理论力学-第10章1
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理论力学 第十章振动
k2
k1
δ st
r F1
k eq = k1 + k 2
δ st r
r mg
keq k1 + k 2 = m m
m
r F2
mg = k eqδ st
keq称为等效弹簧刚性系数 并联系统的固有频率为
mg k2
ωn =
当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。 这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
O
δ st
x
r F r P
则解为：
x = A sin(ω nt + θ )
表明：无阻尼自由振动是简谐振动。 其运动图线为：
x
A
x
x0
θ ωn
O
t
t+T
x
2.无阻尼自由振动的特点 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率 ）
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t， 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时 ，其 运动规律x（t）总可以写为: 运动规律 （ ）总可以写为: x（t）= x（t+T） （） （ ） T为常数，称为周期，单位符号为s。 为常数， 周期， 符号为 为常数 称为周期 单位符号 。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动 后又重复原来的运动。 这种振动经过时间 后又重复原来的运动。 考虑无阻尼自由振动微分方程 考虑无阻尼自由振动微分方程
r F r P
x
两个根为： r1 = +iω n 方程解表示为：
r2 = −iω n
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
理论力学第10章 质点动力学
4 4
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
《理论力学》第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
26
3、求质心加速度
aC
aB
aCt B
aCnB
4、质心运动定理求约束力，受力分析
ma Cx FixE FA sin450 maCy FiyE FB mg FA cos 450
O
450
1m
A
C
vB
aB
450
B
FA
A
mg
x
FB
C
450
B
★理论力学电子教案
0
px const
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
18
例题 图示机构，均质杆OA长l，质量为m1，滑块A的质量为m2， 滑道CD的质量为m3。OA杆在一力偶（图中未画出）作用下作 匀角度ω转动。试求O处的水平约束反力（机构位于铅直平面
内，各处摩擦不计）。 C
A
O
E
D
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
27
ma A
第10章 质心运动定理
14
M
C aC mg
FN
F
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
§2 质点系动量、冲量
质点动量： 质点系动量：
p mv
P mivi mvC
问：刚体系动量？
元冲量：
dI F dt
冲量：
t2 t2
I dI F dt
t1
t1
15
p mv
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
1
第十章 质心运动定理&动量定理
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
(完整版)理论力学_动力学课件
dpx
/
dt
F (e) x
dp y
/
dt
F (e) y
微 分 形
dpz
/
dt
F (e) z
式
px
p0 x
I
(e) x
py
p0 y
I
(e y
)
积 分 形
pz
p0 z
I
( z
e
)
式
12 动量矩定理 12.1 质点和质点系的动量矩
理论力学 （运动学）
教 材:《理论力学》 陈国平 罗高作 主编 武汉理工大学出版社
参考书: 《建筑力学》 钟光珞 张为民 编著 中国建材工业出版社
《建筑力学》 周国瑾等 编著 同济大学出版社
《理论力学》 范钦珊 主编 清华大学出版社
10 质点动力学
第10章 质点动力学的基本方程
§10-1 动力学的基本定律
画受力图
（2） 研究对象运动分析
（3） 列方程求解求知量
Fx
F
P sin
P g
a
Fy FN P cos 0
y
x
a
F
F
P(sin
a g ), FN
P cos
P
FN
F f FN
f min
a
g cos
tan
11 动量定理 §11-1 动量与冲量
§11-2 动量定理
1. 质点的动量定理
dp d(mv) ma F dt dt
理论力学 陈立群 第10章能量方法习题解答
第十章质点系动力学——能量方法 习题解答10-1半径为r 的匀质圆轮质量均为m ，图（a ）和（b ）所示为轮绕固定轴O 作定轴转动，角速度为ω；图（c ）为轮作纯滚动，轮心速度为v 。
试写出它们的动能。
解：（a ）匀质圆轮作定轴转动， 对O 点的转动惯量为 2222321mr mr mr J O =+=，动能为2224321ωωmr J T O ==。
（b ）匀质圆轮作定轴转动，对O 点的转动惯量为 222121mr mr J O ==， 动能为2224121ωωmr J T O ==。
（c ）匀质圆轮作作纯滚动，ωr v =，动能为222432121mv J mv T C =+=ω10-2匀质杆OA 长l ，质量为m ，绕O 点转动的角速度为ω；匀质圆盘半径为r ，质量也为m 。
求下列三种情况下系统的动能： （1）圆盘固结于杆；（2）圆盘绕A 点转动，相对杆的角速度为ω-； （3）圆盘绕A 点转动，相对杆的角速度为ω。
解：（1）圆盘固结于杆。
对O 点转动惯量为2222221342131mr ml ml mr ml J O +=++=动能为()22223812121ωωm r l J T O +==（2）圆盘绕A 点转动，相对杆的角速度为ω-，则圆盘作平移，质心速度为ωl v =。
动能为： T=T 杆+T 盘=22222223221612121ωωωml mv ml mv J O =+=+（3）圆盘绕A 点转动，相对杆的角速度为ω，则圆盘的角速度为ω2。
T=T 杆+T 盘=()()222222222412*********ωωωωωmr l m ml J mv J C O ++=++()222321ωm r l +=。
10-3质量为m 1的匀质杆，长为l ，一端放在水平面上，另一端与质量为m 2、半径为r 的匀质圆盘在圆盘中心O 点铰接。
圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v 。
求系统在此位置的动能。
理论力学第七版第十章 动量定理
第九章 质点动力学的基本方程 课程回顾 1、牛顿三定律适用于惯性参考系
(1) 质点具有惯性，其质量是惯性的度量 质点具有惯性， (2)作用于质点的力与其所产生的加速度成比例 (2)作用于质点的力与其所产生的加速度成比例 (3)作用力与反作用力等值、方向、共线， (3)作用力与反作用力等值、方向、共线，分别 作用力与反作用力等值 作用于两物体上。 作用于两物体上。
§10-1 动量与冲量 10一、冲 量
单位： N·s 1、常力的冲量 常力与作用时间t的乘积 F·t 称为常力的冲量。并用I表 常力与作用时间t 称为常力的冲量。并用I 冲量是矢量，方向与力相同。 示，冲量是矢量，方向与力相同。
I = F⋅ t
2、变力的冲量 若力F是变力， 若力 是变力，可将力的作用时间 t 分成无数的微小时间 是变力 dt，在每个 dt 内，力 F 可视为不变。 可视为不变。 ， 元冲量——力 元冲量——力F在微小时间段 dt 内的冲量称为力F 的元冲量。 内的冲量称为力F 元冲量。 变力 F 在 t1~t2 时间间隔内的冲量为： 时间间隔内的冲量为：
§10-2 动量定理 10二、冲量定理
p2 − p1 = ∑∫ F dt ≡ ∑I
t1
t2
t2
(e)
具体计算时，往往写成投影形式， 具体计算时，往往写成投影形式，即
p2x − p1x = ∑∫ Fx dt ≡ ∑Ix
t1
(e)
p2y − p1y = ∑∫ Fy dt ≡ ∑Iy
t2 t1
(e)
p2z − p1z = ∑∫ F dt ≡ ∑Iz z
I = ∫ Fdt
t1
t2
§10-1 动量与冲量 102、变力的冲量
t
I =∫ F dt
(1) 质点具有惯性，其质量是惯性的度量 质点具有惯性， (2)作用于质点的力与其所产生的加速度成比例 (2)作用于质点的力与其所产生的加速度成比例 (3)作用力与反作用力等值、方向、共线， (3)作用力与反作用力等值、方向、共线，分别 作用力与反作用力等值 作用于两物体上。 作用于两物体上。
§10-1 动量与冲量 10一、冲 量
单位： N·s 1、常力的冲量 常力与作用时间t的乘积 F·t 称为常力的冲量。并用I表 常力与作用时间t 称为常力的冲量。并用I 冲量是矢量，方向与力相同。 示，冲量是矢量，方向与力相同。
I = F⋅ t
2、变力的冲量 若力F是变力， 若力 是变力，可将力的作用时间 t 分成无数的微小时间 是变力 dt，在每个 dt 内，力 F 可视为不变。 可视为不变。 ， 元冲量——力 元冲量——力F在微小时间段 dt 内的冲量称为力F 的元冲量。 内的冲量称为力F 元冲量。 变力 F 在 t1~t2 时间间隔内的冲量为： 时间间隔内的冲量为：
§10-2 动量定理 10二、冲量定理
p2 − p1 = ∑∫ F dt ≡ ∑I
t1
t2
t2
(e)
具体计算时，往往写成投影形式， 具体计算时，往往写成投影形式，即
p2x − p1x = ∑∫ Fx dt ≡ ∑Ix
t1
(e)
p2y − p1y = ∑∫ Fy dt ≡ ∑Iy
t2 t1
(e)
p2z − p1z = ∑∫ F dt ≡ ∑Iz z
I = ∫ Fdt
t1
t2
§10-1 动量与冲量 102、变力的冲量
t
I =∫ F dt
《理论力学》第10-11章习题参考解答
1 2
(1 3
G1 g
r 2 ) 2
(G1
G2 )
r 2
求得：
3g(G1 G2 ) r(G1 3G2 )
,
vB
r
3(G1 G2 )gr (G1 3G2 )
②分析AB杆各点的加速度，由基点法得：
aB
aA
aAn
aB A
将矢量方程在铅垂方向投影得：
0
a
n A
aBA
所以：
AB
aBA L
aAn L
《理论力学》第10章习题参考解答
FD
解：已知：
T 10(s), n 2 4 (rad / s) 60
①分析OA的受力，有：
F 3.5 FD 1.5
FD
7 3
F
②取轮子为研究对象，动力学方程为：
(1 2
mr2 )
Fs r
FS
FD f
7Ff 3
求得： 14Ff 3mr
因为角加速度为常数，所以轮子作匀减速运动，则有：
G2 g
aC
FB
L 2
FAy
L 2
(1 12
G2 g
L2 ) AB
解方程得：
FB
G2 (G1 2G2 ) G1 3G2
vB
AB aC
aB
aB A
aCn aB A
C
FB
G2
vA aA aAn FAy FAx
r 2 L
3g(G1 G2 ) (G1 3G2 )L
③分析AB杆各点的加速度，由基点法得： aC aCn aA aAn aCA
将矢量方程在铅垂方向投影得：
aC
a
n A
aC A
理论力学 第六版部分习题答案 第十章
上式代入式（4）得
FN = 4mB g − mB
10-6 如图 11-10a 所示，质量为 m 的滑块 A，可以在水平光滑槽中运动，具有刚性系 数为 k 的弹簧 1 端与滑块相连接，另 1 端固定。杆 AB 长度为 l，质量忽略不计，A 端与滑 块 A 铰接，B 端装有质量 m1，在铅直平面内可绕点 A 旋转。设在力偶 M 作用下转动角速度 ω 为常数。求滑块 A 的运动微分方程。
F = 1 068 N = 1.068 kN 10-3* 如图 11-3a 所示浮动起重机举起质量 m1=2 000 kg 的重物。设起重机质量 m2=20 000 kg，杆长 OA=8 m；开始时杆与铅直位置成 60°角，水的阻力和杆重均略去不计。当起 重杆 OA 转到与铅直位置成 30°角时，求起重机的位移。
vC = 2vC1 = lω
代入式(1)，得
149
p=
lω (5m1 + 4m2 ) （方向如图 11-7b 所示） 2
A
p
vC
C
vC1
ω
O
ωt
C1
B
(a) 图 11-7
(b)
10-5
质量为 m1 的平台 AB，放于水平面上，平台与水平面间的动滑动摩擦因数为 f。
质量为 m2 的小车 D，由绞车拖动，相对于平台的运动规律为 s = 不计绞车的质量，求平台的加速度。
棱柱 B 接触水平面时系统质心坐标
a b ⎤ ⎡ m A (l − ) + m B ⎢l − (a − )⎥ 3 3 ⎦ 3(m A + m B )l − a(m A + 3m B ) + m B b ⎣ ′ = = xC m A + mB 3(m A + m B )
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质点系动能的微分等于作用在质点系上所有力的元功之和
1 d T d ( mi v i2 ) Fi d ri δ Wi 2
—— 微分形式
δ Wi dT Ni N dt dt
N 称为力的功率(单位时间内该力 所作的功)。
质点系动能改变量等于运动过程中作用在质点系上的 所有可以作功的力所作之功的代数和。
内力的功 刚体的内力不作功
刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体 的内力所作功之和恒等于零。
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理想约束的情形
光滑的固定支承面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和 活动支座都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或 作功之和等于零。 柔性约束也是理想约束。因为它们只有在拉紧时才 受力，这时与刚性杆一样，内力作功之和等于零。
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1 2 1 T mvC J C 2 2 2
其中vC为刚体质心的速度；JC为刚体对通过质心且 垂直于运动平面的轴的转动惯量。
质点的动能定理的两种 形式。微分形式为 积分形式为
1 2 d( mv ) F d r δ W 2 1 2 1 2 mv2 mv1 W12 2 2
1 1 1 2 2 2 T mi vi ( mi )vC mvC 2 2 i 2
式中m为刚体的质量；vC为质心的速度。 上述结果表明，刚体平移时的动能，相当于将刚 体的质量集中于质心时的动能。
定轴转动刚体的动能
刚体以角速度 绕定轴z转动时，其上－点的速度为
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2m M
1 1 1 2 2 2 2 2 T m(vD vr ) m(vD vr 2vD vr cos ) m0vD 2 2 2
2m(2m m0 ) m2cos 2 2 vr 2(2m m0 )
动能
质点系的动能－例 题 1
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根据运动学分析，得到
v A R A vC R B
T1 0 ,
解：2. 确定外力的功: 设下降高度h
v A vC
3 2 T2 mv A 2
物块的重力和轮A的重力分别作正功和负功。于是，系统外 力的总功为
1 W12 mgh mghcos60 mgh 2
3．应用动能定理的积分形式：
T2 T1 W1－2
—— 积分形式
均质圆轮A、B质量均为m， 半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动 ，轮B作定轴转动，B处摩擦不计 。物块C的质量也为m。A、B、C 用无质量的绳相联，绳相对B轮 无滑动。系统初始为静止状态。 试求： 1．当物块C下降高度为h时，轮A质心的速度及轮B的角速度。 2．系统运动时，物块C的加速度。 解：以整个系统为研究对象。画出系统中作功的力。
vi ri
因此，定轴转动刚体的动能为
1 1 2 1 2 2 T mi (ri ) ( mi ri ) J z 2 2 i 2 2 i
其中Jz为刚体对定轴z的转动惯量。
动能
刚体的动能
平面运动刚体的动能
刚体的平面运动可分解为随质心的平移和绕质心 的相对转动， 因此平面运动刚体的动能 为
求：系统的等效质量、等效刚度与系统的固有频率。 解：这是一个单自由度振动的刚体系统，现研究怎样将 其简化为弹簧－质量模型。 与以前所研究过的问题相比，系统中增加了平面运 动，可以根据动能定理建立系统的运动微分方程，从 而得到系统的等效质量和等效刚度。
以整个系统为研究对象 ，作功的力A、B轮的重力和 弹簧的弹性力。 系统的动能表达式为
1 1 2 1 2 1 2 2 T mvA J A A J B B mvC 2 2 2 2
v A R A , vC R B , v A vC
x B , R
3 2 T mv A 2
以物块C的位移x为广义坐标，静平衡位置取为座标原点
, vC x
定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功
扭转弹簧力矩的功 假设扭簧上的杆处于 水平时扭簧未变形，且变 形时在弹性范围之内。变 形时扭簧作用于杆上的力 对点O之矩为
M k
其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度θ1转到角度θ2时所作 的功为
W12
2
1
1 2 1 2 k d k1 k2 2 2
动能是度量质点系整体运动的一物理量。动能是正标量， 其数值与速度的大小有关，但与速度的方向无关。
例题1
设重物A、B的质量为mA=mB=m， 三角块D的质量为m0 ，置于光滑地 面上。圆轮C和绳的质量忽略不计。 系统初始静止。 求：当物块以相对速度Vr下 落时系统的动能。
解：开始运动后，系统的动能为
v v v
2 A 2 D
2 B 2 D 2 r 2
2 r
2
v v v 2v D vr cos (v D vr cos ) (vr sin )
注意到,系统水平方向上动量守恒，故有
m A v Ax mB v Bx mD v Dx 0
mvD m(vD vr cos ) m0vD 0
力Fi在点的轨迹上从M1点到 M2点所作的功 由此得到了两个常用的功的表达式 对于质点： 重力的功 对于质点系:
W12
M2
M1
Fi d ri
W12 mg z1 z2
W12 mg zC1 zC 2
k 2 W12 （ 1 22） 2
弹性力的功
于是，力在刚体由角度1转到角度2时所作 的功为 力偶的功
W12 M z ( F )d
1
2
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若力偶矩矢M与z轴平行，则M所作之功为
W12 M d
1
2
若力偶矩矢M为任意矢量，则M所作之功为
W12 M z d
1 2
其中 Mz为力偶矩矢 M 在z轴上的投影。
, v A vC x
, vC x
x B , R
, v A vC x
则动能表达式可以写为
3 2 T mv A 2
1 1 1 2 2 2 T mAvA mB vB m0vD 2 2 2
v v v
2 A 2 D
2 B 2 D 2 r
2 r
2 2
v v v 2v D vr cos (v D vr cos ) (vr sin ) mvr cos vD mvD m(vD vr cos ) m0vD 0
通过本例的分析过程可以看出，确定系 统动能时，注意以下几点是很重要的：
系统动能中所用的速度必须是绝对速度。
正确应用运动学知识，确定各部分的速度。
刚体的动能
刚体的动能取决于刚体的运动形式，下面逐一 加以讨论。
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平移刚体的动能
刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速 度，并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能
Fx dx Fy dy Fz dz
需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的全 微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示。 W 仅是Fi.dri 的一种记号。
力Fi 在点的轨迹上从一点到另一点所作的功 力Fi 在点的轨迹上从M1点 到M2点所作的功
W12
M2
M1
Fi d ri
第三篇 工程动力学基础
第10章 动能定理及其应用
动能是物体机械能的一种形式，也是作 功的一种能力。动能定理描述质点系统动能 的变化与力作功之间的关系。动量定理、动 量矩定理用矢量方程描述，动能定理则用标 量方程表示。求解实际问题时，往往需要综 合应用动量定理、动量矩定理和动能定理。
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dh vC v A dt
dvC dvA aC dt dt
物块的加速度为
g gh 2 2vC aC vC vA 3 3 g aC a A 6
例题
均质圆轮A、B的质量均为m， 半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动 ，轮B作定轴转动，B处摩擦不计 。物块C的质量为m。A、B、C用 轻绳相联，绳相对B轮无滑动。系 统初始为静止状态。圆盘A的质心 处加一不计质量的弹簧，弹簧刚度 系数为k
第10章 动能定理及其应用
TSINGHUA UNIVERSITY
力的功 动能 动能定理及其应用 势能的概念 机械能守恒定律及其应用
动力学普遍定理的综合应用
结论与讨论
M1
力的功定义
M2
δW Fi d ri Fi dscos Fi ，d ri
力Fi的元功
纯滚动的圆盘，因其在接触点无相对位移，圆盘与 地面接触点上的每对摩擦力作功之和恒等于零，因此纯 滚动的圆盘也可看成具有理想约束。
纯滚动时，滑动摩擦力(约束力)不作功
vO O C* F FN
C* 为瞬时速度中心 ，在这一瞬时C*点的速 度为零。作用在C*点的 摩擦力F 所作元功为
dWF F d rC
定轴转动的转角和弧长的关系为
ds Rd
则力F 的元功为 dW F d r F Rd M z ( F )d
M z ( F ) F R
－力F对轴z的矩
于是，力在刚体由角度1转到角度2时所作的功为
W12 M z ( F )d
1
2
定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功
k W12 [( r1 l 0 ) 2 (r2 l 0 ) 2 ] 2
上式中， 1 、 2 分别为弹簧在初始位置和最终位置的 变形量 。