人教版高中数学必修五模块综合检测题 试题+答案解析(精教版)
6. 若 a b 0 ， c d 0 ，则一定有
A.
a c
b d
B.
a c
b d
C.
a d
b c
7.
数列an 中， an
n
n
1
，则
an
是
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 常数列
M
D.
a d
b c
北 P
东
75o 45o
N
D. 摆动数列
8. 已知 x 1 与 y 1的等差中项为 10，则 x y 等于
则 x 的取值范围为
A. , 1 3,
B. ,1 3,
C., 1
D.3,
二、填空题.（每小题 5 分，共 4 小题）
x y 1 0
13. 若变量 x, y 满足约束条件 3x y 1 0 ，则 z 2x y 的最大值为
A. 有一个解
B. 有两个解
C. 无解
D. 不能确定
3. 已知在 ABC 中， b cos A a cos B ，则 ABC 是
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 锐角三角形
4. 已知 ABC 的三边分别为 a 、 b 、 c ，且 a 1， B 45o ， SABC 2 ，则 ABC 外接圆的直径为
19. （10 分）在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，已知 cos C cos A 3 sin A cos B 0 .
（1）求角 B 的大小； （2）若 a c 1，求 b 的取值范围.
20.（12 分）某公司 2019 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元， 甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该广告公司所作的 每分钟广告能给公司带来的收益为分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时 间，才能使公司的收益最大？
B. 24
C. 48
D. 128
11. 若数列an 是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是
A. lg an
B. 1 an
C.
1 an
D. an
第1页
12. 已知集合 A t t 2 4 0 ，对于满足集合 A 的所有实数 t ，关于 x 的不等式， x2 tx t 2x 1 恒成立，
6 （海里）.
∴
速度为 34 6 4
17 2
6
（海里/时）.故选
A.
6.【答案】 D.
【解析】∵
c d 0 ，∴
c d 0 ，∴
1 d
1 c
，
又∵
a b 0 ，∴
a d
b c
，∴
a d
b c
。故选
D.
7.【答案】 A.
【解析】 an
n n 1
x 1, y 0 ，则 z 的最大值为 z 2x y 2 0 2 .
2x y 0
14.【答案】 4 m 2 .
【解析】∵
x 0, y 0 ，∴
2y x
8x y
8
（当且仅当
2y x
8x y
时等号成立）
若
2y x
8x y
m2
2m
恒成立，则
b, r 均为常数）的图象上.
（1）求 r 的值；
（2）当 b
2 时，记 bn
n 1 4an
n N*
，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
第3页
人教版高中数学
必修五模块综合检测题参考答案
一、单选题.
1.【答案】 A.
【解析】根据正弦定理 a b ，∵ sin A sin B
A. 0
B. 5
C. 1 0
D. 20
9. 等差数列an 共有 3m 项，若前 2m 项的和为 200，前 3m 项的和为 225，则中间 m 项的和为
A. 25
B. 75
C. 1 0 0
D. 125
10. 在等比数列 an 中，已知 a1a2a12 64 ，则 a4a6 的值为
A. 16
选项 C 中，设 an
a1qn1 （ q 是公比），则 bn
1 an
1 a1q n 1
1 a1
1 q
n1
，
第4页
∴
bn1 bn
1 a1
1 q
n11
1 a1
1 q
n1
1 q
常数，∴
数列
1 an
为等比数列.
即有 sin Asin B 3 sin Acos B 0 ，∵ sin A 0 ，∴ sin B 3 cos B 0 ，
a
a2
c2 b2 2a c
，整理得
a b ，故选 B.
4.【答案】 C.
【解析】∵
SABC
1 2
a
c
s
i
n
B
，∴
c
2SABC asin B
4
2.
由余弦定理得
b2 a2 c2 2ac cos B 1
4
2
2
21 4
2 cos 45 o 25 ，∴
9.【答案】 B.
【解析】∵ Sm , S2m Sm , S3m S2m 成等差数列，∴ Sm S3m S2m 2 S2m Sm
∴ 3Sm 3S2m S3m 600 225 ，∴ Sm 125 . ∴ 中间 m 项的和为 S2m Sm 200 125 75 ，故选 B.
10.【答案】 A.
【解析】设公比为 q ，则 a1a2a12 a31q12 64 ，∴ a1q4 4 ，∴ a4a6 a1q 4 2 16 . 故选 A.
11.【答案】 C.
【解析】当 an 1时， lg an 与 an 无意义，1 an 0 ，则选项 A 、 B 、 D 都不符合题意；
4x 3 0 ，
1 0
解得
x 3 或 x 1. 故选 A.
13.【答案】2.
x y 1 0
3x y 1 0
【解析】画出可行域，如右图中阴影部分所示。 由图知， z 是直线 y 2x z 在 y 轴上的截距，
x y 1 0
当直线 y 2x z 经过点 A1, 0 时取得最大值，此时
.
x y 1 0
14.
已知 x 0, y
0.
若 2y x
8x y
m2 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围为
.
15.
在 ABC
中，角
A, B, C
的对边分别为 a, b, c ，若1
tan A tan B
2c b
，则
A
.
16. 在日常生活中，“糖水加糖更甜”，即加糖融化后，糖水的浓度变大了. 若 a 克糖水中含 b 克糖 a b 0 ，
A. 4 3
B. 5
C. 5 2
D. 6 2
5. 如图，一艘船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75o 距塔 68 海里的 M 处，下午 2 时
到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这艘船航行的速度为
A.
17 2
6
海里/时
B. 34 6 海里/时
C.
17 2
2
海里/时
D. 34 2 海里/时
∴
a
0
，且
1 3
和
2
为
ax2
bx
c
0
的两根.
由根与系数关系可知
1 3
1 3
2 2
c a
b a
解得
b c
5a
3
2 3
a
∴
cx2 bx a 0 可化为
2 3
a
x2
5 3
a
x a 0 ，即
2ax 5ax 3a 0 .
第2页
21.（12 分）已知数列 an , an
N * , Sn
是其前 n 项和, Sn
1 8
an
22 .
（1）求证： an 是等差数列；
（2）设 bn
1 2
an
30 ，求数列 bn 的前 n 项和的最小值.
22.（12 分）等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，已知对任意的 n N * ，点 n, Sn 均在函数 y bx r（ b 0 且 b 1 ，
12.【答案】 A.
【解析】由题意知 A t 2 t 2 ，设 f t x 1t x 2 2x 1 ，由条件知 f t 在 2, 2 上恒为正值.
∴
有
f
f
2 0 2 0
二、填空题.
即
最新人教版高中数学必修五单元测试题全套带答案解析
最新人教版高中数学必修五单元测试题全套带答案解析章末综合测评(第一章)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3 D．4【解析】由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C即13＝9＋AC2－2×3AC×(－12)，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)【答案】 A2．在△ABC中，B＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin A＝()A.1010 B.105C.31010 D.55【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cos B＝(2)2＋32－2×2×3×22＝5，解得AC＝ 5.再由正弦定理得sin A＝BC·sin BAC＝3×225＝31010.故选C.【答案】 C3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a，那么a的取值范围为()A．(8,10) B．(22，10)C．(22，10) D．(10，8)【解析】设1,3，a所对的角分别为C，B，A，由余弦定理知a2＝12＋32－2×3cos A<12＋32＝10，32＝1＋a2－2×a cos B<1＋a2，∴22<a<10.【答案】 B4．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D.22【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2. 【答案】 C5．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3【解析】 p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C ，∴C ＝π3. 【答案】 B6．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下面等式一定成立的是( ) A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C【解析】 由sin B sin C ＝cos 2A2＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒cos(B －C )－cos(B ＋C )＝1＋cos A .又cos(B ＋C )＝－cos A ⇒cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 【答案】 C7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB 是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC ＝90 mm ，BC ＝150 mm ，则DE 的长等于( )图1A ．210 mmB ．200 mmC ．198 mmD ．171 mm【解析】 ∠ACB ＝70°＋50°＝120°， AB 2＝AC 2＋BC 2－2·AC ·BC ·cos ∠ACB ＝902＋1502－2×90×150×cos120° ＝4 410 0，AB ＝210，即DE ＝210 mm. 【答案】 A8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3【解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 【答案】 C9．已知在△ABC 中，sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B )，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形【解析】 由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22ac ，即2a 2b ＋2ab 2＝ab2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3，∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2，∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，故选D.【答案】 D10．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 由已知得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又0°<A <180°，∴A ＝120°. 【答案】 C11．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分，则cos A 等于( )A.13B.12C.34D ．0【解析】 ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等，∴△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等． ∵S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴AC BC ＝32. 由正弦定理sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ， ∴sin 2A sin A ＝32，即2sin A cos A sin A ＝32，∴cos A ＝34. 【答案】 C12.如图2，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝( )图2A ．23＋1B ．23－1 C.3－1D.3＋1【解析】在△ABC中，BC＝AB sin∠BAC sin∠ACB＝100sin 15°sin(45°－15°)＝50(6－2)，在△BCD中，sin∠BDC＝BC sin∠CBDCD＝50(6－2)sin 45°50＝3－1，又∵cos θ＝sin∠BDC，∴cos θ＝3－1.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知△ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为________.【解析】∵cos C＝a2＋b2－c22ab，且C为钝角，∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0，故a2＋b2<c2.【答案】a2＋b2<c214．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.【解析】由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝53b，c＝73b，所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝⎝⎛⎭⎪⎫53b2＋b2－⎝⎛⎭⎪⎫73b22×53b×b＝－12.因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.【答案】2π315．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcos A的值等于________，AC的取值范围为________．【解析】设A＝θ⇒B＝2θ.由正弦定理得ACsin 2θ＝BC sin θ，∴AC2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32，∴AC＝2cos θ∈(2，3)．【答案】2(2，3)16．如图3，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.图3【解析】根据图示，AC＝100 2 m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得ACsin 45°＝AMsin 60°⇒AM＝100 3 m.在△AMN中，MNAM＝sin 60°，∴MN＝1003×32＝150(m)．【答案】150三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B ＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.【解】(1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2 sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B>0，故cos B＝22，所以B＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝3 5.(1)若b＝4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．【解】(1)∵cos B＝35>0，且0<B<π，∴sin B＝1－cos2B＝4 5.由正弦定理得asin A＝bsin B，sin A＝a sin Bb＝2×454＝25.(2)∵S△ABC＝12ac sin B＝4，∴12×2×c×45＝4，∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b＝17.19．(本小题满分12分)在△ABC中，∠A＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．【解】设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理得sin B＝b sin ∠BACa＝由题设知0<B<π4，所以cos B＝1－sin2B＝1－110＝31010.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sin Bsin(π－2B)＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10.20．(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?【解】如图所示，设∠ACD＝α，∠CDB＝β.在△CBD中，由余弦定理得cos β＝BD2＋CD2－CB22BD·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝43 7.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314.在△ACD中，21sin 60°＝ADsin α，∴AD＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A.21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2C＋22 cos C＋2＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝2a，△ABC的面积为22sin A sin B，求sin A及c的值.【解】(1)∵cos 2C＋22cos C＋2＝0，∴2cos2C＋22cos C＋1＝0，即(2cos C＋1)2＝0，∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ，∴absin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m >0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)若△ABC 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积．【解】 (1)由题意，f (x )的最大值为m 2＋2，所以m 2＋2＝2. 又m >0，所以m ＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)设△ABC 的外接圆半径为R ， 由题意，得2R ＝c sin C ＝3sin 60°＝2 3. 化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，得sin A ＋sin B ＝26sin A sin B .由正弦定理，得2R(a＋b)＝26ab，a＋b＝2ab.①由余弦定理，得a2＋b2－ab＝9，即(a＋b)2－3ab－9＝0.②将①式代入②，得2(ab)2－3ab－9＝0，解得ab＝3或ab＝－32(舍去)，故S△ABC ＝12ab sin C＝334.章末综合测评(第二章)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1, 2，3，…，n【解析】A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列．【答案】 C2．已知数列{a n}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则公比q等于()A.12B．－1C．－2D．2【解析】由已知，2a5＝4a1－2a3，即2a1q4＝4a1－2a1q2，所以q4＋q2－2＝0，解得q2＝1，因为q≠1，所以q＝－1.【答案】 B3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是()A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个【解析】 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．则⎩⎨⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2， ∴a n －1＝1·2n －1 ，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65.【答案】 B4．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列 {b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项 【解析】 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．【答案】 C5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则{a n }( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【解析】 ∵S n ＝a n －1(a ≠0)，∴a n ＝⎩⎨⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎨⎧a －1，n ＝1，(a －1)a n －1，n ≥2，当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．【答案】 C6．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．190 【解析】 设公差为d ，∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )，∵d ≠0，∴d ＝2，从而S 10＝100.【答案】 B7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．7【解析】 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16，∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2)＝4d ＝16－4＝12，∴d ＝3.【答案】 B8．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( ) A ．2B ．4C ．5 D.52【解析】 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4. 【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．52【解析】 ∵2a n ＋1－2a n ＝1，∴a n ＋1－a n ＝12，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，∴a 101＝2＋12(101－1)＝52.【答案】 D10．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1所示：图1则第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30【解析】 法一：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28.法二：由图可知第n 个三角形数为n (n ＋1)2， ∴a 7＝7×82＝28.【答案】 B11．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ3n 为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12 D.12 【解析】 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，∵b 1＋b 3＝2b 2，∴λ＝－12.【答案】 C12．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 20【解析】 ∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，∴a 11＋a 10>0.S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10·(a 11＋a 10)>0. S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192·2a 10<0. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为________．【解析】 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000.【答案】 10 00014．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.【解析】 由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n ，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15.【答案】 1515．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．【解析】 设a 1＝－24，公差为d ，∴a 10＝－24＋9d >0且a 9＝－24＋8d ≤0，∴83<d ≤3.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 16．已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝________.【解析】 设{a n }的公差为d ，则d ≠0.由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1d .又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2，S 5＝5a 1＋5×42×d ＝30.【答案】 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．【解】 设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n 2. 18．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．【解】 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)·S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8.(2)证明：∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)，②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2，∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2.∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0.∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2. 即{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4.所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1,2，…)．(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2得n ＝63，所以b 6与数列{a n }的第63项相等．20．(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .【解】 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2. 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1， 于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n .相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.21．(本小题满分12分)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值．【解】 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2.从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．故a n ＝2n .(2)由(1)得1a n ＝12n ， 所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|<11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11 000， 即2n >1 000.因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n ≥10.于是使|T n －1|<11 000成立的n 的最小值为10.22．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .【解】 (1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)由题意知b n ＝＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ·(n ＋1)．因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2(4＋2n )2＝n (n ＋2)2， 当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝(n －1)(n ＋1)2－n (n ＋1)＝－(n ＋1)22.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －(n ＋1)22，n 为奇数，n (n ＋2)2，n 为偶数.章末综合测评(第三章)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列四个命题中：①若a >b ，c ≠0，则ac >bc ；②若a >b ，则ac 2>bc 2；③若ac 2>bc 2，则a >b ；④若a >b >0，c >d ，则ac >bd .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 若a >b ，c <0时，ac <bc ，①错；②中，若c ＝0，则有ac 2＝bc 2，②错；③正确；④中，只有c >d >0时，ac >bd ，④错，故选A.【答案】 A2．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是( )A ．(－3,4)B ．(－3，－4)C ．(0，－3)D ．(－3,2)【解析】 当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x ＋2y ＋5>0.【答案】 A3．设A ＝b a ＋a b ，其中a ，b 是正实数，且a ≠b ，B ＝－x 2＋4x －2，则A 与B 的大小关系是( )A ．A ≥BB ．A >BC ．A <BD ．A ≤B【解析】 ∵a ，b 都是正实数，且a ≠b ，∴A ＝b a ＋a b >2b a ·ab ＝2，即A >2，B ＝－x 2＋4x －2＝－(x 2－4x ＋4)＋2＝－(x －2)2＋2≤2，即B ≤2，∴A >B .【答案】 B4．已知0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( )A ．a 3＞b 3 B.1a ＜1b C ．a b ＞1 D ．lg(b －a )＜0【解析】 由0＜a ＜b ＜1，可得a 3＜b 3，A 错误；1a ＞1b ，B 错误；a b ＜1，C 错误；0＜b－a ＜1，lg(b －a )＜0，D 正确．【答案】 D5．在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)【解析】 根据定义得，x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以所求的实数x 的取值范围为(－2,1)．【答案】 B6．已知0<x <y <a <1，则有( )A ．log a (xy )<0B ．0<log a (xy )<1C ．1<log a (xy )<2D ．log a (xy )>2【解析】 0<x <y <a <1，即0<x <a,0<y <a,0<xy <a 2.又0<a <1，f (x )＝log a x 是减函数，log a (xy )>log a a 2＝2，即log a (xy )>2.【答案】 D7．不等式2≤12的解集为( ) A ．(－∞，－3]B ．(－3,1]C ．[－3,1]D ．[1，＋∞)∪(－∞，－3] 【解析】 由已知得 2≤2－1，所以x 2＋2x －4≤－1，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1.【答案】 C 8．x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.【答案】 D9．已知正实数a ，b 满足4a ＋b ＝30，当1a ＋1b 取最小值时，实数对(a ，b )是( )A ．(5,10)B ．(6,6)C ．(10,5)D ．(7,2) 【解析】 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·130·30 ＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (4a ＋b ) ＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b≥130⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝310. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b，4a ＋b ＝30，即⎩⎨⎧a ＝5，b ＝10时取等号． 【答案】 A10．在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是( )图1A ．－3B ．3C ．－1D ．1【解析】 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋z a 与其中一条边平行，而三边的斜率分别为13，－1,0，与－1a 对照可知a ＝－3或1，又因z ＝x ＋ay 取得最小值，则a ＝－3. 【答案】 A11．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处【解析】 设车站到仓库距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，由题意得y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，∵x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，∴k 1＝20，k 2＝45，∴费用之和为y ＝y 1＋y 2＝20x ＋45x≥220x×45x＝8，当且仅当20x＝4x5，即x＝5时取等号．【答案】 A12．设D是不等式组⎩⎨⎧x＋2y≤10，2x＋y≥3，0≤x≤4，y≥1表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是()A. 2 B．2 2C．3 2 D．4 2【解析】画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝4 2.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．函数y＝2－x－4x(x>0)的值域为________．【解析】当x>0时，y＝2－⎝⎛⎭⎪⎫x＋4x≤2－2x×4x＝－2.当且仅当x＝4x，即x＝2时取等号．【答案】(－∞，－2]14．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝ab＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k<3，则k的取值范围为________．【解析】由题意得k＋1＋k<3，即(k＋2)·(k－1)<0，且k>0，因此k的取值范围是(0,1)．【答案】(0,1)15．若x，y满足约束条件⎩⎨⎧y－x≤1，x＋y≤3，y≥1，则z＝x＋3y的最大值为________．【解析】 根据约束条件画出可行域如图所示，平移直线y ＝－13x ，当直线y ＝－13x ＋z3过点A 时，目标函数取得最大值．由⎩⎨⎧y －x ＝1，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，代入可得z ＝1＋3×2＝7.【答案】 716．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 要满足f (x )＝x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需 ⎩⎨⎧ f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎨⎧2m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0， 解得－22<m <0. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 2＋2x ，解不等式f (x )－f (x －1)>2x －1. 【解】 由题意可得x 2＋2x －(x －1)2－2x －1>2x －1，化简得2x (x －1)<0，即x (x －1)<0， 解得0<x <1.所以原不等式的解集为{x |0<x <1}． 18．(本小题满分12分)设x ∈R ，比较11＋x与1－x 的大小． 【解】 作差：11＋x －(1－x )＝x 21＋x，①当x ＝0时，∵x 21＋x ＝0，∴11＋x ＝1－x ；②当1＋x<0，即x <－1时， ∵x 21＋x <0，∴11＋x<1－x ； ③当1＋x >0且x ≠0，即－1<x <0或x >0时， ∵x 21＋x >0，∴11＋x>1－x . 19．(本小题满分12分)已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，求证：1x ＋4y ＋9z ≥36. 【证明】 ∵(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ＝14＋y x ＋4x y ＋z x ＋9x z ＋4z y ＋9y z ≥14＋4＋6＋12＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36.当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．20．(本小题满分12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？【解】 设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得⎩⎨⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0，即⎩⎨⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，画出可行域如图阴影部分所示．而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y＝960x ＋420y (目标函数)，可联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，得交点B (1.5,0.5)．故当x ＝1.5，y ＝0.5时，P 最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋3x －a (x ≠a ，a 为非零常数)．(1)解不等式f (x )<x ；(2)设x >a 时，f (x )有最小值为6，求a 的值． 【解】 (1)f (x )<x ，即x 2＋3x －a <x ，整理得(ax ＋3)(x －a )<0. 当a >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3a (x －a )<0，∴解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3a <x <a； 当a <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3a (x －a )>0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－3a 或x <a. (2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0)， ∴f (x )＝t 2＋2at ＋a 2＋3t＝t ＋a 2＋3t ＋2a ≥2t ·a 2＋3t＋2a＝2a 2＋3＋2a . 当且仅当t ＝a 2＋3t ， 即t ＝a 2＋3时，等号成立， 即f (x )有最小值2a 2＋3＋2a . 依题意有2a 2＋3＋2a ＝6，解得a＝1.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，(1)求不等式g(x)<0的解集；(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围. 【解】(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，∴(2x＋4)(x－4)<0，∴－2<x<4，∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2<x<4}．(2)∵f(x)＝x2－2x－8.当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．∵对一切x>2，均有不等式x2－4x＋7x－1≥m成立，而x2－4x＋7x－1＝(x－1)＋4x－1－2≥2(x－1)×4x－1－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，∴实数m的取值范围是(－∞，2]．模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是()A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有() A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C ．a 1＝－3，d ＝2D ．a 1＝3，d ＝－2【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3且2a 2＝a 1＋a 3，∴a 2＝1.又∵a 5＝a 2＋3d ＝1＋3d ＝10，d ＝3，∴a 1＝a 2－d ＝1－3＝－2. 【答案】 A3．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1D ．2∶3∶1【解析】 ∵A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°， ∴a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30° ＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322D ．2【解析】 由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－(－1)＝32.【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32D. 3【解析】 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52. 【答案】 C8．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A ．189B ．186C ．180D ．192【解析】 由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n ， ∴2b n ＝2n ＋2n ＋1， 即b n ＝3·2n －1，∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189. 【答案】 A10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( ) A ．T >0 B ．T <0 C ．T ＝0D ．T ≥0【解析】 法一：取特殊值，a ＝2，b ＝c ＝－1， 则T ＝－32<0，排除A ，C ，D ，可知选B.法二：由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负， 不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝ab ＋c (b ＋a )abc ＝ab －c 2abc .∵ab <0，－c 2<0，abc >0，故T <0，应选B. 【答案】 B11．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2D ．1【解析】由正弦定理得：asin A＝bsin B，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sin A＝32sin A cos A.∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A＝3 2.又0＜A＜π，∴A＝π6，∴B＝2A＝π3，∴C＝π－A－B＝π2，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝12＋(3)2＝2.【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项【解析】设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n－3，a1q n－2，a1q n －1，所以前三项之积a31q3＝2，后三项之积a31q3n－6＝4，两式相乘，得a61q3(n－1)＝8，即a21q n－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1q n－1＝64，所以a n1·q＝64，即(a21q n－1)n＝642，即2n＝642，所以n ＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，BC＝2，B＝π3，当△ABC的面积等于32时，sin C＝________.【解析】由三角形的面积公式，得S＝12AB·BC sinπ3＝32，易求得AB＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos π3，得AC＝3，再由三角形的面积公式，得S＝12AC·BC sin C＝32，即可得出sin C＝12. 【答案】1214．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】 分n 为奇数、偶数两种情况． 第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2×(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. 【答案】 (－1)n ＋1n (n ＋1)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求B 的值．【解】 由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·tan B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B ， 即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32， 所以B ＝π3或B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6.【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8， ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32， ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【解】 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ； ②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4， ∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154， ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158 ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列， ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(1)(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)设生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：。
新课标人教版必修5高中数学_综合检测试卷 附答案解析
新课标人教版必修5高中数学 综合检测试卷1．如果33log log 4m n +=，那么n m +的最小值是（ ）A ．4B ．34C ．9D ．18 2、数列{}n a 的通项为n a =12-n ，*N n ∈，其前n 项和为n S ，则使n S >48成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．103、若不等式897x +<和不等式022>-+bx ax 的解集相同，则a 、b 的值为（ ） A ．a =﹣8 b =﹣10 B ．a =﹣4 b =﹣9 C ．a =﹣1 b =9D ．a =﹣1 b =2 4、△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．锐角三角形5、在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近1的项是（ ）A ．第三项B ．第四项C ．第五项D ．第六项6、在等比数列{}n a 中，117a a ⋅=6，144a a +=5，则1020a a等于（ ）A ．32 B ．23C ．23或32D ．﹣32或﹣237、△ABC 中，已知()()a b c b c a bc +++-=，则A 的度数等于（ ）A ．120B ．60C ．150D ．30 8、数列{}n a 中，1a =15，2331-=+n n a a （*N n ∈），则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（ ）A ．2221a aB ．2322a aC ．2423a aD ．2524a a9、某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ）A ．41.1B ．51.1C ．610(1.11)⨯-D ． 511(1.11)⨯- 10、已知钝角△ABC 的最长边为2，其余两边的长为a 、b ，则集合{}b y a x y x P ===,|),(所表示的平面图形面积等于（ ） A ．2 B ．2-π C ．4 D ．24-π 11、在△ABC 中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC= 12．函数2lg(12)y x x =+-的定义域是13．数列{}n a 的前n 项和*23()n n s a n N =-∈，则5a =14、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为15、《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。
最新人教版高中数学必修五综合测试题及答案2套
最新人教版高中数学必修五综合测试题及答案2套模块综合检测(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，已知(a ＋c )(a －c )＝b 2＋bc ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析： 由已知得b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.答案： C2．已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，－1) B ．⎝⎛⎭⎫－1，－23 C ．⎝⎛⎭⎫－23，3 D ．(3，＋∞)解析： A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x >－23，B ＝{x ∈R |x >3或x <－1}， ∴A ∩B ＝{x ∈R |x >3}． 答案： D3．等差数列{a n }的公差为1，若a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 3＝( ) A ．1 B ．2 C ．－3D ．3解析： ∵a 1，a 2，a 4成等比数列， ∴a 22＝a 1·a 4即(a 1＋1)2＝a 1·(a 1＋3) 解得：a 1＝1，∴a 3＝a 1＋2d ＝3. 答案： D4．已知t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 和s 的大小关系正确的是( ) A ．t ≤s B ．t ≥s C ．t ＜sD ．t >s 解析： ∵t －s ＝a ＋2b －a －b 2－1＝－(b －1)2≤0，∴t ≤s . 答案： A5．各项不为零的等差数列{a n }中，有a 27＝2(a 3＋a 11)，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析： b 6b 8＝b 27＝a 27，又a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16，故选D. 答案： D6．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 2解析： ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝42，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5.由正弦定理2R ＝bsin B ＝5 2.(R 为△ABC 外接圆的半径)答案： C7．在等差数列{a n }中，a 1＝120，公差d ＝－4，若前n 项和S n 满足S n ＜a n (n ∈N *)，则n 的最小值是( )A ．60B ．63C ．70D ．72 解析： S n ＜a n ⇔120n ＋n (n －1)2×(－4)＜120＋(n －1)×(－4)，即n 2－63n ＋62＞0，解得n ＜1(舍去)或n ＞62，∴n 的最小值为63. 答案： B8．在R 上定义运算☆，a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析： 根据定义得：x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得 －2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2，1)，故选B.答案： B9．一艘客船上午9∶30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时测得船与灯塔S 相距82海里，则灯塔S 在B 处的( )A ．北偏东75°B ．东偏南75°C ．北偏东75°或东偏南75°D ．以上方位都不对解析：根据题意画出示意图，如图，由题意可知AB ＝32×12＝16，BS ＝82，∠A ＝30°.在△ABS 中，由正弦定理得 AB sin S ＝BSsin A， sin S ＝AB sin A BS ＝16sin 30°82＝22，∴S ＝45°或135°， ∴B ＝105°或15°，即灯塔S 在B 处的北偏东75°或东偏南75°. 答案： C10．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45D ．45＋1解析： 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1， 即a n ＋2＝4a n ＋1.∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，3×4n －2(n ≥2). ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.答案： A11．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．4 2B ．3 2C ．4D ．3解析： 由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)的坐标代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.答案： C12．在R 上定义运算⊕：x ⊕y ＝x2－y ，若关于x 的不等式x ⊕(x ＋1－a )>0的解集是集合{x |－2≤x ≤2}的子集，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[－3,1]C ．[－3，－1)∪(－1,1]D ．[－1,1)∪(1,3]解析： x ⊕(x ＋1－a )＝x 2－x －1＋a ＝－xx －(a ＋1)>0⇒xx －(a ＋1)<0，(1)⎩⎪⎨⎪⎧a >－10<x <a ＋1≤2⇒－1<a ≤1； (2)⎩⎪⎨⎪⎧a <－1－2≤a ＋1<x <0⇒－3≤a <－1； (3)a ＝－1时，不等式为x x －0<0，x ∈∅显然成立，故选B.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝____________. 解析： 由等差数列的性质知a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝2×37＝74. 答案： 7414．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－2或x >－12，则不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为________．解析： 由ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－2或x >－12得－2，－12为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根且a <0，∴⎩⎨⎧－2－12＝－b a，－2×⎝⎛⎭⎫－12＝c a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝52a <0，c ＝a <0，∴不等式ax 2－bx ＋c >0等价于2x 2－5x ＋2<0，解得12<x <2.∴不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2. 答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <215．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析： 由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A. 所以AC ＝BC sin A ·sin B ＝12sin 60°sin 45°＝4 6.答案： 4 616．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是________．解析： 记z ＝x －y ，则y ＝x －z ，所以z 为直线y ＝x －z 在y 轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC 区域所示．结合图形可知，当直线经过点B (1,1)时，x －y 取得最大值0，当直线经过点C (0,3)时，x －y 取得最小值－3.答案： [－3,0]三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，求B 及S △ABC . 解析： 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝623·12＝32.又A ＝30°，且a <b ，∴B >A . ∴B ＝60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝90°，△ABC 为直角三角形， S △ABC ＝12ab ＝6 3.②当B ＝120°时，C ＝30°，△ABC 为等腰三角形， S △ABC ＝12ab sin C ＝3 3.18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解析： (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. 解析： 若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1＜0， 解得x ＞1；若a ＜0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0 解得x ＜1a或x ＞1；若a ＞0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0， 其解的情况应由1a 与1的大小关系确定，当a ＝1时，解得x ∈∅； 当a ＞1时，解得1a ＜x ＜1；当0＜a ＜1时，解得1＜x ＜1a.综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1a或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜1. 20．(本小题满分12分)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.求：(1)4x －3y 的最大值和最小值； (2)x 2＋y 2的最大值和最小值．解析： (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，表示的平面区域如下图所示，其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)．设z ＝4x －3y ，直线4x －3y ＝0经过原点(0,0)，作一组与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ，当l 过C 点时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14， z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(2)设u ＝x 2＋y 2，则u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37；(x 2＋y 2)min ＝0.21．(本小题满分13分)已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a na n ＋1，n ＝1,2,3，…(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n .解析： (1)证明：∵a n ＋1＝2a na n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12·1a n ，∴1a n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎫1a n －1， 又a 1＝23，∴1a 1－1＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1的前n 项和为T n ，则T n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n， ∴S n ＝T n ＋n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ＋n ＝n ＋1－⎝⎛⎭⎫12n . 22．(本小题满分13分)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解析： 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则 f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x.∵x ≥10，∴48x ＋10 800x ≥1 440，当且仅当x ＝15时，等号成立． ∴f (x )≥2 000.因此，当x ＝15时，f (x )取得最小值f (15)＝2 000.答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．模块综合检测(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( ) A ．23 B ．2 2 C ． 3D ． 2解析： 由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， 即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2.答案： D2．等比数列公比为2，且前4项之和为1，则前8项之和为( ) A ．15 B ．17 C ．19D ．21解析： 由S 8－S 4S 4＝q 4得S 8＝17.答案： B3．如果a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．cb 2＜ab 2 B ．c (b －a )＞0 C ．ab ＜acD ．ac (a －c )＜0 解析： 若b ＝0，则cb 2＝ab 2，∴A 不一定成立． 答案： A4．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1＋n，已知它的前n 项和S n ＝6，则项数n 等于( )A ．6B ．7C ．48D ．49解析： 将通项公式变形得： a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n(n ＋1＋n )(n ＋1－n )＝n ＋1－n ，则S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1，由S n ＝6，则有n ＋1－1＝6，∴n ＝48. 答案： C5．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形但不是直角三角形B ．直角三角形但不是等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析： 由c ＝a cos B 得，c ＝a ×a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 为直角三角形， ∴b ＝a sin C ＝a ×ca ＝c ，∴△ABC 是等腰直角三角形． 答案： D6．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 解析： ∵Δ＝1＋8＝9>0，∴方程2x 2－x －1＝0有两个不相等的实数根， 解得x 1＝－12，x 2＝1.∴2x 2－x －1>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 答案： D7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8解析： 作出可行域，如图阴影部分所示，易求得A (－1，0)，B (3,0)，C (1,2)，由可行域可知，z ＝2x ＋y 过点B (3,0)时，z 有最大值，且z max ＝6.答案： C8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B ．22C ．12D ．－12解析： 利用余弦定理求解． ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2， ∴cos C ≥12.答案： C9．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，z ＝3x ＋27y ＋1的最小值是( ) A ．339 B ．7 C ．1＋2 2D ．6解析： z ＝3x ＋27y ＋1≥23x ·27y ＋1＝7.当且仅当3x ＝27y ，即x ＝1，y ＝13时，等号成立．故选B.答案： B10．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B ．15C ．2D ．3解析： ∵b 2－bc －2c 2＝0， ∴(b －2c )(b ＋c )＝0.∵b ＋c ≠0，∴b －2c ＝0.∴b ＝2c ， ∴6＝c 2＋4c 2－2c ·2c ×78，∴c ＝2，b ＝4.∴S ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－4964＝152. 答案： A11．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( )A ．小于10 gB ．大于10 gC ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析： 设左、右臂长分别为t 1，t 2，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝5⎝⎛⎭⎫t 1t 2＋t 2t 1>5×2＝10(g)，即大于10 g.答案： B12．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： 因为(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，又不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，所以(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 恒成立，所以相应方程的Δ＝(－1)2－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32.故选C.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 解析： 利用三边长是公比为2的等比数列，可把三边长表示为a ，2a,2a ，再利用余弦定理求解．设三角形的三边长从小到大依次为a ，b ，c ， 由题意得b ＝2a ，c ＝2a .在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22×a ×2a ＝－24.答案： －2414．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为________．解析： 如图，x ＋y ＝6过点A (k ，k )，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，∴B (－6,3)， ∴z min ＝－6＋3＝－3.答案： －315．已知△ABC 中三边a ，b ，c 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列，则△ABC 的形状为________．解析： 由a ，b ，c 成等差数列得a ＋c ＝2b ， ① 由a ，b ，c 成等差数列得a ＋c ＝2b ， ②②2－①得2ac ＝2b ，即b 2＝ac ，①平方得a 2＋2ac ＋c 2＝4b 2， 将b 2＝ac 代入得a 2＋2ac ＋c 2＝4ac ， 即(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵a ＋c ＝2b ，∴2a ＝2b ， ∴a ＝b ，∴a ＝b ＝c . 答案： 等边三角形16．已知log 2(x ＋y )＝log 2x ＋log 2y ，则xy 的取值范围是____________． 解析： 由已知得x ＋y ＝xy ，又x ＞0，y ＞0， ∴xy ＝x ＋y ≥2xy ，∴xy ≥4. 答案： [4，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解析： (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21，∴T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.18．(本小题满分12分)(2012·江西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C .(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . 解析： (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由于0＜A ＜π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2. 19．(本小题满分12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解析： (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0， 即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.20．(本小题满分12分)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求a 2a 1的值；(2)若a 5＝9，求a n 及S n 的表达式． 解析： (1)设等差数列{a n }的公差是d . ∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22＝S 1S 4，即(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )， 化简得d 2＝2a 1d ，注意到d ≠0， ∴d ＝2a 1.∴a 2a 1＝a 1＋d a 1＝3a 1a 1＝3.(2)a 5＝a 1＋4d ＝9a 1＝9，∴a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2.21．(本小题满分13分)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．解析： (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时．答：渔船甲的速度为14海里/时．(2)方法一：在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.答：sin α的值为3314.方法二：在△ABC 中，因为AB ＝12，AC ＝20，BC ＝28，∠BCA ＝α，由余弦定理，得cos α＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC ，即cos α＝202＋282－1222×20×28＝1314.因为α为锐角， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.答：sin α的值为3314.22．(本小题满分13分)热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都要为山区小学捐款．今年打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才合适？解析： 设桌子、椅子各买x 张和y 张， 则所买桌椅的总数为z ＝x ＋y . 依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤y ，y ≤1.5x ，50x ＋20y ≤2 000，其中x ，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1.5x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752.设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007. 点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752， 则前面的不等式组所表示的平面区域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752，O (0,0)为顶点的△AOB 的边界及其内部(如图中阴影所示)．令z ＝0，得x ＋y ＝0，即y ＝－x .作直线l 0：y ＝－x .由图形可知，把直线l 0平移至过点B ⎝⎛⎭⎫25，752时，亦即x ＝25，y ＝752时，z 取最大值．因为x，y∈N*，所以x＝25，y＝37时，z取最大值．故买桌子25张，椅子37张较为合适．。
2019-2020学年高中数学人教版必修5模块综合检测(二) Word版含解析
模块综合检测（二）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或150°解析：选B 由正弦定理得2sin 45°＝2sin B，解得sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝30°.2．若0<x <32，则y ＝x (3－2x )的最大值是( )A.916B.94 C ．2D.98解析：选D ∵0<x <32，∴32－x >0.∴y ＝x (3－2x )＝2·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32－x 22＝98，当且仅当x ＝32－x ，即x ＝34时取“＝”， ∴函数y ＝x (3－2x )的最大值为98.3．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20D ．19解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，故选A.4．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第4项为( ) A ．3B ．－1C ．2D ．3或－1解析：选D ∵x 2－2x －3<0， ∴－1<x <3.∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1. 5．下列命题正确的是( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ．若a 2>b 2，则a >b C ．若1a >1b ，则a <bD ．若a <b ，则a <b解析：选D 对于A ，不清楚c 的正负情况，所以不能确定a >b ；对于B ，a 2>b 2⇒|a |>|b |，a ，b 大小不确定；对于C ，不清楚ab 的正负，不能随意将不等式两边同时乘ab 且不等式不变号； 对于D ，由于a ≥0，b ≥0，由平方法可知将a <b 两边平方，得a <b .故选D.6．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－x 2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：选A ∵a >2，x <0，∴m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2错误!＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4， ∴m >n ，故选A.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，3x ＋y －6≥0，y≤3，则z ＝－2x ＋y 的最小值为( )A ．－7B ．－6C ．－1D ．2解析：选A 可行域如图，平移直线y ＝2x ＋z 过点(5,3)时，z 取得最小值－7，故选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x≤0，－x ＋2，x>0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析：选A 当x >0时，f (x )≥x 2可化为－x ＋2≥x 2， 解得0<x ≤1；当x ≤0时，f (x )≥x 2可化为x ＋2≥x 2， 解得－1≤x ≤0，故不等式f (x )≥x 2的解集为{x |－1≤x ≤1}， 即x ∈[－1,1]，故选A.9．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( ) A.20 B.21 C.22D.61解析：选B 设长为4,5的两边的夹角为θ， 由2x 2＋3x －2＝0得x ＝12或x ＝－2(舍)，所以cos θ＝12，所以第三边长为 42＋52－2×4×5×12＝21.10．已知不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为∅，则( ) A ．a <0，Δ>0 B ．a <0，Δ≤0 C ．a >0，Δ≤0D ．a >0，Δ>0解析：选C 由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象知， 当a >0，Δ≤0时，对任意实数x ，都有y ≥0， 由此知a >0，Δ≤0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为∅.11．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1,0]解析：选B 1∉P 有两种情形，一种是1＋11＋a ≥2，另一种是x ＝1使分母为0，即1＋a ＝0，解得－1≤a ≤0.12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 015<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0 C ．若a 3>0，则S 2 015>0 D ．若a 4>0，则S 2 014>0解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ， 对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0， 所以a 1>0，所以a 2 015＝a 1q 2 014>0，所以A 不正确； 对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0， 所以a 1q >0，所以a 2 014＝a 1q 2 013>0， 所以B 不正确；对于C ，若a 3>0，则a 1q 2>0， 所以a 1>0，所以当q ＝1时，S 2 015>0， 当q ≠1时，S 2 015＝错误!，又1－q 与1－q 2 015同号，所以C 正确．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35，a ＝20，则b 的值为________．解析：由题意，得sin A ＝1213，所以b ＝asin A ·sin B ＝201213×35＝13.答案：1314．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________.解析：根据等比数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8,7－8，S 9－7成等比数列， 所以(－1)2＝8(S 9－7)，解得S 9＝718.所以a 4＋a 5＋…＋a 9＝S 9－S 3＝718－8＝－78.答案：－7815．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b≥5，a －b≤2，a<7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13.答案：1316．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析：连接BD .∵BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°， ∴∠CBD ＝∠BDC ＝30°.∵∠ABC ＝120°，∠CBD ＝30°， ∴∠ABD ＝90°，∴AB ⊥BD .在△BCD 中，由正弦定理得 BD ＝BCsin 30°·sin 120°＝23.∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12·AB ·BD ＋12BC ·CD ·sin 120°＝12×4×23＋12×2×2×32＝53.答案：53三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数y ＝x ＋2x2＋x ＋1(x >－2)．(1)求1y的取值范围．(2)当x 为何值时，y 取得最大值？解：(1)设x ＋2＝t ，则x ＝t －2，t >0(x >－2)，故1y ＝x2＋x ＋1x ＋2＝错误!＝错误!＝t ＋错误!－3≥2错误!－3， ∴1y的取值范围为[23－3，＋∞)．(2)由题意知y >0，故欲使y 最大，必有1y 最小，此时t ＝3t，t ＝3，x ＝3－2，y ＝23＋33，∴当x ＝3－2时，y 最大，最大值为23＋33.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin B ＋sin C ＝2sin A .(1)求边BC 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin A ，求角A 的大小．解：(1)由正弦定理，得AC ＋AB ＝2BC .∵AB ＋BC ＋AC ＝2＋1， ∴2BC ＋BC ＝2＋1，BC ＝1.(2)∵S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝16sin A ，∴AC ·AB ＝13. 又AC ＋AB ＝2，由余弦定理，得cos A ＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝错误! ＝2－23－123＝12，∴A ＝60°.19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，a 5成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值． 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由条件可知q 3,3q 2，q 4成等差数列， ∴6q 2＝q 3＋q 4，解得q ＝－3或q ＝2. ∵q >0，∴q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ，则b n ＝2n －λ·2n －1＝(2－λ)2n －1，若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件；若λ≠2，则bn ＋1bn ＝2，数列{b n }为首项为2－λ，公比为2的等比数列，此时S n ＝错误!(1－2n )＝(2－λ)(2n －1)， ∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴λ＝1.20．(本小题满分12分)航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m ，速度为180km/h ，飞机在A 处先看到山顶的俯角为15°，经过420s 的水平飞行后到达B 处，又看到山顶的俯角为45°，如图，求山顶的海拔高度．(取2≈1.4，3≈1.7)解：如图，过C 作CD ⊥AB 的延长线于D .∵A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝180 000×4203 600＝21 000(m)．∵在△ABC 中，BCsin A ＝ABsin∠ACB ，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC sin ∠CBD ＝BC ×sin 45° ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)≈10 500(1.7－1)＝7 350(m)．因此，山顶的海拔高度约为10 000－7 350＝2 650(m)．21．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝－log3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1bnbn ＋1的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24， ∴q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1， ∴a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n.(2)∵a n ＝13n， ∴b n ＝－log313n＝2n ， 从而1bnbn ＋1＝错误!＝错误!错误!，∴T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝错误!.22．(本小题满分12分)某商场经过市场调查分析后得知：预计2015年从开始的前n 个月内对某种商品需求的累计数f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )，n ＝1,2,3，…，12(单位：万件)．(1)在这一年内，哪几个月需求量将超过1.3万件？(2)若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销(即供大于求)，每月初至少要投放多少件商品？(精确到件)解：(1)设第n 个月的月需求量为a n ， 则a n ＝错误! 因为f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )， 所以a 1＝f (1)＝1730<1.3，当n ≥2时，a n ＝f (n )－f (n －1) ＝190(－3n 2＋35n ＋19)， 令a n >1.3，即－3n 2＋35n ＋19>117， 解得143<n <7，因为n ∈N ，所以n ＝5,6，即这一年的5,6两个月的需求量超过1.3万件．(2)设每月初等量投放商品a 万件，要使商品不脱销，对于第n 个月来说，不仅有本月投放市场的a 万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，na －f (n )≥0对n ＝1,2，…，12恒成立， 则a ≥错误!＝错误!， 又因为错误!≤错误!错误!2， 所以a ≥109，即每月初至少要投放11 112件商品，才能保证全年不脱销.。
高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版必修5
高中数学模块综合检测（含解析）新人教A 版必修5模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在数列{a n }中，S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，则a 4等于( ) A ．11 B ．15 C ．17D ．20解析：选A.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合， 所以a n ＝4n －5， 令n ＝4，得a 4＝11.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，b ＝7，c ＝3，B ＝π6，那么a 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．1或4解析：选C.在△ABC 中，b ＝7，c ＝3，cos B ＝32，由余弦定理有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即7＝a 2＋3－3a ，解得a ＝4或a ＝－1(舍去)．故a 的值为4.3．下列命题中，一定正确的是( ) A ．若a >b 且1a >1b，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则a b>1 C ．若a >b 且a ＋c >b ＋d ，则c >d D ．若a >b 且ac >bd ，则c >d解析：选A.A 正确，若ab >0，则a >b 与1a >1b不能同时成立；B 错，如取a ＝1，b ＝－1时，有a b＝－1<1；C 错，如a ＝5，b ＝1，c ＝1，d ＝2时，有a ＋c >b ＋d ，c <d ；D 错，取a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，令c ＝－3，d ＝－1，有ac >bd ，c <d .4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．4C ．7D ．8解析：选C.画出可行域如图(阴影部分)．目标函数为z ＝2x ＋y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2解得A (3，1)，当目标函数过A (3，1)时取得最大值， 所以z max ＝2×3＋1＝7.5．设a >0，b >0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则1a ＋1b的最小值是( )A ．1B ．2C ．4D ．2 2解析：选B.因为lg a 和lg b 的等差中项是0， 所以lg a ＋lg b ＝0，即ab ＝1，又a >0，b >0， 所以1a ＋1b ≥21ab＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，因此1a ＋1b的最小值是2.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( ) A.32 B.54 C.94D ．4解析：选C.设公差为d ，则S 4＝4a 1＋6d ，S 2＝2a 1＋d ，结合S 4＝4S 2，a 1＝1，得d ＝2，所以S 4＝16，S 6＝36，所以S 6S 4＝94.7．当x ＞0时，不等式x 2－mx ＋9＞0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，6) B ．(－∞，6] C ．[6，＋∞)D ．(6，＋∞)解析：选A.由题意得：当x ＞0时，mx ＜x 2＋9，即m ＜x ＋9x 恒成立．设函数f (x )＝x ＋9x(x ＞0)，则有x ＋9x≥2x ·9x ＝6，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，等号成立，则实数m 的取值范围是m ＜6.8．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n >0，n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．10n －2B ．10n －1C ．102n －1D ．22n －1解析：选D.因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n >0，n ∈N *)，所以log 2 a n ＋1＝2log 2a n ， 即log 2 a n ＋1log 2 a n＝2. 又a 1＝2，所以log 2a 1＝log 2 2＝1.故数列{log 2a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 所以log 2a n ＝2n －1，即a n ＝22n －1.故选D.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且4S＝(a ＋b )2－c 2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C 等于 ( )A ．1B ．－22C.22D.32解析：选C.因为S ＝12ab sin C ，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab，所以2S ＝ab sin C ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cosC ．又4S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以2ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab .因为ab ≠0，所以sin C ＝cos C ＋1.因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，所以(cos C ＋1)2＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝－1(不合题意，舍去)或cos C ＝0，所以sin C ＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ＝22(sin C ＋cos C )＝22.10．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：选B.设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1qn －3，a 1qn －2，a 1qn－1，所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4，两式相乘得a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n1·q n （n －1）2＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.11．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测A ，B 分别在D 处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为( )A ．20 6 海里B ．40 6 海里C ．20(1＋3) 海里D ．40海里解析：选A.连接AB ，由题意可知CD ＝40，∠ADC ＝105°，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝90°，∠ACD ＝30°，所以∠CAD ＝45°，∠ADB ＝60°，在△ACD 中，由正弦定理得ADsin 30°＝40sin 45°，所以AD ＝202， 在Rt △BCD 中，因为∠BDC ＝45°，∠BCD ＝90°， 所以BD ＝2CD ＝40 2. 在△ABD 中，由余弦定理得AB ＝800＋3 200－2×202×402×cos 60°＝20 6.12．已知不等式x 2－ax ＋a －2＞0的解集为(－∞，x 1)∪ (x 2，＋∞)，其中x 1＜0＜x 2，则x 1＋x 2＋2x 1＋2x 2的最大值为( )A.32 B ．0 C ．2D ．－32解析：选B.因为不等式x 2－ax ＋a －2＞0的解集为(－∞，x 1)∪ (x 2，＋∞)，其中x 1＜0＜x 2，所以x 1x 2＝a －2＜0，x 1＋x 2＝a .所以x 1＋x 2＋2x 1＋2x 2＝(x 1＋x 2)＋2（x 1＋x 2）x 1x 2＝a ＋2a a －2＝a ＋2a －4＋4a －2＝a ＋2＋4a －2＝(a －2)＋4a －2＋4； 又a －2＜0，所以－(a －2)＞0， 所以－(a －2)－4a －2≥2－（a －2）×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a －2＝4，当且仅当－(a －2)＝－4a －2， 即a ＝0时，取“＝”； 所以(a －2)＋4a －2＋4≤－4＋4＝0，即x 1＋x 2＋2x 1＋2x 2的最大值为0.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．不等式(2－x )(2x ＋1)＞0的解集为________． 解析：原不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜0，解得－12＜x ＜2， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜2.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜214．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝________．解析：由a n ＋1＝2a n ，{a n }为等比数列， 所以a n ＝2n，所以2b n ＝2n＋2n ＋1，即b n ＝3·2n －1，所以S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.答案：18915．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k＝________．解析：约束条件所表示的区域为如图所示的阴影部分，其中点A (4，4)，B (0，2)，C (2，0)．当－k ≤12，即k ≥－12时，目标函数z＝kx ＋y 在点A (4，4)处取得最大值12，故4k ＋4＝12，k ＝2，满足题意；当－k ＞12，即k ＜－12时，目标函数z ＝kx ＋y 在点B (0，2)处取得最大值12，故k ·0＋2＝12，无解．综上所述，k ＝2.答案：216．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且4S n ＝(a n ＋1)2，则下列说法正确的是________(填序号)．①数列{a n }是等差数列；②数列{a n }是等差数列或等比数列； ③数列{a n }是等比数列；④数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列．解析：因为4S n ＝(a n ＋1)2，所以4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，所以4S n ＋1－4S n ＝4a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2，化简得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0，所以a n ＋1＝a n ＋2或a n ＋1＋a n ＝0.因为4a 1＝(a 1＋1)2，所以a 1＝1.由a n ＋1＝a n ＋2得a n ＋1－a n ＝2，从而数列{a n }是等差数列；由a n ＋1＋a n ＝0得a n ＋1a n＝－1，从而数列{a n }是等比数列．故数列{a n }是等差数列或等比数列． 答案：②三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 7＝49，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝（a n ＋1）·2n －1n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，7a 1＋7×62d ＝49， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)b n ＝（a n ＋1）·2n －1n＝（2n －1＋1）·2n －1n＝2n，即{b n }是b 1＝2，q ＝2的等比数列，所以T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2(n ∈N *)．18．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1.(1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0；(2)若a ＞0，解关于x 的不等式f (x )≤0.解：(1)当a ＝12时，有不等式f (x )＝x 2－52x ＋1≤0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)≤0，所以12≤x ≤2，即所求不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.(2)因为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )≤0，a ＞0，且方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝1a，所以当1a＞a ，即0＜a ＜1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ；当1a＜a ，即a ＞1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ；当1a＝a ，即a ＝1时，不等式的解集为{1}．19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2. (1)若cos B ＝－36，求sin C 的值； (2)求角C 的取值范围．解：(1)在△ABC 中，由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝3＋4－2×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－36＝9，所以AC ＝3.又sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－362＝336，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，所以sin C ＝AB AC ·sin B ＝116.(2)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ， 所以3＝AC 2＋4－4AC ·cos C ， 即AC 2－4cos C ·AC ＋1＝0 ①，由题意得关于AC 的一元二次方程①有解，令Δ＝(4cos C )2－4≥0，解得cos C ≥12 或cos C ≤－12，。
人教版高中数学必修五 期末模块综合检测 附答案解析
范围是( ).
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(-∞,1)∪(3,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(3,+∞)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上)
13 某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍,则需
一、选择题
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【解析】因为 a2+a7+a12=(a2+a12)+a7=2a7+a7=3a7=30,所以 a7=10.
所以
S13
13a1
2
a13
13 a7
2
a7
13a7
130
.
【答案】A
4.【解析】由 23cos2A+cos 2A=0,得 cos2A= 1 . 25
a1=0,an+1=
an 3an
3 1
(n∈N*),则
a20
等于(
).
A.0
B. 3
C. 3
D.1
11 在 R 上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足 x☉(x-2)<0 的实数 x 的取值范围为(
).
A.(0,2)
B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
D.(-1,2)
12 已知集合 A={t|t2-4≤0},对于满足集合 A 的所有实数 t,不等式 x2+tx-t>2x-1 恒成立,则 x 的取值
∵A∈
0,
人教版高中数学必修五模块综合测评2含答案
模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项a n 可能是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n －1【解析】 取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 【答案】 C2．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥5} B ．{x |x <－1或x >5} C ．{x |1<x <5} D ．{x |－1≤x ≤5}【解析】 不等式化为x 2－4x －5>0，所以(x －5)(x ＋1)>0，所以x <－1或x >5. 【答案】 B3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )A ．16B ．32C ．64D ．256【解析】 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 210(a n >0)，∴a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.【答案】 C4．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x2＋1>1(x∈R)【解析】5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3b sin A，则△ABC的面积等于()A.12 B.32C．1 D.3 4【解析】∵a＝3b sin A，∴由正弦定理得sin A＝3sin B sin A，∴sin B＝1 3.∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝12ac sin B＝12×3×13＝12，故选 A.【答案】 A6．等比数列{a n}前n项的积为T n，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是()A．T10B．T13C．T17D．T25【解析】由等比数列的性质得a3a6a18＝a6a10a11＝a8a9a10＝a39，而T17＝a179，故T17为常数．【答案】 C7．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【解析】 由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3. 【答案】 A8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1. 代入公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ，即381＝a 1(1－27)1－2，∴a 1＝381127＝3. ∴此塔顶有3盏灯． 【答案】 B9．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示． y x 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，yx 的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 C10．在△ABC 中，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．有一角为30°的直角三角形【解析】 由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B ， ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0， 所以sin (A －B )＝0. 又因为－π<A －B <π， 所以A －B ＝0， 即A ＝B . 【答案】 A11．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2 【解析】 ∵x >1， ∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2 ≥23＋2. 【答案】 A12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA→＝12，则tan B 等于( ) A.32 B.3－1 C ．2D ．2－ 3【解析】 由BC →·BA→＝12，得ac cos B ＝12，∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1， ∴a 2－b 2＋c 2＝1， ∴tan B ＝2－31＝2－ 3.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】【解析】 点P (1，－2)关于原点的对称点为点P ′(－1，2)． 由题意知⎩⎨⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【解析】 由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1， ∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)． ∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)． ∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.【答案】 201115．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2， 又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ， ∴A ＝60°.∵在△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.【答案】 316．若1a <1b <0，已知下列不等式： ①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2； ⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______． 【解析】 ∵1a <1b <0， ∴b <a <0，故③错；又b <a <0，可得|a |<|b |，a 2<b 2， 故②⑤错，可证①④⑥正确． 【答案】 ①④⑥三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由． 【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0， 即⎩⎨⎧24＋7d >0，3＋d <0， ∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧ a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0， ∴⎩⎨⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0， 又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值． 【解】 ∵⎩⎨⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－(α＋β)，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2. ∴⎩⎨⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)， 则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32.故b －3a －1的最大值是32，最小值是12. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试求当△ABC 的面积取最大值时，△ABC 的形状. 【导学号：05920090】【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0， 整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π， ∴A ＝π3.(2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3. 当且仅当b ＝c ＝3时取等号． ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334. 从而当△ABC 的面积最大时，a ＝b ＝c ＝ 3.∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． ①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立； ②当a ≠0时，则⎩⎨⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0. ∵0≤a ≤1， ∴①当1－a >a ，即0≤a <12时， a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解；③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )； 当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a )．21．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ，其中d 为常数，则称数列{a n }为等方差数列．已知等方差数列{a n }满足a n >0，a 1＝1，a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n的前n 项和．【解】 (1)由a 21＝1，a 25＝9， 得a 25－a 21＝4d ，∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∵a n >0， ∴a n ＝2n －1.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)12n ， 设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，① 12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1 ＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1， 即S n ＝3－2n ＋32n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n .22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)图1【解】 轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x ，由已知得∠BAE ＝30°，在△AEC 中，由正弦定理得EC sin ∠EAC＝AE sin C ， 即sin C ＝AE sin ∠EAC EC＝5sin 150°5x ＝12x ， 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AB sin C ，即AB＝BC sin Csin 120°＝4x×12xsin 120°＝43＝433.在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AE2＋AB2－2AE·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313，所以BE＝313(千米)．故轮船的速度为v＝313÷2060＝93(千米/时)．附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。
最新人教版高中数学必修5第三章模块综合测评(附答案)
数学人教B必修5 模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{－1,0,1}，则下列结论正确的是()．A．A∪B＝(0，＋∞)B．(R A)∪B＝(－∞，0]C．(R A)∩B＝{－1,0} D．(R A)∩B＝{1}2．在等差数列{a n}中，若a2＋a8＝12，S n是数列{a n}的前n项和，则S9等于()．A．48B．54C．60D．663．在△ABC中，∠B＝135°，∠C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为()．A．B．C．D．4．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，那么cos C的值为()．A．14B．23-C．23D．14-5．已知c＜d，a＞b＞0，则下列不等式中必成立的一个是()．A．a＋c＞b＋d B．a－c＞b－dC．ad＞bc D．a b c d >6．在△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是()．A．等腰三角形B．不等边三角形C．等边三角形D．直角三角形7．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝()．A．8 B．7 C．6 D．58．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于()．A．3 B．2 C．1 D．－29．函数y＝log2(x＋11x-＋5)(x＞1)的最小值为()．A．－3 B．3 C．4 D．－410．已知变量x，y满足约束条件20,1,70,x yxx y-+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则yx的取值范围是()．A．(3,6) B．(95，3)C．[95，6] D．(3，＋∞)11．已知x，y为正实数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则2 1212a ab b (+)的取值范围是()．A ．RB ．(0,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)12．(2011·广东高考)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02,,x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为1)，则z OM OA =⋅的最大值为( )．A． B． C ．4 D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c =π3C ∠=，则∠A ＝________.14．若方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋5＝0只有正根，则m 的取值范围是__________．15．设{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 2 009和a 2 010是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 011＋a 2 012＝________.16．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，且3a 2＋3b 2－3c 2＋2ab ＝0，则tan C ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝15，a 2a 5＝54，公差d ＜0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列的前n 项和S n 的最大值及相应的n 的值．18．(本小题满分12分)已知关于x 的不等式2251x x m m+->+. (1)当m ＞0时，解这个不等式；(2)若此不等式的解集为{x |x ＞5}，试求实数m 的值．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长．已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及sin b Bc的值． 20．(本小题满分12分)某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4 800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x 米．(1)求底面积并用含x 的表达式表示池壁面积S ；(2)怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？ 21．(本小题满分12分)如图所示，有相交成60°角的两条直线ZZ ′，YY ′，交点是O .甲、乙分别在OZ ，OY 上，起初甲在离O 点3 km 的A 点，乙在离O 点1 km 的B 点，后来两人同时用4 km/h 的速度，甲沿ZZ ′方向，乙沿Y ′Y 方向步行．(1)起初两人的距离是多少？(2)用包含t 的式子表示t h 后两人的距离；(3)多长时间后，两人之间的距离最短，最短距离是多少？22．(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于任意的n ∈N ＋，都有S n ＝2a n－3n ，(1)求数列{a n }的首项与递推关系式a n ＋1＝f (a n )． (2)先阅读定理：若数列{a n }有递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B ，其中A ，B 为常数，且A ≠1，B ≠0，则数列{1n Ba A-}-是以A 为公比的等比数列．请你在(1)的基础上应用本定理，求数列{a n }的通项公式．(3)求数列{a n }的前n 项和S n .参考答案1. 答案：C ∵A ＝{y |y ＞0}，∴R A ＝{y |y ≤0}，∴(R A )∩B ＝{－1,0}．2. 答案：B 192899()9()5422a a a a S ++===. 3. 答案：A 依题意，知三角形的最大边为b .由于∠A ＝30°，根据正弦定理，得sin sin b a B A =，所以sin 5sin135sin sin30a B b A ︒===︒4. 答案：D ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4， ∴令a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k (k ≠0)，∴22222294161cos 22324a b c k k k C ab k k +-+-===-⋅⋅. 5. 答案：B 由不等式的性质可知，c ＜d ，∴－c ＞－d .又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，即a －c ＞b －d .6. 答案：C cos B ＝cos 60°＝222221222a cb ac ac ac ac +-+-==， ∴(a －c )2＝0.∴a ＝c .又∵∠B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．7. 答案：D ∵S k ＋2－S k ＝24，∴a k ＋1＋a k ＋2＝24. ∴a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝24. ∴2a 1＋(2k ＋1)d ＝24. 又a 1＝1，d ＝2，∴k ＝5.8. 答案：B ∵y ＝x 2－2x ＋3的顶点为(1,2)，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴12a =，d ＝4.∴ad ＝2. 9. 答案：B ∵x ＞1，∴x －1＞0， ∴y ＝log 2(x ＋11x -＋5)＝log 2(x －1＋11x -＋6)≥log 2(2＋6)＝log 28＝3.当且仅当x －1＝11x -，即x ＝2时等号成立． 10. 答案：C 作出可行域，如图阴影部分所示．目标函数00y y z x x -==-的几何意义是可行域内的点(x ，y )与原点(0,0)间连线的斜率．由图可知k OC ≤z ≤k OB .易求得B (1,6)，C (52，92)，因为95OC k =，661OB k ==，所以95≤z ≤6.11. 答案：C 原式＝222()22x y x x y y x yx y x y y x+++==++，又∵x ，y ∈R ＋，∴2224x y y x ++≥=，当且仅当x y y x =，即x ＝y 时等号成立．12. 答案：C z OM OA =⋅＝(x ，y1)＋y .由02,x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩ 画出可行域，如图阴影部分所示．作直线l 0：y =，平移直线l 0至l 1位置时，z 取得最大值，此时l1过点2)，故max 24z =.13. 答案：π6 由正弦定理，得sinsin a cA C=sin 1sin 2a C A c ===，所以∠A ＝π6. 14. 答案：(－5，－4] 设方程的正根为x 1，x 2，由题意，得21212(2)4(5)0,(2)0,50,m m x x m x x m ⎧∆=+-+≥⎪+=-+>⎨⎪=+>⎩解得－5＜m ≤－4.15. 答案：18 ∵a 2 009和a 2 010是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，而方程的两个根是12x =，32x =，又∵{a n }的公比q ＞1，∴ 2 00912a =， 2 01032a =，∴q ＝3.∴a 2 011＋a 2 012＝a 2 009q 2＋a 2 010q 2＝(a 2 009＋a 2 010)q 2＝(1322+)×32＝18.16. 答案：- 2221cos 23a b c C ab +-==-，所以∠C ＞90°，sin 3C =.所以sin tan cos CC C==-17. 答案：分析：首先由等差数列的性质得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝15，再与a 2·a 5＝54联立求出a 2，a 5，进而求出通项a n ，S n ；再由S n 得出S n 的最大值及相应的n 值．解：(1)∵{a n }为等差数列，∴a 2＋a 5＝a 3＋a 4.∴252515,54,0,a a a a d +=⎧⎪=⎨⎪<⎩ 解得259,6,a a =⎧⎨=⎩∴11,10,d a =-⎧⎨=⎩∴a n ＝11－n .(2)∵a 1＝10，a n ＝11－n ，∴21()121222n n n a a S n n +==-+. 又102-<，对称轴为212，故当n ＝10或11时，S n 取得最大值，其最大值为55.18. 答案：分析：(1)解含参不等式要就参数的取值范围进行讨论，本题在系数化为1时，要注意m －1的符号．(2)不等式的解集是不等式所有解的集合，必须注意元素的确定性，和恒成立问题不同，从函数、方程、不等式的统一角度来认识，5应是方程2251x x m m+-=+的根．或者根据(1)对m 进行讨论．解：(1)原不等式可化为m (x ＋2)＞m 2＋x －5， (m －1)x ＞m 2－2m －5，若0＜m ＜1，不等式的解集为225{|1m m x x m --<}-；若m ＝1，则不等式的解集为R ； 若m ＞1，则不等式的解集为225{|1m m x x m -->}-．(2)由题意和(1)知，m ＞1且满足225{|{|5}1m m x x x x m -->}=>-，于是22551m m m --=-，解得m ＝7. 19. 答案：分析：由题意可知b 2＝ac ，将此式代入a 2－c 2＝ac －bc ，然后利用余弦定理求出∠A ；再由正弦定理或三角形面积公式求出sin b Bc的值． 解：(1)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又a 2－c 2＝ac －bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==，∴∠A ＝60°.(2)解法一：在△ABC 中，由正弦定理得sin sin b AB a=. ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴2sin sin60sin 60b B b c ac ︒==︒=解法二：在△ABC 中，由三角形面积公式得11sin sin 22bc A ac B =， ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴bc sin A ＝b 2sin B ，∴sin sin 2b B Ac ==. 20. 答案：解：(1)设水池的底面积为S 1，池壁的面积为S ，则有1480016003S ==(平方米)， 则池底长方形宽为1600x 米，所以S ＝6x ＋6×1600x ＝6(x ＋1600x)(x ＞0)．(2)设总造价为y ，则y ＝150×1 600＋120×6(x ＋1600x)≥240 000＋57 600＝297 600， 当且仅当1600x x=，即x ＝40时，等号成立， 即x ＝40时，总造价最低为297 600元．21. 答案：分析：第(1)问可用余弦定理直接求解，第(2)问分类讨论的依据要把握好，当甲驶过O 点时，甲、乙两人行驶的路线的夹角发生了变化，因此，讨论的依据是t 与34的大小关系．这是本题应注意的一个方面．解：(1)设甲、乙两人起初的位置分别是A 与B ，则AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos 60°＝32＋12－2×3×1×12＝7.(2)设甲、乙两人t h 后的位置分别是P ，Q ，则AP ＝4t ，BQ ＝4t ，当0≤t ≤34时，PQ 2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2(3－4t )(1＋4t )cos 60°，当34t >时，PQ 2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2(4t －3)·(1＋4t )cos 120°，注意到，上面的两式实际上是统一的．所以PQ 2＝48t 2－24t ＋7，t ∈[0，＋∞)，即PQ =t ∈[0，＋∞)．(3)因为PQ 2＝48(t －14)2＋4，所以当14t =h 时，即在第15 min 末，两人的距离最短，最短距离是2 km.22. 答案：分析：(1)要建立a n 与a n ＋1之间的关系，可由a n ＋1＝S n ＋1－S n 得出． (2)给出定理，需认真阅读，考查了观察问题、研究问题的能力． (3)可用拆项法求和．解：(1)令n ＝1，则S 1＝2a 1－3，所以a 1＝3.又S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，S n ＝2a n －3n .两式相减得a n ＋1＝2a n ＋3.(2)按照定理，得A ＝2，B ＝3，则31BA=--.所以{a n ＋3}是公比为2的等比数列，其首项为a 1＋3＝6，所以a n ＋3＝(a 1＋3)·2n －1＝6·2n －1，所以a n ＝6·2n －1－3.(3)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(6·20－3)＋(6·2－3)＋(6·22－3)＋…＋(6·2n －1－3)＝(6·20＋6·21＋6·22＋…＋6·2n －1)－(3＋3＋…＋3)＝6(20＋21＋22＋…＋2n －1)－3n ＝6×1212n--－3n ＝6·2n－3n －6.。
高中数学人教A版必修5讲义：模块复习精要 模块综合检测含答案
(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系为( )A ．f (x )>g (x )B ．f (x )＝g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 值变化而变化解析：选A 因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以f (x )>g (x )．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30° 解析：选C 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ， ∴sin A ＝a sin B b ＝2sin 60°3＝22. 又a <b ，B ＝60°，∴A <60°，∴A ＝45°.3．若关于x 的不等式x 2－3ax ＋2>0的解集为(－∞，1)∪(m ，＋∞)，则a ＋m ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选D 由题意，知1，m 是方程x 2－3ax ＋2＝0的两个根，则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ＝3a ，1×m ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝2，所以a ＋m ＝3，故选D. 4．已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．40B ．42C ．43D ．45解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则2a 1＋3d ＝13，∴d ＝3，故a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×2＋12×3＝42.5．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋394解析：选B 由余弦定理得AB 2＋4－2·AB ×2×cos 60°＝7，解得AB ＝3或AB ＝－1(舍去)，设BC 边上的高为x ，由三角形面积关系得12·BC ·x ＝12AB ·BC ·sin 60°，解得x ＝332，故选B. 6．某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，那么这两家工厂工作的时间分别为( )A ．16,8B ．15,9C ．17,7D ．14,10解析：选A 设A 工厂工作x 小时，B 工厂工作y 小时，总工作时数为z ，则目标函数为z ＝x ＋y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥40，2x ＋y ≥40，x ≥0，y ≥0作出可行域如图所示，由图知当直线l ：y ＝－x ＋z过Q 点时，z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝40，2x ＋y ＝40，得Q (16,8)，故A 厂工作16小时，B 厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少．7．若log 4(3x ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋23B ．7＋23C ．6＋43D ．7＋43解析：选D 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4b a ＋7≥43＋7，当且仅当3a b ＝4b a，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.8．定义max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥b ，b ，a <b ，设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2，|y |≤2，则z ＝max{4x ＋y,3x －y }的取值范围是( )A ．[－8,10]B ．[－7,10]C ．[－6,8]D ．[－7,8]解析：选B 做出约束条件所表示的平面区域如图阴影部分所示．令4x ＋y ≥3x －y ，得x ≥－2y ，当x ≥－2y 时，z ＝4x ＋y ；当x <－2y 时，z ＝3x －y .在同一直角坐标系中作出直线x ＋2y ＝0的图象，如图所示．当(x ，y )在平面区域CDEF 内运动时(含边界区域)，此时x ≥－2y ，故z ＝4x ＋y ，可知目标函数z ＝4x ＋y 在D (2,2)时取到最大值10，在F (－2，1)时取到最小值－7；当(x ，y )在平面区域ABCF 内运动时(含边界区域但不含线段CF )，此时x <－2y ，故z ＝3x －y ，可知目标函数z ＝3x －y 在B (2，－2)时取到最大值8，在F (－2,1)时z ＝3x －y ＝－7，所以在此区域内－7<z ≤8.综上所述，z ＝max{4x ＋y,3x －y }∈[－7，10]，故选B.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)9．若不等式|2x ＋a |＜b 的解集为{x |1＜x ＜4}，则ab 等于________．解析：显然，当b ≤0时，不合题意，当b ＞0时，由|2x ＋a |＜b 可得－b ＜2x ＋a ＜b ，所以－b －a 2＜x ＜b －a 2，因此⎩⎨⎧ －b －a 2＝1，b －a 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝3，故ab ＝－15. 答案：－1510．在数列{a n }中，S n 为它的前n 项和，已知a 2＝3，a 3＝7，且数列{a n ＋1}是等比数列，则a 1＝________，a n ＝________，S n ＝________.解析：令x n ＝a n ＋1，则x 2＝4，x 3＝8，因为{a n ＋1}是等比数列，所以x n ＝2n ，即a n ＝2n －1，a 1＝1，S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n . 答案：1 2n －1 2n ＋1－2－n11．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析：由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4.由一个内角为120°，知其必是最长边x ＋4所对的角．由余弦定理得，(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)·cos 120°，∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10，∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.答案：153 12．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1. 又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n .答案：－1n13．如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3，则y x 的取值范围是________，z ＝x 2＋y 2xy 的最大值为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，则A ⎝⎛⎭⎫43，83，B (3,6)，C (3,1)，y x 的几何意义是区域上的点与坐标原点连线的斜率，所以k OC ≤y x≤k AB ，即13≤y x≤2. 因为z ＝x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x ＝1k ＋k 在⎣⎡⎦⎤13，1单调递减，在[1,2]上单调递增，当k ＝13时，有z max ＝103. 答案：⎣⎡⎦⎤13，2 10314．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a ＝cos C cos A .若角B ＝π6，BC 边上的中线AM ＝7，则A ＝________，△ABC 的面积为________．解析：由正弦定理及2b －3c 3a ＝cos C cos A 得2sin B －3sin C 3sin A＝cos C cos A ，整理得2sin B cos A ＝3sin(A ＋C )＝3sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.又B ＝π6，∴a ＝b ，△ACM 中，由余弦定理得cos 2π3＝b 2＋b 24－7b 2＝－12，解得b ＝2，所以△ABC 的面积S ＝12×2×2×32＝ 3.答案：π6 315．已知实数x ，y >0且xy ＝2，则x 3＋8y 3x 2＋4y 2＋8的最小值是________，此时x ＝________，y ＝________.解析：因为x ，y >0且xy ＝2，由于x 3＋8y 3x 2＋4y 2＋8＝(x ＋2y )(x 2－2xy ＋4y 2)x 2＋4y 2＋4xy＝(x ＋2y )[(x ＋2y )2－6xy ](x ＋2y )2＝(x ＋2y )2－12(x ＋2y )＝(x ＋2y )－12x ＋2y，令x ＋2y ＝t ，则t ＝x ＋2y ≥22xy ＝4，有t －12t 在[4，＋∞)上单调递增，所以当t ＝4时有最小值4－124＝1，当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号．答案：1 2 1三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(14分)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .解：(1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2. ∴通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝242，得12n ＋n (n －1)2×2＝242，解得n ＝11，或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.17．(15分)已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以2x 2＋bx ＋c <0的解集是(0,5)，所以0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系，知－b 2＝5，c 2＝0， 所以b ＝－10，c ＝0，所以f (x )＝2x 2－10x .(2)对任意的x ∈[－1,1]，f (x )＋t ≤2恒成立等价于对任意的x ∈[－1,1]，2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立．设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数，所以g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，所以10＋t ≤0，即t ≤－10，所以t 的取值范围为(－∞，－10]．18．(15分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和． 解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得a 1＝1，d ＝－1. 故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1(3－2n )(1－2n )＝12⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1， 从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为12( 1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1 )＝n 1－2n. 19．(15分)在△ABC 中，BC ＝6，点D 在BC 边上，且(2AC －AB )cos A ＝BC cos C .(1)求角A 的大小；(2)若AD 为△ABC 的中线，且AC ＝23，求AD 的长；(3)若AD 为△ABC 的高，且AD ＝33，求证：△ABC 为等边三角形．解：(1)由(2AC －AB )cos A ＝BC cos C 及正弦定理，有(2sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，所以cos A ＝12. 因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝AC sin A BC ＝12. 因为A ＋B <180°，所以B ＝30°，所以C ＝90°.因为D 是BC 的中点，所以DC ＝3，由勾股定理，得AD ＝AC 2＋DC 2＝21.(3)证明：因为12AD ·BC ＝12AB ·AC sin A ，且AD ＝33，BC ＝6，sin A ＝32，所以AB ·AC ＝36.因为BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，所以AB 2＋AC 2＝72，所以AB ＝AC ＝6＝BC ，所以△ABC 为等边三角形．20．(15分)(全国丙卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ. 解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列， 于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1. (2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n . 由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.。
人教版高中数学必修五模块综合测评1含解析
模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是()A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有()A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D．2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．2【解析】 由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－(－1)＝32.【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32 D. 3【解析】 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52 D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max，∵x ＋1x ≥52， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0. 【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A ．189B ．186C ．180D ．192【解析】 由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n . ∴2b n ＝2n ＋2n ＋1， 即b n ＝3·2n －1，∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189. 【答案】 A10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( )A．T>0 B．T<0 C．T＝0 D．T≥0【解析】法一取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－32<0，排除A，C，D，可知选B.法二由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，则T＝1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋caabc＝ab＋c(b＋a)abc＝ab－c2abc.∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0，应选B.【答案】 B11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b ＝3，则c＝()A．2 3 B．2 C. 2 D．1【解析】由正弦定理得：asin A＝bsin B，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sin A＝32sin A cos A.∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A＝3 2.又0＜A＜π，∴A＝π6，∴B＝2A＝π3.∴C＝π－A－B＝π2，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝12＋(3)2＝2.【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项【解析】设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n－3，a1q n－2，a1q n－1.所以前三项之积a31q3＝2，后三项之积a31q3n－6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1qn －1＝64，所以a n1·qn (n －1)2＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________. 【导学号：05920086】【解析】 由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】 分n 为奇数、偶数两种情况． 第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2×(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. 【答案】 (－1)n ＋1n (n ＋1)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求∠B 的值．【解】 由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·tan B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B ， 即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32， 所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6. 【导学号：05920087】【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：05920088】【解】 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ； ②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4. ∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：原料 每种产品所需原料(t) 现有原 料数(t) A B 甲 2 1 14 乙 1 3 18 利润(万元/t)53—(1)在现有原料条件下，生产A ，B 两种产品各多少时，才能使利润最大？ (2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B 产品225 t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点， 则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245 t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。