5.非线性趋势外推预测分析法解析
趋势外推法的预测原理是
趋势外推法的预测原理是趋势外推法是一种预测未来趋势的方法。
它基于观察过去的数据，找出规律和趋势，然后将这些规律和趋势延伸到未来，预测未来的发展方向。
预测原理：趋势外推法的预测原理是基于以下假设：1. 历史数据具有一定的稳定性和连续性：趋势外推法认为，历史数据所揭示的趋势在未来一定程度上会继续存在。
因此，通过对过去数据进行分析和模式识别，可以将这些趋势推广到未来。
2. 变化的规律性：趋势外推法认为，某些趋势是由特定的规律所驱动的。
这些规律可能是内在的经济、社会或技术因素，因此它们可以预测未来的变化趋势。
3. 外部因素的影响：趋势外推法还考虑到外部因素对未来趋势的影响。
这些因素可能包括市场需求、政策变化、科技进步等。
通过考虑这些因素的影响，可以更准确地预测未来的趋势。
预测过程：趋势外推法的预测过程包括以下几个步骤：1. 收集数据：首先，需要收集相关的历史数据。
这些数据可以是过去几年或几十年的统计数据，可以是市场调研数据，也可以是其他相关数据。
2. 分析数据：接下来，对收集到的数据进行分析。
通过对数据的统计分析、可视化和趋势分析，可以找到数据中的规律和趋势。
3. 拟合模型：将找到的规律和趋势进行数学建模。
可以使用各种预测模型，如线性回归、指数平滑、时间序列等，来拟合数据的趋势。
4. 外推预测：利用拟合的模型，对未来的趋势进行外推预测。
通过将模型应用到未来的时间段，可以得到未来的趋势预测结果。
5. 结果评估：最后，需要对预测结果进行评估。
通过与实际观测结果的比较，可以评估模型的准确性和可靠性。
优缺点：趋势外推法的优点是简单易懂、容易实施。
它利用历史数据中的规律，可以对未来进行预测。
此外，趋势外推法也可以预测较长时间的趋势，适用于较长周期的预测。
然而，趋势外推法也存在一些缺点。
首先，它只能预测呈现连续性和稳定性的趋势，对于突发事件和不可预测的变化无法有效预测。
其次，趋势外推法依赖于过去的数据，在历史数据不足或数据质量差的情况下，预测结果可能不准确。
非线性趋势的定义
非线性趋势的定义非线性趋势是指在时间序列或数据集中，数据的变化不符合线性模式或线性关系，而呈现出一种非线性的变化趋势。
与线性趋势相比，非线性趋势更具复杂性和多样性，可能包括指数增长、周期性变化、非对称扭曲、非线性回归等形式。
非线性趋势在实际生活和经济领域中非常常见。
许多自然现象和社会经济现象都呈现出非线性趋势，例如：自然灾害频率与强度的关系、物种数量与环境变化的关系、商品销量与广告投入的关系等。
此外，在金融市场中，股票价格波动、汇率变动和房地产市场价格等也都呈现出典型的非线性趋势。
非线性趋势的定义主要基于以下几个方面：1. 数据波动的不可逆性：非线性趋势的一个重要特征是数据的波动不可逆。
即在变化过程中，数据的上升和下降通过不同的路径实现，并且在关键节点处可能出现急剧的变化。
这种波动模式是由于系统内部机制的复杂性和数据的非线性关系所导致的。
2. 周期性变化：非线性趋势中常见的一种形式是周期性变化。
周期性变化意味着数据在一定时间内循环变化，如季节性变化、经济周期等。
周期性变化可以通过数学模型中的周期函数来描述，例如正弦函数或余弦函数。
3. 非对称性：非线性趋势中常见的另一种形式是非对称性变化。
非对称性变化是指数据在上升阶段与下降阶段的变化速度和幅度不相等，通常表现为数据的快速上升和缓慢下降，或者反之。
4. 指数增长或衰减：非线性趋势还可以表现为指数增长或衰减。
指数增长是指数据随时间的推移以指数形式迅速增长；而指数衰减则是指数据随时间的推移以指数形式迅速减小。
这种非线性趋势在很多自然和社会系统中都有所表现。
5. 非线性回归：非线性趋势可以通过非线性回归模型进行拟合。
非线性回归模型是一种用于描述非线性趋势的数学模型，通过优化算法对模型参数进行估计，从而找到最佳拟合结果。
常见的非线性回归模型包括多项式回归、指数回归、对数回归和幂函数回归等。
总结起来，非线性趋势是指数据变化呈现出不符合线性模式或线性关系的趋势。
第7章趋势外推预测方法
趋势外推法的假设条件： (1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物的发展变化是渐进型的。 (2)假设所研究系统的结构、功能 等基本保持不变，即假定根据过去资料 建立的趋势外推模型能适合未来，能代 表未来趋势变化的情况。
第1节 指数曲线法
指数曲线模型 （7.1.1） 对式（7.1.1）两端取对数，得 令 则 这样就把指数曲线 模型转化为直线模型
在利用包络曲线预测时首先要建立包络曲线，具体步骤为： 第一步：分析各类预测对象的预测参数的发展趋势； 第二步：求出各技术单元功能相对增长速度最快的点（xi，yi），i=1，2，…，m； 第三步：绘制包络曲线，即在点（ xi，yi ）处与i（i=1，2，…，m）技术单元曲线相切的曲线。
二、应用范围 某项技术发展的前期阶段，采用包络曲线对技术发展进行深入研究，可以外推出新的远景技术，从而可以未雨绸缪，提前完成技术贮备，以便及时进行技术更新。 当某一技术的发展趋于极限时，采用包络曲线外推可能出现的新技术。 用包络曲线外推未来某一时刻的特性参数水平，借以推测将会出现那种新技术。 验证决策中制定的技术参数是否合理。如果拟定的参数在包络曲线之上，则可能有些冒进，如在其下则可能偏于保守。合理的技术参数应与包络曲线相吻合，偏高偏低皆需调整。
0
y
a
t
表7.1.1 指数曲线模型差分计算表
第2节 修正指数曲线法
修正指数曲线预测模型 （7.2.1） 式中：a、b、c为待定参数。 为求出a、b和c三个参数，可应用分组法。通常的做法是先把整个时间序列数据分成三组，使每组数据个数相等，然后通过各组数据之和求出参数的具体数值。
表7.2.1 修正指数曲线模型差分计算表
第3节 生长曲线法
生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到衰老几个阶段。发生初期成长速度较慢；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长速度由达到最快而后逐渐变慢，到衰老期则几乎停止生长。 指数曲线模型不能预测接近极限值时生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生长特性值已不按指数规律增长。描述生物生长过程可以考虑运用形状近似于S型的曲线（称为S曲线）。 本节主要介绍两种最为常用的生长曲线 龚珀兹曲线 皮尔曲线。
趋势外推预测方法简介
5.4 包络曲线法
分析和预测复杂的技术系统，特别是从事长远预 测时，不仅要预测技术发展的量变过程，同时要预测 技术发展的质变过程。若用一条相切于这些S形生长 曲线的平滑的包络线来描述这一过程，则可以得到表 示一种技术特性发展总体趋势的曲线，这就是包络曲 线法。R．Ａyres在科学技术预测和长远规划一书中 ，列举了许多实例用以说明很多整体技术系统是符合 包络曲线发展规律的。
5.3 生长曲z）模型
取对数， 特征：
修正指数曲线 。
7. 逻辑（Logistic）增长型曲线模型
y=k, y=0, 上、下两条渐近线
缓慢
k
快速增长
平稳发展 饱和状态 特征：
企业集团形成发展行为，技术创 新扩散的基本规律，手机普及率等。
5.3 生长曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
注意：并不是任何一组数据都可以用修正指数曲线 拟合。采用前应对数据检验，检验方法是看给定数
据的逐年增长量的比率是否接近某一常数e-K，即
5.2 修正指数曲线法例题
例：根据统计资 料，某厂收音机 连续15年的销售 量如下表所示， 试用修正指数曲 线预测1986年 的销售量
趋势外推预测方法简介
2020年4月21日星期二
第五章 趋势外推预测方法
趋势外推法的假设条件是： (1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物
的发展变化是渐进型的。 (2)假设所研究系统的结构、功能等基本保持不
变，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合 未来，能代表未来趋势变化的情况。
基本思想
模型库 模型识别 参数估计 预测
趋势外推分析法主要包括
趋势外推分析法主要包括
趋势外推分析法是一种常用的数据分析方法，它通过对历史数据的趋势进行分析，来预测未来的发展趋势。
主要包括趋势推特法、指数平滑法和灰色模型法。
首先，趋势推特法是一种基于历史数据趋势的分析法。
它假设未来的发展趋势与过去的发展趋势相似，通过找出历史数据的趋势方程，来预测未来的趋势。
具体步骤如下：首先，确定时间序列的观测点，选择合适的时间间隔；然后，使用回归分析等方法，建立时间序列的趋势方程；最后，使用趋势方程对未来的发展趋势进行预测。
其次，指数平滑法是一种利用加权平均法预测未来发展趋势的方法。
它假设未来的发展趋势与过去的发展趋势的权重逐渐减小，越近期的数据权重越大。
具体步骤如下：首先，选择合适的平滑指数，一般取0～1之间的值；然后，通过计算加权平
均值，得到预测值；最后，通过修正因素，对预测值进行调整，提高预测准确性。
最后，灰色模型法是一种基于灰色理论的预测方法。
它利用灰色理论中的GM(1,1)模型，通过对历史数据进行累加生成累加
数列，并使用数列的一阶差分生成灰色微分方程，从而预测未来的发展趋势。
具体步骤如下：首先，将时间序列累加生成累加数列；然后，使用灰色微分方程建立GM(1,1)模型；最后，
利用模型对未来的发展趋势进行预测。
总结起来，趋势外推分析法主要包括趋势推特法、指数平滑法
和灰色模型法。
它们都是通过对历史数据的趋势进行分析，来预测未来的发展趋势。
在实际应用中，可以根据不同的数据特点和预测要求，选择合适的分析方法来进行趋势外推分析。
时间序列分解法和趋势外推法讲义
时间序列分解法和趋势外推法讲义一、时间序列分解法时间序列分解法是将一个时间序列数据分解为几个不同的成分，从而更好地理解和预测时间序列的趋势和季节性。
时间序列可以包含趋势（Trend）、季节性（Seasonality）、周期性（Cyclical）和随机性（Irregularity）等多个成分。
时间序列分解法的步骤如下：1. 平滑法：首先对原始数据进行平滑操作，以去除季节性和随机性的影响。
常用的平滑方法有简单平均法、加权平均法和指数平滑法等。
2. 趋势估计：通过对平滑后的序列进行趋势估计，得到时间序列的趋势线。
常用的趋势估计方法有移动平均法、自回归法和多项式拟合法等。
3. 季节性调整：将平滑后的序列减去趋势线，得到季节性成分。
季节性成分可以用于对未来季节性的预测。
4. 周期性调整：将季节性成分减去周期性成分，得到去除季节性和周期性的序列。
5. 随机性分析：对去除季节性和周期性的序列进行随机性分析，以检查是否存在随机性波动。
时间序列分解法的优点是能够更好地理解时间序列的组成成分，并且能够提供对未来趋势和季节性的预测。
然而，该方法的缺点是对于包含较多周期性成分的序列，可能无法准确地分解出趋势和季节性等成分。
二、趋势外推法趋势外推法是利用时间序列数据中的趋势成分进行未来数值的预测。
该方法假设时间序列的趋势相对稳定，根据过去的趋势发展，推断未来的发展方向。
趋势外推法的步骤如下：1. 趋势估计：首先对时间序列进行趋势估计，得到趋势线。
常用的趋势估计方法有移动平均法、自回归法和多项式拟合法等。
2. 趋势外推：根据趋势线的发展趋势，预测未来的数值。
可以利用历史数据的增长速率进行线性外推，也可以利用拟合的趋势函数进行非线性外推。
趋势外推法的优点是简单易用，速度快，适用于短期或趋势相对稳定的预测。
然而，该方法的缺点是对于趋势波动较大或突变的时间序列，预测结果可能存在较大的误差。
三、实施过程实施时间序列分解法和趋势外推法的具体步骤如下：1. 收集时间序列数据：收集需要分析和预测的时间序列数据，可以是销售数据、股票交易数据等。
预测和趋势分析的方法与应用
预测和趋势分析的方法与应用导言：预测和趋势分析是现代社会决策制定的重要工具，可以帮助企业、政府和个人做出明智的决策。
预测是根据已有的数据和信息，通过一系列数学模型和算法，来推测未来的发展趋势和结果。
趋势分析则是通过对历史数据进行分析，找出其中的规律和趋势，以预测未来的发展方向。
本文将介绍预测和趋势分析的常用方法和应用案例。
一、时间序列分析法时间序列分析法是一种对时间序列数据进行预测和趋势分析的方法。
它通过对历史数据进行建模和拟合，来推测未来的发展趋势。
常用的时间序列分析方法有移动平均法、指数平滑法和自回归模型。
移动平均法是一种简单而有效的时间序列分析方法。
它通过计算多个连续时间段内数据的平均值来预测未来趋势。
指数平滑法则是一种考虑了权重的移动平均法，具有更好的灵活性和适应性。
自回归模型是一种基于时间序列数据自身的历史信息，来预测未来发展趋势的方法。
二、回归分析法回归分析法是一种通过建立反映影响因素和被预测变量之间关系的数学模型，来预测和分析未来趋势的方法。
常用的回归分析方法有线性回归分析和非线性回归分析。
线性回归分析适用于研究影响因素和被预测变量之间线性关系的情况。
它通过拟合一条直线来描述二者之间的关系，并通过该直线来进行预测。
非线性回归分析则适用于复杂的非线性关系情况，它通过拟合一个曲线或者曲面来描述二者之间的关系。
三、数据挖掘方法数据挖掘是一种通过发现和提取大量数据中的隐藏模式和规律，来预测未来趋势的方法。
数据挖掘方法多种多样，包括分类分析、聚类分析、关联分析和预测分析等。
分类分析是一种通过构建分类器，将数据分为不同类别并预测新数据类别的方法。
聚类分析则是一种通过将数据分为不同群组，找出其中的相似性和差异性的方法。
关联分析是一种通过挖掘数据中的关联规则，来发现不同数据之间的关联性的方法。
预测分析则是一种通过建立预测模型，来预测未来趋势和结果的方法。
四、人工智能方法人工智能是近年来发展迅猛的一门学科，其在预测和趋势分析中具有广泛的应用前景。
趋势外推法
趋势外推法
趋势外推法（Trendextrapolation）是根据过去和现在的发展趋势推断未来的一类方法的总称，用于 科技、经济和社会发展的预测，是情报研究法体系的重要部分。 趋势外推的基本假设是未来系过去和现在连续发展的结果。当预测对象依时间变化呈现某种上升或下 降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法 进行预测。 趋势外推法的基本理论是：决定事物过去发展的因素，在很大程度上也决定该事物未来的发展，其变 化，不会太大；事物发展过程一般都是渐进式的变化，而不是跳跃式的变化掌握事物的发展规律，依据这 种规律推导，就可以预测出它的未来趋势和状态。
运用一：预测未来的销售量或需求量等 【例 4-2】品种销售量如表 1 所示 表1 产品销售量资料(单位：万件) 2003 10 2004 18 2005 25 2006 30.5 2007 15 2008 38 2009 40 2010 39.5 2011 38
试预测 2012 年的销售量，并要求在 90%的概率保证程度下给出预测的置信区间。 【实验步骤】 ： 1．确定预测模型； 2．模型参数估计； 3．预测结果的置信区间估计。 注：Matlab 软件在数据计算方面比较容易，而 SAS 软件更体现在数据的整理和统计方面 第一步，确定预测模型，利用 Matlab 软件画出产品销售量与年份之间的关系图，结果 见图 1。 >> t=[2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011]' >> y=[10 18 25 30.5 35 38 40 39.5 38]' >> plot(t,y)
SE
( y yi^)
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t2
16 9 4 1 0 1 4 9 16 60
t4
256 81 16 1 0 1 16 81 256 708
ty -40.0 -54.0 -50.0 -30.5 0.0 38.0 80.0 118.5 152.0 214.0
t2 y
160.0 162.0 100.0 30.5 0.0 38.0 160.0 355.5 608.0 1614.0
（1）绘制散点图，初步确定预测模型
销售量（万件） 45 40 35 30 25 20 15
10 5 0
2002
2004
2006
2008
2010
2012
• 由图5-1可知，该产品的销售量基本上符合 二次多项式曲线模型。
（2）计算差分，如表5-2所示
表5-2 差分计算表
yt
一阶差分 二阶差分
10
18
8
ˆt ae y
bt
修正指数曲线预测模型 ：
ˆt a bc y
t
3. 对数曲线预测模型
ˆt a b ln t y
4.生长曲线趋势外推法
L 皮尔曲线预测模型 ： yt 1 ae bt
龚珀兹曲线预测模型 ： y ˆ
t
ka
bt
三、趋势模型的选择
主要利用图形识别法和差分法计算，进行模型 的基本选择 （一） 图形识别法 这种方法是通过绘制散点图进行的，即将时 间序列的数据绘制成以时间t为横轴、时序观察值 为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数 曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的 模型。
然后以顺延的时间单位作为已知条件，进行外推预测。 • 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有 明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种 变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。
• 趋势外推法的两个假定： （1）假设事物发展过程没有跳跃式变化； （2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展， 其条件是不变或变化不大。 即， 假定根据过去资料建立的趋势外推模型能
表5-3 某产品销售量二次多项式曲线模型参数计算表 年份 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 合计 时序（t） -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0
yt
10.0 18.0 25.0 30.5 35.0 38.0 40.0 39.5 38.0 274.0
第五章 非线性趋势外推预测法
5.1 趋 势 外 推 法 概 述
5.2 多项式曲线趋势外推法 5.3 指数曲线趋势外推法
5.1 趋 势 外 推 法 概 述
一、趋势外推法的概念和假定条件
• 基本概念
• 趋势外推预测是指根据时间序列的长期趋势，以时间t
为自变量，时间序列 为因变量，拟合非线性趋势模型 ，
将表5-3的数据代入三元一次方程组，
274 9b0 0 60b2 得： 214 0 60b1 0 1613.5 60b 0 708b 0 2
解得：
b0 35.05, b1 3.57, b2 0.69
• 二次多项式曲线模型为：
表5-1 某产品销售量资料 年份 2003 2004 18 2005 25 2006 30.5 2007 35 2008 38 2009 40 2010 39.5 2011 38
销售量（万件） 10
• 试预测2012年的销售量，并要求在90%的
概率保证程度下，给出预测的置信区间
第一步，确定预测模型
y nb0 b1 t b2 t 2 2 3 ty b t b t b t 0 1 2 2 2 3 4 t y b t b t b t 0 1 2
解这个售量如表5-1所示
ˆt b0 b y 1t
二次（二次抛物线）预测模型：
ˆt b0 b1t b2t 2 y
2 3 ˆ yt b0 bt 1 b2t b3t
三次（三次抛物线）预测模型： 一般形式：
ˆt b0 b1t b2t 2 bk t k y
2. 指数曲线预测模型 一般形式 ：
（二）差分法
利用差分法把数据修匀，把原时间序列转换
为平稳序列。最常用的是一阶向后差分法
一阶向后差分可以表示为：
yt yt yt 1
二阶向后差分可以表示为：
yt yt yt 1 yt 2 yt 1 yt 2
• 计算时间序列的差分，并将其与各类模型的差分特点 进行比较，就可以选择适宜的模型。 • 差分法识别标准：
差分特性 一阶差分相等或大致相等 使用模型 一次线性模型
二阶差分相等或大致相等
三阶差分相等或大致相等 一阶差分比率相等或大致相等 一阶差分的一阶比率相等或大致相等
二次线性模型
三次线性模型 指数曲线模型 修正指数曲线模型
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5.2 多 项 式 曲 线 趋 势 外 推 法
一、二次多项式曲线模型及其应用
适合未来，能代表未来趋势变化的情况，即未来
和过去的规律一样。
• 非线性趋势预测是非线性回归预测的一个特例， 时间t即为模型的自变量
• 趋势外推法是事物发展渐进过程的一种统计预 测方法。它的主要优点是可以揭示事物未来的发 展，并定量地估计其功能特性
二 、趋势模型的种类
1. 多项式曲线外推模型
一次（线性）预测模型：
25
7 -1
30.5
5.5 -1.5
35
4.5 -1
38
3 -1.5
40
2 -1
39.5
-0.5 -2.5
38
-1.5 -1
• 由表5-2可知，该时间序列观察值的二阶差分大致相等，
其波动范围在-2.5~-1.0之间。综合散点图和差分分析， 最后确定选用二次多项式曲线模型预测。
第二步，求模型的参数 模型参数的计算如表5-3所示
二次多项式曲线预测模型为：
2 ˆ yt b0 b1t b2t
yn ，令 y2 ，…， 设有一组统计数据 y1 ，
ˆt ) ( yt b0 b1t b2t 2 )2 最小值 Q(b0 , b1 , b2 ) ( yt y
2 t 1 t 1 n n
即：