O1O2|<r1+r2，所以圆O1与圆O2相交，所以圆O1与圆O2有两条公共的切线.故选：B.填空题11、已知向量a =(3,1),b ⃑ =(1,0),c =a +kb ⃑ ．若a ⊥c ，则k =________． 答案：−103.分析：利用向量的坐标运算法则求得向量c ⃗的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值 ∵a ⃗=(3,1),b ⃑⃗=(1,0),∴c ⃗=a ⃗+kb ⃑⃗=(3+k,1), ∵a ⃗⊥c ⃗,∴a ⃗⋅c ⃗=3(3+k )+1×1=0，解得k =−103,所以答案是：−103.小提示：本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量p ⃗=(x 1,y 1),q ⃗=(x 2,y 2)垂直的充分必要条件是其数量积x 1x 2+y 1y 2=0.12、设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，左，右顶点分别为A ，B ，以AB 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，若△PAF 2为等腰三角形，则直线PF 2的倾斜角的大小为________． 答案：5π6##150∘分析：由题意求得点P 的坐标，再根据△PAF 2为等腰三角形，得到x P =c−a 2，从而得到a ，b ，c 的关系，再利用斜率公式求解.解：以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=a 2， 双曲线过第一象限的渐近线方程为y =ba x ．由{x 2+y 2=a 2y =ba x，得P (a 2c ,ab c )． 由△PAF 2为等腰三角形，得点P 在线段AF 2的中垂线上，即x P =c−a 2．由a 2c =c−a 2，得c 2−ac −2a 2=0，即e 2−e −2=0，得e =2，所以c =2a ．而b =√c 2−a 2=√3a ，则k PB=abca2c−c=−ab=−√33，故直线PE2倾斜角为5π6，所以答案是：5π6．13、已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x1,y1)，Q(－x1,−y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，|QF1PF1|≥√33，则椭圆C的离心率的取值范围为_____．答案：(√22，√3−1]分析：设PF1=n，PF2=m，由已知得到mn的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，求出e 的范围.设PF1=n，PF2=m，由x1>0，y1>0，知m<n，因为P，Q在椭圆C上，|PQ|=2|OF2|，所以四边形PF1QF2为矩形，QF1=PF2；由|QF1||PF1|≥√33，可得√33≤mn<1，由椭圆的定义可得m+n=2a，n2+m2=4c2①，平方相减可得mn=2(a2－c2)②，由①②得4c 22(a2−c2)=m2+n2mn=mn+nm；令t=mn +nm，令v=mn ∈[√33，1)，所以t=v+1v ∈(2，4√33]，即2<4c22(a2−c2)≤4√33，所以a2－c2<c2≤2√33(a2－c2)，所以1－e2<e2≤2√33(1－e2)，所以12<e 2≤4−2√3，解得√22<e ≤√3−1.所以答案是：(√22，√3−1] .14、已知向量n =(2,0,1)为平面α的法向量，点A(−1,2,1)在α内，则点P(1,2,2)到平面α的距离为________________ 答案：√5分析：把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解． 解： PA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2，0，−1)，点P 到平面α的距离为|n ⃑⃑⃑⃑ ⋅PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||n⃑⃗|=√5=√5．所以答案是：√5.15、已知直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0相交于点P ，点A (4,0)，O 为坐标原点，则tan∠OAP 的最大值为_____________. 答案：√33##13√3 分析：根据给定条件，求出点P 的轨迹，结合图形利用几何意义求解作答. 直线kx −y +2k =0恒过定点M(−2,0)，直线x +ky −2=0恒过定点N(2,0)， 显然直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0垂直，当k ≠0时，PM ⊥PN ， 点P 在以MN 为直径的圆x 2+y 2=4（除点M ，N 外）上，当k =0时，点P(2,0), 因此，点P 的轨迹是以原点O 为圆心，2为半径的圆（除点M(−2,0)外），如图，观察图形知，点A 在圆O ：x 2+y 2=4(x ≠−2)外，当直线AP 与圆O 相切时，∠OAP 为锐角且最大，tan∠OAP 最大，所以(tan∠OAP)max=√42−22=√33.所以答案是：√33解答题16、已知圆C:x2+y2−4x−2y+m=0与直线l:3x−4y−7=0相交于M,N两点且|MN|=2√3；（1）求m的值；（2）过点P作圆C的切线，切点为Q，再过P作圆C′:(x+2)2+(y+2)2=1的切线，切点为R，若|PQ|=|PR|，求|OP|的最小值(其中O为坐标原点).答案：（1）m=1；（2）35.分析：(1)写出圆C的圆心坐标，半径，利用半径、半弦、弦心距的关系列式求解即得；(2)设点P(x，y)，借助切线长定理探求出点P的轨迹即可作答.（1）C:(x−2)2+(y−1)2=5−m>0的圆心C(2,1)，半径R=√5−m，圆心到直线距离l的距离d=√32+42=1，则弦MN长|MN|=2√R2−d2=2√5−m−1=2√3，得m=1，所以m的值为1；（2）由(1)知圆C的圆心C(2,1)，半径R=2，设P(x,y)，由切线的性质得|PQ|=√|PC|2−R2=√(x−2)2+(y−1)2−4，圆C′:(x+2)2+(y+2)2=1的圆心C′(−2,−2)，半径r=1，同理：|PR|=√|PC′|2−r2=√(x+2)2+(y+2)2−1，而|PQ|=|PR|，即√(x−2)2+(y−1)2−4=√(x+2)2+(y+2)2−1，化简得到：4x+3y+3=0，又点C(2,1)到直线4x+3y+3=0距离为145>2，点C′(−2,−2)到直线4x+3y+3=0距离为115>1，即直线4x+3y+3=0与两圆都无公共点，点P的轨迹为直线4x+3y+3=0，所以|OP|最小值即为原点到直线4x+3y+3=0距离d=√42+32=35.17、已知定点F1(−4,0)、F2(4,0)和动点M(x,y)．(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M的轨迹及其方程．条件①：|MF1|+|MF2|=12条件②：|MF1|+|MF2|=8(2)|MF1|+|MF2|=2a(a>0)，求：动点M的轨迹及其方程．答案：(1)答案见解析；(2)答案见解析.分析：（1）根据不同的选择，结合椭圆的定义，即可求得动点M的轨迹及其方程；（2）对a的取值范围进行分类讨论，结合不同情况求得对应的轨迹及方程即可.（1）选择条件①：|MF1|+|MF2|=12，因为12>|F1F2|=8，故点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，设其方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则c=4,a=6，b2=a2−c2=20，故其方程为：x236+y220=1.即选择条件①，点M的轨迹是椭圆，其方程为x 236+y220=1；选择条件②：|MF1|+|MF2|=8，因为8=|F1F2|，故点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y=0,(−4≤x≤4).（2）因为|MF1|+|MF2|=2a(a>0)，当0<a<4时，此时动点M不存在，没有轨迹和方程；当a=4时，此时2a=|F1F2|，由（1）可知，此时动点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y=0,(−4≤x≤4)；当a>4时，此时2a>|F1F2|，此时点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，其方程为x2a2+y2a2−16=1.综上所述：当0<a<4时，动点M没有轨迹和方程；当a=4时，动点M的轨迹是线段F1F2，其方程为y=0,(−4≤x≤4)；当a>4时，动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，其方程为x2a2+y2a2−16=1.18、已知△ABC的顶点B(5,1)，AB边上的高所在的直线方程为x−2y−5=0．(1)求直线AB的方程；(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．①角A的平分线所在直线方程为x+2y−13=0②BC边上的中线所在的直线方程为2x−y−5=0______，求直线AC的方程．答案：(1)2x+y−11=0；(2)若选①：直线AC的方程为2x−11y+49=0；若选②：直线AC的方程为6x−5y−9=0.分析：（1）由两直线垂直时，其斜率间的关系求得直线AB的斜率为k，再由直线的点斜式方程可求得答案；（2）若选①：由{2x+y−11=0x+2y−13=0，求得点A(3，5)，再求得点B关于x+2y−13=0的对称点B′(x0，y0)，由此可求得直线AC的方程；若选②：由{2x+y−11=02x−y−5=0，求得点A(4，3)，设点C(x1，y1)，由BC的中点在直线2x−y−5=0上，和点C 在直线x−2y−5=0上，求得点C(−1，−3)，由此可求得直线AC的方程.（1）解：因为AB边上的高所在的直线方程为x−2y−5=0，所以直线AB的斜率为k=−2，又因为△ABC的顶点B(5,1)，所以直线AB的方程为：y−1=−2(x−5)，所以直线AB的方程为：2x+y−11=0；（2）解：若选①：角A的平分线所在直线方程为x+2y−13=0，由{2x+y−11=0x+2y−13=0，解得{x=3y=5，所以点A(3，5)，设点B 关于x +2y −13=0的对称点B ′(x 0，y 0)，则{y 0−1x 0−5×(−12)=−1x 0+52+2×y 0+12−13=0 ，解得{x 0=375y 0=295，所以B ′(375，295)，又点B ′(375，295)在直线AC 上，所以k AC =5−2953−375=211， 所以直线AC 的方程为y −5=211(x −3)，所以直线AC 的方程为2x −11y +49=0；若选②：BC 边上的中线所在的直线方程为2x −y −5=0，由{2x +y −11=02x −y −5=0，解得{x =4y =3 ，所以点A(4，3)， 设点C(x 1，y 1)，则BC 的中点在直线2x −y −5=0上，所以2×5+x 12−1+y 12−5=0，即2x 1−y 1−1=0，所以点C 在直线2x −y −1=0上，又点C 在直线x −2y −5=0上，由{x −2y −5=02x −y −1=0解得{x =−1y =−3 ，即C(−1，−3)， 所以k AC =−3−3−1−4=65， 所以直线AC 的方程为y −3=65(x −4)，所以直线AC 的方程为6x −5y −9=0.19、求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)经过点(√6,0)，(3,2)；(2)焦点为(0,−5)，(0,5)，经过点(4√33,2√3)； (3)a =b ，经过点(3,−1)；(4)经过(3,−4√2)和(94,5)两点．答案：(1)x 26−y 28=1； (2)y 29−x 216=1；(3)x 28−y 28=1； (4)y 216−x 29=1.分析：(1)根据题意，由双曲线经过点(√6，0)，分析可得双曲线的焦点为x 轴上，且a =√6，设双曲线的标准方程为：x 26−y 2b 2=1，将点(3,2)代入计算可得b 2的值，将b 2的值代入双曲线的方程，即可得答案；(2)根据题意，分析可得双曲线的焦点在y 轴上，且c =5，由双曲线的定义计算可得a 的值，结合双曲线的几何性质可得b 2的值，将a 2、b 2的值代入双曲线的方程，即可得答案．(3)根据题意，设双曲线的方程为：x 2−y 2=t ，将点(3,−1)代入其中计算可得t 的值，即可得双曲线的方程，变形为标准方程即可得答案；(4)根据题意，设双曲线的方程为mx 2−ny 2=1，将(3,−4√2)和(94，5)两点坐标代入双曲线方程可得{9m −32n =18116m −25n =1 ，解可得：m 、n 的值，将m 、n 的值代入双曲线方程即可得答案．（1）根据题意，双曲线经过点(√6，0)，则双曲线的焦点在x 轴上，且a =√6，设双曲线的标准方程为：x 26−y 2b 2=1，双曲线经过(3,2)，则有96−4b 2=1，解可得b 2=8，则双曲线的标准方程为：x 26−y 28=1；（2）根据题意，焦点为(0,−5)，(0,5)，则双曲线的焦点在y 轴上，且c =5，∵双曲线过点(4√33,2√3)，故根据双曲线的定义可知： 2a =|√(4√33)2+(2√3+5)2−√(4√33)2+(2√3−5)2|=6，则a =3，则b 2=c 2−a 2=16，则双曲线的标准方程为：y 29−x 216=1；（3）根据题意，双曲线中a =b ，设双曲线的方程为：x 2−y 2=t ， 又由双曲线经过点(3,−1)，则有t = 32−(−1)2=8， 则双曲线的方程为x 2−y 2=8，则双曲线的标准方程为：x 28−y 28=1； （4）根据题意，设双曲线的方程为mx 2−ny 2=1(mn >0)，双曲线经过(3,−4√2)和(94，5)两点，则有{9m −32n =18116m −25n =1 ， 解可得：m =−19，n =−116，则双曲线的标准方程为：y 216−x 29=1．。
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2012-2013年下学期期中模拟试题（高二数学理科选修2-2部分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、曲线2x y =在(1,1)处的切线方程是（）A 230x y ++=B 032=--y xC 210x y ++= D.012=--y x2、定义运算a b ad bc c d=- ，则符合条件1142i iz z -=+ 的复数z 为（ ）Ａ．3i - Ｂ．13i + Ｃ．3i + Ｄ．13i -3、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（） A ． 假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 4.观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431⨯+=，…，猜想第*()n n ∈N 个等式应为（ ） Ａ．9(1)109n n n ++=+Ｂ．9(1)109n n n -+=- Ｃ．9(1)101n n n +-=-Ｄ．9(1)(1)1010n n n -+-=-5、曲线3πcos 02y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为（ ）Ａ．4Ｂ．2 Ｃ．52Ｄ．36、平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值2a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）Ａ．3aa7、若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h →+--=（）A ．3-B ．12-C ．9-D ．6- 8、复数z=534+i,则z 是（） A ．25 B ．5 C ．1 D ．7考号姓名班级学校线封密9、一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）．令()P n 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记(0)0P =，则下列结论中错误的是（ ）Ａ．(3)3P =Ｂ．(5)1P =Ｃ．(2007)(2006)P P >Ｄ．(2003)(2006)P P < 10、如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数13(,)x x 24(,)x x 46(,)x x 56(,)x x 、设*211111()()123S n n n n n n n=+++++∈+++N ，当2n =时，(2)S =（ ）Ａ．12Ｂ．1123+Ｃ．111234++ Ｄ．11112345+++12、如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为（） (A)(B)(C)(D)13.曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为（）（A ）38（B ）37（C ）35（D ）3414.已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（）（A ）e 1（B ）e 1-（C ）e 2（D ）e2-15.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确16.在复平面内,复数1+i 与31+i 分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,AB =（）22104某个命题与正整数有关，若当)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得()(A)当6=n 时，该命题不成立(B)当6=n 时，该命题成立 (C)当4=n 时，该命题成立(D)当4=n 时，该命题不成立18.若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－)x ＋上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．[0，)B ．[0，)∪[，π)C ．[，π)D ．[0，)∪(，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 19、=---⎰dx x x )2)1(1(10220、设1Z =i 4+i 5+i 6+…+i 12,2Z =i 4·i 5·i 6·…·i 12，则Z 1，2Z 关系为21．已知32()3f x x x a =++（a 为常数），在[33]-，上有最小值3，那么在[33]-，上()f x 的最大值是22．函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax 在区间内单调递减，则a 的取值范围是________． 三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23、（本小题10分）20()(28)(0)xF x t t dt x =+->⎰．（1）求()F x 的单调区间；（2）求函数()F x 在[13]，上的最值．24．（本小题10分）设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．（1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值． 25、（本小题10分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。
房间定价多少时，宾馆利润最大？ 26、（本小题10分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1） 计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2） 猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．答题卷（满分：150分；时间：120分钟） 一、选择题（每题5分，共60分）13、14、 15、 16、三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）13、14-14、1Z =2Z 15、5716、91 17、（本小题10分）已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标原点，OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z ． 解：设i()z x y x y =+∈R ，．由OA BC ∥，OC AB =，得OA BC k k =，C B A z z z =-，即2612y x -⎧=⎪+=， OA BC ≠，3x ∴=-，4y =舍去． 5z ∴=-．18、（本小题12分）20()(28)(0)xF x t t dt x =+->⎰．（1）求()F x 的单调区间；（2）求函数()F x 在[13]，上的最值．解：依题意得，232320011()(28)8833xx F x t t dt t t t x x x ⎛⎫=+-=+-=+- ⎪⎝⎭⎰，定义域是(0)+∞，．（1）2()28F x x x '=+-, 令()0F x '>，得2x >或4x <-， 令()0F x '<，得42x -<<， 由于定义域是(0)+∞，，∴函数的单调增区间是(2)+∞，，单调递减区间是(02)，．（2）令()0F x '=，得2(4)x x ==-舍， 由于20(1)3F =-，28(2)3F =-，(3)6F =-， ()F x ∴在[13]，上的最大值是(3)6F =-，最小值是28(2)3F =-． 19．（本小题12分）设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．（1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 则()2f x ax b '=+．由已知()22f x x '=+，得1a =，2b =．2()2f x x x c ∴=++．又方程220x x c ++=有两个相等的实数根，440c ∴∆=-=，即1c =． 故2()21f x x x =++；（2）依题意，得0221(21)(21)ttx x dx x x dx ---++=++⎰⎰，3232011133ttx x x x x x ---⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得3226610t t t -+-=，即32(1)10t -+=，1t ∴= 20、（本小题12分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。
房间定价多少时，宾馆利润最大？ 解：设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润)(x L =)20)(1018050(---x x =.680180,1360701012<<-+-x x x 令,07051)('=+-=x x L 解得350=x .当)350,180(∈x 时，,0)('>x L 当)680,180(∈x 时0)('<x L因此,350=x 时是函数)(x L 的极大值点,也是最大值点.所以,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大 21、（本小题满分12分） 证明：要证b a ab b a +≥+，只需证)(b a ab b b a a +≥+ 即证)())((b a ab b a ab b a +≥+-+ 即证ab ab b a ≥-+即证ab b a 2≥+，即0)(2≥-b a 该式显然成立，所以b a ab b a +≥+22、（本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解：（1）依题设可得111212a ==⨯，211623a ==⨯，3111234a ==⨯，4112045a ==⨯；（2）猜想：1(1)n a n n =+．证明：①当1n =时，猜想显然成立． ②假设*()n k k =∈N 时，猜想成立， 即1(1)k a k k =+．那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+， 即111(1)k k k S a k a +++=-+． 又11k k kS ka k =-=+， 所以111(1)1k k ka k a k +++=-++， 从而111(1)(2)(1)[(1)1]k a k k k k +==+++++．即1n k =+时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．。