控制系统的结构分解

• 算法（能控性结构分解的求取） 1. 列写系统的能控性矩阵 rank Qc [B AB 并求出 rank Qc k 。
An1B]
2. 在能控矩阵中任意取k个线性无关的列向量： q1, q2 , qk，再在 R n 中任意选取(n-k)个列向量： qk 1, qk 2 , qn ，使得矩阵 q1, , qk , qk 1, qn 是可 逆的。
0 Cco
xco x co 0 x co xco
• 对系统的能控和能观性结构分解做几点说明 （1）在系统的规范型分解中，系统被分解为完全能控能观、 能控但不能观、不能控但能观和不能控不能观四个子系统。 （2）反映系统输入输出特性的传递函数矩阵只能反映系统中 能控且能观的那个子系统的动态特性，即
xco Aco xco A21 xco 0 xco 0 y Cco
0 Aco 0 0
A13 A23 Aco A43
0 xco Bco A24 xco Bco u 0 xco 0 Aco xco 0
例1 给定线性定常系统，进行能控性分解。
0 1 1 1 1 x 0 1 0 x 1 0 u 0 1 1 1 1
rank Qc rank[B AB] 2 3 解： T T Q q [010] , q [101] 在 c 中取线性无关的列向量 1 ， 2 T q [10 0] 再任取 3 ，从而构成矩阵 P 1
• 通过求逆，可得矩阵P。 • 于是可计算 A PAP1, B PB, C CP1
1 0 1 0 0 xc xc 1 2 1 0 1 u xc 0 0 0 xc 0 0 xc y 0 2 1 x c
y Cc
xc Cc x c
式中， xc k维能控状态分量，即 Ac , Bc 能控；
xc (n k )维不能控状态分量，k=rank Qc
对系统的能控性的结构分解做几点说明
（1）在系统的能控性分解中，系统被分解为完全能 控和完全不能控的两个子系统。 （2）能控子系统的传递函数等于整个系统的传递函 1 1 C ( sI A ) B C ( sI A ) B 数，即 c c c （3）从系统能控性分解的框图中可以看出：系统的 不能控部分既不受输入u的直接影响，也没有通过 能控状态而受到u的间接影响。因此，系统的不能 控部分不能由输入u和输出y之间的传递关系来反映。 换言之，系统的传递函数（矩阵）没有完全反映系 统的内部不能控状态分量的动态品质。
• 研究系统的结构分解可以更深刻地了解系统的结构 特性，也有助于更加深入地揭示系统的状态空间描 述和输入－输出描述之间的本质区别。
能控性、能观性在线性非奇异变换下的性质 • 对于线性定常系统 ( A, B, C ) ，经过线性非奇异 变换为 ( A, B, C )，即两者之间具有如下的关系
A PAP , B PB, C CP
线性定常系统能观性结构分解
• 系统按能观性的结构分解的所有结论，都对偶于 系统按能控性的结构分解的结果。 • 对给定不完全能观的线性定常系统
x Ax Bu y Cx
按如下算法求取系统的能观性结构分解。
• 算法（能观性结构分解的求取） 1. 列写系统的能观性判别矩阵
C CA Qo n 1 CA
3 7
0 0
0 0
5 2
6 1
• 相当于对原系统矩阵进行行操作、列操作， 即进行代数等价变换。上述分解仅仅适用 于特征值几何重数都为1的情形。
4 0
1 4 1 0 1 1 5 0
5 2
0 0
0 0
3 7
6 x 1
• 1. 2. 3. 4. •
根据Jordan标准型的能控能观性的判别准则，可 以判定： x1, x2 , x3 , x5 , x7 能控状态变量为： x4 , x6 , x8 不能控状态变量为： x1, x2 , x4 , x7 , x8 能观测状态变量为： x3 , x5 , x6 不能观状态变量为： 写成分状态的形式为
并计算 rank Qo l 。
2. 在 Qo 中任意选取 l 个线性无关的行向量 h1, h2 , 再任取 (n l ) 个行向量 hl 1, , hn ，使得 h1, hl , hl 1, 线性无关。
3. 按下列方式构成非奇异变换矩阵
F h1 , , hl , hl 1 , hn
• 线性定常系统由Jordan标准型的结构分解 若已将系统化为Jordan标准型，然后按能控判别 法和能观判别法各状态变量的能控性和能观性， 最后按能控能观、能控不能观、不能控能观和不 能控不能观四种类型分别排列，也可进行系统的 规范分解。
例：给定系统的Jordan标准型为
x1 3 1 x 2 0 3 x3 x4 x5 x6 x 7 x8 y1 3 1 0 y 2 1 4 0 x1 1 x 2 5 x3 4 x4 0 x5 1 x6 0 1 x7 9 5 0 x8 3 7 3 0 u 6 0 2 0
P q1, , qk , qk 1, qn 3. 按下列方式组成变换矩阵，
4. 计算 A P1 AP, B P1B, C CP
• 定理1：对不完全能控的系统，利用上述算法求 取系统在线性非奇异变换 x P 1 x下的代数等价 系统 ( A, B, C ) ，具有如下的能控性分解的规范表 达形式，即 xc Ac A12 xc Bc u xc 0 Ac xc 0
3.4 控制系统的准分解。它 是讨论不完全能控和不完全能观的系统状态 的分解。系统通过代数等价变换，可以将状 态变量分解成四个部分：能控能观部分 xco 。 能控不能观部分 xco ，不能控能观部分 xco 和 xco 不能控不能观部分 。这样系统可以分解为 相应的四个子系统，称为系统的结构分解。
ˆ y C o
ˆo x 0 x ˆ o
对系统的能观性的结构分解做几点说明
（1）在系统的能观性分解中，系统被分解为完全能 观和完全不能观的两个子系统。 （2）能观子系统的传递函数等于整个系统的传递函 ˆ )1 B ˆ (sI A ˆ C(sI A)1 B 数，即 C o o o （3）从系统能观性分解的框图中可以看出：系统的 输出只与能观子系统的状态有关，而不能观子系 统的状态无法影响能观子系统的状态，因此，输 出信号不能反映不能观子系统的状态信息。
G(s) C(sI A)1 B Cco (sI Aco )1 Bco
（3）从系统能观性分解的框图中可以看出：对上述不完全能 控、不完全能观系统，其传递函数矩阵的描述只是对系统 结构的不完全描述。若在系统中添加或删除不能控或不能 观子系统，并不影响系统的传递函数矩阵。所以说系统的 输入输出描述，只有对完全能控且完全能观的系统，才是 完全的描述。
1 1
其中，P为非奇异矩阵，从而必有
rank Qc rank Qc , rank Qo rank Qo
表明了线性非奇异变换不改变系统的能控性 和能观性。
线性定常系统能控性结构分解
考虑不完全能控线性定常系统
x Ax Bu y Cx
进行系统的能控性分解，首先要选取非奇异 矩阵。下面给出具体的算法。
• 按能控性和能观性分解 对n维线性定常系统
x Ax Bu y Cx
一般情况下，系统可能既不完全能控，也不完全能观。设 系统能控性判别矩阵的秩和能观判别矩阵的秩分别为
rank Qc n1 n rank Qo n2 n
• 通过线性非奇异变换可实现系统结构的规范分解，其规范 分解的表达式为
x1 x3 x4 xco x2 , xco , xco , xco x6 x5 x8 x7
• 按此顺序重新排列系数矩阵A，B，C的行和列，有
3 0 xco 0 xco xco xco y1 3 y 2 1 1 4 1 3 0 0 0 5 4 0 0 1 0 0 0 1 0 4 0 xco 0 xco x 0 co xco 0 0 1 0 0 0 5 1 5 xco 9 0 xco 4 1 xco 1 xco 0 0 0 1 3 7 2 3 u 6 0 0 0
T
hl
，
, hn
4. 计算
ˆ FAF 1, B ˆ CF 1 ˆ FB, C A
• 定理2：对不完全能观的系统，利用上述算法求 取系统在线性非奇异变换 x Fx 下的代数等价 ˆ, B ˆ ) ，具有如下的能观性分解的规范表 ˆ,C 系统 ( A 达形式，即
ˆ 0 x ˆo A o ˆ ˆ ˆo A21 Ao x ˆ ˆo B x o u x ˆ ˆo Bo