理论力学第十章
0 , 则 p = 恒矢量
若外力恒等于零，则质点系的动量保持不变。 若 Fx
(e)
0 , 则 px = 恒量
若外力在某一坐标轴分量等于零，则质点系的动量在 该坐标轴的分量也保持不变。
例10-3 物块 A可沿光滑水平面自由滑动，其质量mA； 小球 B的质量为mB，以细杆与物块铰接，如图所示。设杆长 为l，质量不计，初始时系统静止，并有初始摆角0；释放后， 细杆近似以 =0cost 规律摆动 (为已知常数) 。 求：物块 A 的最大速度。 水平方向受合外力为零， 所以水平方向动量守恒。 小球向左，A 向右。 小球有最大速度，对应于 物块 A 有最大速度。
l 2m1 m1 2 yC sin t l sin t 2m1 m2 2m1 m2
消去 t 得轨迹方程
xC yC 1 2(m1 m2 )l /(2m1 m2 ) m1l /(2m1 m2 )
轨迹为椭圆
2
2
系统动量沿 x , y 轴的投影为:
(i )
内力冲量的矢量和
质
点:
d(mi vi ) Fi dt Fi dt
(e) (i )
质点系:
d(mi vi ) Fi (e)dt Fi (i )dt d (mi vi ) dp Fi dt
(e)
=0
得
dp Fi ( e) dt dIi( e)
m2e sin t
2
m2e cos t
2
Skip 例10-2 流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩,流动 是稳定的。求管壁的附加动约束力。 解：取两截面aa与bb，在dt时间内这部分流体流到a1a1与b1b1之间 设 qV 为流体在单位时间内流过截面的体积流量 dt 内流过截面的质量为 dt 时间内动量变化为
F ,
x
F ,
maz
F
z
动量定理积分形式的投影式
p 2 x p1x I x(e)
(e) p2 y p1 y I y
p2 z p1z I z(e)
例10-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为
m1,转子质量为m2。定子和机壳质心O1,转子质心O2,O1O2=e, 角速度为常量。求基础的水平及铅直约束力。
(c)质心速度vC 0，动量为零 思考题10-1
2．冲量
物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和 方向有关，还与作用时间的长短有关。 用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。 常力的冲量
I Ft
若力 F 为变量，则微小时间间隔 dt 内，力 F 的冲量称为 元冲量 在 t1 ~ t2 内的冲量 单位： N· s
与重心相似
mi yi yC , m
mi zi zC m
例10-4 已知:为常量,均质杆OA = AB = l ,两杆质量皆为m1,
滑块 B 质量m2
求:质心运动方程、轨迹及系统动量。
系统包含3部分：
OA 杆 AB 杆
B 滑块
解: 各组成部分的质量和质心坐标 分别为： OA 杆 质量 m1
2
Fx m2 e sin t
2
Fy (m1 m2 ) g m2 e 2 cos t
电机不转时(即 = 0),Fx = 0 ,Fy = (m1 + m2)g ,称静约束力,
电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束力 动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力 本题的附加动约束力为 x方向: y方向:
dp Fi ( e ) dt
动量求导，得力
或
d(mv ) dv m 本质上等同于 dt dt
F
(e) i
称为 质点系动量定理的微分形式 ，即质点系动量的增量 等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和；或质点系动 量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和。
在 t1 ~ t2 内, 动量 p1 ~ p2 , 有
活塞上作用一恒力F。
不计摩擦及滑块 B 的质量, 求:作用在曲柄轴 A 处的最 大水平约束力Fx 。
xC ~ aC ~ F
解:列质心运动定理在 x 轴的投影式
(m1 m2 )aCx Fx F
1 r xC m1 cos m2 (r cos b) 2 m1 m2 d 2 xC r 2 m1 aCx 2 m2 cos t dt m1 m2 2
dI Fdt
I Fdt
t1 t2
§10-2 动量定理
1.质点的动量定理 d (mv ) F 牛顿第二定律 dt 或 d(mv ) Fdt
称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量 等于作用于质点上的力的元冲量。
在 t1 ~ t2 内, 速度由 v1 ~ v2 , 有
mv2 mv1 Fdt I
2.质心运动定理
n d (e) ( mv ) F 由质点系动量定理的微分形式 C i i 1 dt
得
n dvC (e) m Fi i 1 dt
或
maC Fi
i 1
n
(e)
称为质心运动定理，质点系的质量与质心加速度的乘积等 于作用于质点系外力的矢量和。 质点系质心的运动，可看成一个质点的运动，整个质点系的 质量以及所受外力都集中在质心上。 内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。
vr lmax l0
量定理中速度应为绝对速度 解得最大速度为
思考题10-5
mBl0 mB vr v mA mB mA mB
思考题10-5 两物块A和B，质量分别为mA和mB ，初始静止。如A沿斜面下滑 的相对速度为 v r ，如图所示。设B向左的速度为v，根据动量守 恒定律，有 对吗?
mAvr cos mBv
不对。动量定理中使用的是绝对速度。
mA (v vr cos ) mBv
§ 10-3
质心运动定理
——点的运动
1．质量中心（简称质心）
mi ri , m 为质点系的总质量 m m i rC m
质心位置反映出质点系质量分布情况
投影形式为
mi xi xC , m
C 2(m1 m2 )l sin t px mvCx mx
C m1l cos t p y mvCy my
系统动量的大小为:
p
p p l 4(m1 m2 ) sin t m cos t
2 x 2 y 2 2 2 1 2
动量的方向沿质心轨迹的切线方向，可用其方向余弦表示。
(e)
若外力恒等于零，则质点系的质心速度保持不变。
若
F
(e) x
0
则
vCx 常量
若外力在某一坐标轴分量等于零，则质点系的质心 速度在该坐标轴的分量也保持不变。 与动量守恒定律对比
dp (e) Fi dt
例10-5 均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不
变的角速度 转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D, 如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C。在
l xC1 cos 2
AB 杆
质量 m1
l yC1 sin 2
xC 2
B 滑块
3l cos 2
质量 m2
yC 2
l sin 2
xC 3 2l cos
yC 3 0
设
t，则质心运动方程为
l 3l m1 m1 2m2l 2 2 xC cos t 2m1 m2 2(m1 m2 ) l cos t 2m1 m2
称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔内，质点 动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。
t1
t2
2.质点系的动量定理
外力:
Fi ,
(e)
内力:
Fi
(i )
内力性质: （1） Fi
(i )
0
内力成对出现，等值反向
(i ) M ( F （ 2） O i )0
（3） Fi dt 0
解: 系统水平方向不受外力作用，则沿水平方向动量守恒 细杆角速度
0 sin t
0
因为 0 cos t
当 sin t 1 ，其绝对值最大，此时应有 cos t 0 ，即 类似于谐振动规律 x=x0cost, 在x=0处速度v最大。 铅垂时小球相对于物块有最大的水平速度，其值为 当此速度 v r 向左时，物块应向右的绝对 速度，设为 v ，而小球向左的绝对速度 值为 va vr v v 相当于 ve
i
drC d n d p mi ri mrC m mvC dt i 1 dt dt 质心速度
即
p mvC
质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积
p mvC
质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积
1 1 (a)质心速度 vC l ，动量大小为 p ml ，方向同 vC 2 2 (b) 动量大小为 p mvC ，方向同 vC
在爆破山石时，土石碎块向各处飞落，如图所示。在尚无 碎石落地前，全部土石碎块的质心运动与一个投射质点的 运动一样，设想这个质点的质量等于质点系的全部质量， 作用在这个质点的运动轨迹，可以在定向爆破时，预先估 计大部分土石块堆落的地方。
质点系质心的运动，可以看 成为一个质点的运动，设想 此质点集中了整个质点系的 质量及其所受的外力 。
dm qV dt
p p0 pa1b1 pab ( pbb1 pa1b ) ( pa1b paa1 )
pbb1 paa1
qV dt (vb va )
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理论力学第十章
第十章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理。
注意动量、动量矩、动能与力系的主矢、主矩和做功之间的关系。
注意刚体上的一个重要的点：质心。
重点：动量定理和质心运动定理。
§10--1 动量与冲量1、动量的概念：物体之间的相互作用效应跟质量与速度的乘积有关。
飞针穿透玻璃；高速路上的飞石；飞鸟撞击飞机；子弹击中目标。
/ kg m s单位:⑴、质点的动量：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量。
()mv 动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
⑵、质点系的动量：质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
李禄昌1()n i i i p m v ==∑()i i c m r r m∑=质心公式：1()n i i i dr m dt ==∑()i i d m r dt =∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？⑵、质点系的动量：( )c d m r dt = cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
c ωv C =0v Cc ωc o v C2．冲量的概念：I Ft =常力的冲量：I F t =d d 变力的元冲量：0tI F t=⎰d 在作用时间t 内的冲量: 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
冲量：作用力与作用时间的乘积。
冲量是矢量，冲量的单位是N.S 。
在~ 内，速度由~ ，有1t 2t 1v 2v §10-2 动量定理1、质点的动量定理：由牛顿第二定律：()mv Ft =d d ()mv F t=d d 得：质点动量定理的微分形式：质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
221t mv mv F t I -==⎰d外力：，内力：()e i F ()i i F 质点动量定理的积分形式：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。
理论力学第十章PPT
(i )
) =0
∑ Fi dt = 0
d(mi vi ) = Fi (e) dt + Fi (i) dt
质点系： ∑d(mi vi ) = ∑ Fi (e) dt + ∑ Fi (i) dt
得 dp = ∑ F dt = ∑dI i
(e)
(e) i
或
dp (e) = ∑ Fi dt
称为质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力 元冲量的矢量和； 或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和。
在 t1 t2 内，动量由 p1~ p2 ，有 ~
p2 − p1 = ∑ Ii(e)
i=1
n
称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间 间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内 作用于质点系外力冲量的矢量和。 动量定理微分形式的投影式
dpx = ∑ Fx(e) dt
dpy dt
= ∑F
(e) y
dpz = ∑ Fz(e) dt
动量定理积分形式的投影式
( p2x − p1x = ∑ I xe)
( p2y − p1y = ∑I ye)
p2z − p1z = ∑ I z(e)
3．质点系动量守恒定律 ．
若 ∑F
(e)
≡ 0 ， 则 p = 恒矢量
若 ∑ Fx
(e)
≡ 0， 则 px = 恒量
解决动量定理习题步骤
第十章 动 量 定 理
§10-1 动量与冲量
1．动量 ． 质点的动量 质点系的动量
mv
n i=1
单位： kg⋅ m/ s
p = ∑mivi
dri d p = ∑mivi = ∑mi = ∑mi ri dt dt ∑mi ri 质心 rc = ， m = ∑mi m
) =0
∑ Fi dt = 0
d(mi vi ) = Fi (e) dt + Fi (i) dt
质点系： ∑d(mi vi ) = ∑ Fi (e) dt + ∑ Fi (i) dt
得 dp = ∑ F dt = ∑dI i
(e)
(e) i
或
dp (e) = ∑ Fi dt
称为质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力 元冲量的矢量和； 或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和。
在 t1 t2 内，动量由 p1~ p2 ，有 ~
p2 − p1 = ∑ Ii(e)
i=1
n
称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间 间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内 作用于质点系外力冲量的矢量和。 动量定理微分形式的投影式
dpx = ∑ Fx(e) dt
dpy dt
= ∑F
(e) y
dpz = ∑ Fz(e) dt
动量定理积分形式的投影式
( p2x − p1x = ∑ I xe)
( p2y − p1y = ∑I ye)
p2z − p1z = ∑ I z(e)
3．质点系动量守恒定律 ．
若 ∑F
(e)
≡ 0 ， 则 p = 恒矢量
若 ∑ Fx
(e)
≡ 0， 则 px = 恒量
解决动量定理习题步骤
第十章 动 量 定 理
§10-1 动量与冲量
1．动量 ． 质点的动量 质点系的动量
mv
n i=1
单位： kg⋅ m/ s
p = ∑mivi
dri d p = ∑mivi = ∑mi = ∑mi ri dt dt ∑mi ri 质心 rc = ， m = ∑mi m
10《理论力学》课件
n
r I (e)
i
i 1
－－质点系动量定理微分形式的投影式 －－质点系动量定理的积分形式
即在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于在这段时
间内作用于质点系外力冲量的矢量和.
p2 x
p1x
I
(e) x
p2 y
p1y
I (e) y
p2 z
p1z
I
(e) z
－－质点系动量定理积分形式的投影式
3．质点系动量守恒定律
r dIi(e)
Fi(i)dtr dp
或
dt
r F (e)
i
－－质点系动量定理的微分形式
即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢 量和;或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的 矢量和.
dpx dt
F (e) x
dpy dt
F (e) y
dpz dt
F (e) z
pr 2
pr1
力在此段时间内的冲量.
2.质点系的动量定理
外力: 内力性质:
r Fi ( e,)
r
r
内力:
F (i) i
r
r
F (i) i
0
MO (Fi(i) ) 0
r Fi(i)dt
0
质 点: 质点系:
dpr
d(mivri )
r d(mivi
)
r
Fi(e)dt
r
r
Fi
(e)dt
r
Fi(i)dt
r
Fi(e)dt
问题：内力是否影响质心的运动？ 质心运动定理与动力学基本方程有何不同？
在直角坐标轴上的投影式为:
ma
Cx
理论力学第10章 质点动力学
4 4
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
[法律资料]理论力学 第10章 动静法
![[法律资料]理论力学 第10章 动静法](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/c863420e1eb91a37f1115c86.webp)
m1 πR12l m2 π R22l
Jz
1 2
π l(R14
R24 )
1 2
π l(R12
R22 )(R12
R22 )
由 π l(R12 ，R22得) m
Jz
1 2
m(
R12
R22 )
h
21
5．实验法 思考：如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？
1.平移
ai aC
rC
miri M
F g,F 1 g, 2,F g nF R g
,
F R gF g im ia i M a C
M g o m 0 ( F g ) i r i m i a i (m i r i ) a C
M r C a C r C ( M a C ) r C F Rg
力系平衡条件
Fi(e) Fi(i) Fgi 0 mo (Fi(e) ) mo (Fi(i) ) mo (Fgi ) 0
注意内力力系自相平衡
Fi(i) 0 mo (Fi(i) ) 0
推得
Fi(e) Fgi 0 mo (Fi(e) ) mo (Fgi ) 0
h
12
解：1. 研究重物H
Fy 0
Fg1m1a12m1a
P1TFg10
2. 研究三角板BCK
Fy 0
Tsi4 n5P 2Fg20
3. 运动学补充方程
vBco2s vH 0
aB t co2sv4B 2 lsin2aH0
h
13
2.定轴转动（平面）
F g1,F g2, ,F gn 向转轴O简化
质点系统动力学方程
F x ( e ) F gx 0
F y ( ) F gy 0
《理论力学(Ⅰ)》PPT 第10章
设中心O的速度为v。
T1 0
T2
1 2
3PR2 2g
v R
2
1 2
Q g
v2
vO PQ
3P 2Q v2 4g
WiF P Q s sin φ
φ
N1 Fs
T2 T1 WiF
3P 2Q v2 P Q s sin φ
4g
解得：
v2 4 P Qsin φ gs
3P 2Q
求导，得：
例10-5 图示系统，滑块A的质量为m1，与倾 角为φ的斜面间的动滑动摩擦系数为 f ；定滑 轮B的质量为m2且沿轮缘均匀分布；均质圆 柱的质量为m3，沿水平面纯滚动；弹簧的刚 性系数为k 。系统由静止开始运动，求滑块 沿斜面下滑s 时的速度和加速度。初瞬时弹 簧无变形。
D
OB
A
φ
解：以系统为研究对象 F
F Oθ
解1：以系统为研究对象，理想约束。
设中心O有微小位移ds，速度
为v，加速度为a。
T 1 m 2
ρ2 R2
v R
2
m
ρ2 R2 2R2
v2
m ρ2 R2
m ρ2 R2
dT
R2
vdv
R2
vadt
F
O ds θv a mg
Fs N
δWiF
Fds cos θ
Fr
f
cos φ s
k 8
s2
T2 T1 WiF
2m1
2m2 4
3m3
v2
m1g sin φ
f
cos φ s
k 8
s2
解得：略
3. 功率方程
功率：单位时间力所做的功。P δW
理论力学第10章
第 10 章
动量定理
10.1 动量与冲量
10.1.1 动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量, 记为 m v
动量是矢量, 方向与速度方向相同。动量的单位为 kg· m/s。 2) 质点系的动量 质点系各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
1) 质点的动量
p mi vi
3) 用质心速度求质点系动量
ma F
形式上，质心运动定理与牛顿第二定律完全相似，因 此质心运动定理也可叙述如下: 质点系质心的运动， 可以看成一个质点的运动，设想此质点集中了整个质 点系的质量及其所受的外力。
maC Fi
(e)
由质心运动定理可知，质点系的内力不影响质心的运 动，只有外力才能改变质心的运动。
(e) maC Fi
质心运动定理直角坐标投影式
maCx Fix
(e)
maCy Fiy
maCz Fiz
(e)
(e)
10.3.2 质心运动守恒定律
质心运动定理
(e) maC Fi
1 如果作用于质点系外力的矢量和恒等于零，则质心作匀速直 线运动;
将n个方程相加, 即得 改变求和与求导次 序, 则得
(i 1, 2, , n)
(e) (i) d (mi v i ) Fi Fi dt
(e) (i) d ( mi vi ) Fi Fi dt
m 其中: p i vi 由于内力成对出现, 故所有内力的矢量和恒 (i) 等于零, 即 Fi 0。于是可得质点系动量定理的微分形式：
(e) d ( mvC ) Fi dt
对质量不变的质点系(比如刚体), 上式可改写为
《理论力学》第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
26
3、求质心加速度
aC
aB
aCt B
aCnB
4、质心运动定理求约束力，受力分析
ma Cx FixE FA sin450 maCy FiyE FB mg FA cos 450
O
450
1m
A
C
vB
aB
450
B
FA
A
mg
x
FB
C
450
B
★理论力学电子教案
0
px const
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
18
例题 图示机构，均质杆OA长l，质量为m1，滑块A的质量为m2， 滑道CD的质量为m3。OA杆在一力偶（图中未画出）作用下作 匀角度ω转动。试求O处的水平约束反力（机构位于铅直平面
内，各处摩擦不计）。 C
A
O
E
D
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
27
ma A
第10章 质心运动定理
14
M
C aC mg
FN
F
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
§2 质点系动量、冲量
质点动量： 质点系动量：
p mv
P mivi mvC
问：刚体系动量？
元冲量：
dI F dt
冲量：
t2 t2
I dI F dt
t1
t1
15
p mv
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
1
第十章 质心运动定理&动量定理
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
理论力学(第10章)
因为质心 C 的速度大小 vC = rC 。
由上式得
P C vC
rc
1 2 1 T m vC J C 2 2 2
即,平面运动刚体的动能 ,等于它以质心速度作平动时的动能 与相对于质心轴转动时的动能之和。
第10章 动能定理
10.2 动能及其计算
例10-1 求例9-6所示系统的动能，系统如图所示。 解 ： 1.运动分析
约束力的功恒等于零。
FA
dr
FA dr dr FA (c)
(a)
(b)
第10章 动能定理
10.1 力 的 功
7.功率的概念 表示力做功的快慢是功率。通常用力在单位时间内所做的功
定义为力的功率，记为P。
δW P F v dt 当作用于转动刚体上的力矩为Mz，则其功率为
P Mz d M z dt
1 T J P 2 2
根据转动惯量的平行轴定理有
P
C
J P J C mrC
2
rc
vC
式中JC是对平行于瞬轴的质心轴的转 动惯量。
第10章 动能定理
10.2 动能及其计算
3. 平面运动刚体的动能
J P J C mrC
2
1 2 T ( J C mrC ) 2 2
mv2 mv2 d( ) d ( ) dT 2 2
故上式可写成
d T δW (e) δW (i)
即，质点系动能的微分等于作用于质点系所有外力元功和内 力元功的代数和—质点系动能定理的微分形式。
第10章 动能定理
10.3 动能定理
10.3.2 质点系动能定理
2.积分形式 由微分形式
代入运动学关系
由上式得
P C vC
rc
1 2 1 T m vC J C 2 2 2
即,平面运动刚体的动能 ,等于它以质心速度作平动时的动能 与相对于质心轴转动时的动能之和。
第10章 动能定理
10.2 动能及其计算
例10-1 求例9-6所示系统的动能，系统如图所示。 解 ： 1.运动分析
约束力的功恒等于零。
FA
dr
FA dr dr FA (c)
(a)
(b)
第10章 动能定理
10.1 力 的 功
7.功率的概念 表示力做功的快慢是功率。通常用力在单位时间内所做的功
定义为力的功率，记为P。
δW P F v dt 当作用于转动刚体上的力矩为Mz，则其功率为
P Mz d M z dt
1 T J P 2 2
根据转动惯量的平行轴定理有
P
C
J P J C mrC
2
rc
vC
式中JC是对平行于瞬轴的质心轴的转 动惯量。
第10章 动能定理
10.2 动能及其计算
3. 平面运动刚体的动能
J P J C mrC
2
1 2 T ( J C mrC ) 2 2
mv2 mv2 d( ) d ( ) dT 2 2
故上式可写成
d T δW (e) δW (i)
即，质点系动能的微分等于作用于质点系所有外力元功和内 力元功的代数和—质点系动能定理的微分形式。
第10章 动能定理
10.3 动能定理
10.3.2 质点系动能定理
2.积分形式 由微分形式
代入运动学关系
理论力学 第十章 刚体的平面运动分解
2、平面图形内各点的速度分布
基点：C
v A v AC CM
平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速 度中心转动的速度。
3、速度瞬心的确定方法
已知 v A , vB 的方向， v v 且 A不平行于 B 。
vA // vB , 且不垂直于AB vB v A v AB vBA 0 AB 0 vB vA vM
绝对运动 ：待求 牵连运动 ：平移 相对运动 ：绕 O 点的圆周运动 vM ve vr vO OM
例10-1 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向 运动，如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解：1、 AB作平面运动
基点： A
2、
大小 ？O r1 r2 Ⅱr2 方向
2 2 vB v A vBA 2 O r1 r2
4、 vC vA vCA
vC vA vCA 2O r1 r2
2、速度投影定理
由
vB vA vBA
沿AB连线方向上投影
求平面图形内各点速度的基点法
同一刚体上任意O′，M两点
vM vO ' vMO'
其中
vMO'
vMO' MO ' 方向垂直于MO ，指向同
大小
'
平面图形内任一点的速度等于基 点的速度与该点随图形绕基点转动速 度的矢量和。
M
M
M
=
+
动点：M
动系： O x y (平移坐标系)
2 2 vC vB vCB 1.299 m s