讲1曲线坐标系

Cx Cy Cz =A x B x A y By A z B z
= B⋅(C×A =C⋅(A×B) )
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
• 圆柱坐标系 • 球坐标系
dr =eρdρ +eφ ρdφ +ezdz
dSρ = ρdφdz
dr = erdr +e rdθ +eφrsinθdφ θ
dSr = r sinθdθdφ
1637年，笛卡尔(法国，1596~1650)发表了《几何学》， 年 笛卡尔 法国 法国， 发表了《 发表了 几何学》 创立了直角坐标系,为后来牛顿 莱布尼兹发现微积分， 为后来牛顿、 创立了直角坐标系 为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分，为 一大批数学家的新发现开辟了道路。 一大批数学家的新发现开辟了道路。
S
S +S2 +S3 1
f(ρ,ϕ, z S )d
x
S a 1
y
= ∫∫ f(ρ,ϕ, z S +∫∫ f(ρ,ϕ, z S +∫∫ f(ρ,ϕ, z S )d )d )d
S1 S2
=∫
af(ρ,ϕ,0)ρdϕ ρ +∫ d
2π
S3
0
∫
h
0
f a,ϕ, z dϕ ( )adz
dz
eρ
dϕ dρ e ϕ
x
y
dr =eρdρ +eφρdφ +ezdz
dρ
dφ
• 圆柱坐标系的微分 • （拉梅系数、线元、面元、体 拉梅系数、线元、面元、 积元） 积元）
dz
拉梅系数
dρ hρ = =1 dρ
面元
dSρ = dlφdlz = ρdφdz
ρdϕ h = = ρ dSφ = dlρdlz = dρ z d ϕ dϕ dz dSz =dlρdlφ = ρdρdφ hz = =1 dz
场矢量用坐标分量表示 场矢量用坐标分量表示
A r) =ex A (r) +ey A (r) +ez A (r) ( x y z A r) =eρ A (r) +e A (r) +ez A (r) ( ρ ϕ ϕ z A r) =er A (r) +e A (r) +e A (r) ( r θ θ ϕ ϕ
∂eρ ∂ϕ =−ex sinϕ +ey cosϕ = e ϕ
z zρ
ez P
e ϕ
eρ
o φ y
∂e ϕ
∂ϕ
= −ex cosϕ−ey sinϕ = −eρ
= ∂eρ ∂z
∂e ϕ ∂z
x
∂eρ
∂ρ
=0
=0
∂e ϕ
e右 ϕ 手 π ϕ+ 螺 2 旋 ϕ
x
y
eρ
∂ρ
=
位置矢量
r =eρρ +ez z
A⋅ B= A B + A B + A Bz ρ ρ ϕ φ z
eρ e ϕ ez A×B = A A A ρ ϕ z B B Bz ρ ϕ
A
B
A=eρ A +e A +ez A ρ φ φ z
z
A z
A r) (
r =eρrρ +eϕr +ezrz =eρρ +ez z ϕ
r
o
A e ϕ ϕ A ρ
r = ex x +ey y
x = acosϕ
y
dr
y = asinϕ
a
ϕ
r
x
dr = exdx +eydy =−exasinϕdϕ +eyacosϕdϕ
=[exacos(ϕ + ) +eyasin(ϕ + )]dϕ 2 2
π
π
dr
的方向指向有向曲线的切线方向
线元矢量
dr =exdx+eydy +ezdz
坐标单位矢量
z zρ
eρ ,e ,ez φ
eρ ⋅e = e ⋅ez =eρ ⋅ez =0 φ φ eρ ×e =ez φ e ×ez =eρ φ ez ×eρ =e φ
坐标曲线 ρ曲线： φ曲面与 曲面的交线 曲线： 曲面与z 曲线 曲面与 φ曲线： ρ曲面与 曲面的交线 曲线： 曲面与z曲面的交线 曲线 曲面与 z曲线： ρ曲面与 曲面的交线 曲线： 曲面与 曲面与φ曲面的交线 曲线 x
A
矢量A与 B的叉积
ex
ey
ez A z B z
A×B = A A x y B By x
=ex (A Bz − A By ) +ey (A Bx − A Bz ) +ez (A By − A Bx ) y z z x x y
ex ×ex = 0
ey ×ex =−ez
ex ×ey = ez
ey ×ey = 0
A
A eA = 矢量的单位矢量： 矢量的单位矢量： A
矢量的几何表示
常矢量：大小和方向均不变的矢量。 常矢量：大小和方向均不变的矢量。 变矢量：大小或方向会改变的矢量。 变矢量：大小或方向会改变的矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量。
位置矢量： 位置矢量：
r = exx +ey y +ez z
ez ×ey =−ex
ex ×ez = ey
ey ×ez = ex
ez ×ex = ey
ez ×ez = 0
（5）矢量的混合运算
(A+B)⋅C = A⋅C+B⋅C
(1.1.7)
—— 分配律 —— 分配律
(A+B)×C = A×C+B×C
(1.1.11)
A⋅(B×C) = B⋅(C× A =C⋅(A×B) (1.1.12) 标量三重积 ) ——
A×(B×C) =(A⋅C)B−(A⋅ B)C (1.1.13) 矢量三重积 ——
A⋅(B×C) = B⋅(C×A =C⋅(A×B) )
ex ey ez
A x A y
(1.1.12)
A z
A⋅(B×C) = A⋅ Bx By Bz = Bx By Bz
Cx Cy Cz
Cx Cy Cz
B By B x z = Cx Cy Cz A A A x y z
eϕ = ex cos(ϕ+ ) +ey sin(ϕ +π ) 2
2
π
y
ϕ
x
ey =eρ sin ϕ +e cosϕ ϕ
• 圆柱坐标系的微分 • （拉梅系数、线元、面元、体积元） 拉梅系数、线元、面元、体积元） eρ =ex cosϕ +ey sin ϕ
eϕ = −ex sin ϕ+ey cosϕ
• 1.2.3 圆柱坐标系
z
坐标变量
ρ,φ, z
zρ
坐标单位矢量
·P(ρ,φ,z)
eρ ,e ,ez φ
坐标曲面
x
o φ y
ρ曲面：ρ =Const圆柱面 曲面： 曲面 圆柱面 φ曲面：φ =Const半平面 曲面： 曲面 半平面 z曲面： z =Const平面 曲面： 曲面 平面
• 1.2.3 圆柱坐标系
A±B=ex (A ±B ) +ey (A ±By ) +ez (A ±B ) x x y z z
（3）矢量的标积（点积） ）矢量的标积（点积）
A⋅ B = A cosθ B
A⋅ B= B⋅ A
A⊥ B
Bθ
A
A// B
A⋅ B =0
A⋅ B = A B
矢量 A B的夹角 与
ex ⋅ey =ey ⋅ez =ez ⋅ex =0
体积元
dV = ρdρdφ z d
高度为h的圆 例1：求半径为 高度为 的圆 ：求半径为a高度为 柱侧面的面积。 柱侧面的面积。
dz S = ∫ dS = ∫ ∫ adϕ 0 0
h 2π
S3
z
=2 ah π
S2
o
高度为h的圆 例2：对半径为 高度为 的圆 ：对半径为a高度为 柱表面积分
∫∫f(ρ,ϕ,z)dS = ∫∫
∂ϕ
=e ϕ
∂eρ ∂z =0
=eϕdρρ +eρdρ +ezdz
∂ρ
=
线元矢量
z
dr =eρdρ +eφρdφ +ezdz
r(t) (ρ,ϕ, z) r(t +dt) (ρ +dρ,ϕ +dϕ, z +dz)
dz
r(t)
r(t +dt)
d dϕ ρ ϕdρ
ρ
y
eρ
x
ρ +dρ
线元矢量
z
dr =eρdρ +eφρdφ +ezdz
坐标曲面： 坐标曲面： x=C1 y=C2 z=C3
z
dsy dz dsx dz
dsz dsx
d r
dx dy dy dsy
r
o
dsz
y
面元
dSx =dydz
dx
dSy = dxdz
x
dSz =dxdy
体积元 d = d d d V x y z
直角坐标系的长度元、面积元、 直角坐标系的长度元、面积元、体积元
=(ex cosϕ +ey sinϕ)ρ +ez z
=exx+ey y +ez z
线元矢量
dr =eρdρ +eφρdφ +ezdz
dr = d(eρρ) +d(ez z)
deρ =
∂eρ