2018年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷答案
意一点进入区域 G
的可能性为
1 16
，则
a
.
【答案】 1 .
2
【解析】直线 AB 的方程为 y 2x 1，直线 AC 的方程为 y 2x 3 ，直线 y a 与它们
的交点为 D(1 a , a), E(3 a , a) ， G 的 面积等于三角形 ADE 的面 积 (1 a)2 ，因此
3. 已知方程 xe2x k 0 在区间 (2,2) 内恰有两个实根，则 k 的取值范围是
.
【答案】 ( 1 , 2 ) 2e e4
【解析】记
f
(x)
xe 2 x
k
，令
f
(x)
(1
2x)e2x
0
，得 x
1
，当
x
1 2
时，
f (x) 0 ，
f (x) 在 (, 1 ) 上为增函数，当 x 1 时 f (x) 0 ， f (x) 在 (1 ， ) 上为减函数，所以
当 4m2 4 0 ，即 1 m 1时，方程 x2 2mx 1 0 有两个共轭的虚根 x3, x4 ，
A B ___________________. 【答案】{-1，3}
【解析】因 x 2 ， x的值可取 2,1,0,1 . 当 x 2 ，则 x2 0 无解； 当 x 1，则 x2 1，所以 x 1； 当 x 0 ，则 x2 2 无解； 当 x 1，则 x2 3 ，所以 x 3 . 所以 x 1或 3 .
因为
a、c、4 3
b
成等比数列，所以
c
qa,
b
3q2a ，由正弦定理 4
a 3q2a
qa
，
sin A 4sin 60 0 sin(120 0 A)
整理得：
sin
A
2 q2
,
3 2
cos
A
2 q
1 q2
,
(q 2)[3q3 5q2 4 (q 2)2] 0.
2
2
2
f (x) 在点 x 1 取得最大值 f (1/ 2) 1 k ，当且仅当：
2
2e
f (1/ 2) 1 k 0, f (2) 2e4 k 0, f (2) 2e4 k 0 2e
时
xe 2 x
k
0
在区间
(2,2)
内恰有两个实根，故
k
的取值范围是
2
2
2
(1 a)2 1 ，解之得： a 1 .
4 16
2
6. 袋中装有 m 个红球和 n 个白球， m n 4 .现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概
率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系 m n 40的数组 m, n的个数为
.
【答案】3 .
【解析】记“取出两个红球”为事件 A ，“取出两个白球”为事件 B ，“取出一红一白两
(
1 2e
,
2 e4
)
.
1
4. 已知 A BC 的三个角 A、B、C 成等差数列，对应的三边为 a、b、c ，且 a、c、4 b 成等 3
比数列，则 SABC : a2
.
【答案】 3 . 2
【解析】因为 A、B、C 成等差数列， 2B A C, 3B A B C 180 0 ，因此 B 60 0 ，又
所以
m m
n n
9 , 3
或mm
n n
16 ,
4
或mm
n n
25 ,
5
或mm
n n
36 6
，
解之得 m, n （6，3）（舍去），或（10，6），或（15，10），或（21，15）。故符合题意 的数组 m, n有 3 个。
1，所以
a
1时，1 1
a ex
1 1
a,
f
(x)
的值域为 (1, a) ； a
1时， a
1
a 1 ex 1
1，
f
(x)
的值域为 (a,1) .
2. 设集合 A x x2 x 2 和B x x 2 ，其中符号x表示不大于 x 的最大整数，则
球”事件 C ，则
P( A)
Cm2 C2
mn
, P(B)
Cn2 C2
mn
,
P(C)
Cm1 Cn1 C2
mn
.
依题得 P( A) P(B) P(C) ，即 Cm2 Cn2 Cm1 Cn1 . 所以 m n m n2 ，从而 m n 为
2
完全平方数，又由 m n 4及m n 40 ，得 9 m n 40.
所以：
q
2, sin
A
1 2
,
A
30
0,C
90
0
，故
S ABC
1 2
ab
3 a2. 2
5. 已 知 点 A(1,1), B(1/ 2,0),C(3/ 2,0) , 经 过 点 A, B 的 直 线 和 经 过 点 A, C 的 直 线 与 直 线
y a(0 a 1) 所围成的平面区域为 G ，已知平面矩形区域(x, y) | 0 x 2,0 y 1中的任
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分.
1.
函数
f
(x)
1 aex 1 ex
(a
1) 的值域为
.
【答案】 a 1时， f (x) 的值域为 (1,a) ； a 1时， f (x) 的值域为 (a,1) .
【解析】
f
(x)
1
a 1 ex 1
，因为 0
1 ex 1
2018 年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷 参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档; 其他各题 的评阅, 请严格按照评分标准的评分档次给分, 不要增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理、步骤正确, 在评卷时 可参考本评分标准适当划分档次评分, 解答题中第 9 小题 4 分为一个档 次, 第 10、11 小题 5 分为一个档次, 不要增加其他中间档次.
7. 已知关于 x 的实系数方程 x2 2x 2 0 和 x2 2mx 1 0 的四个不同的根在复平面上
对应的点共圆，则 m 的取值范围是
.
【答案】
m
|
1
m
1或
m
3 2
.
【解析】易知方程 x2 2x 2 0 的两根为 x1 1 i, x2 1 i.
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。
2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。
2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**） 对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。
[实用参考]2018年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷).doc
![[实用参考]2018年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷).doc](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/12c14351b84ae45c3a358c10.webp)
2016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ．2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ．3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ．4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ．5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++-+=则直线l 的方程为 ．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为 ．8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100l g l g 100x x =的两个不同的解，求12100a a a 的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=； （2）求cos C 的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足： （1）221,1,2,,2016k k x y k +==； （2）122016y y y +++是奇数．求122016x x x +++的最小值．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠QGPD CBA四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ．答案：6．解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,aa +>故24 6.a a +=另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因()()()()()22252132********2223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a q a q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而240a a +>，从而24 6.a a +=2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为133227.2MRSMNPQ S S-=⨯-⨯⨯=正方形3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ．答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知，222i 22i i,a b ab a b a b -+++=-比较虚、实部得220,230.a b a ab b -+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =-，进而23b a a =±+于是，满足条件的复数z 的积为33 3.22⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g +=①()()22818190.f g +=++=②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知，()()()()22400 2.f g f g --=+=③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =⨯=另解：因为()()391x f x g x x +=++，①所以()()2290.f g +=②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以()()2.f x f x =-③又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x -=-，()()1212g x g x ⎡⎤-++=-++⎣⎦，从而()()2 4.g x g x =---④将③、④代入①，再移项，得()()3229 5.x f x g x x ---=++⑤在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g -=⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ⨯=过所求的概率为6012.12525p == 6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++-+=则直线l 的方程为 ．答案：2450.x y -+= 解：12,C C 的标准方程分别为()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++-=-2故12,C C 12O O 7.是侧棱 xA建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V ----由条件知111112,,,,,222333M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此311442,,,,,.222333AM BN ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则cos 11AM BN AM BNθ⋅-===⋅ 8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．解：由于对任意整数n ，有135113,2461224612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++≤+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡-，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =-=共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故 .x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧⎫=-=-=+-+=-=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=+++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭才成立．而201612168=⨯，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭正整数n 的个数为168. 二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a 的值．解对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.k k a a --=因此，5051lg ,lg a a 是一元二次方程210020t t --=的两个不同实根，从而()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.a a =由等比数列的性质知，()5015010012100505110a a a a a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅ （1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=； （2）求cos C 的最小值．解（1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB AC cb A +-⋅==同理得，222222,.22a cb a b cBA BC CA CB +-+-⋅=⋅=故已知条件化为()()22222222223,b c a a c b a b c +-++-=+-即22223.a b c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得()2222222123cos 2236a b a ba b c C ab ab a b b a+-++-===+≥ 等号成立当且仅当因此cos C 11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,PQ 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C 交于点((00,,P a Q a （注意这里1a >），2l 与C 交于点()()001,0,1,0,R S -由条件知00002PQ R S ===，解得a这意味着符合条件的a 下面验证a =事实上，当12,l l中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:,:0,l y k x l y x k k==-≠ 注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l 与C 只有一个交点）．联立1l 与C 的方程知，(22210,x k x ---=即()22221210,k xx k ----=这是一个二次方程式，其判别式为2440k ∆=+>．故1l 与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2212.1k PQ k +==⋅-用1k -代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k --+-+=⋅=---于是.PQ RS= 综上所述，a =加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足： （1）221,1,2,,2016k k x y k +==； （2）122016y y y +++是奇数．求122016x x x +++的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,k k x y k ≤≤=于是（注意0i x ≥）()2016201620162016201622211111120162016.kkkkk k k k k k x xy yy =====≥=-=-≥-∑∑∑∑∑①不妨设112016,,0,,,0,02016,m m y y y y m +>≤≤≤则201611,2016.m kk k k m ym y m ==+≤-≤-∑∑若11m k k y m =>-∑，并且201612015,k k m y m =+->-∑令2016111,2015,m kk k k m ym a y m b ==+=-+-=-+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=-+--+=-+-∑∑∑由条件（2）知，20161k k y =∑是奇数，所以a b -是奇数，这与0,1a b <<矛盾．因此必有11m k k y m =≤-∑，或者201612015,k k m y m =+-≤-∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=-≤∑∑∑于是结合①得201611.k k x =≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ==========时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅的不超过k 的正约数的集合是.A B若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d '=，则|d n '，d '是奇数，又2kd k '≤<，故,d A '∈从而B ≤ABD 直线.PAQCB此，点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠=，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知.PM MQ GM MC ⋅=⋅①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OC GC AG ==因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆． 又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数． 设1211a a a <<<是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b 是A 中的全部非负元素，12,,,l c c c 是A 中的全部负元素．不妨设110,l k c c b b <<<≤<<其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有111212,k k l k c b c b c b c b c b >>>>>>它们是B 中的110k l +-=个元素，且非正数；又有23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<<它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+=由此可知，17.B ≥另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =-±±±±±-是个17元集合．。
2018年全国高中数学竞赛试题
2018年全国高中数学竞赛试题数学作为一门科学，一直以来都被视为培养学生逻辑思维和解决问题的能力的重要学科。
在中国，每年都会举行全国高中数学竞赛，以选拔数学方面的优秀人才。
2018年的全国高中数学竞赛试题也是备受关注的焦点。
本文将针对2018年全国高中数学竞赛试题进行分析和解答。
试题一是一道关于函数的题目。
给定一个函数f(x) = x^2 + bx + c，已知f(-1) =2和f(1) = 6，求函数f(x)的解析式。
解答这道题需要运用函数的性质和代数运算的规则。
首先，根据已知条件，我们可以列出两个方程，分别是：1 + b + c = 2和1 -b +c = 6。
解这个方程组可以得到b = -3和c = 4。
因此，函数f(x)的解析式为f(x) = x^2 - 3x + 4。
试题二是一道关于数列的题目。
给定一个等差数列{an}，已知a1 = 2，a2 = 5，求第n项an的表达式。
解答这道题需要运用数列的性质和数学归纳法。
首先，我们可以根据已知条件列出递推公式an = a1 + (n-1)d，其中d为公差。
代入已知的a1和a2可以得到2 + d = 5，解得d = 3。
因此，数列{an}的递推公式为an = 2 + 3(n-1)。
进一步化简得到an = 3n - 1。
试题三是一道关于概率的题目。
已知甲、乙两个人轮流掷一个公正的硬币，甲先掷。
如果硬币正面朝上，则甲得1分；反之，乙得1分。
第一个得到5分的人获胜。
问甲获胜的概率是多少？解答这道题需要运用概率的概念和技巧。
首先，我们可以列出甲获胜的可能情况，即甲连续获胜5次或甲获胜4次，乙获胜1次，再甲获胜1次。
根据硬币正反面朝上的概率均为1/2，我们可以计算出甲获胜的概率为1/2^5 + 4/2^5 = 1/32 + 1/32 = 1/16。
以上只是2018年全国高中数学竞赛试题的三道题目，其中涉及到了函数、数列和概率等数学的基础知识和解题技巧。
数学竞赛试题的设计旨在考察学生的数学思维能力和解决问题的能力，因此需要学生具备扎实的数学基础和灵活运用数学知识的能力。
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。
2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。
2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。
进 而 可 得 U2,2 ， S 4,1 ， 代 入 椭 圆 方 程 解 得 ： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ， 从 而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。
2018年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试题
．
3.已知方程在 xe2x k 0 区间 2, 2内恰有两个实根，则 k 的取值范围是
ห้องสมุดไป่ตู้
．
4.已知 ABC 的三个角 A、、 B C 成等差数列，对应的三边为 a、b、 c ，且 a、c、 4 b 成等比数列，则 3
SABC : a2
．
5.已知点 A1,1, B 1 2, 0,C 3 2, 0, ，经过点 A, B 的直线和经过点 A,C 的直线与直线
11. 已知正整数 n 都可以唯一表示为 n a0 a19 a2 92 ... am 9m （*）的形式，其中 m 为非负整数，
a j 0,1,...,8 j 0,1,..., m 1, am 0,1,...,8.试求（*）中的数列 a0 , a1, a2 ,..., am 严格单调递增或严
y a 0 a 1所围成的平面区域为 G ，已知平面矩形区域 x, y 0 x 2, 0 y 1 中的任意一点进
入区域 G 的可能性为 1 ，则 a
．
16
6.袋中装有 m 个红球和 n 个白球， m n 4 .现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的
2018 年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛答卷名称
一、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
1.函数
f
x
1 aex 1 ex
a
1的值域为
．
2.设集合 A x x2 x 2 和 B x x 2 ，其中符号x表示不大于 x 的最大整数，则 A B
1
en
1 bn ,
pk
高三数学-2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷及答案(word版) 精品
2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21- 2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则ac b cos 的值等于（ ） A. 21- B. 21 C. −1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
2018年全国高中数学联合竞赛加试参考答案(A卷和B卷)
① …………………10 分
又根据内心的性质，有 EBI EBC CBI EAC ABI EAB ABI EIB ， 从而 BE EI ． 结合 BN EM 及①知， NBE ≌MEI ．
D A
…………………20 分
F
I
B N
G
M
C
E
于是 EMI BNE 90 BFE 180EFI ，故 E , F , I , M 四点共圆． 进而可知 AFM 90 IFM 90 IEM AGM ， 从而 A, F , G , M 四 点共圆． …………………30 分 再由 DAG DMG 90 知， A, G , M , D 四点共圆，所以 A, F , G , M , D 五 点共圆．从而 DFG DAG 90 ，即 DF FG ．
ki ai + 1 KA + 1 ≤ ． ① A +1 i =1 ai + 1 对 i = 1, 2, , n ，由于 ki ≥ 1 及 0 < ai ≤ A 知， ki ai + 1 k −1 k − 1 ki A + 1 = ki − i ≤ ki − i = ． ai + 1 ai + 1 A +1 A +1 结合 K ≥ k1k2 kn 知，为证明①，仅需证明当 A > 0, ki ≥ 1 (i = 1, 2, , n ) 时，有
③
因此 n = 2 时结论成立． …………………30 分 设 n = m 时结论成立，则当 n = m + 1 时，利用归纳假设知， m +1 m ki A + 1 k A + 1 km +1 A + 1 k1k2 km A + 1 km +1 A + 1 = ∏ i ⋅ ≤ ⋅ ∏ A +1 i 1= A +1 k k km +1 A + 1 ≤ 1 2 ， A +1 最后一步是在③中用 k1k2 km , km +1 （注意 k1k2 km ≥ 1, km +1 ≥ 1 ）分别代替 k1 , k2 ． 从而 n = m + 1 时结论成立． 由数学归纳法可知，②对所有正整数 n 成立，故命题得证． …………………40 分
2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案)
则(������ + ������������)������2 + 2(������ − ������������)������ + 2 = 0，
整理得：(������������2 + 2������������ + 2) + (������������2 − 2������������)������ = 0
由图结合对称性得：
������1 = ������ − 2, ������2 = 2������ − [4 + 2(2������ − 6)] = 8 − 2������ 所以，由函数单调性，不等式1 ≤ ������(������) ≤ 2在[1，2]内
分析：������������������ + ������������������为偶数，则������������������与������������������奇偶性相同，
故当������ ≥ 2 时，
������������ = √������ ± √������ − 1 ≤ √������ + √������ − 1 < 2√������ (2) ������������与������������+1异号时结论显然成立，
当������������与������������+1同号时： 由(1)得������������ = ±√������， 不妨得：������������ = √������ − √������ − 1
6. 设复数������满足|������|=1，使得关于������ 的方程z������2 + 2������̅������ +
2 = 0有实根，则这样的复数������的和为
2018年全国高中数学联赛模拟试题与参考 答案
解得− ≥ ������＞ − 4.
注意：函数的定义域不能为空集。
2.已知函数������(������) = 1 −
（������＞������）若������(������) = 2 ln √������ − ������(������)，则������(������������)的取值范围为____________.
P
注：也可采用联立直线与圆锥曲线的方法解答，但过于繁琐，本解
答采用熟知的结论：������������ + ������������ = ������. 7.对于 ≤ ������ ≤ 1，则(1 + ������) (1 − ������)(1 − 2������) 的最大值为___________.
的等腰三角形，则三棱锥 A-BCD 的高与其外接球的直径的比值为_____________.
A
【解答】如图，易得 AE⊥BE，由等量关系，CE=ED=2，AF=BF=4，AE=BE=2√2.
由垂径定理，OF⊥AB，OE⊥CD，由对称性得 O 在 EF 上.
F
由勾股定理，OF + AF = AO = R = OC = （4 − OF）² + CE²
故������������������������ =
=
=
=
2
²
，若������������������������＜0，则������������������������＜0，这不可能.
∴ ������������������������＞0. ������������������������ ≤ √ .
在 BDP 中由正弦定理得 1 x
sin 2 60
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)_PDF压缩
等式得
f (u) + f (v) ≥ f (u) − f (v) ≥ 4 ，
故 f (u) ≥ 2 与 f (v) ≥ 2 中至少有一个成立．
注意到 f (4 ) f ( 4) f () 1, f (2 6) f (2) 0 ，
所以
0 f (x) 1 f (2 6) f (x) f (4 ) ，
而 0 2 6 4 1 ，故原不等式组成立当且仅当 x [2 6, 4 ] ．
4 7
，即
tan
2
4 7
，从而
tan(
)
cot
2
7 4
．
6. 设抛物线 C : y2 2x 的准线与 x 轴交于点 A ，过点 B (1, 0) 作一直线 l 与
抛物线 C 相切于点 K ，过点 A 作 l 的平行线，与抛物线 C 交于点 M , N ，则 KMN
…………………5 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
即 log3 a log3 b 2 ，因此 ab 32 9 ．于是 abc 9c ． 又
…………………10 分
0 f (c) 4 c 1，
…………………15 分
故 c (9, 16) ．进而 abc 9c (81, 144) ．