趋势外推法
第六讲 趋势外推法
yt , t = 0,1,2,L3n −1
S1 = ∑yt , S2 = ∑yt , S3 = ∑yt
t =0 t =n t =2n n−1 2n−1 3n−1
于是得A、B、K的估计式为
1 Λ S3 − S2 n B = S −S 2 1 Λ B−1(S2 − S1 ) Λ A= 2 Λn B −1 Λn Λ Λ B −1 1 1 S − S2 − S1 K = S − A 1 = 1 Λn Λ n n B−1 B −1
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆ yt = K + ab t
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预 测2003年我国卫生机构总人数。 解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线模型为:
yt = 615.641 − 205.667 × (0.9172)t
差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平 稳序列。 差分法可分为普通差分法和广义差分法两类。 一阶、二阶、k阶差分 广义差分法就是先计算时间序列的广义差分 (时间序列的倒数或对数的差分,以及相邻项的比率 或差分的比率等),然后,根据算得的时间序列差分 的特点,选择适宜的数学模型。
差分法识别标准：
Λ
Λ
yt = 14.8768e0.1098t
预测1999年的产量 y = 14.8768e0.1098×7 = 32.1 1999
曲线的拟合优度分析
实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种 模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选 几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究 竟用哪一种模型。 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为 优度好坏的指标：
（1）趋势外推法
（1）趋势外推法（一）趋势外推法趋势外推法是利用惯性的原理，对企业人力资源需求总量进行预测。
根据调研结果，A企业人员总量的数据见表1—3，其中t表示年份，为自变量；L表示人员总数，为因变量。
1．定性分析（1）根据近些年来的企业人力资源管理所采取的减员增效策略，可以作出“短期内该企业的人数将持续降低，至少将保持持平的发展状态”的推断；（2）实际上，企业人数不可能一直下降到0，因为在现实的生产条件下，企业要保证生产产品的销售量，赚取利润，还必须具备一定规模的员工人数，而不可能是“无人工厂”或采用“机器人”的生产模式。
因此，做函数拟合的曲线不应具有一直向下的趋势。
2．函数拟合将上表输入到SPSS，选用9种函数对企业员工总数的趋势做出拟合，见表1—4．（1）对数函数，其函数形式为：L＝b。
+ b１·ln（t）（2）双曲线，其函数形式为：L＝b。
+ b１／t（3）二次函数，其函数形式为：L＝bo+ b１·t+ b2·t ２（4）三次函数拟合，其函数形式为：L＝b。
+ b１·t+ b2·t ２+ b3·t 3（5）复合模型，其函数形式为：L＝b。
×b１t（6）幂指数，其函数形式为：L＝b。
t o b１（7）S曲线拟合，其函数形式为：L＝e（bo+b１）（8）生长模型，其函数形式为：L＝e（bo+b１·t）（9）指数函数，其函数形式为：L＝b。
·e b1·t上述公式中，L为人员总数，t为时间变量，b。
为系数。
通过SPSS分析，上述9种函数做拟合的结果如表1－4所示。
表1—4 曲线拟合结果表3．模型筛选根据表1－5所反映的信息，可以判断，在时间序列曲线估计的9种模型中，所有模型的F值都大于10，其显著度p都基本接近O，这说明用这些曲线做人数估计拟合是符合要求的，也就是说可以选用这些曲线做拟合。
表1—5各个模型的显著性、判定系数及标准误差值表观察表1－5第二列的数据，发现双曲线与S曲线模型的R。
第7章趋势外推预测方法
趋势外推法的假设条件： (1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物的发展变化是渐进型的。 (2)假设所研究系统的结构、功能 等基本保持不变，即假定根据过去资料 建立的趋势外推模型能适合未来，能代 表未来趋势变化的情况。
第1节 指数曲线法
指数曲线模型 （7.1.1） 对式（7.1.1）两端取对数，得 令 则 这样就把指数曲线 模型转化为直线模型
在利用包络曲线预测时首先要建立包络曲线，具体步骤为： 第一步：分析各类预测对象的预测参数的发展趋势； 第二步：求出各技术单元功能相对增长速度最快的点（xi，yi），i=1，2，…，m； 第三步：绘制包络曲线，即在点（ xi，yi ）处与i（i=1，2，…，m）技术单元曲线相切的曲线。
二、应用范围 某项技术发展的前期阶段，采用包络曲线对技术发展进行深入研究，可以外推出新的远景技术，从而可以未雨绸缪，提前完成技术贮备，以便及时进行技术更新。 当某一技术的发展趋于极限时，采用包络曲线外推可能出现的新技术。 用包络曲线外推未来某一时刻的特性参数水平，借以推测将会出现那种新技术。 验证决策中制定的技术参数是否合理。如果拟定的参数在包络曲线之上，则可能有些冒进，如在其下则可能偏于保守。合理的技术参数应与包络曲线相吻合，偏高偏低皆需调整。
0
y
a
t
表7.1.1 指数曲线模型差分计算表
第2节 修正指数曲线法
修正指数曲线预测模型 （7.2.1） 式中：a、b、c为待定参数。 为求出a、b和c三个参数，可应用分组法。通常的做法是先把整个时间序列数据分成三组，使每组数据个数相等，然后通过各组数据之和求出参数的具体数值。
表7.2.1 修正指数曲线模型差分计算表
第3节 生长曲线法
生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到衰老几个阶段。发生初期成长速度较慢；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长速度由达到最快而后逐渐变慢，到衰老期则几乎停止生长。 指数曲线模型不能预测接近极限值时生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生长特性值已不按指数规律增长。描述生物生长过程可以考虑运用形状近似于S型的曲线（称为S曲线）。 本节主要介绍两种最为常用的生长曲线 龚珀兹曲线 皮尔曲线。
趋势外推法
根据上表，将年度作为横坐标，人数作为纵坐标，绘制出散 点图。
由散点图可知，应建立直线趋势方程： Y =a +bX 其中：Y — 人数 X — 年度 利用最小二乘法，可以得出a、b的计算公式：
可得：a = 390.7，b = 41.3
Y = 390.8 + 41.3X
所以，未来第三年的人力资源需求量为：
• 当时点数列不存在长期趋势和季节性变动时，采用平滑方法 预测； • 当时点数列存在长期趋势但不含季节变动时，宜采用趋势外 推方法预测； • 当时点数列存在长期趋势和季节变化时宜采用趋势季节模型 方法预测。
步骤：
• 运用定性方法确定因变量是否适合运用趋势外推法。如果适 合，则搜集y的历史数据，对其进行初步处理。（画出趋势 线） • 对y 的历史数据和X进行回归分析，求出a,b,得到趋势外推 模型。 • 运用趋势外推模型预测y值。
Y = 390.8 + 41.3×15 = 1010(人)
满足两个前提： 1、企业要有历史数据（一般使用过去五年的数据进 行预测）； 2、是这些数据要有一定的发展趋势可循。 • 比较简单，只能预测大概走势，作为初步预测时比 较有价值。源需求量在时间上
表现出明显的均等趋势时才使用的。
• 根据历史数据，在坐标轴上绘出散点图；然后根据
图形可以直观地判断拟合哪种趋势线，从而建立相 应的趋势方程； • 根据趋势方程可以对未来某一时间的人力资源需求 进行预测。
表1 某企业过去12年的人力资源数量
年度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 人数 510 480 490 540 570 600 640 720 770 820 840 930
趋势外推法
趋势外推法
趋势外推法
趋势外推法
趋势外推法（Trendextrapolation）是根据过去和现在的发展趋势推断未来的一类方法的总称，用于 科技、经济和社会发展的预测，是情报研究法体系的重要部分。 趋势外推的基本假设是未来系过去和现在连续发展的结果。当预测对象依时间变化呈现某种上升或下 降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法 进行预测。 趋势外推法的基本理论是：决定事物过去发展的因素，在很大程度上也决定该事物未来的发展，其变 化，不会太大；事物发展过程一般都是渐进式的变化，而不是跳跃式的变化掌握事物的发展规律，依据这 种规律推导，就可以预测出它的未来趋势和状态。
运用一：预测未来的销售量或需求量等 【例 4-2】品种销售量如表 1 所示 表1 产品销售量资料(单位：万件) 2003 10 2004 18 2005 25 2006 30.5 2007 15 2008 38 2009 40 2010 39.5 2011 38
试预测 2012 年的销售量，并要求在 90%的概率保证程度下给出预测的置信区间。 【实验步骤】 ： 1．确定预测模型； 2．模型参数估计； 3．预测结果的置信区间估计。 注：Matlab 软件在数据计算方面比较容易，而 SAS 软件更体现在数据的整理和统计方面 第一步，确定预测模型，利用 Matlab 软件画出产品销售量与年份之间的关系图，结果 见图 1。 >> t=[2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011]' >> y=[10 18 25 30.5 35 38 40 39.5 38]' >> plot(t,y)
SE
( y yi^)
趋势外推法的手段
趋势外推法的手段趋势外推法是一种预测未来发展方向和趋势的方法，其基本原理是根据过去的数据和趋势，通过一定的数学模型和推理方法，对未来的可能发展进行预测和判断。
下面将介绍趋势外推法的几种常见手段。
1. 线性外推法：线性外推法是一种基于线性趋势的外推方法。
根据一组数据点的线性趋势，计算出其斜率和截距，从而得出线性方程，并利用该方程预测未来的发展趋势。
线性外推法常用于简单的线性发展趋势，适用于数据变化比较稳定的情况。
例如，我们可以通过过去几年的销售数据，计算出销售额与时间之间的线性关系，然后根据线性方程的参数，预测未来销售额的发展趋势。
2. 指数平滑外推法：指数平滑外推法是一种基于指数趋势的外推方法。
它根据过去数据的指数增长或指数衰减趋势，对未来数据进行预测。
指数平滑外推法适用于有明显趋势变化的数据，并且能够较好地适应数据的变化。
例如，在预测某产品的未来销售量时，可以利用指数平滑外推法，根据过去销售量的变化趋势，对未来销售量进行预测。
3. 趋势函数外推法：趋势函数外推法是一种基于数学函数的外推方法。
它通过拟合历史数据的变化趋势，找出最适合数据变化的函数，并利用该函数预测未来的趋势。
常用的趋势函数包括多项式函数、指数函数、对数函数等。
例如，我们可以通过拟合历史数据的变化趋势，找到一个最适合该数据的多项式函数，然后利用该函数预测未来的数据发展趋势。
4. 时间序列分析外推法：时间序列分析外推法是一种基于时间序列数据的外推方法。
它通过对时间序列数据的周期性、波动性等特征进行分析，找出其规律性，并利用规律性预测未来的趋势。
时间序列分析外推法常用的方法包括自回归（AR）、滑动平均（MA）、自回归滑动平均（ARMA）等。
例如，在对某商品的销售数据进行预测时，可以使用时间序列分析外推法，通过对历史销售数据的波动性和周期性进行分析，预测未来销售的发展趋势。
综上所述，趋势外推法是一种常用的预测未来发展趋势的方法，其手段包括线性外推法、指数平滑外推法、趋势函数外推法和时间序列分析外推法等。
趋势外推法 和用水定额法
趋势外推法和用水定额法趋势外推法是一种通过分析过去的数据，预测未来趋势的方法。
在商业领域中，趋势外推法被广泛应用于销售预测、市场趋势预测等方面。
通过对历史数据的趋势进行分析，可以帮助企业更好地制定未来的发展战略。
趋势外推法的基本原理是假设未来的发展趋势会延续过去的趋势。
通过对历史数据的趋势进行分析，可以发现数据的变化规律，并基于这种规律来预测未来的发展趋势。
趋势外推法通常包括线性外推法、指数外推法、曲线外推法等多种方法。
在实际应用中，趋势外推法通常需要以下几个步骤来进行：1. 收集历史数据：首先需要收集相关的历史数据，包括销售数据、市场数据等。
2. 分析趋势：通过对历史数据的趋势进行分析，可以发现数据的变化规律。
3. 选择外推方法：根据数据的特点选择合适的外推方法，例如线性外推法、指数外推法等。
4. 进行外推预测：利用选定的外推方法对未来的数据进行预测。
5. 评估预测结果：对预测结果进行评估，检验预测的准确性，并可以对预测模型进行调整和优化。
另外，用水定额法是一种用于确定水资源利用定额的方法。
在农业生产中，用水定额法被广泛用于确定作物的灌溉水量，以保证作物的正常生长。
用水定额法的核心是根据作物的需水量和灌溉系统的水利设施情况，合理确定每单位面积的用水量。
用水定额法的基本原理是根据作物的需水量和灌溉系统的水利设施情况来确定灌溉水量。
具体的步骤包括以下几点：1. 确定作物的需水量：根据作物的生长期、生长阶段和生长环境等因素，确定作物的需水量。
2. 考虑灌溉系统的水利设施：根据灌溉系统的水源、水质、输水能力等因素，考虑灌溉系统的水利设施情况。
3. 确定用水定额：综合考虑作物的需水量和灌溉系统的水利设施情况，确定每单位面积的用水定额。
4. 实施灌溉：根据确定的用水定额，进行灌溉作业，保证作物的正常生长。
用水定额法的优势在于可以根据作物的需水量和灌溉系统的水利设施情况，合理确定每单位面积的用水量，从而保证作物的正常生长，提高水资源的利用效率。
第4章 趋势外推预测
§4.2 趋势外推预测法概述
一、趋势外推预测法的意义 趋势外推预测法上根据事物的历史和现实数据 寻求事物随时间推移而发展变化的规律，从而 推测其未来状况的一种常用的预测方法。
§4.2
趋势外推预测法概述
二、趋势外推预测法假设条件 1、假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事 物发展变化是渐进型的 2、假设所研究系统的结构、功能等基本保持 不变，即假设根据过去资料建立的趋势外推 方程模型能适合未来，能代表未来趋势变化 的情况
3ห้องสมุดไป่ตู้
4
9
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27
379
375 385
4
5 6
16
25 36
64
125 216
430
7
49
343
Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 方差分析
0.99999 0.99997 0.99994 0.41786 7
df 回归分析 残差 总计 3 3 6 Coefficients Intercept X Variable 1 X Variable 2 X Variable 3 90.4286 206.274 -48.202 3.66667
Coefficients 标准误差 t Stat P-valueLower 95% Intercept 4.60803 0.01513 304.557 1.1E-15 4.57225 X Variable 0.49814 1 0.00269 185.271 3.5E-14 0.49178
§4.3 常用趋势外推预测模型
二、非线性预测模型 （二）三次曲线 1.三次曲线模型测定 （1）时间序列折线图呈呈现三次曲线 （2）三阶差分几乎为常数 三阶差分
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趋势外推法（trend projection）是生产预测中常用的一种方法。
这种方法是找出一系列历史数据的趋势线并外推于将来做中长期预测。
该方法的原理是：给趋势型时间数列拟合以时间单位为自变量的数学模型，然后以顺延的时间单位作已知条件，外推时间数列后续趋势值。
外推预测的准确程度取决于所拟合模型的拟合优度，最小二乘法以其所拟合模型的预测标准误差最小的优势成为最常用的趋势模型的拟合方法。
趋势外推法又分为以下几类：增长型趋势模型外推法（又包括：等差增长趋势模型、二级等差增长趋势模型、等比增长趋势模型等），周期波动趋势模型外推法，生命周期趋势模型法等。
一、增长趋势模型
增长趋势模型包括等差增长趋势模型、二级等差趋势模型、等比增长趋势模型等，详述如下：
（三）等比增长趋势模型
当时间数列逐期变量值以同一比率增长时，可配以指数曲线增长模型：
二、周期波动趋势模型
季节型时间数列以日历时间为波动周期；循环型时间数列波动周期往往大于一年，且不稳定。
尽管两者有所区别，但都呈周期性波动，因此宜以正弦曲线为基础，经修正波幅与周期拟合波动规律。
正弦曲线预测模型的一般形式为：
只要对已知数据按上述各项要求加工填入以后，求解六元一次方程组，得β0～β5，代入预测方程即可开始预测。
三、生命周期趋势模型
当时间数列变化呈前期增长缓慢、中期增长逐渐加速、后期增长逐渐平缓、末期逐渐加速负增长时，可配以生命周期趋势模型。
这类曲线包括能模拟生命周期的前期、中期和后期的龚珀资曲线、罗吉斯蒂曲线（蒲尔-里得）曲线以及能模拟生命周期中后期的修正指数曲线模型。
龚珀资曲线和罗吉斯蒂曲线是拟合从前期至后期的生命周期趋势，而后者是拟合从中后期至后期的生命周期趋势。
----摘自《市场预测方法与案例》。