2020年广东省高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)

2020年广东省高考数学二模试卷(理科)

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设集合A ={?2,?1,0，1，2}，B ={x|2x 2?5x <0,x ∈N}，则A ∩B =( )

A. {1,2}

B. {0,1，2}

C. {?1,0，1，2}

D. {?1,0，1}

2. 已知a ∈R ，i 是虚数单位，复数z =

a+2i 1+i

，若|z|=√2，则a =( )

A. 0

B. 2

C. ?2

D. 1

3. 《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、

清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为( )

A. 1.5尺

B. 2.5尺

C. 3.5尺

D. 4.5尺

4. 在△ABC 中，B =π

4,AB =√2,BC =3，则sinC =( )

A. √1010

B. √105

C. 3√10

D. √55

5. 一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，

则该圆锥的体积为( )

A. 2√3π

B. 2√3

3π C. 4√3

3π D. 8√3

π 6. 已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减，且f(?2)=0，若f(x ?2)>0，则x 的取值范围是( )

A. (?2,2)

B. (?∞,?2)∪(2,+∞)

C. (0,4)

D. (?∞,0)∪(4,+∞)

7. 已知双曲线C ：

x 2

a 2

?y 2

b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若BA

????? =3AF ????? ，则双曲线的离心率为( ) A. √6

B. √32

C. 2√33

D. √62

8. 在△ABC 中，C =90°，CA =CB =1，则AC ????? ?BA ????? =( )

A. ?1

B. √2

C. 1

D. ?√22

9. 若(x 2?a)(x +1

x )10的展开式x 6的系数为30，则a 等于( )

A. 1

B. 1

C. 1

D. 2

10.对于函数f(x)=√3

sin2x+sin2x(x∈R)有以下几种说法：

(1)(π

,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心；

(2)函数f(x)的最小正周期是2π；

(3)函数f(x)在[?π

6,π

]上单调递增．

(4)y=f(x)的一条对称轴x=π

：其中说法正确的个数是()

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

11.已知三棱锥P?ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=√3AB，若三棱锥

P?ABC的体积为3

，则该三棱锥的外接球的体积为()

A. 8√3π

B. 6√3π

C. 4√3π

D. 2√3π

12.函数有两个零点，则实数a的取值范围是()

A. (0,1)

B. (1?1

e ,1) C. (1

,1) D. (?∞,1)

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若实数x，y满足约束条件{x+y?1≥0

x?3y+3≥0

x≤3

，则z=2x?y的最大值为______．

14.已知cos(α+π

6)=1

(0<α<π)，则sinα=________．

15.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成______个没

有重复数字的四位数．

16.如图，直线l过抛物线y2=4x的焦点F且交抛物线于A，B两点，直线l与圆(x?1)2+y2=1

交于C，D两点，若2|AC|=|BD|，设直线l的斜率为k，则k2=________．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1=a n?1

．

a n+3

}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式．

(1)证明数列{1

a n+1

(2)若b n=2n

，求数列{b n}的前n项和S n．

a n+1

18.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别

从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(15,45]以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(15,30]的产品为合格品.旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示。

(1)请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率。

(2)优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高，根据已

知图表数据填写下面列联表(单位：件)，并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”。

非优质品优质品合计

新设备产品

旧设备产品

合计

K2=n(ad?bc)2

其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(3)用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X

的分布列及数学期望。

19.如图四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=AB，E为PD

中点．

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)求二面角A ?BE ?C 的余弦值．

20. 已知椭圆C ：x 2

a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)过点P(?2,1)，且C 的离心率为√3

． (1)求椭圆C 的方程；

(2)过点Q(2,0)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且PA

????? ?PB ????? =?3，求l 的方程．

21. 已知函数f(x)=xln(x +a)，a ∈R ．

(1)若f(x)不存在极值点，求a 的取值范围； (2)若a ≤0，证明：f(x)

22.在直角坐标系xOy中，曲线C:{x=2cosφ

y=sinφ

(φ为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴

为极轴建立极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(π

?θ)=2√2．

(1)求直线l的直角坐标方程；

(2)已知P为曲线C上的一动点，求点P到直线l的最小距离．

23.已知函数f(x)=|x?1|+|x+3|

(1)解不等式：f(x)≤6;

(2)若a，b，c均为正数，且a+b+c=f(x)min,证明：(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥49

．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：解：∵集合A={?2,?1,0，1，2}，B={x|2x2?5x<0,x∈N}={x|0

,x∈N}={1,2}，∴A∩B={1,2}．

故选：A．

分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．

本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A

解析：

利用商的模等于模的商列式求解a的值．

本题考查复数模的求法，是基础的计算题．

解：∵复数z=a+2i

1+i

，且|z|=√2，

∴|a+2i

1+i |=√2，即√a2+4

√2

=√2，则a=0．

故选：A．

3.答案：C

解析：解：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{a n}，

冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，

∴{a1+(a1+3d)+(a1+6d)=31.5 S9=9a1+9×8

d=85.5，

解得a1=13.5，d=?1，

∴小满日影长为a11=13.5+10×(?1)=3.5(尺)．

故选：C．

利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．

本题考查等差数列的第11项的求法，考查等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．

4.答案：D

解析：解：∵B=π

,AB=√2,BC=3，

∴由余弦定理可得：AC=√AB2+BC2?2AB?BC?cosB=√2+9?2×√2×3×cosπ

=√5，

∴由正弦定理可得：sinC=AB?sinB

AC =√2×

√2

√5

=√5

．

故选：D．

由已知及余弦定理可得AC，由正弦定理可得sinC=AB?sinB

，代入即可求值得解．

本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基本知识的考查．

5.答案：D

解析：

本题主要考查了圆锥的内接圆柱的体积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．

由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高，则圆锥体积可求．

解：作出该几何体的轴截面图如图，

BC=2，BD=1，设内接圆柱的高为h，

由π×12×?=√3π，得?=√3．

∵△CAB∽△CED，

∴ED

AB =CD

，即√3

，得AB=2√3，

∴该圆锥的体积为1

3×π×22×2√3=8√3

π．

故选：D．

6.答案：C

解析：

本题主要考查利用函数的奇偶性解抽象函数的不等式．解：因为偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，且f(?2)=0，