不动点法求数列的通项(讲座)

不动点法求数列的通项惠来县第一中学 方文湃自从实施新课程标准，使用新教材以来，高考题中出现了数列的解答题的次数好象不少。

如2007年普通高考广东数学理科卷压轴题第21题 、2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题 ，这两道题都是已知数列的递推式，求它的的通项公式，并且求法都与“不动点”有关。

记函数f(x)的定义域为D ，若存在λ∈D ，使λ＝f(λ)成立，则称（λ，λ）为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点。

以此类推，在数列{a n }中，a n+1=f(a n ) (n ∈N +)，若存在λ满足方程λ＝f(λ)，称λ为不动点方程λ＝f(λ)的根。

下面介绍的一些数列，可先求生成函数（递推式）的不动点，通过换元后，化为等差、等比数列，再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法。

一、递推式为a n+1=aa n +b(a ≠0,a ≠1,a,b 均为常数)型的数列由递推式a n+1=aa n +b 总可变形为a n+1－λ=a （a n －λ） …………………………（１） （１） 式中的λ与系数a,b 存在怎样的关系呢？ 由（１）得a n+1=aa n ＋λ－a λ∴b=λ－a λ即λ＝a λ+b …………………………（２）关于λ的方程（２）刚好是递推式a n+1=aa n +b 中的a n ，a n+1都换成λ得到的不动点方程。

令b n =a n －λ代入（１）得b n+1=ab n一般来说，可先求等比数列{b n }的通项，再求数列{a n }的通项。

例１：在数列{a n }中，已知a 1=1,a n+1=1－21a n (n ∈N +),求lim ∞→n a n 。

解：令x=1－21x 得x=32a n+1－32=1－21a n －32=－21 (a n －32)令b n =a n －32，则b n+1=－21b n∴数列{b n }成首项为b 1=a 1－32=1－32=31，公比为q ＝－21的等比数列，于是有b n =31(－21)n －1即a n －32＝31(－21)n－1 ∴a n =32[1－31(－21)n ]∴lim ∞→n a n =32限于篇幅，求这种类型的数列的通项，其它的解法就不说了。

二、递推式为a n+1=dca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列a n+1－λ=dca b aa n n ++－λ＝dca d b a c a n n +-+-λλ)(=dca c a d b a c a n n +--+-))((λλλ 令λ＝－λλc ad b --可化得 λ＝dc ba ++λλ …………………………（３） 关于λ的方程（３）刚好是递推式a n+1=dca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。

○1当方程（３）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝d ca a c a n n +--))((11λλa n+1－λ２＝dca a c a n n +--))((22λλ∴2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --•21λλ--n n a a令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝21λλc a c a --•b n一般来说，可先求等比数列{b n }的通项，后求数列{a n }的通项。

例２：数列｛a n ｝由a 1=2，a n+1=313++n n a a （n ≥1）给出，求lim ∞→n a n 。

解：令x=313++x x ,得x 1 =1,x 2 =-1，于是有a n+1- 1 =3)1(21313+-=-++n n n n a a a a a n+1+1 =3)1(41313++=+++n n n n a a a a ∴1111+-++n n a a =21·11+-n n a a设b n =11+-n n a a ,则b n+1 =21b n这样数列{b n }成首项为b 1 =1111+-a a =31,公比为21的等比数列, 于是b n =31·1)21(-n , 由b n =11+-n n a a 得a n =nn b b -+11=11)21(311)21(311--⋅-⋅+n n∴lim ∞→n an=1○2当方程（３）出现重根同为λ时， 由a n+1－λ＝dca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λc a c-＋))((λλλ--+n a c a c d设c n =λ-n a 1得c n ＋１＝λλc a c d -+•c n ＋λc a c- 即数列{c n }的递推式总可化为“c n ＋１＝ac n +b （a ，b 为常数）型”，又一次运用不动点法求得数列{c n }的通项，从而求数列{a n }的通项。

例３:在数列｛a n ｝中，a n =1, a 1+n = 22+n na a (n=1,2……)。

求a n 。

解：令x=22+x x,得x 1=x 2=0 设b n =n a 1,则由a 1+n =22+n n a a 可得b 1+n =b n +21∴{b n }成为首项为1,公差为21的等差数列,于是 b n =1+2121+=-n n ∴a n =12+n 需要指出的是，上述方法同样适用于方程（３）两根不同的情形。

对例２，可设c n =11-n a （或c n =11+n a ），我们运用上述方法来求数列｛a n ｝的通项。

例２另解：令x=313++x x ,得x 1 =1,x 2 =-1，于是有 a n+1- 1 =3)1(21313+-=-++n n n n a a a a ∴111-+n a =)1(23-+n n a a =21+12-n a令b n =11-n a ，则b 1=111-a =1，b n+1=2b n + 21令λ＝2λ+21得λ＝－21 b n+1+21=2b n +21+21=2(b n + 21)∴{b n + 21 }成首项为b 1+21= 23，公比为的等比数列，于是有b n +21=23×2n-1 ∴b n =23×2n-1-21=21(3×2n-1-1) 代入b n =11-n a 得a n =1+n b 1=1+12321-⨯-n =1+11)21(311)21(32--⨯-⨯n n ∴lim ∞→n an=1小结解法：一般地，设λ1，λ2是关于λ的方程a bc d……………③ 的两个根，对递推式为1n nnaa b a ca d（,,,a b c d 为常数）型的数列，可以有以下两种方法来求其通项：[解法一]：1设c n =λ-n a 1（λλ=1或λλ=2）得c n ＋１＝λλc a c d -+•c n ＋λc a c-， 即 {}n c 的递推式为1n na aab （,a b 为常数）型的数列；2求{}n c 的通项，再求{}n a 的通项。

[解法二]: 1设n n n a b a λλ++-=-1112，证数列{b n }成首项为b 1 =a a λλ--1112的等比数列；2求{}n b 的通项，再求{}n a 的通项。

当方程③有重根时，[解法二]无法进行。

以下是2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题第（1）小题的不同解法：20.（本小题共14分）设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ，11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；[解法一]：（1）由111112221n n n nn n a bnba a n a a a n nn 设n nnb a ，则有11111212112n n n nnn n bb b b b b bb b b b①当2b 时，2nnb ，2n a②当2b时，有1121()22nn b b b bb数列1{}2nb b为首项为 1111222(2)b bbbb b，公比为2b的等比数列1122()2(2)n nb bb b b即 112211212()()[1()]2(2)2(2)2n n n nb bb b bbb bb b(2)122[1()]2nnn nn n n b b a b bb综上得1232232122222nnnnnnnnnb a b b b b b *()n N[解法二]: 由111112221n n n nn n a bnba a n a a a n nn 设nnnb a ，则有111111,2n n nbb b b b a b令2bx xx，得120,2x x b由112n nn bb b b ……………………………………………………①得11112[(2)](2)(2)22n nnnnbb b bb bb b b …………………………②②÷①得()n n b b b b--=22∴(){}n n b b b --2是首项为()()b b b b --=--21121，公比为q b=2的等比数列，于是()()()n n n b b b b b---=--21221 解得12[1()]2n nb b b(2)122[1()]2nnn nn n n b b a b bb即1232232122222nnnnnnnnnb a b b b b b *()n N*关于周期数列：1.已知数列{}n a 中，()*1111,2,2n n a a n n N a -==≥∈，则100a =2.已知数列{}n a 中，()*1111,2,2n n a a n n N a -==-≥∈，则2012a = 3.已知数列{}n a 中，()*1111,12,2n n a a n n N a -==-≥∈，则15a = 4.数列{}n a中，1a 111(2)1n n n a a n a --+=≥-，求这个数列的通项公式，并计算122000a a a +++的值。

因为以上数列的递推式其对应的函数f(x)都是周期函数（0a ，为常数）： (1)1()(()0)()f xa f x f x ，则)(x f 的周期T=2a ；(2)1()(()0)()f x a f x f x ，则)(x f 的周期T=2a ；(3)1()1(()0)()f xa f x f x ，则)(x f 的周期T=3a ；(4) 1()()(()1)1()f x f x a f x f x ，则)(x f 的周期T=4a ； 故以上数列数列均为周期数列，这几道题目的按周期数列去做更方便。