大学数学实验报告----怎样计算∏
圆周率的实验报告
圆周率的实验报告圆周率的实验报告引言：圆周率（π）是数学中一个重要的常数，它表示圆的周长与直径的比值。
圆周率的数值约等于3.14159，是一个无限不循环的小数。
在本次实验中，我们将通过不同的方法来计算圆周率，并探讨其性质和应用。
实验一：测量圆的周长和直径首先，我们需要测量一个圆的周长和直径，以便计算圆周率。
选择一个圆形物体，如一个硬币或者一个圆盘，使用一个软尺或者卷尺测量其周长和直径。
将测量结果记录下来，并计算周长与直径的比值。
实验二：使用几何方法计算圆周率在几何学中，我们可以通过正多边形的外接圆和内接圆来近似计算圆周率。
选择一个正多边形，如正六边形或正十二边形，测量其边长和内切圆的半径。
然后，计算正多边形的周长与内切圆的周长的比值。
随着正多边形的边数增加，这个比值会越来越接近圆周率。
实验三：使用概率方法计算圆周率概率方法是一种基于随机事件的方法来计算圆周率。
我们可以在一个正方形内随机撒点，并计算落在正方形内的点中，落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会接近于圆的面积与正方形的面积之比，即π/4。
通过将这个比例乘以4，我们可以得到一个近似的圆周率值。
实验四：使用级数方法计算圆周率在数学中，圆周率可以通过级数来计算。
其中一个著名的级数是莱布尼茨级数：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...通过不断计算级数的和，我们可以逼近圆周率的数值。
在实验中，我们可以计算不同级数的和，并观察其逼近圆周率的速度。
实验五：使用计算机模拟计算圆周率计算机的出现为计算圆周率提供了更加精确和高效的方法。
我们可以使用计算机编写程序，通过数值方法来计算圆周率。
例如，可以使用蒙特卡洛方法，在一个正方形内随机生成大量点，并计算落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会逼近圆周率的数值。
结论：通过以上实验，我们可以发现不同方法计算的圆周率值会有一定的误差，但随着方法的改进和精确度的提高，这个误差可以被不断减小。
计算pi
一、实验目的探索精确计算π值的方法，并且比较不同方法之间的不同之处和优缺点。
掌握数值积分的辛普森公式。
二、问题描述1. 任务11) 用反正切函数的幂级数展开式结合有关公式求π，若要精确到40位、50位数字，试比较简单公式和Machin 公式所用的项数。
2) 验证公式111=arctan arctan arctan 4258π++ 试试此公式右端做幂级数展开完成任务1所需要的步数。
2. 任务2用数值积分计算π，分别用梯形法和Simpson 法精确到10位数字，用Simpson 法精确到15位数字。
3. 任务3用Monte Carlo 法计算π，除了加大随机数，在随机数一定时可重复算若干次后求平均值，看能否求得5位精确数字？设计方案用计算机模拟Buffon 实验4. 任务4利用积分20(1)!!sin !!2n n xdx n ππ-=⎰ ，n 为奇数 推导公式224422213352121n n n n π=-+ ……… 用此公式计算π的近似值，效果如何？5. 任务5利用学过的知识（或查阅资料），提出其他计算π的方法（先用你学过的知识证明），然后实践这种方法。
对你在实验中应用的计算π的方法进行比较分析。
6. 任务6e 是一个重要的超越数1e lim 1)n n n→∞=+（ 1111...2!!(1)!e e n n θ=++++++ 试用上述公式或其他方法近似计算e 。
三、问题解法1. 任务11) 根据幂级数展开的相关知识，易知：24122211(1)1n n x x x x--=-+-+-++……… 因为21(arctan )'1x x =+，故可以求得arctan x 的幂级数展开式为： 35211arctan (1)3521n n x x x x x n --=-+-+-+-……… 当x=1时，-11111--(-1)4352-1n n π=+⋯⋯++⋯ 当叠加了十万次以后得到结果π=3.141582654…只有五位有效数字，可见其精度与效率极低。
连乘符号∏的运算法则
连乘符号∏的运算法则
连乘符号∏的运算法则：
连乘符号是“∏”，代表“求乘积”。
用法：上下添加的为求乘积的初始值和终止值，例如：符号下面可写“i=1”，上面写“n”，就代表后面的求积式子中的i从1开始一直加到n。
即（1+D1/P1)(1+D2/P2)……（1+Dn/Pn)。
∏是希腊字母，即π的大写形式，在数学中表示求积运算或直积运算，形式上类似于Σ。
∏，这个符号就是连续求积的意思，把满足∏这个符号下面条件的所有项,都乘起来，求积；
∏是各项连乘的运算符号, 读大写的π（pai）。
∏i=1（符号下面）n（符号上面）ai(符号右面)表示a1×a2....×an。
符号下面表示右面式子可变参量的下限（或初值）。
符号上面表示右面式子可变参量的上限（或终值）。
实验二 怎样计算Pi
数学实验实验报告学院：数学与统计学院班级：数学与应用数学3班学号：0314姓名：康萍时间：实验二怎样计算一、实验目的分别用下列三种方法计算π的近似值，并比较三种方法的精确度： 数值积分法：通过使用编写梯形公式和辛普森公式的程序语言计算π。
泰勒级数法：利用反正切函数泰勒级数计算π。
蒙特卡罗（Monte Carlo ）法：通过使用编写蒙特卡罗公式的程序语言来计算π。
二、实验环境基于Windows 环境下的软件。
三、实验的基本理论和方法1、数值积分法以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G 是一个扇形，由曲线])1,0[(12∈-=x x y 及两条坐标轴围成，它的面积4π=S 。
算出了S 的近似值，它的4倍就是π的近似值。
而扇形面积S 实际上就是定积分4112π=-⎰dx x 。
与π有关的定积分有很多，比如211x +的定积分411102π=+⎰dx x 就比21x -的定积分更容易计算，更适合于用来计算π。
一般地，要计算定积分()dx x f ba ⎰，也就是计算曲线()x f y =与直线b x a x y ===,,0所围成的曲边梯形G 的面积S 。
为此，用一组平行于y 轴的直线()b x x x x x a n i x x n n i =<<<<<=-≤≤=-1210,11 将曲边梯形T 分成n 个小曲边梯形，总面积S 分成这些小曲边梯形的面积之和。
如果取n 很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界()()i i x x x x f ≤≤-1近似的看作直线段，将每个小曲边梯形近似的看作梯形来求面积，就得到梯形公式。
如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似的看作抛物线段，就得到辛普森公式。
具体公式如下：梯形公式 设分点11,,-n x x 将积分区间],[b a 分成n 等份，即()n i n a b i a x i ≤≤-+=0,/。
Pi值的计算(mathematica数学实验报告)
arctan x x x3 x5 (1)k1 x 2k1
35
2k 1
来计算 。 从反正切函数的泰勒级数，进行如下编程来计算 ，实验运行如下：
从实验过程可以看出，这种方法花费的时间很长。原因是当 x=1 时得到的 arctan1的
展开式收敛太慢。要使泰勒级数收敛得快，容易想到，应当使 x 的绝对值小于 1，最好
实验基本理论和方法：
1、Mathematica中常用绘图函数Plot在绘制高次函数时的方法；
2、计算圆周率 的数值积分法、泰勒级数法、蒙特卡罗法，并且利用特定的公式来
计算圆周率 。
实验内容和步骤：
（1）数值积分法计算
半径为 1 的圆称为单位圆，它的面积等于 。只要计算出单位圆的面积，就算出了 。 在坐标轴上画出以圆点为圆心，以 1 为半径的单位圆（如下图），则这个单位圆在第一 象限的部分是一个扇形，而且面积是单位圆的 1/4，于是，我们只要算出此扇形的面积， 便可以计算出 。
0
4
利用 Mathematics 编程计算上式，过程如下：
从而得到 的近似值为 3.14159265358979323846264338328，可以看出，用这种方法 计算所得到的 值是相当精确的。n 越大，计算出来的扇形面积的近似值就越接近 的 准确值。
（2）泰勒级数法计算 利用反正切函数的泰勒级数
只要计算出单位圆的面积就算出了为半径的单位圆如下图则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形而且面积是单位圆的14于是我们只要算出此扇形的面积便可以计算出在计算扇形面积时很容易想到使用数学分析中积分的方法第一象限中的扇形由曲线及两条坐标轴围成实际操作中我们不能准确地计算它的面积于是就通过分割的方法将其划分为许多小的梯形通过利用梯形的面积近似于扇形面积来计算利用mathematics编程计算上式过程如下
用蒙特卡罗方法计算π值实验报告
本科生实验报告实验课程蒙特卡罗模拟学院名称核技术与自动化工程学院专业名称核技术及应用学生姓名王明学生学号**********指导教师邮箱****************实验成绩二〇一七年九月二〇一八年一月实验一、选择一种编程语言模拟出π的值一、实验目的1、理解并掌握蒙特卡罗模拟的基本原理；2、运用蒙特卡洛思想解决实际问题；3、分析总结蒙特卡洛解决问题的优缺点。
二、实验原理用蒙特卡洛思想计算π的值分为如下几部：第一步构建几何原理：构建单位圆外切正方形的几何图形。
单位圆的面积为S0=π，正方形的面积S1=4；第二步产生随机数进行打把：这里用MATLAB产生均匀随机数。
分别生产均匀随机数(x,y)二维坐标。
X,y的范围为-1到1.总共生成N个坐标(x,y).统计随机生成的坐标(x,y)在单位圆内的个数M。
第三步打把结构处理：根据S0/S1=M/N计算出π的值。
因此π=4*M/N。
第四步改变N的值分析π的收敛性：总数1000开始打把，依次增长10倍到1百万个计数。
三、实验内容1、用matlab编写的实验代码，总计数率为1000。
zfx_x=[1,-1,-1,1,1];zfx_y=[1,1,-1,-1,1];plot(zfx_x,zfx_y)axis([-3 3 -3 3]);hold on;r=1; theta=0:pi/100:2*pi;x=r*cos(theta); y=r*sin(theta);rho=r*sin(theta);figure(1)plot(x,y,'-')N=1000;mcnp_x=zeros(1,N);mcnp_y=zeros(1,N);M=0;for i=1:Nx=2*(rand(1,1)-0.5);y=2*(rand(1,1)-0.5);if((x^2+y^2)<1)M=M+1;mcnp_x(i)=x;mcnp_y(i)=y;endendplot(mcnp_x,mcnp_y,'.')PI1=4*M/N;2、用matlab绘制的图形四、实验结果1.当模拟总计数为1000时，某次计算结果： PI=3.128。
怎样计算Pi
学 实 验
（2） ） （3） ）
使用上面的两个公式（ ）或者（ ）， ），并应用级展 使用上面的两个公式（2）或者（3），并应用级展 ），则可得计算速度更快的公式 式（1），则可得计算速度更快的公式，例如： ），则可得计算速度更快的公式，例如：
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哈 工 程 大 学 数 学 实
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一、祖冲之的计算方法
哈 工 程 大 学 数 学 实 验
据史料记载，某年祖冲之家新建了一所房屋，他将最大的 据史料记载，某年祖冲之家新建了一所房屋， 一个房间铺成地板，选择房间的中心点作为圆心， 一个房间铺成地板，选择房间的中心点作为圆心，根据房间的 大小，画出一个最大的圆，首先在圆周上作出一个三角形， 大小，画出一个最大的圆，首先在圆周上作出一个三角形，将 圆周三等分，然后将每段弧两等分，即将圆周六等分， 圆周三等分，然后将每段弧两等分，即将圆周六等分，依此进 行下去，一直进行到不能够分下去为止。 行下去，一直进行到不能够分下去为止。 则第N次 则第 次，圆周被分 等分， 成3N等分，用3N等分后 等分 等分后 正3N边形的边长来近似 边形的边长来近似 计算3N等分后的每段弧 计算 等分后的每段弧 长，祖冲之就是用这种 方法， 方法，将圆周率的精确 度计算到3.15926与 度计算到 与 3.15927之间， 之间， 之间
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二、数值积分方法
哈 工 程 大 学 数 学 实 验
4 ∫0 1 + x 2 dx = π
1
因此，只要计算出来上面的积分近似值，就得到了 的 因此，只要计算出来上面的积分近似值，就得到了π的 近似值。 近似值。
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哈 工 程 大 学 数 学 实 验 电 子 教 案
pi的计算 实验报告
Ramanujan公式1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。
这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。
1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法Gauss-Legendre公式：初值：重复计算：最后计算：这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。
1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。
4、Borwein四次迭代式：初值：重复计算：最后计算：这个公式由Jonathan Borwein 和Peter Borwein 于1985年发表，它四次收敛于圆周率。
5、Bailey-Borwein-Plouffe 算法014211()1681848586n n n n n n π∞==---++++∑这个公式简称BBP 公式，由David Bailey, Peter Borwein 和Simon Plouffe 于1995年共同发表。
它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n 位，而不用计算前面的n-1位。
这为圆周率的分布式计算提供了可行性。
1997年，Fabrice Bellard 找到了一个比BBP 快40％的公式：第三部分：对于π的几种计算的研究和讨论： 1、数值积分法（I ）利用积分公式⎰-=10214dx x π计算πn=10 ans =; n=20 ans =; n=50 ans =; n=100 ans =; n=200 ans =; n=500 ans =; n=1000 ans =; n=2000 ans =;半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于π。
只要计算出单位圆的面积，就算出了π。
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3、蒙特卡罗法可以近似的计算出π的值，但是精度很低，随着n的增大精度有所提高，但是仍比数值积分法与泰勒级数法计算出的π的值精度低；
以上三种方法中将n的值取得更大，算出的积分的值将更加接近π的值。
取n=1000,10000,用梯形公式和辛普森公式计算 和 的近似值（取二十位有效数字）。将所得的结果与 的准确值相比较。
（1）在计算机程序中打开Mathematica4.0系统；
（2）点ft和Enter键运行。
（4）点击鼠标进入工作区后，输入以下语句：
实
验
过
程
及
结
果
1、数值积分法
n=1000
n=10000
n=1000
n=10000
2、泰勒级数法
练习1、
练习2、
3、蒙特卡罗法
n=1000
n=10000
n=50000
实验结果分析
1、数值积分法中s1使用梯形公式计算出的积分的近似值，s2使用辛普森公式计算出的积分的近似值，计算出的积分值与π的值十分接近；
（5）同时按Shift和Enter键运行。
（6）n=10000时，只需将上面两个程序中的第一行“n=1000”改为“n=10000”.即可。
2、泰勒积分法计算Π
练习1、将x=1代入反正切函数的泰勒级数得到 ，在此级数中取n=20000计算 的近似值。观察所得的结果和所花的时间。
(1)在计算机程序中打开Mathematica4.0系统；
数学实验报告
实验一怎样计算∏
学院：数学与信息科学学院
班级：09级数学（4）班
姓名：***
学号：***
实验二：怎样计算∏
实验名称
利用计算机来计算圆周率∏的近似值。
实验目的
学习使用在Mathematica4.0中用数值积分法、泰勒级数法以及蒙特卡罗法计算Π的值,并观察用不同方法计算出来的Π有何差异。
实验环境
(2)点击鼠标进入工作区后，输入以下语句：
（3）同时按Shift和Enter键运行。
练习2、利用arctanx的泰勒展开示及公式 ， 计算 的近似值，精确到前150位有效数字，并将计算得到的结果与 的精确值得前150位有效数字相比较。
(1)在计算机程序中打开Mathematica4.0系统；
(2)点击鼠标进入工作区后，输入以下语句：
Mathematica4.0系统。
实
验
理
论
1、数值积分法是用求出单位圆的面积来求得Π的值；
2、泰勒级数法是利用反正切函数的泰勒级数 计算Π的值；
3、蒙特卡罗法是用随机数落在单位圆的1/4来计算Π的值。
实
验
内
容
及
步
骤
一、内容：
1、数值积分法计算Π
2、泰勒积分法计算Π
3、蒙特卡罗法计算Π
二、步骤：
1、数值积分法计算Π
（3）同时按Shift和Enter键运行。
3、蒙特卡罗法计算Π
取n=1000，10000，50000，用蒙特卡罗法计算 的近似值。
(1)在计算机程序中打开Mathematica4.0系统；
(2)点击鼠标进入工作区后，输入以下语句：
（3）同时按Shift和Enter键运行。
（4）n=10000，50000时，只需将上面程序中的第一行“n=1000”改为“n=10000”“n=50000”.即可。