13 度量空间的可分性与完备性

，
现证 ． ，由 知， ，当 时，有
，
取 ，当 时，对于 ，都有 ，因此
即 ，从而知 在 中稠密．□
例1.3.2连续函数空间 是可分的．{具有有理系数的多项式的全体 在 中稠密，而 是可列集．}
证明显然 是可列集． ，由Weierstrass多项式逼近定理知， 可表示成一致收敛的多项式的极限，即 ，存在(实系数)多项式 ，使得
(4)任取 ，有 ．即由以 中每一点为中心 为半径的开球组成的集合覆盖 ．
证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．
定理1.3.2稠密集的传递性设 是度量空间， ，若 在 中稠密， 在 中稠密，则 在 中稠密．
证明由定理1.1知 ， ，而 是包含 的最小闭集，所以 ，于是有 ，即 在 中稠密．□
注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass多项式逼近定理)闭区间 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}
，
即 有界．
(3)设 为一基本列，且 是 的收敛子列， 于是， ，当 时， ； ，当 时， ．取 ，则当 ， 时， ，从而有
，
故 ．□
注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy列)，那么基本列是收敛列吗？
例1.3.7设 ， ，定义 ，那么度量空间 的点列 是 的基本列，却不是 的收敛列．
矛盾，因此 不可分．□
1.
实数空间 中任何基本列(Cauchy列)必收敛．即基本列和收敛列在 中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间．
定义1.3.3基本列
设 是度量空间 中的一个点列，若对任意 ，存在 ，当 时，有 则称 是 中的一个基本列(或Cauchy列）．
定理1.3.3(基本列的性质)设 是度量空间，则
定义1.3.5等距映射
设 ， 是度量空间，如果存在一一映射 ，使得 ，有 ，则称 是 到 上的等距映射， 与 是等距空间(或等距同构空间)．
注5：从距离的角度看两个等距的度量空间，至多是两个空间里的属性不同，是同一空间的两个不同模型．另外度量空间中的元素没有运算，与 相关的数学命题，通过等距映射 ，使之在 中同样成立．因此把等距同构的 和 可不加区别而看成同一空间．
例1.3.11设 ，定义距离 ，试证 不是完备的空间．
证明取点列 ，其中 ，注意 ，显然不存在一点 ，使得
．
所以点列 在 中没有极限．由于 ，即 ， ，当 时，有 ， ，于是
因此点列 是基本列，却不是收敛列．□
注1： 在 中稠密并不意味着有 ．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．
定理1.3.1设 是度量空间，下列命题等价：
(1) 在 中稠密；
(2) ， ，使得 ；
(3) （其中 ， 为 的闭包， 为 的导集(聚点集)）；
，
图1.3.1 图像及有关积分示意图
于是 是 的基本列．下面证 在 中不收敛．若存在 ，使得
．
由于 ，显然上式右边的三个积分均非负，因此 时，每个积分均趋于零．推得
可见 不连续，故 在 中不收敛，即 在距离 下不完备．□
表1.3.1常用空间的可分性与完备性
度量空间
距离
可分性
完备性
维欧氏空间
√
√
离散度量空间
在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理．
定理1.3.4(闭球套定理)设 是完备的度量空间， 是一套闭球：
．
如果球的半径 ，那么存在唯一的点 ．
证明(1)球心组成的点列 为 的基本列．当 时，有 ( )，可得
．(2.4)
,取 ，当 时，使得 ，于是当 时，有
，
所以 为 的基本列．
证明对于任意的 ，存在 ，使得 ，那么对于 及 ，其中 ，有
，
即得 是基本列．显然 ，故 不是 的收敛列．
或者利用 是 上的基本列，可知 ， ，当 时有 ．于是可知 也是 上的基本列．□
如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间．
(0.101)2= ．
因此 与子集 对等，由 不可数知 不可列．
例1.3.6有界数列空间 是不可分的．
，对于 ， ，距离定义为 ．
证明考虑 中的子集 ，则当 , 时，有 ．因为 中每一个实数可用二进制表示，所以 与 一一对应，故 不可列．
假设 可分，即存在一个可列稠密子集 ，以 中每一点为心，以 为半径作开球，所有这样的开球覆盖 ，也覆盖 ．因 可列，而 不可列，则必有某开球内含有 的不同的点，设 与 是这样的点，此开球中心为 ，于是
另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式 ，使得
因此， ，即 ，在 中任意点 的任意邻域内必有 中的点，按照定义知 在 中稠密．□
例1.3.3 次幂可积函数空间 是可分的．
证明由于 在 中稠密，又知 在 中稠密，便可知可数集 在 中稠密．□
例1.3.4 次幂可和的数列空间 是可分的．
证明取 ，显然 等价于 ，可知 可数，下面证 在 中稠密．
定义1.3.6完备化空间
设 是一度量空间， 是一完备的度量空间，如果 中含有与 等距同构且在 中稠密的子集 ，则称 是 的一个完备化空间．
图1.3.2度量空间 的完备化示意图
定理1.3.5(完备化空间的存在与唯一性)
对于每一个度量空间 ，必存在一个完备化的度量空间 ，并且在等距同构意义下 是唯一确定的．
(1)多项式函数集 在连续函数空间 中稠密．
参考其它资料可知：
(2)连续函数空间 在有界可测函数集 中稠密．
(3)有界可测函数集 在 次幂可积函数空间 中稠密( )．
利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：
(4)连续函数空间 在 次幂可积函数空间 中稠密( )．
因此有 ．
定义1.3.2设 是度量空间， ，如果存在点列 ，且 在 中稠密，则称 是可分点集(或称可析点集)．当 本身是可分点集时，称 是可分的度量空间．
(2) 的存在性．由于 是完备的度量空间，所以存在点 ，使得 ．令(2.4)式中的 ，可得
即知 ， ，因此 ．
(3) 的唯一性．设还存在 ，满足 ，那么对于任意的 ，有 ，从而 ，于是 ．□
注4：完备度量空间的另一种刻画：
设 是一度量空间，那么 是完备的当且仅当对于 中的任何一套闭球： ，其中 ，当半径 ，必存在唯一的点 ．
注3： 是可分的度量空间是指在 中存在一个稠密的可列子集．
例1.3.1欧氏空间 是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成 的一个可列稠密子集．}
证明设 为 中的有理数点集，显然 是可数集，下证 在 中稠密．
对于 中任意一点 ，寻找 中的点列 ，其中 ，使得 ．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数 ( )，存在有理数列 .于是得到 中的点列 ，其中
，有 ，因此 ， ，当 时，
又因 在 中稠密，对每个 ( )，存在 ，使得
，
于是得
令 ，则
因此 在 中稠密．□
例1.3.5设 ，则离散度量空间 是不可分的．
证明假设 是可分的，则必有可列子集 在 中稠密．又知 不是可列集，所以存在 ， ．取 ，则有
即 中不含 中的点，与 在 中稠密相矛盾．□
思考题:离散度量空间 可分的充要条件为 是可列集．
定义1.3.4完备性
如果度量空间 中的任何基本列都在 中收敛，则称 是完备的度量空间．
例1.3.8 维欧氏空间 是完备的度量空间．
证明由 中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及 的完备性易得．□
例1.3.9连续函数空间 是完备的度量空间．
(距离的定义： )
证明设 是 中的基本列，即任给 ,存在 ，当 时， 即
1.3
在实数空间 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间 的可分性．同时，实数空间 还具有完备性，即 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．
1.
定义1.3.1设 是度量空间， ，如果 中任意点 的任何邻域 内都含有 的点，则称 在 中稠密．若 ，通常称 是 的稠密子集．
注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如
(0.625)10=(0.101)20.625 2=1.25取1；0.25 2=0.50取0；0.5 2=1.00取1．
二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推．即 ，例如
从上面的例子及证明可知， 维欧氏空间 是完备的度量空间，但是按照欧氏距离 却不是完备的；连续函数空间 是完备的度量空间，但是在积分定义的距离 下， 却不完备．由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的．我们还可以证明 次幂可和的数列空间 是完备的度量空间， 次幂可积函数空间 是完备的度量空间，有界数列空间的完备性．通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示．
(1)如果点列 收敛，则 是基本列；
(2)如果点列 是基本列，则 有界；
(3)若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点．
证明(1)设 ， ，且 ．则 ， ，当 时， ，从而 ， 时，
．
即得 是基本列．
(2)设 为一基本列，则对 ，存在 ，当 时，有 ，记 ，那么对任意的 ，均有
可数
√
√
不可数
×
√
连续函数空间
√
√
√
×
有界数列空间
×
√
次幂可和的数列空间
√