奥数 新定义运算

奥数定义新运算

我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。

一、定义

1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。

注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运

算，然后进行计算。

（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、◆、■等来表示的一种运算。

（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。

2、一般的解题步骤是:

一是认真审题，深刻理解新定义的内容；

二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；

三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。

二、初步例题诠释

例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。

求12*4的值。

分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。

12*4=12×4-12-4=48-12-4=32

例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。

分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b 等于两数之和除以后一个数的商。这里

要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a 代表数字8，b 代表数字5。 8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6

例3、如果a ◎b=a ×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。

分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符

号。

6◎（9◎2）

=6◎[9×2-（9+2）]

=6◎7

=6×7-（6+7）

=42-13

=29

例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。

求6Δ5。

分析与解：仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别

是一位数，二位数，三位数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加

数。因此可以按照这个规律进行解答。

6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070

例5、如果规定⊗2=1×2×3，⊗3=2×3×4，⊗4=3×4×5，…… 计算（21⊗-31⊗）×3

2⊗⊗。

分析与解：该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为⊗X=

（X-1）×X ×（X+1）。由于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先

化简算式后，再计算。

（

21⊗-31⊗）×3

2⊗⊗ = 21⊗×32⊗⊗-31⊗×3

2⊗⊗ =31⊗-31⊗×3

2⊗⊗ =31⊗（1-3

2⊗⊗） = 4321⨯⨯×（1-4

32321⨯⨯⨯⨯） =4321⨯⨯×（1-4

1） =4321⨯⨯×4

3 =321

例6、规定a ▲b=5a+2

1ab-3b 。求（8▲5）▲X=264中的未知数。 分析与解：根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程

即可。

（8▲5）▲X=264

（5×8 + 2

1×8×5-3×5）▲X=264 45▲X=264 5×45+

2

1×45×X-3X=264 225+245X-2

6X =264 225+2

39X=264 2

39X=39 X=2

三、边学边试

【例1】A，B表示两个数，定义A△B表示(A+B)÷2，

求(1)(3△17) △29；

(2)[(1△9) △9] △6。

【分析与解】定义新运算符号“△”表示A△B=(A+B)÷2，即两个数做“△”运算就是求这两个数的平均值.如:3△17=(3+17)÷2=10，再用10与29做运

算，10△29=(10+29)÷2=19.5

(1)原式=[(3+17)÷2] △29 (2)原式={[(1+9)÷2] △9}△6

=[20÷2] △29 =[5△9] △6

=10△29 =[(5+9)÷2] △6

=(10+29)÷2 =7△6

=39÷2 =(7+6)÷2

=19.5 =6.5

【试一试】

1、A，B表示两个数，定义A*B=2×A-B.试求:

(1)(8.5×6.9)*5 (2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35)

2、设a▽b=a×b+a-2b，按此规定计算：

（1）8▽1.25 (2)(4▽2.5) ▽7

【例2】已知2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702.

求:(1)3*3；(2)4*5；(3)若1*x=123，求x.

【分析与解】观察两个已知等式可以发现，“*”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，

而“*”后边的数恰好是加数的个数。

（1）3*3=3+33+333=369

（2）4*5=4+44+444+4444+44444=49380

（3）提示：因为1* x=1+11+111+…=123

所以倒着算：123-1=122 122-11=111 111-111=0

即：1+11+111=1*3=123

从而可知x=3

【试一试】

已知5△3=5×6×7，3△6=3×4×5×6×7×8，按此规定计算：

（1）（4△3）+（6△2）（2）（3△2）×（4△3）

【例3】设A⊕B=2×（A+B）-2×（A÷B），

计算：（1）（12⊕4）⊕13；（2）70⊕（18⊕4）。

【分析与解】观察已知等式可知：“⊕”定义表示的是两个数和的2倍与商的2倍的差。如：12⊕4=2×（12+4）-2×（12÷4）=26

（1）原式=[2×（12+4）-2×（12÷4）] ⊕13

=[2×16-2×3] ⊕13

=26⊕13

=2×（26+13）-2×（26÷13）

=2×39-2×2