第七章度量空间解析

（6）C[a, b] 空间 令 C[a, b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体， 对 C[a, b]中任意两点 x, y ，定义
d ( x, y ) max | x(t ) y (t ) |
a t b
（6） l p 空间
l p {x {xk }| xkp }
d ( x y,0) d ( x, y) 度量和线性结构之间的协调性： d ( x,0) | | d ( x,0)
2°范数 || x || 是 x 的连续函数。 4、巴拿赫空间及常用例子
完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。
( m) ( m) xm (1( m) , 2 ,..., n ), m 1, 2,...,
n R 为 中的点列，
x (1 , 2 ,..., n ) Rn lim d ( xm , x) 0 i( m ) i , (m ) 1 i n
m
§1 度量空间的进一步例子
度量空间（距离空间）：
把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距
离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有
效步骤。
泛函分析中的度量空间（距离空间）： 泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量 空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空 间。
设 { f n } 及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，
lim d ( f n , f ) 0 f n (t ) f(t)
n
3、有界集
d ( x, y) 设M是度量空间( X , d ) 中点集，定义 (M ) xsup , yM
为点集M的直径，若 (M ) ，则称M为( X , d ) 中的有界集。 常用结论：度量空间中的收敛点列是有界点集。
l p 表示有界实（或复）数列全体，对 l p 中任意两点
x (1 , 2 ,...) y (1 ,2 ,...) 定义
d ( x, y ) sup | i i |
i
则 l p 按 d ( x, y ) 成为度量空间。
§3 连续映射
回忆函数的连续性？ 1、度量空间中的连续性 设 X ( X , d )， Y (Y , d ) 是两个度量空间，T是X到Y中的映射,
3、压缩映射定理
设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且
只有一个不动点。
完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。
注： 定理中的度量空间的完备条件不能去掉。
完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性，
并不依赖于X的完备性。
压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列 xn x0 (n )

称 (S , d ) 为序列空间。
（4）有界函数空间B(A） 设A是一个给定的集合，令B(A)表示A上有界实值（或复值） 函数全体，对B(A)中任意两点 x, y ，定义
d ( x, y) sup | x(t ) y(t ) |
tA
（5）可测函数空间M 设M
(X )
( X ) 为X上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m
为勒贝格测度，若 m( X ) ，对任意两个可测函数 f (t ) 及 g (t )
由于
| f (t ) g (t ) | 1 ，所以这是X上的可积函数。令 1 | f (t ) g (t ) |
d ( f , g) | f (t ) g (t ) | dt X 1 | f (t ) g (t ) |
等距同构，此时 T 称为 X 到 X 上的等距同构映射。
§6 压缩映射原理及其应用
1、压缩映射 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数 ，
0 1，使得对所有的 x, y X ，成立 d (Tx, Ty) d ( x, y)
则称T是压缩映射。 几何意义：压缩映射就是使映射后距离缩短 倍的映射。 2、不动点 设X为一个集合，T是X到X的一个映射，如果 x* X ，使 得 Tx* x* ，则称 x*为映射T的不动点。
是X中的闭子空间。
例题 1： l p (1 p ) 及 l 是完备度量空间 例题 2：n维欧几里的空间是完备度量空间 例题 3：C[a, b] 是完备度量空间
等距同构映射 设 ( X , d ), ( X , d ), 是两个度量空间，如果存在 X 到 X 的 保距映射 T ，即d (Tx, Ty) d ( x, ，则称 ( X , d ), 和 ( X , d ), y)
泛函分析部分
第七章 度量空间和赋范线性空间
第八章 有界线性算子和连续线性泛函
第七章 度量空间和赋范线性空间
§1 度量空间的进一步例子 §2 度量空间中的极限、稠密集、可分空间 §3 连续映射
§4 柯西点列和完备度量空间
§6 压缩映射原理及其应用 §8 赋范线性空间和巴拿赫空间
引言：
泛函分析：是20世纪发展起来的一门新的学科，德国数 学家希尔伯特，波兰数学家巴拿赫，匈牙利—美国数学家冯. 诺依曼，为此做出了主要贡献。 泛函分析研究内容：是函数与数之间的对应关系； 例如：定积分就是一个泛函。 算子：函数空间和函数空间的对应关系。 例如：微分就是一个算子。
（3）C[a, b] 空间 设 {xn } 及
n
d ( xn , x) max | xn (t ) x(t ) | x 分别为C[a, b] 中的点列及点， a t b
lim d ( xn , x) 0 {xn }在[a, b]上一致收敛于 x
（4）可测函数空间 M
(X )
U P 0 , P | d P, P 0
P 0 称为邻域的中心， 称为邻域的半径。 称为点P0 的 邻域，
2、常见的度量空间 （1）n维欧式度量空间 （2）离散的度量空间 设 X 是任意的非空集合，对 X 中的任意两点 x, y X ，令
1, if x y d ( x, y) 0, if x y
连续的充要条件为当 xn x0 (n ) 时，必有 Txn Tx0 (n )
2、连续映射 如果映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射。 称集合 {x | x X , Tx M Y }为集合M在映射T下的原像。 定理： 度量空间X到Y的映射T是X上的连续映射的充要条件
n
则称点列{xn } 是 ( X , d ) 中的收敛点列， x 是点列 {xn } 的极限。 收敛点列性质： （1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收 敛点列的极限是唯一的。
（2）M是闭集的充要条件是M中任何收敛点列的极限都在M中。 2、收敛点列在具体空间中的意义
（1）n 维欧式空间中：
称( X , d ) 为离散的度量空间。 （3）序列空间S 令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中的任意两点
x (1 , 2 ,..., n ,...), y (1,2 ,...,n ,...), 令
1 | i i | d ( x, y) i i 1 2 1 | i i |
4、稠密集，可分空间 （1）设X是度量空间，E和M是X中的两个子集，令 M 表示M 的闭包，如果 E M ，那么称集M在集E中稠密。 等价定义：
如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M中的点，就称
M在E中稠密。 对任一 x E ，有M中的点列{xn }，使得 xn x(n ) （2）当E=X时，称集M为X的一个稠密子集。 （3）如果X有一个可数的稠密子集时，称X为可分空间。
x0 X ,如果对于任意给定 0，存在 0，使对X中一切满足
d ( x, x0 ) 的 x，成立 d (Tx, Tx0 )
则称T在 x0 连续。
语言描述：T 在x0连续 U (Tx0 , )必有V ( x0 , )，使TV U
连续性的极限定义 设T是度量空间( X , d ) 到 (Y , d ) 中的映射，那么T在 x0 X ,
在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一 般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛 点列一定是柯西点列。
2、完备的度量空间 如果度量空间 ( X , d ) 中每一个柯西点列都在 ( X , d ) 中收敛，
则称 ( X , d ) 是完备的度量空间。
子空间完备性定理 完备度量空间X）多项式全体所成的线性空间P是度量空间C[a, b]
的子集，则P在C[a, b] 中是稠密的。其中，以有理数为系数
的多项式全体是一个可数集，所以 C[a, b] 是可分空间。
（2）n
维欧式空间R n 是可分空间，因为坐标为有理数的全
体是一个可数集，是 R n 中的稠密子集。
(3)l p 为可分空间。 (4)l 为不可分空间。
3° x y x y , x, y X
则称 x 为向量 x 的范数，称X按范数成为赋范线性空间。

类似于普通向量的长度
2、关于极限的定义（依范数收敛） 设 {xn }是X中一点列，如果存在 x X ，使 || xn x || 0(n ) 则称{xn }依范数收敛于 x ，记为 xn x(n ) 或 lim xn x
为Y中任意开集M的原像 T 1M 是X中的开集。
§4 柯西点列和完备度量空间
1、柯西点列 设 X ( X , d )是度量空间， {xn }是X中点列，如果对任何事先给 定的 0 ，存在正整数 N N ( ) ，使当 n, m N 时，必有
d ( xn , xm ) 则称{xn }是X中的柯西点列或基本点列。
{xm } 按欧式距离收敛于 x 的充要条件是 xm 依坐标收敛于 x 即：
（2）序列空间S中：
( m) ( m) xm (1(m) , 2 ,..., n ,...), m 1, 2,..., 为 S 中的点列，