曲线坐标系和自然局部标架

3.1. 曲线坐标系和自然局部标架
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第3章 曲线坐标张量分析
连续介质逐空间点处的质量密度, 电荷密度, 温度等, 或速度, 加速度, 电场强度, 磁场强 度等, 构成了以空间点的坐标xi 或位置矢量r为自变量的标量值或矢量值函数. 这类以xi 或 r为自变量的函数, 在物理上常常称作为场(field). 类似地, 可以定义更高阶的张量场, 如二 阶的应力场和应变场, 四阶的弹性张量场等等. 张量分析研究张量场的微分, 导数, 积分等 规律. 例如, 描述电磁场运动规律的Maxwell方程组为 ∇ · D = 4πϑ （库仑定律） 4π J （安培定律） ∇×H = c 1 ∂B (法拉第定律） ∇×E = − c ∂t ∇×B = 0 其中D和E分别为电位移和电场强度矢量场, B和H分别为磁感应和磁场强度矢量场, ϑ是电 荷密度, c是光速, J是电流矢量场. 上面的Hamilton导数算子∇, 在笛卡儿坐标系{x, y, z }及 相应的坐标单位方向{i, j, k}下有 ∇=i ∂ ∂ ∂ +j +k ∂x ∂y ∂z
∂x ∂y ∂z
在曲线坐标系{xi }中, 保持x2 和x3 不变, 仅变化单参数x1 , 则位置矢量r (x1 , x2 , x3 )的集合 2 3 在空间形成一条曲线: 称作为x1 -坐标曲线. 过空间任何一点(x1 0 , x0 , x0 )有三条坐标曲线 ¡ ¢ ¡ 1 2 3¢ ¡ 1 2 3¢ 3 r x1 , x2 , 0 , x0 , r x0 , x , x0 , r x0 , x0 , x
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ 2 3 3 r x1 , r x1 , x2 , r x1 , x2 , x3 0, x , x 0, x 0 .
3.1.2 自然基矢
过空间任意一点P (x1 , x2 , x3 )有三条坐标曲线, 沿xi -曲线上点的位置矢量相对坐标参数xi 的 变化率 ∂r (3.1.2) gi = i ∂x
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x3 g3 g2 g1 dx 1 x1 x2
Figure 3.1: 位置矢量r, xi -坐标曲线和局部自然基矢gi .
x1 = x1 (x, y, z ) , x2 = x2 (x, y, z ) , x3 = x3 (x, y, z ) 单值, 连续光滑且可递. 根据逆函数定理, 连续光滑函数组xi (x, y, z )在含(x, y, z )点某个邻 域可逆的一个充分必要条件是在该点的Jacobian不等于零, 即 ¯ ∂x1 ∂x1 ∂x1 ¯ ¯ ¯ ∂x ∂y ∂z ¯ ∂ (x1 , x2 , x3 ) ¯ ¯ ∂x2 ∂x2 ∂x3 ¯ (3.1.1) = ¯ ∂x ∂y ∂z ¯ 6= 0 ¯ 3 ¯ ∂ (x, y, z ) 3 3 ∂x ∂x ∂x ¯ ¯
(3.1.9)
(3.1.10) (3.1.11)
可见{gi }构成一新的矢量基, 称作为逆变基(contravariant basis). 在u = ui gi 两边点积gj , 得到 下述简单的分量公式表示: u = ui gi , ui = u · gi 类似, 对分量表示u = ui gi , 分量ui 可求解如下: u = ui gi , ui = u · gi 称ui 和ui 分别为u的逆变和协变分量. 不难验证{gi gj }, {gi gj }, {gi gj }和{gi gj }都构成二阶张量空间的基, 且任意二阶张量B可 有如下四种不同的分量表示形式: B = B ij gi gj = B·ij gi gj = Bi·j gi gj = Bij gi gj 分量B·ij 和Bi·j 中出现占位的点"·", 是用来特别注明指标i在前, j 在后, 这一用点占位的记法后 同. 由上述分量表示的两边双点积不同的基矢量, 则得 B ij = gi · B · gj , Bi·j = gi · B · gj , Bij = gi · B · gj 称B ij 为B的逆变分量, Bij 为B的协变分量, B ij 和Bij 为B的混变分量. ij k i j 对于任意高阶张量有类似的结果. 如对于T = T ij k gi gj g 有T k = (g g ) : T · gk 等等. B·ij = gi · B · gj ,
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Figure 3.3: 逆变基矢g1 与协变基矢g2 和g3 正交，且与协变基矢g1 点积等于1. 例 3.1.2 在定义域0 < r < ∞, 0 6 θ < 2π, |ϕ| ≤ π/2构成了(x, y, z )与(x1 = r, x2 = θ, x3 = φ)的 一, 一对应. 该坐标系{xi }称作为球面坐标系. x1 -坐标线为由原点出发的径向射线; x2 -坐标 线为纬线; x3 -坐标线为经线(过南北极的大圆), 球坐标系的协变基矢为 g1 = cos θ cos φi + sin θ cos φj + sin φk, g2 = r (− sin θ cos φi + cos θ cos φj) , g3 = r (− cos θ sin φi − sin θ sin φj + cos φk) 易验证 |g1 | = 1, |g2 | = r cos φ, |g3 | = r, g1 · g2 = g2 · g3 = g3 · g1 = 0 可见gi 相互正交, 即{r, θ, φ}为一正交曲线坐标系. (3.1.6) (3.1.5)
1 1 与δ ij 一样, 称δ i j 为Kronecher符号. 由定义, g 与g2 和g3 都正交, 故g 与g2 × g3 平行, 即存在常 数α, 使得g1 = αg2 × g3 . 两边点积g1 后利用g1 · g1 = 1, 得到α = [g1 , g2 , g3 ]−1 , 见图3.3. 于 是 g2 × g3 g1 = (3.1.8) [g1 , g2 , g3 ]
3.1. 曲线坐标系和自然局部标架 类似可得 g2 = 或 gi × gj = [g1 , g2 , g3 ] eijk gk 由此不难验证 £ 1 2 3¤ g ,g ,g = 1 6= 0 [g1 , g2 , g3 ]
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g3 × g1 g2 × g3 , g3 = [g1 , g2 , g3 ] [g1 , g2 , g3 ]
又如, 描述线性弹性变形运动规律的基本方程组为
u σ · ∇ + ρf = ρ ∂ （动量平衡律） ∂t2 1 ε = 2 (∇u + u∇) （几何方程） ∇ × ε × ∇ = 0 （相容方程） σ = C : ε （Hooke定律）
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其中σ 和ε分别是应力张量和应变张量场, u是位移场, f 是体力密度, ρ是质量密度, C是弹性 张量场. 可见, 在物理和力学的基本方程中, 常常出现标量矢量和张量的梯度（如∇u）, 散 度（如∇ · D, σ · ∇）, 旋度（如∇ × H, ∇ × E, ∇ × B, ∇ × ε × ∇）等不变性导数运算. 本章介绍张量场的微积分基础性基础内容.
故{gi }是线性无关组, 从而可选作为一个矢量基, 称作为与{xi }对应的自然矢量基或协变基 (covariant basis). 例 3.1.1 参见图??, 下述函数 x = r cos θ cos φ, y = r sin θ cos φ, z = r sin φ 在定义域0 < r < ∞, 0 6 θ < 2π, |ϕ| ≤ π/2构成了(x, y, z )与(x1 = r, x2 = θ, x3 = φ)的 一, 一对应. 该坐标系{xi }称作为球面坐标系. x1 -坐标线为由原点出发的径向射线; x2 -坐标 线为纬线; x3 -坐标线为经线(过南北极的大圆), 球坐标系的协变基矢为 g1 = cos θ cos φi + sin θ cos φj + sin φk, g2 = r (− sin θ cos φi + cos θ cos φj) , g3 = r (− cos θ sin φi − sin θ sin φj + cos φk) 易验证 |g1 | = 1, |g2 | = r cos φ, |g3 | = r, g1 · g2 = g2 · g3 = g3 · g1 = 0 可见gi 相互正交, 即{r, θ, φ}为一正交曲线坐标系. 参见图3.2, 下述函数 x = r cos θ cos φ, y = r sin θ cos φ, z = r sin φ (3.1.4)
3.1. 曲线坐标系和自然局部标架
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Figure 3.2: 球坐标系{r, θ, φ}, 坐标曲线及局部基矢量. 与xi -曲线相切, 指向xi -曲线增加的方向, 见图5.1. 由于混合积 [g1 , g2 , g3 ] = ∂ (x, y, z ) 6= 0 ∂ (x1 , x2 , x3 ) (3.1.3)
3.1.3 逆变基和矢量的多种分量表示
一般而言, {gi }都不是标准正交基, 如上述球坐标系的g2 和g3 不是单位长度, 甚至不是无量 纲的. 对任何P 点的矢量u而言, 由于{gi }是一个基, 故有分量表示如下: u = ui gi 问题是如何求分量ui , 以及正确理解ui 的物理含义, 因为如果{gi }不是标准正交基, 则ui 6= u · gi . 面对这个问题张量分析提供了一个很好的解决方案, 即引进满足下列关系的三个矢 量gi : ( 1 (i = j, 不求和) g i · gj = δ i (3.1.7) j = 0 (i 6= j )
在上式的两边分别点积gk 和gk , 即可立即验证上述升, 降关系. 进一步, 由上述两式的左, 右 两边对应点积, 则得到 ¡ ¢ gi · gk = (g ik gk ) · gjl gl = g ik gjl δ l k 或
ik δi j = g gjk
(3.1.16)
这为快捷求解gij , 从而为由(3.1.15)给出gi 提供了便利. 一般而言, 可以十分形象地理解g ij 和 gij 分别针对所有协, 逆变指标起“升, 降指标机＂作用, 如: ui = gij uj , ui = gij uj , B ij = gik Bkj , B ij = gil B il , B ij = g ik g jl Bkl , Bij = gik gjl B kl . 最后, 对任意矢量u, v, w和a, b, c, 利用第1章证明过的下述恒等式 ⎤ ⎡ u·a u·b u·c ⎢ ⎥ ⎣ v · a v · b v · c ⎦ = [u, v, w] [a, b, c] w·a w·b w·c ⎡ ⎤ gil gim gin ⎢ ⎥ ⎣ gjl gjm gjn ⎦ = gkl gkm gkn g = |gij | = 可见