趋势外推预测法
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第六讲 趋势外推法
Λ
yt , t = 0,1,2,L3n −1
S1 = ∑yt , S2 = ∑yt , S3 = ∑yt
t =0 t =n t =2n n−1 2n−1 3n−1
于是得A、B、K的估计式为
1 Λ S3 − S2 n B = S −S 2 1 Λ B−1(S2 − S1 ) Λ A= 2 Λn B −1 Λn Λ Λ B −1 1 1 S − S2 − S1 K = S − A 1 = 1 Λn Λ n n B−1 B −1
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆ yt = K + ab t
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预 测2003年我国卫生机构总人数。 解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线模型为:
yt = 615.641 − 205.667 × (0.9172)t
差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平 稳序列。 差分法可分为普通差分法和广义差分法两类。 一阶、二阶、k阶差分 广义差分法就是先计算时间序列的广义差分 (时间序列的倒数或对数的差分,以及相邻项的比率 或差分的比率等),然后,根据算得的时间序列差分 的特点,选择适宜的数学模型。
差分法识别标准：
Λ
Λ
yt = 14.8768e0.1098t
预测1999年的产量 y = 14.8768e0.1098×7 = 32.1 1999
曲线的拟合优度分析
实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种 模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选 几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究 竟用哪一种模型。 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为 优度好坏的指标：
yt , t = 0,1,2,L3n −1
S1 = ∑yt , S2 = ∑yt , S3 = ∑yt
t =0 t =n t =2n n−1 2n−1 3n−1
于是得A、B、K的估计式为
1 Λ S3 − S2 n B = S −S 2 1 Λ B−1(S2 − S1 ) Λ A= 2 Λn B −1 Λn Λ Λ B −1 1 1 S − S2 − S1 K = S − A 1 = 1 Λn Λ n n B−1 B −1
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆ yt = K + ab t
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预 测2003年我国卫生机构总人数。 解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线模型为:
yt = 615.641 − 205.667 × (0.9172)t
差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平 稳序列。 差分法可分为普通差分法和广义差分法两类。 一阶、二阶、k阶差分 广义差分法就是先计算时间序列的广义差分 (时间序列的倒数或对数的差分,以及相邻项的比率 或差分的比率等),然后,根据算得的时间序列差分 的特点,选择适宜的数学模型。
差分法识别标准：
Λ
Λ
yt = 14.8768e0.1098t
预测1999年的产量 y = 14.8768e0.1098×7 = 32.1 1999
曲线的拟合优度分析
实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种 模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选 几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究 竟用哪一种模型。 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为 优度好坏的指标：
第3章 趋势外推预测法讲解
年份
利润 额
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020
第3章 趋势外推预测法
利润额 1200 1000
800 600 400 200
0 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
1189.26万元。
第3章 趋势外推预测法
4．
比较例3.1与例3.2的预测结果,可以发现,由于时间 序列数据的线性趋势比较明显,又由于加权拟合直线法 的加权系数取值比较大（α=0.8）,使得加权与不加权两 种拟合直线法的预测结果很接近。但就一般而言,由于 加权拟合直线法按重近轻远的赋权原则,使其预测结果 更接近于实际观察值。而且α取值越小,对近期数据所 赋权数就越大,因此近期预测值就越接近于实际观察值。 但是,要选择一个比较合适的α值也是一个比较困难的 事,一般要经过若干次试探,
xt*yt
1 200 4 600 9 1050 16 1600 25 2500 36 3780 49 4900 64 6000 81 7650 100 9500 121 11220 506 49000
191 273.7 356.4 439.1 521.8 604.5 687.2 769.9 852.6 935.3 1018
yt为时间序列第t期实际观察值(t=1, 2, …, n),
其yˆ预t 测为值趋的势离直差线,的e第t t期yt预 测yˆt 值 ,yett为 a第ˆ t期bˆx实t 际观察值与
第3章 趋势外推预测法
第7章趋势外推预测方法
趋势外推法的假设条件： (1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物的发展变化是渐进型的。 (2)假设所研究系统的结构、功能 等基本保持不变，即假定根据过去资料 建立的趋势外推模型能适合未来，能代 表未来趋势变化的情况。
第1节 指数曲线法
指数曲线模型 （7.1.1） 对式（7.1.1）两端取对数，得 令 则 这样就把指数曲线 模型转化为直线模型
在利用包络曲线预测时首先要建立包络曲线，具体步骤为： 第一步：分析各类预测对象的预测参数的发展趋势； 第二步：求出各技术单元功能相对增长速度最快的点（xi，yi），i=1，2，…，m； 第三步：绘制包络曲线，即在点（ xi，yi ）处与i（i=1，2，…，m）技术单元曲线相切的曲线。
二、应用范围 某项技术发展的前期阶段，采用包络曲线对技术发展进行深入研究，可以外推出新的远景技术，从而可以未雨绸缪，提前完成技术贮备，以便及时进行技术更新。 当某一技术的发展趋于极限时，采用包络曲线外推可能出现的新技术。 用包络曲线外推未来某一时刻的特性参数水平，借以推测将会出现那种新技术。 验证决策中制定的技术参数是否合理。如果拟定的参数在包络曲线之上，则可能有些冒进，如在其下则可能偏于保守。合理的技术参数应与包络曲线相吻合，偏高偏低皆需调整。
0
y
a
t
表7.1.1 指数曲线模型差分计算表
第2节 修正指数曲线法
修正指数曲线预测模型 （7.2.1） 式中：a、b、c为待定参数。 为求出a、b和c三个参数，可应用分组法。通常的做法是先把整个时间序列数据分成三组，使每组数据个数相等，然后通过各组数据之和求出参数的具体数值。
表7.2.1 修正指数曲线模型差分计算表
第3节 生长曲线法
生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到衰老几个阶段。发生初期成长速度较慢；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长速度由达到最快而后逐渐变慢，到衰老期则几乎停止生长。 指数曲线模型不能预测接近极限值时生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生长特性值已不按指数规律增长。描述生物生长过程可以考虑运用形状近似于S型的曲线（称为S曲线）。 本节主要介绍两种最为常用的生长曲线 龚珀兹曲线 皮尔曲线。
趋势外推预测方法简介
2. 皮尔曲线模型
5.4 包络曲线法
分析和预测复杂的技术系统，特别是从事长远预 测时，不仅要预测技术发展的量变过程，同时要预测 技术发展的质变过程。若用一条相切于这些S形生长 曲线的平滑的包络线来描述这一过程，则可以得到表 示一种技术特性发展总体趋势的曲线，这就是包络曲 线法。R．Ａyres在科学技术预测和长远规划一书中 ，列举了许多实例用以说明很多整体技术系统是符合 包络曲线发展规律的。
5.3 生长曲z）模型
取对数， 特征：
修正指数曲线 。
7. 逻辑（Logistic）增长型曲线模型
y=k, y=0, 上、下两条渐近线
缓慢
k
快速增长
平稳发展 饱和状态 特征：
企业集团形成发展行为，技术创 新扩散的基本规律，手机普及率等。
5.3 生长曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
注意：并不是任何一组数据都可以用修正指数曲线 拟合。采用前应对数据检验，检验方法是看给定数
据的逐年增长量的比率是否接近某一常数e-K，即
5.2 修正指数曲线法例题
例：根据统计资 料，某厂收音机 连续15年的销售 量如下表所示， 试用修正指数曲 线预测1986年 的销售量
趋势外推预测方法简介
2020年4月21日星期二
第五章 趋势外推预测方法
趋势外推法的假设条件是： (1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物
的发展变化是渐进型的。 (2)假设所研究系统的结构、功能等基本保持不
变，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合 未来，能代表未来趋势变化的情况。
基本思想
模型库 模型识别 参数估计 预测
5.4 包络曲线法
分析和预测复杂的技术系统，特别是从事长远预 测时，不仅要预测技术发展的量变过程，同时要预测 技术发展的质变过程。若用一条相切于这些S形生长 曲线的平滑的包络线来描述这一过程，则可以得到表 示一种技术特性发展总体趋势的曲线，这就是包络曲 线法。R．Ａyres在科学技术预测和长远规划一书中 ，列举了许多实例用以说明很多整体技术系统是符合 包络曲线发展规律的。
5.3 生长曲z）模型
取对数， 特征：
修正指数曲线 。
7. 逻辑（Logistic）增长型曲线模型
y=k, y=0, 上、下两条渐近线
缓慢
k
快速增长
平稳发展 饱和状态 特征：
企业集团形成发展行为，技术创 新扩散的基本规律，手机普及率等。
5.3 生长曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
注意：并不是任何一组数据都可以用修正指数曲线 拟合。采用前应对数据检验，检验方法是看给定数
据的逐年增长量的比率是否接近某一常数e-K，即
5.2 修正指数曲线法例题
例：根据统计资 料，某厂收音机 连续15年的销售 量如下表所示， 试用修正指数曲 线预测1986年 的销售量
趋势外推预测方法简介
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第五章 趋势外推预测方法
趋势外推法的假设条件是： (1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物
的发展变化是渐进型的。 (2)假设所研究系统的结构、功能等基本保持不
变，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合 未来，能代表未来趋势变化的情况。
基本思想
模型库 模型识别 参数估计 预测
趋势外推法法
第四节 趋势外推法趋势外推法，也称趋势延伸法，是根据预测目标的历史时间序列所揭示的变动趋势外推到未来以确定预测值的时序预测法。
可分为随手作图法，拟合直线方程法、拟合曲线方程法。
一、随手作图法这种方法是选定时间作为横轴，预测目标量作为纵轴，先按时间序列数据作出散点图。
然后根据备散在点所显示的趋势走向图形(直线或某种曲线)，运用直尺或曲线板随手画出一条沿各个点拟合度最佳的直线或曲线，并加以延伸，得出待预测时间对应的预测值。
该方法简便易行，不用建立数学模型，预测效果良好。
但这种方法全凭预测者的观察力和作图技巧，它直接影响到预测的精度。
二、拟合直线方程法这种方法是根据呈线性变动趋势的时间序列，拟合出直线方程bx a Y +=∧，再利用方程进行预测外推，得出预测结果。
直线方程bx a Y +=中，x 为按整数序编号的时间序列，Y 为预测目标量，a 、b 为参数。
设时刻为i x 时，对应的观察值为i Y ，n i ,,2,1 =。
根据这些数据我们要利用最小二乘法拟合出一条直线方程bx a Y +=∧即确定参数a 、b ，使拟合偏差i i Y Y ∧-的平方和∑∧-=22)(i i Y Y S 最小。
由微分法，令02=∂∂a S ，02=∂∂bS ，解之可得到∑∑---=-=x b Y x nb Y n a i i 11 （4-13） ∑∑∑∑∑--=22)())((i i i i i i x x n Y x Y x n b （4-14）当时间序列是整数项时，我们取i x 的中间项为0，其余按下列取值 …，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，… （中间项）例如 n=7时，i x 分别取为-3，-2，-l ，0，1，2，3七个数值。
这样规定i x 取值后，n 为奇数时有∑=0i x ，则计算参数a 、b 的公式可以简化为∑==-i Y nY a 1（4-15）∑∑=2ii i xY x b （4-16） 例8 某市五金公司1978年到l984年销售额资料为 年份 l978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 销售额 4923 5811 7171 8248 8902 9860 l0800(万元)试预测l985、1986两年的销售额。
5.非线性趋势外推预测分析法
第二步，求模型的参数 模型参数的计算如表5-3所示
年份 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 合计
表5-3 某产品销售量二次多项式曲线模型参数计算表
时序（t）
yt
t2
t4
ty
-4
10.0
16
256
-40.0
-3
18.0
9
81
-54.0
-2
25.0
4
16
-50.0
-1
30.5
1
1
-30.5
0
35.0
0
0
0.0
1
38.0
1
1
38.0
2
40.0
4
16
80.0
3
39.5
9
81
118.5
4
38.0
16
256
152.0
0
274.0
60
708
214.0
t2y
160.0 162.0 100.0 30.5
0.0 38.0 160.0 355.5 608.0 1614.0
调整的 R2 0.9547 ，F 632.6 F0.05(1,30), 则方程通过显著 性检验，拟合效果很好。标准误差为：175.37。
（5）通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用
二次曲线模型拟合的效果更好。因此，运用方程：
yˆt 577.24 44.33t 3.29t2
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5.3 指 数 曲 线 趋 势 外 推 法
一、指数曲线模型及其应用 指数曲线预测模型为：
yˆt aebt (a 0)
趋势外推法
根据上表，将年度作为横坐标，人数作为纵坐标，绘制出散 点图。
由散点图可知，应建立直线趋势方程： Y =a +bX 其中：Y — 人数 X — 年度 利用最小二乘法，可以得出a、b的计算公式：
可得：a = 390.7，b = 41.3
Y = 390.8 + 41.3X
所以，未来第三年的人力资源需求量为：
• 当时点数列不存在长期趋势和季节性变动时，采用平滑方法 预测； • 当时点数列存在长期趋势但不含季节变动时，宜采用趋势外 推方法预测； • 当时点数列存在长期趋势和季节变化时宜采用趋势季节模型 方法预测。
步骤：
• 运用定性方法确定因变量是否适合运用趋势外推法。如果适 合，则搜集y的历史数据，对其进行初步处理。（画出趋势 线） • 对y 的历史数据和X进行回归分析，求出a,b,得到趋势外推 模型。 • 运用趋势外推模型预测y值。
Y = 390.8 + 41.3×15 = 1010(人)
满足两个前提： 1、企业要有历史数据（一般使用过去五年的数据进 行预测）； 2、是这些数据要有一定的发展趋势可循。 • 比较简单，只能预测大概走势，作为初步预测时比 较有价值。源需求量在时间上
表现出明显的均等趋势时才使用的。
• 根据历史数据，在坐标轴上绘出散点图；然后根据
图形可以直观地判断拟合哪种趋势线，从而建立相 应的趋势方程； • 根据趋势方程可以对未来某一时间的人力资源需求 进行预测。
表1 某企业过去12年的人力资源数量
年度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 人数 510 480 490 540 570 600 640 720 770 820 840 930
趋势外推法
趋势外推法
经济预测与决策第四章趋势外推法
2．拟合直线法的原理
这种方法是基于最小二乘法原理，通过对时间序列数据拟 合得出一条直线，使得该直线上的预测值与实际观察值之 间的离差平方和为最小。
3．拟合直线方程法的数学模型
4．加权拟合直线法的数学模型
在拟合直线法中，计算离差平方和时对近期误差和远期误差 赋予的权重是一样的。实际中，近期数据对预测结果的影响 更有意义，也就是说，对于预测精确度而言，近期误差比远 期误差更为重要。因此，在计算离差平方和时，对离差平方 项按照近大远小的原则赋予不同权值，即离差平方项对应的 时间点距离现在越近，其赋权值越大。对加权离差平方和再 按照最小二乘法原理，使离差平方和达到最小，进而求出加 权拟合直线方程。这种方法称为加权拟合直线法。
4.2.2 线性趋势外推预测法的应用举例
【实例4-1】
已知A公司1998~2008年销售利润，详见表4-1。试预测该公 司2009年的销售利润。
【实例4-2】
仍以表4-1对应的数据来说明加权拟合直线方程法的应用。 表4-4给出了各期对应的权值。
【解】 首先，基于表4-1中数据绘制趋势图，如图4-1所示。 从图4-1可知，公司销售利润呈现直线上升趋势。因此采 取线性趋势外推预测法进行预测。 其次，基于表4-1中数据计算线性趋势外推预测法模型的 参数a、b。
4.4 生长曲线预测法 4.4.1 生长曲线预测法基本原理 4.4.2 生长曲线预测法的应用举例
4.5 习题
本章学习目标
4.1 趋势外推预测法概述
4.1.1 趋势外推预测法含义 4.1.2 常用趋势外推预测法简介
4.1.1 趋势外推预测法含义
趋势外推预测法（Trend extra polation）是根据事物过 去和现在的发展趋势推断未来发展趋势的一类方法的总称 。这类方法的基本假设是事物的未来发展趋势系过去和现 在连续发展的结果。
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1018.0
6650
0
110
9100
55
385
42350
表3.1的左边以 来进行自变量 的取值，求得 ， ， 。表3.1的右边以0，1，2，…，10对自变量 进行取值，并求得 ， ， 。
3) 确定待定系数，建立预测模型。
1按表3.1左边的编号方法，有
= =604.5, = .
直线方程为
=604.5+82.7 (3.1.8)
(3.1.6)
(3.1.7)
3．拟合直线方程法的预测步骤
例3.1某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料如（表3.1）所示，试预测当时间变量的编号分别为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5和0，1，2，3，4，5，6，7，8，9时，2004、2005年企业的利润各为多少万元？
(3.1.2)
(3.1.3)
将式(3.1.2)和式(3.1.3)联立求解，得：
(3.1.4)
(3.1.5)
式中 ，
此处我们要注意到，自变量 的取值为1到 ,也就是说，自变量 的取值等于其下标 ，如 ， 。而实际上，从直线趋势法的原理来讲，时间变量 的取值代表的是时间变量的编号，而这种编号并不一定要从1开始。还可以从任一个自然数开始顺序编号，如 ， 。所以，我们可以利用这样的便利减少我们的工作量，这种方法称之为正、负对称编号法。即当时间序列的数据长度 为奇数时，取中数 的编号为0，那么 就构成了以0号为中心的正、负数对称的顺序编号，也就是令 ，使得 。如 ， ，那么 的取值为 ，此时显然有 ，从而达到简化计算的目的。使用正、负对称编号法时，式（3.1.4）、(3.1.5)可以简化为：
即该家用电器在2004、2005年的利润分别为1105.6、1189.26万元。
4． 结论分析
比较例3.1与例3.2的预测结果，可以发现，由于时间序列数据的线性趋势比较明显，又由于加权拟合直线法的加权系数取值比较大（ =0.8），使得加权与不加权两种拟合直线法的预测结果很接近。但就一般而言，由于加权拟合直线法按重近轻远的赋权原则，使其预测结果更接近于实际观察值。而且随着 取值越小，对近期数据所赋权数就越大，因此近期预测值就越接近实际观察值。但是，要选择一个比较合适的 值也是一个比较困难的事，一般要经过若干次试探，使得加权离差平方和 达到最小为好。
解：
1) 绘制时间序列数据散点图。观察各散点的变化趋势是否可用直线方程来拟合。
2) 列表计算求待定系数所需的数据资料。
=191.0+82.7 (3.1.9)
表 3.1某家用电器厂1993～2003年年利润及拟合直线方程法计算表（单位：万元）
年份
利润额y
1993
200
-5
25
-1000
191.0
0
0
0
1999
700
1
1
700
687.2
6
36
4200
687.2
2000
750
2
4
1500
769.9
7
49
5250
769.9
2001
850
3
9
2550
852.6
8
64
6800
852.6
2002
950
4
16
3800
935.3
9
81
8550
935.3
200310205来自2551001018.0
10
100
10200
191.0
1994
300
-4
16
-1200
273.7
1
1
300
273.7
1995
350
-3
9
-1050
356.4
2
4
700
356.4
1996
400
-2
4
-800
439.1
3
9
1200
439.1
1997
500
-1
1
-500
521.8
4
16
2000
521.8
1998
630
0
0
0
604.5
5
25
3150
604.5
191+82.7×12=1183.4(万元)
可见，由于两种时序列编号方法不同，两条直线方程式（3.1.8）与（3.1.9）的截距不同。但斜率相同，两个拟合直线方程所求得的预测结果完全一样。请读者自己将数据的散点图及拟合曲线画在同一坐标系中，观察其中的异同。
4．拟合直线方程法的特点
拟合直线方程的一阶差分为一常数。直线方程为： ,其一阶差分为
1) 列表计算有关数据。按式（3.11）与式（3.12）的要求，分别计算各年的 , , ， ， ， ，并加总求和，然后代入上式，有：
联立求解得 ， ，故预测模型为
(3.1.13)
2）预测值。
当 时， =101.68＋83.66×12=1105.6(万元)
当 时， =101.68＋83.66×13=1189.26(万元)
3.1.1
时间序列的变化趋势从图形上看，就是序列呈现某种增长或衰减的趋势，这种趋势是长期趋势。尽管时间序列的项值是各方面因素综合作用的结果，但序列呈现的线性趋势，说明其中有的因素是长期起决定作用而致。必须把这个长期趋势研究清楚，才能进行外推预测。
线性趋势预测的基本思想就是假定影响时间序列的项值的主要因素过去、现在和将来都大体相同，因而只要将其趋势直线加以延伸，便可预测未来的项值。一般而言，这种预测方法只适用于短期或经济平稳发展时期的预测。
趋势外推预测法是研究变量的发展变化相对于时间之间的函数关系。根据函数关系的形态不同，可分为直线趋势外推预测法、曲线趋势外推预测法。
3.1
直线趋势外推预测法是最简单的一种外推法，适用于时间序列观察值数据呈直线上升或下降的情形。此时，该变量的长期趋势就可用一直线来描述，并通过该直线趋势的向外延伸，估计其预测值。
大量事实证明，事物的发展过程，虽然有时可能出现某种跳跃，但主要还是渐进发展的。在这种情况下，趋势外推法就能为某些技术或经济的未来发展趋势与状况做出科学的预测。实际上,趋势外推法已成为科学技术发展渐进过程的一种主要预测方法，尤其是在技术预测领域中,其应用最为广泛。据统计,约有80％的技术预测使用这种方法。这种方法的主要优点是,可以揭示技术发展的未来趋势,并能够定量地估价某些功能特性。利用趋势外推法进行预测,在国外的工业公司和科研机构已经得到了广泛的应用，我国的某些技术和经济部门也已开始应用。
②按表3.1右边的编号法，有
， =82.7
直线方程为
=191.0+82.7 (3.1.9)
4) 用拟合直线方程求预测值。
1按式（3.1.8）进行预测：
604.5+82.7×6=1100.7（万元）
604.5＋82.7×7=1183.4（万元）
2按式（3.1.9）进行预测：
191＋82.7×11=1100.7(万元)
常用的预测方法有拟合直线方程法和加权拟合直线方程法（又称折扣最小平方法）。
3.1.2
拟合直线方程法是根据时间序列数据的长期变动趋势，运用数理统计方法，确定待定参数，建立直线预测模型，并用之进行预测的一种定量预测分析方法。
1．拟合直线方程法的原理
拟合直线方程法的原理就是最小二乘原理。它是依据时间序列数据拟合一条直线形态的趋势线，使该直线上的预测值与实际观察值之间的离差平方和为最小。
假设由近及远的离差平方和的权重分别为 ， ， ,…， ，其中0≤ ＜1， =1，说明对最近期数据赋予最大权重为1，而后由近及远，按 比例递减。各期权重衰减速度取决于 的取值， 取值越大（越接近于1），衰减速度越慢；反之， 的取值越小（越接近于0），则衰减速度越快。如 =1，则就转化为如上述的非加权拟合直线方程法。从该意义上说，加权拟合直线方程法是拟合直线方程法的改进和发展。
由二次曲线外推预测法的模型322与拟合直线外推法相同的原理对式322求方程组323由于表示时间序列的编号如同拟合直线方程法一样当时间序列观察期的项数为奇数时令其中间项的编号为0则?式323可简化为
第
一定的外界随机条件对应系统状态的一定表象，把一系列随机条件和对应的表象联接起来的长链条，既体现了系统运动变化的随机性，又体现了系统运动变化的约束性。因此，可以沿着这一链条，由系统的历史和现实的发展趋势推测其未来的发展趋势，即由已知推测未来。趋势外推法就是在大量历史的和现实的随机现象中，寻求它们的“平静的反映”，从而得到系统运动变化的规律，并据此规律推测出该系统未来的状况。这就是应用趋势外推法可以对事物的未来状况进行预测的理论根据。
直线趋势外推法只适用时间序列数据呈直线趋势的上升（或下降）变化。
直线趋势外推法对时间序列数据，不论其远近如何都一律同等看待。
用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因子的影响，使趋势值都落在拟合直线上，从而消除了不规则变动。
3.1.
1．加权拟合直线方程法的原理
上述拟合直线方程法是估计线性趋势预测模型的参数的常用方法。其基本思想就是要使预测结果与实际数据的误差的平方和达到最小值。从结构上看，误差平方和 是每年的实际值 与该年的预测值 的偏差值的平方和，这意味着式 中的每一项都有同样的重要性，即不论这个误差是近期的或是远期的，都赋予同等的权数。但事实上，对于预测精确度来说，近期的误差比远期误差更为重要。如一个经济现象，在预测期前的几期递增趋势明显且稳定，而远期的数量指标曾有过较大的跳动，按最小平方法，尽管时间序列后几期的误差平方都不大，但由于前面开始几期跳跃较大，也会使 较大。这就使得本来预测误差不大，精度较高的预测值也得承认有较大的误差。这是不合理的。因此，在市场预测的实践中，要按照时间先后本着重近轻远的原则，对离差平方和进行赋权，然后再按最小二乘原理，使离差平方和达到最小，求出加权拟合直线方程。这种方法称为加权拟合直线方程法。
6650
0
110
9100
55
385
42350
表3.1的左边以 来进行自变量 的取值，求得 ， ， 。表3.1的右边以0，1，2，…，10对自变量 进行取值，并求得 ， ， 。
3) 确定待定系数，建立预测模型。
1按表3.1左边的编号方法，有
= =604.5, = .
直线方程为
=604.5+82.7 (3.1.8)
(3.1.6)
(3.1.7)
3．拟合直线方程法的预测步骤
例3.1某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料如（表3.1）所示，试预测当时间变量的编号分别为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5和0，1，2，3，4，5，6，7，8，9时，2004、2005年企业的利润各为多少万元？
(3.1.2)
(3.1.3)
将式(3.1.2)和式(3.1.3)联立求解，得：
(3.1.4)
(3.1.5)
式中 ，
此处我们要注意到，自变量 的取值为1到 ,也就是说，自变量 的取值等于其下标 ，如 ， 。而实际上，从直线趋势法的原理来讲，时间变量 的取值代表的是时间变量的编号，而这种编号并不一定要从1开始。还可以从任一个自然数开始顺序编号，如 ， 。所以，我们可以利用这样的便利减少我们的工作量，这种方法称之为正、负对称编号法。即当时间序列的数据长度 为奇数时，取中数 的编号为0，那么 就构成了以0号为中心的正、负数对称的顺序编号，也就是令 ，使得 。如 ， ，那么 的取值为 ，此时显然有 ，从而达到简化计算的目的。使用正、负对称编号法时，式（3.1.4）、(3.1.5)可以简化为：
即该家用电器在2004、2005年的利润分别为1105.6、1189.26万元。
4． 结论分析
比较例3.1与例3.2的预测结果，可以发现，由于时间序列数据的线性趋势比较明显，又由于加权拟合直线法的加权系数取值比较大（ =0.8），使得加权与不加权两种拟合直线法的预测结果很接近。但就一般而言，由于加权拟合直线法按重近轻远的赋权原则，使其预测结果更接近于实际观察值。而且随着 取值越小，对近期数据所赋权数就越大，因此近期预测值就越接近实际观察值。但是，要选择一个比较合适的 值也是一个比较困难的事，一般要经过若干次试探，使得加权离差平方和 达到最小为好。
解：
1) 绘制时间序列数据散点图。观察各散点的变化趋势是否可用直线方程来拟合。
2) 列表计算求待定系数所需的数据资料。
=191.0+82.7 (3.1.9)
表 3.1某家用电器厂1993～2003年年利润及拟合直线方程法计算表（单位：万元）
年份
利润额y
1993
200
-5
25
-1000
191.0
0
0
0
1999
700
1
1
700
687.2
6
36
4200
687.2
2000
750
2
4
1500
769.9
7
49
5250
769.9
2001
850
3
9
2550
852.6
8
64
6800
852.6
2002
950
4
16
3800
935.3
9
81
8550
935.3
200310205来自2551001018.0
10
100
10200
191.0
1994
300
-4
16
-1200
273.7
1
1
300
273.7
1995
350
-3
9
-1050
356.4
2
4
700
356.4
1996
400
-2
4
-800
439.1
3
9
1200
439.1
1997
500
-1
1
-500
521.8
4
16
2000
521.8
1998
630
0
0
0
604.5
5
25
3150
604.5
191+82.7×12=1183.4(万元)
可见，由于两种时序列编号方法不同，两条直线方程式（3.1.8）与（3.1.9）的截距不同。但斜率相同，两个拟合直线方程所求得的预测结果完全一样。请读者自己将数据的散点图及拟合曲线画在同一坐标系中，观察其中的异同。
4．拟合直线方程法的特点
拟合直线方程的一阶差分为一常数。直线方程为： ,其一阶差分为
1) 列表计算有关数据。按式（3.11）与式（3.12）的要求，分别计算各年的 , , ， ， ， ，并加总求和，然后代入上式，有：
联立求解得 ， ，故预测模型为
(3.1.13)
2）预测值。
当 时， =101.68＋83.66×12=1105.6(万元)
当 时， =101.68＋83.66×13=1189.26(万元)
3.1.1
时间序列的变化趋势从图形上看，就是序列呈现某种增长或衰减的趋势，这种趋势是长期趋势。尽管时间序列的项值是各方面因素综合作用的结果，但序列呈现的线性趋势，说明其中有的因素是长期起决定作用而致。必须把这个长期趋势研究清楚，才能进行外推预测。
线性趋势预测的基本思想就是假定影响时间序列的项值的主要因素过去、现在和将来都大体相同，因而只要将其趋势直线加以延伸，便可预测未来的项值。一般而言，这种预测方法只适用于短期或经济平稳发展时期的预测。
趋势外推预测法是研究变量的发展变化相对于时间之间的函数关系。根据函数关系的形态不同，可分为直线趋势外推预测法、曲线趋势外推预测法。
3.1
直线趋势外推预测法是最简单的一种外推法，适用于时间序列观察值数据呈直线上升或下降的情形。此时，该变量的长期趋势就可用一直线来描述，并通过该直线趋势的向外延伸，估计其预测值。
大量事实证明，事物的发展过程，虽然有时可能出现某种跳跃，但主要还是渐进发展的。在这种情况下，趋势外推法就能为某些技术或经济的未来发展趋势与状况做出科学的预测。实际上,趋势外推法已成为科学技术发展渐进过程的一种主要预测方法，尤其是在技术预测领域中,其应用最为广泛。据统计,约有80％的技术预测使用这种方法。这种方法的主要优点是,可以揭示技术发展的未来趋势,并能够定量地估价某些功能特性。利用趋势外推法进行预测,在国外的工业公司和科研机构已经得到了广泛的应用，我国的某些技术和经济部门也已开始应用。
②按表3.1右边的编号法，有
， =82.7
直线方程为
=191.0+82.7 (3.1.9)
4) 用拟合直线方程求预测值。
1按式（3.1.8）进行预测：
604.5+82.7×6=1100.7（万元）
604.5＋82.7×7=1183.4（万元）
2按式（3.1.9）进行预测：
191＋82.7×11=1100.7(万元)
常用的预测方法有拟合直线方程法和加权拟合直线方程法（又称折扣最小平方法）。
3.1.2
拟合直线方程法是根据时间序列数据的长期变动趋势，运用数理统计方法，确定待定参数，建立直线预测模型，并用之进行预测的一种定量预测分析方法。
1．拟合直线方程法的原理
拟合直线方程法的原理就是最小二乘原理。它是依据时间序列数据拟合一条直线形态的趋势线，使该直线上的预测值与实际观察值之间的离差平方和为最小。
假设由近及远的离差平方和的权重分别为 ， ， ,…， ，其中0≤ ＜1， =1，说明对最近期数据赋予最大权重为1，而后由近及远，按 比例递减。各期权重衰减速度取决于 的取值， 取值越大（越接近于1），衰减速度越慢；反之， 的取值越小（越接近于0），则衰减速度越快。如 =1，则就转化为如上述的非加权拟合直线方程法。从该意义上说，加权拟合直线方程法是拟合直线方程法的改进和发展。
由二次曲线外推预测法的模型322与拟合直线外推法相同的原理对式322求方程组323由于表示时间序列的编号如同拟合直线方程法一样当时间序列观察期的项数为奇数时令其中间项的编号为0则?式323可简化为
第
一定的外界随机条件对应系统状态的一定表象，把一系列随机条件和对应的表象联接起来的长链条，既体现了系统运动变化的随机性，又体现了系统运动变化的约束性。因此，可以沿着这一链条，由系统的历史和现实的发展趋势推测其未来的发展趋势，即由已知推测未来。趋势外推法就是在大量历史的和现实的随机现象中，寻求它们的“平静的反映”，从而得到系统运动变化的规律，并据此规律推测出该系统未来的状况。这就是应用趋势外推法可以对事物的未来状况进行预测的理论根据。
直线趋势外推法只适用时间序列数据呈直线趋势的上升（或下降）变化。
直线趋势外推法对时间序列数据，不论其远近如何都一律同等看待。
用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因子的影响，使趋势值都落在拟合直线上，从而消除了不规则变动。
3.1.
1．加权拟合直线方程法的原理
上述拟合直线方程法是估计线性趋势预测模型的参数的常用方法。其基本思想就是要使预测结果与实际数据的误差的平方和达到最小值。从结构上看，误差平方和 是每年的实际值 与该年的预测值 的偏差值的平方和，这意味着式 中的每一项都有同样的重要性，即不论这个误差是近期的或是远期的，都赋予同等的权数。但事实上，对于预测精确度来说，近期的误差比远期误差更为重要。如一个经济现象，在预测期前的几期递增趋势明显且稳定，而远期的数量指标曾有过较大的跳动，按最小平方法，尽管时间序列后几期的误差平方都不大，但由于前面开始几期跳跃较大，也会使 较大。这就使得本来预测误差不大，精度较高的预测值也得承认有较大的误差。这是不合理的。因此，在市场预测的实践中，要按照时间先后本着重近轻远的原则，对离差平方和进行赋权，然后再按最小二乘原理，使离差平方和达到最小，求出加权拟合直线方程。这种方法称为加权拟合直线方程法。