根据控制系统的结构图建立状态空间表达式
控制系统的状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。
1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。
•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。
状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。
例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。
试确定其状态变量和状态方程。
解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt my t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t =(C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。
2018线性系统理论课件03-第1章(2)由系统机理和框图建立状态空间模型
3. 一阶微分惯性环节 其传递函数为 G(s) Y (s) s b 1 b a
n1 r 0
s nr 1
f
(r)
(0)
（1.2.6）
式中 f (r) (0) 是 r 阶导数 dr f (t) 在 t 0 时的值。 dt r
特别地，如果 f (t) 及其各阶导数的所有初始值全都等于零，则有
L
dn f dt
(t)
n
sn
F
(s)
（1.2.7）
1.2.2.3 积分性质
试列写以电枢电压u(t)为输入，轴的角位移(t)为
输出的状态空间模型。
+
Ra
ia
La
u
M
J, f
f
-
图1-4 电枢控制的直流电动机原理图
解 ：设电动机励磁电流不变，铁心工作在非饱和区。
按照图1-4所描述的电动机系统，可以写出如下主 回路电压方程和轴转动动力学方程
u
Raia
La
dia dt
J
0
Ce La
1
La
0 1 x 0 u
0
f
0
J
y [0 1 0]x
1.2由系统框图建立状态空间描述
首先复习补充有关积分变换的知识。 拉氏变换的定义 拉氏变换的微分性质 拉氏变换的积分性质
1.2.1拉普拉斯变换的定义
本次课主要内容
1.2由系统框图建立状态空间描述 1.3由系统机理建立状态空间描述
为了讲解问题方便，我们先讲1.3 的内容，然后再介绍1.2的内容。 下面先复习上节课的主要内容。
《现代控制理论》(刘豹_唐万生)
第1章 控制系统的状态空间表达式1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令θ(s)=y ，则y =x 1所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[ x 1•x 2•x 3•x 4•x 5•x 6•]=[ 01000000K b J 200000−K p J 1−K n J 11J K p J 100100000−K 100K 1−K 1p−K 1p ][ x 1x 2x 3x4x 5x 6]+[ 00000K 1K p ]uy =[100000][ x 1x 2x 3x 4x 5x 6]1-2有电路如图1-28所示。
以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R 2上的电压作为输出量的输出方程。
L1L2U图1-28 电路图解：由图，令i 1=x 1,i 2=x 2,u c =x 3，输出量y =R 2x 2 有电路原理可知：R 1x 1+L 1x 1•+x 3=uL 2x •2+R 2x 2=x 3x 1=x 2+Cx 3•既得 x 1•=−R1L 1x 1−1L 1x 3+1L 1ux •2=−R 2L 2x 2+1L 2x 3 x 3•=−1C x 1+1C x 2y =R 2x 2写成矢量矩阵形式为：[ x 1。
x 2。
x 3。
] =[−R 1L 10−1L 10−R 2L 21L 21C−1C 0][x 1x 2x 3]+[1L 100]u y =[0R 20][x 1x 2x 3] 1-3有机械系统如图1.29所示,M1和M2分别受外力f1和f2的作用.求以M1和M2的运动速度为输出的状态空间表达式.解:以弹簧的伸长度y 1，y 2 质量块M 1， M 2的速率c 1，c 2作为状态变量 即 x 1=y 1，x 2=y 2，x 3=c 1，x 4=c 2根据牛顿定律，对M 1有：M 1dc1dt =f 1-k 1(y 1-y 2)-B 1(c 1-c 2) 对M 2有：M 2dc2dt =f 2+k 1(y 1-y 2)+B 1(c 1-c 2)-k 2y 2-B 2c 2将x 1,x 2,x 3,x 4代入上面两个式子，得 M 1ẋ3=f 1-k 1(x 1-x 2)-B 1(x 3-x 4) M 2ẋ4=f 2+k 1(x 1-x 2)+B 1(x 3-x 4)-k 2x 2-B 2x 4B 1\y 2 c 2 y 1 c 1f 2(t)M 2M 1f 1(t) B 2 K 2K 1整理得 ẋ1=x 3ẋ2=x 4ẋ3=1M 1f 1-k 1M 1x 1+k 1M 1x 2-B 1M 1x 3+B1M 1x 4ẋ4=1M 2f 2+k1M 2x 1-k 1+k 2M 2x 2+B1M 2x 3-B 1+B 2M 2x 4输出状态空间表达式为 y 1=c 1=x 3 y 2=c 2=x 4 1-4两输入u 1，u 2，两输出y 1，y 2的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
现代控制理论习题解答(第一章)
Ra
La
i f = 常数
ua
f ia D J
ω
ML
【解】： 设状态变量为：
题 1-2 图
⎡ x1
⎢ ⎣
x
2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ia ⎢⎣ω
⎤ ⎥ ⎦
其中 ia 为流过电感上的电流， ω 电动机轴上的角速度。 电动机电枢回路的电压方程为：
eb 为电动机反电势。 电动机力矩平衡方程为
•
ua = La ia + Ra ⋅ ia + eb
(4) y (4) + 3y + 2y = −3u + u
【解】：
5
在零初始条件下，方程两边拉氏变换，得到传递函数，再根据传递函数求状态空间 表达式。 此题多解，一般写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。 （1）传递函数为：
状态空间表达式为：
G(s) =
2
s3 + 2s2 + 4s + 6
1⎤
R 2 C1 −1
R2C2
⎥ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎥⎦
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
1
R1C1 0
⎤ ⎥⎥u i ⎦
y = u0 = [0
1]⎢⎡
⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
(2)
设状态变量： x1 = iL 、 x2 = uc 而
1
根据基尔霍夫定律得： 整理得
•
iL = C uc
•
ui = R ⋅ iL + LiL + uc
•
M D = J ω + fω + M L
根据控制系统的结构图建立状态空间表达式
根据控制系统的结构图 建立状态空间表达式
建立状态空间表达式的步骤： 1、将系统结构图进行等效变换分解，使其由 积分器、比例器及加法器组成； 2、将每个积分器的输出作为一个独立的状态 变量，则积分器的输入就是状态变量的一阶导数； 3、根据结构图中各信号的关系，写出各状态 变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。 根据指定的输出变量，写出系统的输出方程。
例1.4-1 控制系统的结构图如图所示，试 求出其动态方程。
解:
x1
K2 T2
x2
x2
1 T1
x2
K1 T1
(u
K 3 x1 )
K1K3 T1
x1
1 T1
x2
K2 T1
ux1x2Fra bibliotekK2 T2
x2
1 T1
x2
K1 T1
(u
K 3 x1 )
K1K3 T1
x1
1 T1
x2
K2 T1
u
写成矩阵形式
x1
x2
0 K1K3
T1
y 1
0
x1 x2
K2
T2 1
T1
x1 x2
0 K1
T1
u
例1.4-2 求如图所示系统的动态方程。 解: 进行等效变换
由基本元件组成的等效方块图
x1 8x1 x2
xx32
64x1 x3 3x3 x4
(u
x1 )
x1
3x3
x4
u
x4 2x4 (u x1) x1 2x4 u
8 1 0 0 0
x 64 0 1
0
x
0 u
1 0 3 1 1
现代控制理论习题解答(第五章)
第五章 状态反馈和状态观测器3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。
(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。
)(t y题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：[]x y u x x 10112101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 23111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c U rank U系统能控，可以设计状态反馈阵。
设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kx r u -= 求希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求加入反馈后的系统特征多项式：)22()3()(1212k s k k s bK A sI s f ++-++=+-=依据极点配置的定义求反馈矩阵：]1316[131634)22(6)3(21112=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+-K k k k k k 方法二：[][][]1316)346(311110)(*10211=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--I A A A f U K c方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发）求系统传递函数写出能控标准型：2321)111()()(2++-=+-+=s s ss s s U s Y []xy u x x 10103210-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 求系统希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求状态反馈矩阵K ~：[][][]33236234~21=--==k k K [][][][]5.05.031111010111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--Ab bP⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=105.05.011A P P P []1316~==P K K依据系统传递函数写出能控标准型ss s s s s s U s Y 2310)2)(1(10)()(23++=++= []x y u x x 0010100320100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=求系统希望特征多项式：464]1)1)[(2()(*232+++=+++=s s s s s s f求状态反馈矩阵：[][][]144342604321=---==k k k K 。
现代控制理论第版课后习题答案
现代控制理论第版课后习题答案Prepared on 22 November 2020《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P（或令111-=p ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P（或令112=p ，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P ）当31-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
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x1
1 T1
x2
K2 T1
u
写成矩阵形式
x1
x2
0 K1K3 T1y 1 Nhomakorabea0
x1 x2
K2
T2 1
T1
x1 x2
0 K1
T1
u
例1.4-2 求如图所示系统的动态方程。 解: 进行等效变换
0
x
0 u
1 0 3 1 1
1
0
0
2
1
y 1 0 0 0x
例1.4-1 控制系统的结构图如图所示，试 求出其动态方程。
解:
x&1
K2 T2
x2
x&2
1 T1
x2
K1 T1
(u
K 3 x1 )
K1K3 T1
x1
1 T1
x2
K2 T1
u
x1
x2
K2 T2
x2
1 T1
x2
K1 T1
(u
K 3 x1 )
K1K3 T1
由基本元件组成的等效方块图
x1 8x1 x2
xx32
64x1 x3 3x3 x4
(u
x1
)
x1
3x3
x4
u
x4 2x4 (u x1) x1 2x4 u
8 1 0 0 0
x& 64 0 1
根据控制系统的结构图 建立状态空间表达式
根据控制系统的结构图 建立状态空间表达式
建立状态空间表达式的步骤： 1、将系统结构图进行等效变换分解，使其由 积分器、比例器及加法器组成； 2、将每个积分器的输出作为一个独立的状态 变量，则积分器的输入就是状态变量的一阶导数； 3、根据结构图中各信号的关系，写出各状态 变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。 根据指定的输出变量，写出系统的输出方程。