【北师大版】九年级数学上册：第1章达标检测卷(含答案)
第一章达标检测卷(120分，90分钟) 题 号一 二 三 总 分 得 分一.选择题(每题3分，共30分)1.如图，已知菱形ABCD 边长为3，∠ABC ＝60°，则对角线AC 长是( ) A .12 B .9 C .6 D .3 (第1题) (第4题)(第6题)2.下列命题为真命题是( ) A .四个角相等四边形是矩形 B .对角线垂直四边形是菱形C .对角线相等四边形是矩形D .四边相等四边形是正方形3.若顺次连接四边形ABCD 四边中点，得到图形是一个矩形，则四边形ABCD 一定是( )A .矩形B .菱形C .对角线相等四边形D .对角线互相垂直四边形4.如图，EF 过矩形ABCD 对角线交点O ，且分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分面积是矩形ABCD 面积( )A .15B .14C .13D .3105.已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中错误有( )①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC ＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，已知正方形ABCD对角线长为22，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分周长为( )A.8 2B.4 2C.8D.67.如图，每个小正方形边长为1，A，B，C是正方形顶点，则∠ABC 度数为( )A.90°B.60°C.45°D.30°8.如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN 与AC交于点O，连接OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC度数为( )A.28°B.52°C.62°D.72°(第7题) (第8题)(第9题) (第10题)9.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误是( )A.AF＝AEB.△ABE≌△AGFC.EF＝2 5D.AF＝EF10.如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(点P不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝BD；③PE2＋PF2＝PO2.其中正确有( )A.0个B.1个C.2个D.3个二.填空题(每题3分，共24分)11.如图是一个平行四边形活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当∠α度数为________时，两条对角线长度相等.12.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线交点，过O点三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形两条对角线长分别为6和8时，则阴影部分面积为________.(第11题) (第12题)(第13题)13.如图是根据四边形不稳定性制作边长为15 cm可活动衣架，若墙上钉子间距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝________.14.已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC 垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________.15.如图，矩形OBCD顶点C坐标为(1，3)，则对角线BD长等于________.(第15题)(第16题)(第17题)(第18题)16.如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝________.17.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC中点，E，F分别是线段BM，CM中点.若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM周长为________.18.如图，在边长为1菱形 ABCD中，∠DAB＝60°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE＝60°，…，按此规律所作第n个菱形边长是________.三.解答题(19，20题每题9分，21题 10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC垂直平分线交AD，BC于点E，F.求证：四边形AECF是菱形.(第19题)20.如图，O为矩形ABCD对角线交点，DE∥AC，CE∥BD.(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED面积.(第20题)21.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)若∠FDC＝30°，求∠BEF度数.(第21题)22.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上F 点处，DF交BC于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE；(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE长.(第22题)23.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点一个60°角∠EAF绕点A旋转，∠EAF两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF.(1)求证：BE＝CF.(2)在∠EAF绕点A旋转过程中，四边形 AECF面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由.(第23题)24.如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB平分线于点E，交△ABC外角∠ACD平分线于点F.(1)探究线段OE与OF数量关系并说明理由.(2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由.(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是菱形(填“可能”或“不可能”).请说明理由.(第24题)答案一.1.D 2.A3.D点拨：首先根据三角形中位线定理知：所得四边形对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形对角线必互相垂直，由此得解.4.B5.A 点拨：①当AB＝BC时，它是菱形，正确；②当AC⊥BD时，它是菱形，正确；③当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确；④当AC＝BD 时，它是矩形，因此④是错误.6.C7.C8.C9.D点拨：如图，由折叠得∠1＝∠2.∵AD∥BC，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴AE＝AF.故选项A正确.由折叠得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.∵AB＝CD，∴AB＝AG.∵AE＝AF，∠B＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL).故选项B正确.设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x.又AG＝AB＝4，∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)2＝42＋x2.解得x＝3.∴AF＝8－x＝5.则AE＝AF＝5，∴BE＝AE2－AB2＝52－42＝3.过点F作FM⊥BC于点M，则EM＝5－3＝2.在Rt △EFM 中，根据勾股定理得EF ＝EM 2＋FM 2＝22＋42＝20＝25，则选项C 正确.∵AF ＝5，EF ＝25，∴AF ≠EF.故选项D 错误.(第9题)10.D 点拨：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠PAE ＝∠MAE ＝45°. ∵PM ⊥AC ，∴∠PEA ＝∠MEA .又∵AE ＝AE ，∴根据“ASA”可得△APE ≌△AME .故①正确.由①得PE ＝ME ，∴PM ＝2PE .同理PN ＝2PF .又易知PF ＝BF ，四边形PEOF 是矩形，∴PN ＝2BF ，PM ＝2FO .∴PM ＋PN ＝2FO ＋2BF ＝2BO ＝BD .故②正确.在Rt △PFO 中，∵FO 2＋PF 2＝PO 2，而PE ＝FO ，∴PE 2＋PF 2＝PO 2.故③正确.二.11.90° 点拨：对角线相等平行四边形是矩形.12.12 点拨：∵菱形两条对角线长分别为6和8，∴菱形面积＝12×6×8＝24.∵O 是菱形两条对角线交点，∴阴影部分面积＝12×24＝12. 13.120°(第14题)14.22.5° 点拨：如图，由四边形ABCD 是正方形，可知∠CAD ＝12∠BAD ＝45°.由FE ⊥AC ，可知∠AEF ＝90°.在Rt △AEF 与Rt △ADF 中， AE ＝AD ，AF ＝AF ，∴Rt △AEF ≌Rt △ADF(HL ).∴∠FAD ＝∠FAE ＝12∠CAD ＝12×45°＝22.5°. 15.10 16.2－117.20 点拨：点N 是BC 中点，点E ，F 分别是BM ，CM 中点，由三角形中位线定理可证EN ∥MC ，NF ∥ME ，EN ＝12MC ，FN ＝12MB.又易知MB ＝MC ，所以四边形ENFM 是菱形.由点M 是AD 中点，AD ＝12得AM ＝6.在Rt △ABM 中，由勾股定理得BM ＝10.因为点E 是BM 中点，所以EM ＝5.所以四边形ENFM 周长为20.18.(3)n －1三.19.证明：∵EF 垂直平分AC ，∴∠AOE ＝∠COF ＝90°，OA ＝OC.∵AD ∥BC ，∴∠OAE ＝∠OCF.∴△AOE ≌△COF(ASA ).∴AE ＝CF.又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形.∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形.20.(1)证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 为平行四边形.∵四边形ABCD 为矩形，∴OD ＝OC.∴四边形OCED 为菱形.(2)解：∵四边形ABCD 为矩形，∴BO ＝DO ＝12BD.∴S △OCD ＝S △OCB ＝12S △ABC ＝12×12×3×4＝3.∴S 菱形OCED ＝2S △OCD ＝6.21.(1)证明：在△BCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ，CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF.(2)解：∵△BCE ≌△DCF ，∴∠EBC ＝∠FDC ＝30°.∵∠BCD ＝90°，∴∠BEC ＝60°.∵EC ＝FC ，∠ECF ＝90°，∴∠CEF ＝45°.∴∠BEF ＝105°.22.(1)证明：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝∠C ＝90°， ∴∠ADB ＝∠DBC.根据折叠性质得∠ADB ＝∠BDF ，∠F ＝∠A ＝90°， ∴∠DBC ＝∠BDF ，∠C ＝∠F.∴BE ＝DE.在△DCE 和△BFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DEC ＝∠BEF ，∠C ＝∠F ，DE ＝BE ，∴△DCE ≌△BFE.(2)解：在Rt △BCD 中，∵CD ＝2，∠ADB ＝∠DBC ＝30°，∴BD ＝4.∴BC ＝2 3.在Rt △ECD 中，易得∠EDC ＝30°.∴DE ＝2EC.∴(2EC)2－EC 2＝CD 2.∵CD ＝2，∴CE ＝233. ∴BE ＝BC －EC ＝433.(第23题)23.(1)证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，∴∠ABE ＝∠ACF ＝60°，∠1＋∠2＝60°.∵∠3＋∠2＝∠EAF ＝60°，∴∠1＝∠3.∵∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形.∴AC ＝AB.∴△ABE ≌△ACF.∴BE ＝CF.(2)解：四边形AECF 面积不变.由(1)知△ABE ≌△ACF ，则S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC .如图，过A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2，∴AM＝AB2－BM2＝42－22＝2 3.∴S△ABC＝12BC·AM＝12×4×23＝4 3.故S四边形AECF＝4 3.24.解：(1)OE＝OF.理由如下：∵CE是∠ACB平分线，∴∠ACE＝∠BCE.又∵MN∥BC，∴∠NEC＝∠BCE.∴∠NEC＝∠ACE.∴OE＝OC.∵CF是∠ACD平分线，∴∠OCF＝∠FCD.又∵MN∥BC，∴∠OFC＝∠FCD.∴∠OFC＝∠OCF.∴OF＝OC.∴OE＝OF.(2)当点O运动到AC中点，且△ABC满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形.理由如下：∵当点O运动到AC中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形.∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.∴四边形AECF是矩形.已知MN∥BC，当∠ACB＝90°时，∠AOE＝90°，∴AC⊥EF.∴四边形AECF是正方形.(3)不可能理由如下：连接BF，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝12∠ACB＋12∠ACD＝12(∠ACB＋∠ACD)＝90°.若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC.但在一个三角形中，不可能存在两个角为90°，故四边形BCFE不可能为菱形.。
北师大版九年级上册数学第一章检测试题(附答案)
北师大版九年级上册数学第一章检测试题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB ，AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为（）.A. 4B. 6C. 8D. 122.下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（）A. 平行四边形B. 正方形C. 等腰梯形D. 矩形3.已知，如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE 的面积为（）A. 6cm2B. 8cm2C. 10cm2D. 12cm24.如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C，D两点分别落在C′，D ′的位置，经测量得∠EFB＝65°，则∠AED′的度数是( )A. 65°B. 55°C. 50°D. 25°5.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）A. 1.6B. 2.5C. 3D. 3.46.如图，四边形ABCD是矩形，F是AD上一点，E是CB延长线上一点，且四边形AECF是等腰梯形，下列结论中不一定正确的是（）A. AE=FCB. AD=BCC. BE=AFD. ∠E=∠CFD7.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A. AB=ACB. AD=BDC. BE⊥ACD. BE平分∠ABC8.已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A.当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B. 当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C. 当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形9.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当AC=BD时，它是正方形C. 当AC⊥BD时，它是菱形D. 当∠ABC=900时，它是矩形10.如图，正方形CEFH的边长为m，点D在射线CH上移动，以CD为边作正方形CDAB，连接AE、AH、HE，在D点移动的过程中，三角形AHE的面积（）A. 无法确定B.C.D.11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF ．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）.A. 2B. 4C. 6D. 812.在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点与点B关于AE对称，与AE交于点F，连接，，FC。
北师大版九年级数学上册第1章达标测试卷附答案
北师大版九年级数学上册第一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，已知菱形ABCD 的边长等于2，∠DAB ＝60°，则对角线BD 的长为( )A ．1B. 3C ．2D ．2 3(第1题) (第3题) (第4题) (第6题) 2．已知正方形的面积为36，则其对角线的长为( )A ．6B ．6 2C ．9D ．9 23．如图，矩形ABCD 的对角线AC ＝8 cm ，∠AOD ＝120°，则AB 的长为( )A. 3 cmB ．2 cmC ．2 3 cmD ．4 cm4．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6 cm ，8 cm ，则这个菱形的周长为( )A ．5 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．20 cm5．下列命题中，真命题是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( ) A.15B.14C.13D.3107．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，四边形ADEF 为菱形，S △ABC ＝83，则S 菱形ADEF 等于( )A ．4B ．4 6C ．4 3D ．28(第7题) (第9题) (第10题)8．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是() A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAD＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC9．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，若线段AE＝6，则四边形ABCD的面积是()A．3 B．4 C．2 6 D．610．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为(10，8)，点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是() A．(0，4) B．(0，5) C．(0，3) D．(0，2)二、填空题(每题3分，共30分)11．在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD＝4 cm，那么斜边AB＝________．12．已知菱形的两条对角线长分别为2 cm，3 cm，则它的面积是________．13．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16 cm，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝16 cm，则∠1＝________．(第13题)(第16题)(第17题)14．已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，当添加条件__________时，矩形ABCD 是正方形(只填一个即可)．15．矩形的对角线相交所成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为1 cm，则其对角线长为________，矩形的面积为________．16．如图，菱形ABCD的顶点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．17．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED＝________．18．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________．(第18题)(第19题)(第20题)19．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝________．20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G.下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确结论的序号为__________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：BE＝CF.22.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．23．如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB，EA，延长BE交AD于点F.(1)求证：△ADE≌△BCE；(2)求∠AFB的度数．24．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB.(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小(作图说明)；(2)求出△BPE周长的最小值．25．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于点H，点E是AH上一点，延长AH 至点F，使FH＝EH，连接BE，CE，BF，CF.(1)求证：四边形EBFC是菱形；(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.26．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG，CG，如图①，易证EG＝CG且EG⊥CG.(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．答案一、1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.B7．C8.C9.D10.C二、11.8 cm12.3 cm213.120°14．AC⊥BD(答案不唯一)15．2 cm； 3 cm216.(4，4)17.45°18.501319.2－120.①②③⑤三、21.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD.∴BO＝CO.∵BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°.又∵∠BOE＝∠COF，∴△BOE≌△COF(AAS)．∴BE＝CF.22．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD.又∵E在AB的延长线上，且BE＝AB，∴BE∥CD，BE＝CD.∴四边形BECD是平行四边形．∴BD＝EC.(2)解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE.∴∠ABO＝∠E＝50°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.23．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC.∵△CDE 是等边三角形，∴∠CDE ＝∠DCE ＝60°，DE ＝CE . ∴∠ADE ＝∠BCE ＝30°. 在△ADE 和△BCE 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠ADE ＝∠BCE ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△BCE (SAS)． (2)解：∵△ADE ≌△BCE ， ∴AE ＝BE . ∴∠BAE ＝∠ABE .又∵∠BAE ＋∠DAE ＝90°， ∠ABE ＋∠AFB ＝90°， ∴∠DAE ＝∠AFB .∵∠ADE ＝30°，DE ＝DC ＝DA ， ∴∠DAE ＝75°. ∴∠AFB ＝75°.24．解：(1)如图，连接DE ，交AC 于点P ′，连接BP ′，则此时P ′B ＋P ′E 的值最小，即当点P 在点P ′处时，△BPE 的周长最小．(2)∵四边形ABCD 是正方形， ∴B ，D 关于AC 对称． ∴P ′B ＝P ′D . ∴P ′B ＋P ′E ＝DE . ∵BE ＝2，AE ＝3BE ， ∴AE ＝6.∴AD ＝AB ＝8. ∴DE ＝62＋82＝10. ∴PB ＋PE 的最小值是10.∴△BPE的周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12. 25．证明：(1)∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH.又∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形.又∵EF⊥BC，∴四边形EBFC是菱形．(2)如图所示．∵四边形EBFC是菱形，∴∠2＝∠3＝12∠ECF.∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠4＝12∠BAC.又∵∠BAC＝∠ECF，∴∠4＝∠3.∵∠4＋∠1＋∠2＝90°，∴∠3＋∠1＋∠2＝90°，即AC⊥CF.26．解：(1)EG＝CG，EG⊥CG.(2)EG＝CG，EG⊥CG.证明如下：延长FE交DC的延长线于点M，连接MG，如图所示．易得∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC 是矩形．∴BE ＝CM ，BC ＝EM ，∠EMC ＝90°. 易知∠ABD ＝45°， ∴∠EBF ＝45°. 又∵∠BEF ＝90°，∴△BEF 为等腰直角三角形． ∴BE ＝EF ，∠F ＝45°. ∴EF ＝CM .∵∠EMC ＝90°，FG ＝DG ， ∴MG ＝12FD ＝FG . ∵BC ＝EM ，BC ＝CD ， ∴EM ＝CD . ∵EF ＝CM ， ∴FM ＝DM . 又∵FG ＝DG ，∴∠CMG ＝12∠EMC ＝45°. ∴∠F ＝∠CMG . 在△GFE 和△GMC 中，⎩⎨⎧FG ＝MG ，∠F ＝∠GMC ，EF ＝CM ，∴△GFE ≌△GMC (SAS)． ∴EG ＝CG ，∠FGE ＝∠MGC . ∵MF ＝MD ，FG ＝DG ， ∴MG ⊥FD .∴∠FGE ＋∠EGM ＝90°. ∴∠MGC ＋∠EGM ＝90°， 即∠EGC ＝90°. ∴EG ⊥CG .北师大版九年级数学上册期末达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1. 下列方程中，不是一元二次方程的是( )A.3y 2＋2y ＋1＝0B.12x 2＝1－3xC.110a 2－16a ＋23＝0 D ．x 2＋x －3＝x 2 2．如图放置的几何体的左视图是( )3．下列命题为真命题的是( )A ．四边相等的四边形是正方形B ．对角线相等的四边形是菱形C ．四个角相等的四边形是矩形D ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 4．若反比例函数y ＝kx 的图象经过点(m ，3m )，其中m ≠0，则反比例函数的图象在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限5．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k ≤－2B ．k ≤2C ．k ≥2D ．k ≤2且k ≠16．有三张正面分别标有数－2，3，4的不透明卡片，它们除数不同外，其他全部相同．现将它们背面朝上洗匀后，从中任取两张，则抽取的两张卡片上的数之积为正偶数的概率是( ) A.49B.112C.13D.167．如图，在△ABC中，已知点D，E分别是边AC，BC上的点，DE∥AB，且CE：EB ＝2：3，则DE AB等于()A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．4：58．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，P为AB的中点，折叠该纸片使点C落在点C′处，且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的度数为()A．30°B．40°C．45°D．60°9．设△ABC的一边长为x，这条边上的高为y，y与x之间的反比例函数关系如图所示．当△ABC为等腰直角三角形时，x＋y的值为()A．4 B．5 C．5或3 2 D．4或3 210．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边上的中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，DE与BM相交于点N，EF⊥AC于点F，有以下结论：①∠DBM＝∠CDE；②S△BDE<S四边形BMFE；③CD·EN＝BN·BD；④AC＝2DF.其中正确结论的数量是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每题3分，共24分)11．已知一元二次方程(m－2)x2－3x＋m2－4＝0的一个根为0，则m＝________.12．如图，物理课上张明做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24 cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间带小孔的纸板应放在离蜡烛________的地方．13．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有________个．14．为预防流感，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)之间的函数关系如图所示．已知在药物燃烧阶段，y与x成正比例，燃烧完后y与x成反比例．现测得药物10 min燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg.当每立方米空气中含药量低于 1.6 mg时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经过________min后教室内的空气才能达到安全要求．15．已知三角形纸片(△ABC)中，AB＝AC＝5，BC＝8，将三角形按照如图所示的方式折叠，使点B落在直线AC上，记为点B′，折痕为EF.若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是________．16．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者首先从鱼塘中捕获10条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞100条鱼．如果在这100条鱼中有2条鱼是有记号的，则可估计鱼塘中约有鱼________条．17．如图，以▱ABCO 的顶点O 为原点，边OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，顶点A ，C 的坐标分别为(2，4)，(3，0)，过点A 的反比例函数y ＝kx 的图象交BC 于点D ，连接AD ，则四边形AOCD 的面积是________．18．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ，点E ，F ，G ，H 分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为________． 三、解答题(19～22题每题8分，23，24题每题11分，25题12分，共66分) 19．解方程：(1)x 2－6x －6＝0; (2)(x ＋2)(x ＋3)＝1.20．已知关于x 的一元二次方程kx 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，且满足(x 1＋x 2)2＋x 1·x 2＝3，求k 的值．21．在一个不透明的布袋里装有4个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们除所标数字外其他完全相同，小明从布袋里随机取出1个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出1个小球，记下数字为y.(1)计算由x，y确定的点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率．(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy＞6，则小明胜，若x，y满足xy＜6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．22．如图，九(1)班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆DE的高度，已知直立在地面上的竹竿AB的长为3 m．某一时刻，测得竹竿AB在阳光下的投影BC的长为2 m.(1)请你在图中画出此时旗杆DE在阳光下的投影，并写出画图步骤；(2)在测量竹竿AB的影长时，同时测得旗杆DE在阳光下的影长为6 m，请你计算旗杆DE的高度．23．如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，－2)，反比例函数y ＝kx 的图象经过点C ，一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过A ，C 两点．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)若点P 是反比例函数图象上的一点，△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求点P 的坐标．24．如图①，在正方形ABCD 中，P 是BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且P A＝PE ，PE 交CD 于F . (1)求证：PC ＝PE ； (2)求∠CPE 的度数；(3)如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC ＝120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．25．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 延长线上一点，E 是AC 上一点，DE 交BC 于点F .(1)如图①，若BD ＝CE ，求证：DF ＝EF .(2)如图②，若BD ＝1n CE ，试写出DF 和EF 之间的数量关系，并证明．(3)如图③，在(2)的条件下，若点E 在CA 的延长线上，那么(2)中的结论还成立吗？试证明．答案一、1.D 2.C 3.C4．B 【点拨】把点(m ，3m )的坐标代入y ＝kx ，得到k ＝3m 2，因为m ≠0，所以k >0.所以图象在第一、三象限． 5．D 6.C 7.B 8.C9．D 【点拨】由题意得xy ＝4，当等腰直角三角形ABC 的斜边长为x 时，x ＝2y ，所以2y 2＝4，解得y ＝2或y ＝－2(不合题意，舍去)，所以x ＝22，所以x ＋y ＝32；当等腰直角三角形ABC 的一条直角边长为x 时，x ＝y ，所以y 2＝4，解得y ＝2或y ＝－2(不合题意，舍去)，所以x ＝2，所以x ＋y ＝4.故x ＋y 的值为4或3 2.故选D. 10．C 【点拨】设∠EDC ＝x ，则∠DEF ＝90°－x ，从而可得到∠DBE ＝∠DEB ＝180°－(90°－x )－45°＝45°＋x ，∠DBM ＝∠DBE －∠MBE ＝45°＋x －45°＝x ，从而可得到∠DBM ＝∠CDE ，所以①正确．可证明△BDM ≌△DEF ，然后可证明S △DNB ＝S 四边形NMFE，所以S △DNB ＋S △BNE ＝S四边形NMFE＋S △BNE ，即S △BDE ＝S 四边形BMFE .所以②错误．可证明△DBC ∽△NEB ，所以CD BD ＝BNEN，即CD ·EN ＝BN ·BD .所以③正确．由△BDM ≌△DEF ，可知DF ＝BM ，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM ＝12AC ，所以DF ＝12AC ，即AC ＝2DF .所以④正确．故选C. 二、11.－2 12.8 cm13．5 【点拨】综合左视图和主视图知，这个几何体有两层，底层最少有2＋1＝3(个)小正方体，第二层有2个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有3＋2＝5(个)． 14．50 【点拨】设药物燃烧完后y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ，把点(10，8)的坐标代入y ＝k x ，得8＝k 10，解得k ＝80，所以药物燃烧完后y 与x 之间的函数表达式为y ＝80x .当y ＝1.6时，由y ＝80x 得x ＝50，所以从消毒开始，经过50 min 后教室内的空气才能达到安全要求． 15．4或4013 16.50017．9 【点拨】由题易知OC ＝3，点B 的坐标为(5，4)，▱ABCO 的面积为12.设直线BC 对应的函数表达式为y ＝k ′x ＋b ，则⎩⎨⎧3k ′＋b ＝0，5k ′＋b ＝4，解得⎩⎨⎧k ′＝2，b ＝－6.∴直线BC 对应的函数表达式为y ＝2x －6.∵点A (2，4)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝8.∴反比例函数的表达式为y ＝8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －6，y ＝8x解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－8(舍去)．∴点D 的坐标为(4，2)． ∴△ABD 的面积为12×2×3＝3. ∴四边形AOCD 的面积是9.18．12 【点拨】易知EF ∥BD ∥HG ， 且EF ＝HG ＝12BD ＝3，EH ∥AC ∥GF 且EH ＝GF ＝12AC ＝4.∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形．∴四边形EFGH 的面积＝EF ·EH ＝3×4＝12. 三、19.解：(1)x 2－6x －6＝0， x 2－6x ＋9＝ 15， (x －3)2＝ 15， x －3＝ ±15，∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. (2)(x ＋2)(x ＋3)＝1， x 2＋5x ＋6＝ 1， x 2＋5x ＋5＝ 0， ∵a ＝1，b ＝5，c ＝5，∴b 2－4ac ＝52－4×1×5＝5. ∴x ＝－5±52.∴x 1＝－5＋52，x 2＝－5－52. 20．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝12＋8k ＞0， ∴k ＞－18. 又∵k ≠0，∴k 的取值范围是k ＞－18且k ≠0.(2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－1k ，x 1·x 2＝－2k . ∵(x 1＋x 2)2＋x 1·x 2＝3，∴⎝⎛⎭⎫－1k 2－2k ＝3，即3k 2＋2k －1＝0， 解得k ＝13或k ＝－1. 由(1)得k ＞－18且k ≠0， ∴k ＝13.21．解：(1)画树状图如图．由树状图可知共有12种等可能的结果．其中在函数y ＝－x ＋5的图象上的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)， ∴点(x ，y )在函数y ＝－x ＋5的图象上的概率为412＝13.(2)不公平．理由：∵x ，y 满足xy ＞6的有(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种结果，x ，y 满足xy ＜6的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共6种结果， ∴P (小明胜)＝412＝13，P (小红胜)＝612＝12.∵13≠12，∴游戏不公平．公平的游戏规则为：若x ，y 满足xy ≥6，则小明胜，若x ，y 满足xy ＜6，则小红胜．(规则不唯一)22．解：(1)如图，线段EF 就是此时旗杆DE 在阳光下的投影．作法：连接AC ，过点D 作DF ∥AC ，交直线BE 于点F ，则线段EF 即为所求．(2)∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE . 又∠ABC ＝∠DEF ＝90°， ∴△ABC ∽△DEF .∴AB DE ＝BC EF . ∵AB ＝3 m ，BC ＝2 m ，EF ＝6 m ， ∴3DE ＝26. ∴DE ＝9 m.即旗杆DE 的高度为9 m.23．解：(1)∵点A 的坐标为(0，1)，点B 的坐标为(0，－2)， ∴AB ＝1＋2＝3，即正方形ABCD 的边长为3， ∴点C 的坐标为(3，－2)．将点C 的坐标代入y ＝kx 可得k ＝－6，∴反比例函数的表达式为y ＝－6x .将C (3，－2)，A (0，1)的坐标分别代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎨⎧3a ＋b ＝－2，b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋1.(2)设P ⎝⎛⎭⎫t ，－6t ， ∵△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，∴12×1×|t |＝3×3，解得t ＝±18.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫18，－13或⎝⎛⎭⎫－18，13. 24．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADP ＝∠CDP .又∵DP ＝DP ，∴△ADP ≌△CDP .∴P A ＝PC .又∵P A ＝PE ，∴PC ＝PE .(2)解：由(1)知△ADP ≌△CDP ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵P A ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E .∴∠FCP ＝∠E .又∵∠PFC ＝∠DFE ，∠EDF ＝90°，∴∠CPE ＝∠EDF ＝90°.(3)解：AP ＝CE .理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠ADP ＝∠CDP .又∵DP ＝DP ，∴△ADP ≌△CDP .∴P A ＝PC ，∠DAP ＝∠DCP .又∵P A ＝PE ，∴PC ＝PE ，∠DAP ＝∠DEP .∴∠DCP ＝∠DEP .又∵∠PFC ＝∠DFE ，∴∠CPF ＝∠EDF .∵在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，∴∠ADC ＝120°.∴∠EDC ＝60°.∴∠CPE ＝∠EDF ＝60°.又∵PC ＝PE ，∴△PCE 是等边三角形．∴PE ＝CE .又∵P A ＝PE ，∴AP ＝CE .25．(1)证明：在题图①中作EG ∥AB 交BC 于点G ， 则∠ABC ＝∠EGC ，∠D ＝∠FEG .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C .∴∠EGC ＝∠C .∴EG ＝EC .∵BD ＝CE ，∴BD ＝EG .又∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠GFE ，∴△BFD ≌△GFE .∴DF ＝EF .(2)解：DF ＝1n EF .证明：在题图②中作EG ∥AB 交BC 于点G ，则∠D ＝∠FEG . 同(1)可得EG ＝EC .∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠EFG ，∴△BFD ∽△GFE .∴BD EG ＝DF EF. ∵BD ＝1n CE ＝1nEG ， ∴DF ＝1n EF .(3)解：成立．证明：在题图③中作EG ∥AB 交CB 的延长线于点G ， 则仍有EG ＝EC ，△BFD ∽△GFE .∴BD EG ＝DF EF .∵BD ＝1n CE ＝1n EG ，∴DF ＝1nEF .。
2023年北师大版九年级上册数学第一章综合测试试卷及答案
第一章综合练习
13．如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中
D，E两点分别在AB，BC上，且BD＝BE，AB＝8，
DE＝3，则△EFC的面积为
15 4
．
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第一章综合练习
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分 线交AC于点D．过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点G，过 点D作DF⊥BC于点F，过点G作GH∥BC，交AC于点H， 则下列结论：①∠BAE＝∠C； ②S△ABG：S△EBG＝AB：BE； ③∠ADF＝2∠CDF； ④四边形AGFD是菱形； ⑤CH＝DF．其中正确的结论是 ①②④⑤ ．(填序号)
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第一章综合练习
(2)∵四边形AFCE是平行四边形， ∴EC∥AF，∴∠FHB＝∠CGH． 又∵∠CGH＝∠DGE，∴∠DGE＝∠FHB． ∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH． ∵E，F分别是AD，BC的中点，AD＝BC， ∴DE＝BF，∴△DEG≌△BFH(AAS)， ∴EG＝FH．
A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC
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第一章综合练习
10 ． 如 图 ， 在 菱 形 ABCD 中 ， AB ＝ 6 ， ∠ ABC ＝ 60°，M为AD的中点，P为对角线BD上一动点， 连接PA和PM，则PA＋PM的最小值是( B ) A．3 B．3 3 C．6 D．9
(1)求证：四边形ACED是平行四边形； (2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
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第一章综合练习
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD＝BC． ∵C是BE的中点，∴BC＝CE，∴AD＝CE． ∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形． (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC． ∵AB＝AE，∴DC＝AE． ∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC 的中点，CE，AF分别交DB于G，H两点．求证：
北师大版数学九年级上册第一章测试题及答案
北师大版数学九年级上册第一章测试题(特殊平行四边形)一、选择题。
1．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．192．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm3．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°4．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm5．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm6．矩形具有而菱形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等7．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的( )A.15B.14C.13D.310第2题图 第3题图8．如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，若∠BAC ＝50°，则∠ABC 等于( )A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°9．正方形ABCD 的面积为36，则对角线AC 的长为( )A ．6B ．6 2C ．9D ．9 210．下列命题中，真命题是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形二、填空题。
北师大版九年级上学数学第一章检测题(有答案)
第一章检测题(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．矩形具有而菱形不具有的性质是( B)A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等2．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为( B)A．45°，135° B．60°，120° C．90°，90° D．30°，150°3．下列条件中，不能判定四边形为菱形的是( B)A．⊥，与互相平分 B．＝，＝且⊥C．＝＝＝ D．＝，＝，⊥4．如图，矩形的对角线相交于点O，平分∠交于E，若∠＝15°，则∠等于( D)A．30° B．45° C．60° D．75°(第5题图) (第6题图)5．如图，在△中，点E，D，F分别在边，，上，且∥，∥，下列四个判断中，不正确的是( D)A．四边形是平行四边形B．如果∠＝90°，那么四边形是矩形C．如果平分∠，那么四边形是菱形D．如果⊥且＝，那么四边形是正方形6．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：甲：连接，作的垂直平分线分别交，，于M，O，N，连接，，则四边形是菱形；乙：分别作∠A，∠B的平分线，，分别交，于E，F，连接，则四边形是菱形．根据两人的作法可判断( C)A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误7．如图，在矩形中，＝2，点M，N分别在边，上，连接，.若四边形是菱形，则等于( C)(第7题图) (第8题图) (第9题图) (第10题图) 8．点P是正方形边上一点(不与A，B重合)，连接并将线段绕点P顺时针旋转90°，得线段，连接，则∠等于( C)A．75° B．60° C．45° D．30°9．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为( C)A．60° B．30° C．45° D．90°10．如图①所示，将长为20 ，宽为2 的长方形白纸条，折成图②所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为( B)A．34 2 B．36 2 C．38 2 D．40 2二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，四边形是对角线互相垂直的四边形，且＝，请你添加一个适当的条件＝或＝，使四边形成为菱形．(只需添加一个即可)(第11题图) (第12题图)(第13题图) (第14题图)12．如图，菱形的边长为2，∠＝45°，则点D 的坐标为(2＋，)．13．如图，在正方形中，点E 是对角线上任意一点，过点E 作⊥于点F ，作⊥于点G ，若正方形的周长为a ，则四边形的周长为．14．如图，△中，＝，点D ，E ，F 分别是△边，，的中点，连接，，要使四边形是正方形，还需增加条件：∠A ＝90°．15．如图，延长正方形的边至E ，使＝，则∠＝112.5度．(第15题图) (第16题图)(第17题图) (第18题图)16．如图，直线l 过正方形的顶点B ，使A ，C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是．17．如图，在矩形纸片中，＝12，＝5，点E 在上，将△沿折叠，使点A 落在对角线上的点A′处，则的长为．18．如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点E ，F 分别在和上，下列结论：①＝；②∠＝75°；③＋＝.其中正确的序号是①②．三、解答题(共66分)19．(7分)如图，在矩形中，两条对角线，相交于点O ，E 是上的一点，且＝2，∠＝120°，求证：⊥.证明：△为等边三角形，∵矩形，∴＝，而＝2，∴＝，∴⊥20．(8分)如图所示，四边形中，∠＝∠＝90°，M，N分别是，的中点，求证：(1)＝；(2)⊥.证明：(1)∵⊥，⊥，M为中点，∴＝，＝，∴＝(2)由(1)知＝，∵N为的中点，∴⊥21．(8分)如图，正方形，的边长都等于1，点E恰好是，的交点，求两个正方形的重叠部分(阴影部分)的面积．解：易证△≌△，则S△＝S△，S阴影＝S△＋S△＝S△＋S△＝S△＝S正方形＝22．(8分)(1)任意四边形四边中点围成的四边形是平行四边形；(2)对角线相等的四边形四边中点围成的四边形是菱形；(3)对角线垂直的四边形四边中点围成的四边形是矩形；(4)对角线相等且垂直的四边形四边中点围成的四边形是正方形，并证明．证明略23．(8分)如图所示，在菱形中，＝4，E，F分别为，的中点，⊥于E，⊥于F，∥交于G，交于H.(1)求菱形的面积；(2)求∠的度数．解：(1)连接.∵垂直平分，∴＝＝.∴△为等边三角形，∴∠B＝60°，即∠＝120°，∴＝2，＝2，∴＝4×2＝8(2)∠＝60°.∵∥，∴∠＝180°－60°＝120°24．(9分)如图，在▱中，对角线，交于点O，E是延长线上的点，且＝.(1)求证：四边形是菱形；(2)若∠＝∠＋∠，求证：四边形是正方形．证明：(1)∵四边形是平行四边形，∴＝，∵＝，∴⊥，∴▱是菱形(2)∵∠＝＋∠，∠＝∠＋∠，∴∠＝∠，∴＝，从而得＝，∴菱形是正方形25．(9分)如图，E是矩形的边上一点，且＝，P是对角线上任一点，⊥，⊥，垂足分别为F，G，求证：＋＝.证明：S△＝·……①，连接，有S△＝S△＋S△，S△＝·，S△＝·，∵＝，∴S△＝·，∴S△＝S△＋S△＝·(＋)……②.综合①②可得＝＋26．(9分)在数学活动中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图①，他连接，，经测量发现＝.(1)他将正方形绕O点逆时针旋转一定的角度，如图②，试判断与还相等吗？说明你的理由；(2)他将正方形绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图③，请你求出的长．解：(1)＝.证△≌△(2)连接交于点M，易得＝＝1，在△中，＝＝，∴＝＝。
北师大版九年级上册数学第一章单元测试卷及解析
北师大版九年级上册数学第一章单元测试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题）A. 四个角相等的四边形是矩形B. 对角线相等的平行四边形是矩形C. 对角线垂直的四边形是菱形D. 对角线垂直的平行四边形是菱形2.在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是( )A. OA ＝OC ，OB ＝ODB. AD ∥BC ，AB ∥DCC. AB ＝DC ，AD ＝BCD. AB ∥DC ，AD ＝BC3.若顺次连接四边形ABCD 四边中点而得的图形是矩形，则四边形ABCD 一定是( )A. 矩形B. 菱形C. 对角线相等的四边形D. 对角线互相垂直的四边形4.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，∠ABD =30°，则菱形ABCD 的面积是（ ）A. 18B. 18√3C. 36D. 36√35.如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 是BC 边的中点，分别以B 、C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC 上方的交点为P ，直线PD 交AC 于点E ，连接BE ，则下列结论：①ED ⊥BC ；②∠A=∠EBA ；③EB 平分∠AED ；④ED=AB 中，一定正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④6.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF 的长为（ ）12．5 D. 5第II卷（非选择题）二、解答题（题型注释）E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)图中有哪几对全等三角形，请一一列举；(2)求证：ED∥BF.8.如图，在正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点．求证：△ADF≌△BAE.9.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点M，N分别是对角线BD，AC的中点．求证：直线MN是线段AC的垂直平分线．10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且△ADO为等边三角形，过点A 作AE⊥BD于点E.(1)求∠ABD的度数；(2)若BD＝10，求AE的长．11.如图，点D，E分别是不等边△ABC(即AB，BC，AC互不相等)的边AB，AC的中点．点O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由)12.如图所示,在矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过点O的直线EF与AB,CD的延长线分别交于点E,F.(1)求证:△BOE≌△DOF;(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形?并证明你的结论.13.如图，已知△ABC，点A在BC边的上方，把△ABC绕点B逆时针方向旋转60°得△DBE，绕点C顺时针方向旋转60°得△FEC，连接AD，AF.(1)△ABD，△ACF，△BCE是什么特殊三角形？请说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？请说明理由；(3)当△ABC满足什么条件时，以点A，D，E，F为顶点的四边形不存在？请说明理由．14.如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，2√2，√10.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连接PP′，并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小．15.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D 重合），PO的延长线交BC于Q点．（1）求证：四边形PBQD为平行四边形.（2）若AB=3cm，AD=4cm，P从点A出发．以1cm/s的速度向点D匀速运动．设点P的运动时间为ts，问：四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．三、填空题AC、BD相交于点0，∠AOB=600，AB=5，则AD的长是（ )．（A)5（B）5（C）5 (D)1017.如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG＝1(BC－AD)，⑤四边2形EFGH是菱形．其中正确的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．418.已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为____________cm2．19.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．20.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF等于_______°.21.（3分）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是．22.（3分）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．23.如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，若过点A的对角线长为20 cm，则每个菱形的面积为____________cm2.参考答案1.C【解析】1.试题分析：A．四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C．对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；D．对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．故选C．2.D【解析】2.根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．A．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；B．∵AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；C．∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；D．∵AB∥DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形．故选D．3.D【解析】3.由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH ∥ FG ∥ BD，EF ∥ AC ∥ HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，即对角线互相垂直，故选D．4.B【解析】4.试题分析：过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=3√3，∴菱形ABCD的面积是6×3√3=18√3，故选B．5.B．【解析】5.试题根据作图过程，利用线段垂直平分线的性质对各选项进行判断：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确.∵∠ABC=90°，∴PD∥AB.∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC.∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确.∴正确的有①②④.故选B．6.A【解析】6.试题解析：∵点C′是AB边的中点，AB=6，∴BC′=3，由图形折叠特性知，C′F=CF=BC-BF=9-BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2=C′F2，∴BF2+9=（9-BF）2，解得，BF=4，故选A．7.(1)见解析；(2)证明见解析.【解析】7.（1）根据菱形的对称性，写出AC左右两边对应的三角形即可；（2）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠DCA，然后求出AF=CE，利用“边角边”证明△ABF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BFA=∠DEC，然后利用内错角相等两直线平行即可证明．(1)图中有三对全等三角形：①△ABC≌△CDA，②△ABF≌△CDE，③△ADE≌△CBF；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DC A．∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，∴AF＝CE.在△ABF和△CDE中，{AB=CD∠BAC=∠DCAAF=CE，1 2∴△ABF ≌△CDE (S A S)，∴∠BF A ＝∠DEC ，∴ED ∥BF .8.证明见解析.【解析】8.根据正方形的四条边都相等可得AB=AD ，根据同角的余角相等求出∠1=∠4，然后利用“角角边”证明△ABE 和△DAF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝AB ，∠1＋∠2＝90°，又∵BE ⊥AG ，DF ⊥AG ，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，∴∠2＝∠3，∠1＝∠4，又∵DA ＝AB ，∴△ADF ≌△BAE .(A S A ) .9.证明见解析.【解析】9.连接AM ，CM ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM=12BD ，CM=12BD ，那么AM=CM ，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明MN ⊥AC ．如图，连接AM ，CM ，∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，点M 是BD 的中点，∴AM ＝12BD ，CM ＝12BD ，∴AM ＝CM ，又∵点N 是AC 的中点，∴直线MN 是线段AC 的垂直平分线.10.(1)∠ABD ＝30°；(2)AE ＝5√32.【解析】10.（1）根据矩形性质得出∠DAB=90°，求出∠ADB=60°，代入∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB 求出即可；（2）求出AD ，根据等腰三角形性质得出DE=EO ，求出DE ，根据勾股定理求出即可．(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∵△ADO 为等边三角形，∴∠ADB ＝60°，∴∠ABD ＝180°－∠DAB －∠ADB ＝30°；(2)∵BD ＝10，∠BAD ＝90°，∠ABD ＝30°，∴AD ＝12BD ＝5，∵△ADO 为等边三角形，∴AD ＝AO ＝DO ＝5，∵AE ⊥DO ，∴DE ＝EO ＝12DO ＝2.5，在Rt △AED 中，由勾股定理得AE ＝√AD 2−DE 2=√52−2.52=5√32. 11.（1）根据三角形的中位线定理可证得DE ∥GF ，DE ＝GF ，即可证得结论；（2）解法一：点O 的位置满足两个要求：AO ＝BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上． 解法二：点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括射线CD 、射线BE 与⊙A 的交点．解法三：过点A 作BC 的平行线l ，点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括l 与⊙A 的两个交点．【解析】11.试题（1）根据三角形的中位线定理可证得DE ∥GF ，DE ＝GF ，即可证得结论； （2）根据三角形的中位线定理结合菱形的判定方法分析即可.（1）∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．∴DE ∥BC ，DE ＝BC ．同理，GF ∥BC ，GF ＝BC ． ∴DE ∥GF ，DE ＝GF ．∴四边形DEFG 是平行四边形；（2）解法一：点O 的位置满足两个要求：AO ＝BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上． 解法二：点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括射线CD 、射线BE 与⊙A 的交点．解法三：过点A 作BC 的平行线l ，点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括l 与⊙A 的两个交点．12.（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，AC 和BD 交于点O∴AB ∥CD; OB=OD∴∠OEB=∠OFD∵∠BOE=∠DOF∴△BOE ≌△DOF(2)解：当EF 与AC 垂直的时候四边形AECF 是菱形。
北师大版初中数学九年级上册第一章综合测试试卷-含答案01
第一章单元综合测试一、单选题1.已知四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，下列结论错误的是（ ） A .OA OC =，OB OD =B .当AB CD =时，四边形ABCD 是菱形C .当90ABC ∠=︒时，四边形ABCD 是矩形D .当AC BD =且AC BD ⊥时，四边形ABCD 是正方形2.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE CE =，则OE 的长是（ ）A .2B .52C .3D .4 3.如图，面积为S 的菱形ABCD 中，点O 为对角线的交点，点E 是线段BC 单位中点，过点E 作EF BD ⊥于F ，EG AC ⊥与G ，则四边形EFOG 的面积为（ ）A .14SB .18SC .112S D .116S 4.如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点.若菱形ABCD 的周长为32，则OE 的长为（ ）A .3B .4C .5D .65.如图，正方形ABCD 的面积为1，M 是AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）A .310B .13C .25D .496.如图，正方形ABCD 的边长8AB =，E 为平面内一动点，且4AE =，F 为CD 上一点，2CF =，连接EF ，ED ，则2EF ED +的最小值为（ ）A .B .C .12D .10二、填空题7.如图，在菱形ABCD 中，50B ∠=︒，点E 在CD 上，若AE AC =，则BAE ∠=________.8.如图，在矩形ABCD 中，E ,F 分别为边AB ，AD 的中点，BF 与EC ，ED 分别交于点M ，N .已知4AB =，6BC =，则MN 的长为________.9.如图，在矩形ABCD 中，9AB =，AD =，点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PQ BD ∥，交CD 边于Q 点，再把PQC △沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，则CQP ∠=________.10.如图，正方形ABCD 中，点E 为对角线AC 上一点，且AE AB =，则BEA ∠的度数是________度.三、作图题11.在正方形ABCD 中，E 是CD 边上的点，过点E 作EF BD ⊥于F .（1）尺规作图：在图中求作点E ，使得EF EC =；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接FC ，求BCF ∠的度数.四、综合题12.如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作EF AC ⊥，分别交AB ，DC 于点E 、F ，连接AF 、CE .（1）若32OE =，求EF 的长；（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由.13.如图，在ABC △中，AB AC =，点D 、E 分别是线段BC 、AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF .（1）求证：A BDE F E △≌△；（2）求证：四边形ADCF 为矩形.14.如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，过点D 作DE BC ⊥于E ，延长CB 到点F ，使BF CE =，连接AF ，OF .（1）求证：四边形AFED 是矩形；（2）若7AD =，2BE =，45ABF ∠=︒，试求OF 的长.15.如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，且EBF △是等腰直角三角形，其中90EBF ∠=︒，连接CE 、CF（1）求证：ABF CBE △≌△；（2）判断CE 与EF 的位置关系，并说明理由.16.如图，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，连接CF .（1）求证：HEA CGF ∠∠=；（2）当AH DG =时，求证：菱形EFGH 为正方形.第一章单元综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，OA OC =∴，OB OD =，故A 正确，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB CD =，不能推出四边形ABCD 是菱形，故B 错误，∵四边形ABCD 是平行四边形，90ABC ∠=︒， ∴四边形ABCD 是矩形，故C 正确，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =，AC BD ⊥， ∵四边形ABCD 是正方形.故D 正确.故答案为：B . 2.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，8AC =，6BD =，142CO AC ==∴，132OD BD ==，AC BD ⊥，5DC =∴，90EOC DOE ∠+∠=︒，90DCO ODC ∠+∠=︒，OE CE =∵，EOC ECO ∠=∠∴，DOE ODC ∠=∠∴，DE OE =∴，1522OE CD ==∴故答案为：B . 3.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，OA OC =∴，OB OD =，AC BD ⊥，12S AC BD =⨯， EF BD ⊥∵于F ，EG AC ⊥于G ，∴四边形EFOG 是矩形，EF OC ∥，EG OB ∥，∵点E 是线段BC 的中点，EF ∴、EG 都是OBC △的中位线，1124EF OC AC ==∴，1124EG OB BD ==，∴矩形EFOG 的面积11111=44828EF EG AC BD AC BD S ⎛⎫=⨯=⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭；答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
北师大版九年级数学上册《第一章达标检测卷》附答案
第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是()A．四条边相等，四个角相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于() A．20 B．15 C．10 D．53．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()A.15 B.14 C.13 D.3104．如图，菱形ABCD的周长为24 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD 的中点，连接OE，则线段OE的长等于()A．3 cm B．4 cm C．2.5 cm D．2 cm5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为()A．3 B．2 2 C. 6 D．3 36．顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是()A．菱形B．对角线互相垂直的四边形C．矩形D．对角线相等的四边形7．如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°8．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF等于()A．75°B．45°C．60°D．30°9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是()A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 5 D．AF＝EF10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC 垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确结论有() A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题(每题3分，共24分)11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．12．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF 的周长为________．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE＝4，则线段BE的长为________．15．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，3)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→……的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2 023 s时，点P的坐标为________．16．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为________．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD的中点，点F为BC 边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG ＋FH＝________.18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形的对角线交于点O，连接O C.已知AC＝5，OC＝62，则另一直角边BC的长为________．三、解答题(19，20题每题9分，21题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.求证：DE＝DF.20．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.(1)求证：四边形OCED是矩形；(2)若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．21．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.(1)求证：BD＝BE；(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE；(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F 不与B，C，D重合，连接EF.(1)求证：BE＝CF.(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．24．在正方形ABCD的外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图①；(2)若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数；(3)如图②，若45°＜∠P AB＜90°，用等式表示线段AB，EF，FD之间的数量关系，并给出证明．答案一、1.D 2.B 3.B4．A点拨：∵菱形ABCD的周长为24 cm，∴AB＝24÷4＝6 (cm)，OB＝OD.又∵E为AD的中点，∴OE是△ABD的中位线．∴OE＝12AB＝12×6＝3 (cm)．故选A.5．D 6.D7.D8.C9．D点拨：如图，由折叠的性质得∠1＝∠2.∵AD∥BC，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴AE＝AF.故选项A正确．由折叠的性质得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.∵AB＝CD，∴AB＝AG.又∵AE＝AF，∠B＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)．故选项B正确．设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x.又∵AG＝AB＝4，∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)2＝42＋x2. 解得x＝3.∴AF＝8－x＝5.则AE＝AF＝5，∴BE ＝AE 2－AB 2＝52－42＝3.过点F 作FM ⊥BC 于点M ，则FM ＝4，EM ＝5－3＝2.在Rt △EFM 中，根据勾股定理得EF ＝EM 2＋FM 2＝22＋42＝20＝25，则选项C 正确．∵AF ＝5，EF ＝25，∴AF ≠EF .故选项D 错误． 10．C 点拨：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝∠BAD ＝90°. ∵△AEF 是等边三角形， ∴AE ＝EF ＝AF ，∠EAF ＝60°. ∴∠BAE ＋∠DAF ＝30°.在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，⎩⎨⎧AE ＝AF ，AB ＝AD ，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF (HL )． ∴BE ＝DF (故①正确)， ∠BAE ＝∠DAF .∴∠DAF ＋∠DAF ＝30°，即∠DAF ＝15°(故②正确)． ∵BC ＝CD ，∴BC －BE ＝CD －DF ，即CE ＝CF ， 又∵AE ＝AF ，∴AC 垂直平分EF (故③正确)．设EC ＝x ，由勾股定理，得EF ＝AE ＝2x ，∴EG ＝CG ＝22x .∴AG ＝62x . ∴AC ＝6x ＋2x2. ∴AB ＝BC ＝3x ＋x 2.∴BE ＝3x ＋x 2－x ＝3x －x2.∴BE ＋DF ＝3x －x ≠2x (故④错误)．易知S △CEF ＝x 22，S △ABE＝3x －x 2·3x ＋x 22＝x 24，∴2S △ABE ＝x 22＝S △CEF (故⑤正确)．综上所述，正确的有4个． 二、11.90° 12.16 13.2.514．213 点拨：设正方形的边长为a ，∵S △ABE ＝18， ∴S 正方形ABCD ＝2S △ABE ＝36， ∴a 2＝36.∵a ＞0，∴a ＝6. 在Rt △BCE 中，∵BC ＝6，CE ＝4，∠C ＝90°， ∴BE ＝BC 2＋CE 2＝62＋42＝213. 15.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34 16．16 点拨：∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝x ，AD ＝y ，∴CD ＝AB ＝x ，BC ＝AD ＝y ，∠BCD ＝90°.又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF ＝4，∴BF ＝DF ＝EF ＝4，∴CF ＝4－BC ＝4－y .在Rt △DCF 中，DC 2＋CF 2＝DF 2，即x 2＋(4－y )2＝42＝16.∴x 2＋(y －4)2＝16. 17.3105 点拨：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝2， ∠A ＝∠D ＝90°.∵点E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ＝1，∴BE ＝AE 2＋AB 2＝12＋32＝10，CE ＝DE 2＋DC 2＝12＋32＝10， ∴CE ＝BE .∵S △BCE ＝S △BEF ＋S △CEF ，∴12BC·AB＝12BE·FG＋12CE·FH，∴BC·AB＝BE(FG＋FH)，即2×3＝10(FG＋FH)，解得FG＋FH＝310 5.18．7点拨：如图，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M，过点O作ON⊥BC于点N，易证△OMA≌△ONB，CN＝OM，∴OM＝ON，MA＝NB.又∵∠ACB＝90°，∠OMA＝∠ONB＝90°，OM＝ON，∴四边形OMCN是正方形．∴△OCM为等腰直角三角形．∵OC＝62，∴CM＝OM＝6.∴MA＝CM－AC＝6－5＝1.∴BC＝CN＋NB＝OM＋MA＝6＋1＝7.故答案为7.三、19.证明：连接DB.∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC.又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF.20．(1)证明：∵CE∥OD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形．(2)解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝4，∴OC＝12AC＝2，∴OD＝42－22＝23，∴矩形OCED的面积是23×2＝4 3.21．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AB∥CD.又∵BE∥AC，E在DC的延长线上．∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC＝BE，∴BD＝BE.(2)解：如图，过点O作OF⊥CD于点F.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCE＝90°.在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC＝8.∵BE＝BD，∠BCD＝90°，∴CD＝CE＝6，∴DE＝12.∵OD＝OC，OF⊥CD，∴CF＝DF.又OB＝OD，∴OF为△BCD的中位线，∴OF＝12BC＝4，∴S △ODE ＝12DE ·OF ＝12×12×4＝24.22．(1)证明：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝∠C ＝90°，∴∠ADB ＝∠DBC .根据折叠的性质得∠ADB ＝∠FDB ，∠F ＝∠A ＝90°，∴∠DBC ＝∠FDB ，∠C ＝∠F .∴BE ＝DE .在△DCE 和△BFE 中，⎩⎨⎧∠DEC ＝∠BEF ，∠C ＝∠F ，DE ＝BE ，∴△DCE ≌△BFE .(2)解：在Rt △BCD 中，∵CD ＝2，∠DBC ＝∠ADB ＝30°，∴BD ＝4.∴BC ＝2 3.在Rt △ECD 中，易得∠EDC ＝30°.∴DE ＝2EC .∴(2EC )2－EC 2＝CD 2.又∵CD ＝2，∴CE ＝233.∴BE ＝BC －EC ＝433.23．(1)证明：如图，连接AC .∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAC ＝∠DAC ＝60°，∴△ABC 和△ADC 都是等边三角形，∴∠ABE ＝∠ACF ＝60°，AB ＝AC ，∠1＋∠2＝60°.∵∠3＋∠2＝∠EAF ＝60°，∴∠1＝∠3.∴△ABE ≌△ACF .∴BE ＝CF .(2)解：四边形AECF 的面积不变．由(1)知△ABE ≌△ACF ，则S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC .如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝MC ＝2，∴AM ＝AB 2－BM 2＝42－22＝2 3.∴S △ABC ＝12BC ·AM ＝12×4×23＝4 3.故S 四边形AECF ＝4 3.24．解：(1)如图①.(2)如图②，连接AE ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点，∴∠P AE ＝∠P AB ＝20°，AE ＝AB .∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∴∠AED ＝∠ADE ，∠EAD ＝∠DAB ＋∠BAP ＋∠P AE ＝130°.∴∠ADF ＝180°－130°2＝25°. (3)EF 2＋FD 2＝2AB 2.证明如下：如图③，连接AE ，BF ，BD ，由轴对称和正方形的性质可得，EF ＝BF ，AE ＝AB ＝AD ，易得∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF .∵∠BAD ＝90°，∴∠ABF ＋∠FBD ＋∠ADB ＝90°.∴∠ADF ＋∠ADB ＋∠FBD ＝90°.∴∠BFD ＝90°.在Rt △BFD 中，由勾股定理得BF 2＋FD 2＝BD 2.在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD 2＝AB 2＋AD 2＝2AB 2，∴EF 2＋FD 2＝2AB 2.。
北师大版九年级数学上册第一章检测题(含答案)
第一章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(内江中考)下列命题中，真命题是( C )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．(西宁中考)如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为( D )A．5 B．4 C.342D.343．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是( C )A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BD D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD,第2题图),第4题图),第5题图),第6题图)4．如图，两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中，不一定成立的是( D )A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB＋∠BCD＝180°5．(衡阳中考)如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，则顶点M 、N 的坐标分别是( A ) A ．M(5，0)，N(8，4) B ．M(4，0)，N(8，4) C ．M(5，0)，N(7，4) D ．M(4，0)，N(7，4)6．(陕西中考)如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于点M′、N′，则图中的全等三角形共有( C )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对7．(广东中考)如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连接EF 为边的正方形EFGH 的周长为( B )A . 2B ．2 2C .2＋1D ．22＋18．(葫芦岛中考)如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB ＝9，BC ＝6，则FC′的长为( D )A .103B ．4C ．4.5D ．5 ,第7题图) ,第8题图),第9题图) ,第10题图)9．(广州中考)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B ＝90°时，如图1，测得AC ＝2，当∠B ＝60°时，如图2，AC ＝( A )A . 2B ．2C . 6D ．2 210．(宜宾中考)如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是( A )A ．4.8B ．5C ．6D ．7.2二、填空题(每小题3分，共18分)11．(成都中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为__33__.12．(青岛中考)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，连接BE ，ED ，BD.若∠BAD ＝58°，则∠EBD 的度数为__32__度．,第11题图) ,第12题图),第14题图),第16题图) 13．(兰州中考)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__.14．(江西中考)如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为__26__.15．(哈尔滨中考)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为__5.5或0.5__.16．已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长C n＝__2n＋1__.三、解答题(共72分)17．(6分)已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE＝CF.证明：易证△OBE≌△OCF(SAS)，∴BE＝CF18．(7分)如图，菱形ABCD中，E是对角线AC上一点．(1)求证：△ABE≌△ADE；(2)若AB＝AE，∠BAE＝36°，求∠CDE的度数．(1)证明：易证△ABE≌△ADE(SAS)；(2)解：∵AB＝AE，∠BAE＝36°，∴∠AEB＝∠ABE＝180°－∠BAE2＝72°，∵△ABE≌△ADE，∴∠AED＝∠AEB＝72°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAE＝36°，∴∠CDE＝∠AED－∠DCA＝72°－36°＝36°19．(7分)(贺州中考)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC ，AC ⊥BD ，垂足为点O.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若CD ＝3，BD ＝25，求四边形ABCD 的面积．(1)证明：易证△AOD ≌△COB(ASA )，∴AO ＝OC ，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝12BD ＝5，∴OC ＝CD 2－OD 2＝2，∴AC ＝2OC ＝4，∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝4 5 20．(7分)(上海中考)已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝EC.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD DE ＝DE EA ＝EC，∴△ADE ≌△CDE ，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBD ，∴∠CDE ＝∠CBD ，∴BC ＝CD ，∵AD ＝CD ，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形(2)∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ，∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，∴∠CBE ＝180×22＋3＋3＝45°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝45°，∴∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形21．(7分)(遵义中考)如图，矩形ABCD 中，延长AB 至E ，延长CD 至F ，BE ＝DF ，连接EF ，与BC 、AD 分别相交于P 、Q 两点．(1)求证：CP ＝AQ ；(2)若BP ＝1，PQ ＝22，∠AEF ＝45°，求矩形ABCD 的面积．(1)证明：易证△CFP ≌△AEQ(ASA )，∴CP ＝AQ(2)解：∵AD ∥BC ，∴∠PBE ＝∠A ＝90°，∵∠AEF ＝45°，∴△BEP 、△AEQ 是等腰直角三角形，∴BE ＝BP ＝1，AQ ＝AE ，∴PE ＝2BP ＝2，∴EQ ＝PE ＋PQ ＝2＋22＝32，∴AQ ＝AE ＝3，∴AB ＝AE －BE ＝2，∵CP ＝AQ ，AD ＝BC ，∴DQ ＝BP ＝1，∴AD ＝AQ ＋DQ ＝3＋1＝4，∴矩形ABCD 的面积＝AB·AD ＝2×4＝822．(8分)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，分别延长OA ，OC 到点E ，F ，使AE ＝CF ，依次连接B ，F ，D ，E 各点．(1)求证：△BAE ≌△BCF ；(2)若∠ABC ＝40°，求当∠EBA 为多少度时，四边形BFDE 是正方形．(1)证明：易证△BAE ≌△BCF(SAS )(2)解：若∠ABC ＝40°，则当∠EBA ＝25°时，四边形BFDE 是正方形．理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∠ABO ＝12∠ABC ＝20°，∵AE ＝CF ，∴OE ＝OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形，∵∠EBA ＝25°，∴∠OBE ＝25°＋20°＝45°，∴△OBE 是等腰直角三角形，∴OB ＝OE ，∴BD ＝EF ，∴菱形BFDE 是正方形23．(8分)(云南中考)如图，△ABC 是以BC 为底的等腰三角形，AD 是边BC 上的高，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点．(1)求证：四边形AEDF 是菱形；(2)如果四边形AEDF 的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF 的面积S.解：(1)∵AD ⊥BC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴Rt △ABD 中，DE ＝12AB ＝AE ，Rt △ACD 中，DF ＝12AC ＝AF ，又∵AB ＝AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴AE ＝AF ，∴AE ＝AF ＝DE ＝DF ，∴四边形AEDF 是菱形(2)如图，∵菱形AEDF 的周长为12，∴AE ＝3，设EF ＝x ，AD ＝y ，则x ＋y ＝7，∴x 2＋2xy ＋y 2＝49①，∵AD ⊥EF 于O ，∴Rt △AOE 中，AO 2＋EO 2＝AE 2，∴(12y)2＋(12x)2＝32，即x 2＋y 2＝36②，把②代入①，可得2xy ＝13，∴xy ＝132，∴菱形AEDF 的面积S ＝12xy ＝13424．(10分)(开江县期末)如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 上一点，以AE 为边作正方形AEFG .(1)求证：△ADG ≌△ABE ；(2)求证：∠FCN ＝45°；(3)请问在AB 边上是否存在一点Q ，使得四边形DQEF 是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．证明：(1)∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴DA ＝BA ，EA ＝GA ，∴∠BAD ＝∠EAG ＝90°，∴∠DAG ＝∠BAE ，∴△ADG ≌△ABE(2)过F 作BN 的垂线，设垂足为H ，∵∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∠FEH ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠HEF ，∵AE ＝EF ，∴△ABE ≌△EHF ，∴AB ＝EH ，BE ＝FH ，∴AB ＝BC ＝EH ，∴BE ＋EC ＝EC ＋CH ，∴CH ＝BE ＝FH ，∴∠FCN ＝45°(3)在AB 上取AQ ＝BE ，连接QD ，∵AB ＝AD ，∴△DAQ ≌△ABE ，∵△ABE ≌△EHF ，∴△DAQ ≌△ABE ≌△ADG ，∴∠GAD ＝∠ADQ ，∴AG 、QD 平行且相等，又∵AG 、EF 平行且相等，∴QD 、EF 平行且相等，∴四边形DQEF 是平行四边形．∴在AB 边上存在一点Q ，使得四边形DQEF 是平行四边形25．(12分)(1)如图1，正方形ABCD 中，点P 为线段BC 上一个动点，若线段MN 垂直AP 于点E ，交线段AB 于M ，交线段CD 于N ，证明：AP ＝MN ；(2)如图2，正方形ABCD 中，点P 为线段BC 上一动点，若线段MN 垂直平分线段AP ，分别交AB 、AP 、BD 、DC 于点M 、E 、F 、N.求证：EF ＝ME ＋FN ；(3)若正方形ABCD 的边长为2，求线段EF 的最大值与最小值．(1)证明：过B 点作BH ∥MN 交CD 于H ，∵BM ∥NH ，BH ∥MN ，∴四边形MBHN 为平行四边形．∴BH ＝MN.∵MN ⊥AP ，∴∠BAP ＋∠ABH ＝90°.又∵∠ABH ＋∠CBH＝90°，∴∠BAP ＝∠CBH.在△ABP 与△BCH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAP ＝∠CBH AB ＝BC∠ABP ＝∠BCH∴△ABP ≌△BCH.∴AP ＝BH.∴AP ＝MN(2)连接FA ，FP ，FC.∵正方形ABCD 是轴对称图形，F 为对角线BD 上一点，∴FA ＝FC.又∵FE 垂直平分AP ，∴FA ＝FP.∴FP ＝FC.∴∠FPC ＝∠FCP.∵∠FAB ＝∠FCP ，∴∠FAB ＝∠FPC.又∵∠FPC ＋∠FPB ＝180°，∴∠FAB ＋∠FPB ＝180°.∴∠ABC ＋∠AFP ＝180°.∴∠AFP ＝90°.∴FE ＝12AP.又∵AP ＝MN ，∴ME ＋EF ＋FN ＝AP.∴EF ＝ME ＋FN(3)由(2)有EF ＝12MN ，∵AC ，BD 是正方形的对角线，∴BD ＝2 2.当点P 和点B 重合时，EF 最小＝12MN ＝12AB ＝1.当点P 和点C 重合时，EF 最大＝12MN ＝12BD ＝ 2。
北师大版数学九年级上册第一章检测题附答案
北师大版数学九年级上册第一章检测题(特殊平行四边形)一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1．四边形ABCD的对角线AC＝BD，AC⊥BD，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是()A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形2．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，周长是16，则菱形的面积是()A．16 B．16 2 C．16 3 D．8 3第2题图第4题图第5题图3．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有()①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为()A．4 B．6 C．8 D．105．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥AB.下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形7．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补8．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③对角线相等的四边形④对角线互相垂直的四边形．A．①③B．②③C．③④D．②④9．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．矩形或菱形10．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8B．7C．4D．311．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm212．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1B．C．D．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为．14．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为________度时，两条对角线长度相等．第14题图15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为____________．第15题图第16题图16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝________时，平行四边形CDEB为菱形．三、解答题（共52分）17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD 于点E，求OE的长．19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．20.（8分）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)连接BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．21．（8分）如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.(1)求证：△ABF≌△CBE；(2)判断△CEF的形状，并说明理由．22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC 于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1.A2.D3.B4.C 5．D 6．D 7．A 8．D 9．D 10．A 11．A12．C ．二、填空题（每小题3分，共12分）13．3．14．90 15.(2＋2，2) 16.75三、解答题（共52分）17．证明：∵ABCD 是菱形，∴AB=AD ，∠B=∠D ．又∵EB=DF ，∴△ABE ≌△ADF ，∴AE=AF ，∴∠AEF=∠AFE ．18．解：∵对角线相等且互相平分，∴OA=OD∵∠AOD=60°∴△AOD 为等边三角形，则OA=AD ，BD=2DO ，AB=AD ，∴AD=2，∵AE ⊥BD ，∴E 为OD 的中点∴OE=OD=AD=1，答：OE 的长度为 1．19．证明：∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＋∠B ＝180°.∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠B ＋∠BCD ＝180°，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠B ＝∠D .∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°.在△ABM 与△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AMB ＝∠AND ，∠B ＝∠D ，AM ＝AN ，∴△ABM ≌△ADN ，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．20．解：(1)如图所示，EF 为所求直线．(2)四边形BEDF 为菱形．理由如下：∵EF 垂直平分BD ，∴BF ＝DF ，BE ＝DE ，∠DEF ＝∠BEF .∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠BEF ＝∠BFE ，∴BE ＝BF . ∵BF ＝DF ，∴BE ＝ED ＝DF ＝BF ，∴四边形BEDF 为菱形．21.(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝90°.∵△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF ＝90°，∴BE ＝BF ，∠EBC ＋∠FBC ＝90°. 又∵∠ABF ＋∠FBC ＝90°，∴∠ABF ＝∠CBE .在△ABF 和△CBE 中，有⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABF ＝∠CBE ，BF ＝BE ，∴△ABF ≌△CBE (SAS)．(2)解：△CEF 是直角三角形．理由如下：∵△EBF 是等腰直角三角形，∴∠BFE ＝∠FEB ＝45°，∴∠AFB ＝180°－∠BFE ＝135°. 又∵△ABF ≌△CBE ，∴∠CEB ＝∠AFB ＝135°，∴∠CEF ＝∠CEB －∠FEB ＝135°－45°＝90°，∴△CEF 是直角三角形．22．解：（1）证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴∠FCM=∠FCD +∠DCM=180°，∴F 、C 、M 三点共线，∴DE=DM ，∠EDM=90°，∴∠EDF +∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，在△DEF 和△DMF 中，，∴△DEF ≌△DMF （SAS ），∴EF=MF ；（2）设EF=MF=x ，∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC +CM=3+1=4，∴BF=BM ﹣MF=BM ﹣EF=4﹣x ，∵EB=AB ﹣AE=3﹣1=2，在Rt △EBF 中，由勾股定理得EB 2+BF 2=EF 2，即22+（4﹣x ）2=x 2，解得：x=，则EF=．23．（1）证明：如图1，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）证明：如图1，∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，∴∠EBC=∠DBC=22.5°，由（1）知△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），∴∠BGF=90°；在△DBG和△FBG中，，∴△DBG≌△FBG（ASA），∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），∵BD==，∴BF=，∴CF=BF﹣BC=﹣1；（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF∴BH=﹣1，①当BH=BP时，则BP=﹣1，∵∠PBC=45°，设P（x，x），∴2x2=（﹣1）2，解得x=1﹣或﹣1+，∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1，∵∠ABD=45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P（﹣1，﹣1）；③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P（，），综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）、（﹣1+，﹣1+）、（﹣1，﹣1）、（，）．。